하이퍼플레인

Hyperplane
3차원 공간에서 교차하는 두 평면.평면은 차원 3의 공간에 삽입되었을 때 차원 2의 하이퍼플레인입니다.

기하학에서 하이퍼플레인주변 공간보다 치수가 1 작은 부분 공간입니다.예를 들어, 공간이 3차원이면 그 하이퍼플레인은 2차원 평면이고, 공간이 2차원이면 그 하이퍼플레인은 1차원 선이다. 개념은 부분 공간의 차원 개념이 정의된 모든 일반 공간에서 사용할 수 있습니다.

설정에 따라 하이퍼플레인의 속성이 다를 수 있습니다.예를 들어, n차원 아핀 공간의 하이퍼플레인은 차원 n - 1[1] 평평한 부분 집합이며, 공간을 두 의 반공간으로 분리한다.반면 n차원 투영 공간의 하이퍼플레인에는 이 특성이 없습니다.

부분 공간 S와 주변 공간 X 사이의 치수 차이는 X에 대한 S코디멘션으로 알려져 있다.따라서 S가 X에서 하이퍼플레인이 되기 위해 필요한 조건은 S가 X에서 1의 코디멘션을 갖는 것이다.

기술 설명

기하학에서 n차원 공간 V의 하이퍼플레인V에서 n차원 1 또는 이에 상당하는 부호 차원 1의 부분 공간이다.공간 V는 유클리드 공간 또는 보다 일반적으로 아핀 공간 또는 벡터 공간 또는 투영 공간일 수 있으며, 부분 공간의 정의는 이러한 설정에서 다르기 때문에 그에 따라 달라진다; 그러나 모든 경우에, 모든 하이퍼플레인은 단일의 해로서 좌표에서 주어질 수 있다 ("코디멘션 1"에 의해)strant) 1차 대수 방정식.

V가 벡터 공간인 경우, 벡터 하이퍼플레인(직선 서브스페이스이므로 원점을 통과해야 함)과 아핀 하이퍼플레인(원점을 통과하지 않아도 벡터 하이퍼플레인 변환으로 얻을 수 있음)을 구분한다.유클리드 공간의 하이퍼플레인은 그 공간을 두 의 반공간으로 구분하여 하이퍼플레인을 고정하고 두 개의 반공간을 교환하는 반사를 정의합니다.

특수한 유형의 하이퍼플레인

특정 목적에 적합한 속성을 사용하여 몇 가지 특정 유형의 하이퍼플레인이 정의됩니다.여기에서는, 이러한 전문화에 대해 설명합니다.

아핀 초평면

아핀 하이퍼플레인아핀 공간에서의 코드멘션 1의 아핀 부분 공간이다.데카르트 좌표에서 이러한 하이퍼플레인은 다음 형식의 단일 선형 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다(서 is 중 적어도 하나는 0이 b b 임의 상수입니다).

실 아핀 공간의 경우, 다시 말해 좌표가 실수일 때, 이 아핀 공간은 공간을 두 개의 반공간으로 나누고, 하이퍼플레인 보체의 연결구성요소이며 부등식에 의해 주어진다.

그리고.

예를 들어 점은 1차원 공간에서의 하이퍼플레인, 선은 2차원 공간에서의 하이퍼플레인, 평면은 3차원 공간에서의 하이퍼플레인이다.3차원 공간의 선은 하이퍼플레인이 아니며 공간을 두 부분으로 분리하지 않습니다(이 선의 보완선은 연결되어 있습니다).

유클리드 공간의 어떤 초평면도 정확히 두 개의 단위 법선 벡터를 가지고 있다.

아핀 하이퍼플레인은 선형 결합(사각) 의사결정 트리 및 퍼셉트론과 같은 많은 기계 학습 알고리즘에서 의사결정 경계를 정의하는 데 사용됩니다.

벡터 초평면

벡터 공간에서 벡터 하이퍼플레인은 코디멘션 1의 부분공간으로, 원점에서 벡터만큼만 이동했을 가능성이 있으며, 이 경우 평탄하다고 한다.이러한 초평면은 단일 선형 방정식의 해이다.

투영 하이퍼플레인

투영 초평면투영 기하학에서 사용됩니다.투영 부분 공간은 세트의 두 점에 대해 두 점에 의해 결정되는 선의 모든 점이 [2]세트에 포함되는 특성을 가진 점 집합입니다.투영 지오메트리는 소실점(무한점의 점)이 추가된 아핀 지오메트리로 볼 수 있습니다.무한대의 관련점과 함께 아핀 하이퍼플레인이 투영 하이퍼플레인을 형성한다.투영 하이퍼플레인의 한 가지 특별한 경우는 무한대 또는 이상적인 하이퍼플레인으로, 무한대에 있는 모든 점의 집합으로 정의됩니다.

투영 공간에서 하이퍼플레인은 공간을 두 부분으로 나누는 것이 아니라 점을 분리하고 공간을 분할하는 데 두 개의 하이퍼플레인이 필요합니다.그 이유는 공간이 본질적으로 "뒤집혀서" 하나의 하이퍼플레인 양쪽이 서로 연결되기 때문입니다.

적용들

볼록 기하학에서, n차원 유클리드 공간의 두 개의 분리된 볼록 집합은 초평면에 의해 분리되며, 그 결과 초평면 분리 정리라고 불린다.

기계학습에서 하이퍼플레인컴퓨터 비전 및 자연어 처리와 같은 작업을 지원하는 벡터 머신을 만드는 핵심 도구입니다.

이면각

유클리드 공간의 두 비평행 초평면 사이의 이면각대응하는 법선 벡터 사이의 각도이다.두 초평면에서 변환의 곱은 축이 초평면을 교차시켜 얻은 코드멘션 2의 부분 공간이고 각도가 초평면 사이의 각도의 두 인 회전이다.

하이퍼플레인 지원

초평면 H는 P가 H와 P half \ \ display P[3]로 둘러싸인 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 포함되는 경우 다면체 의 "지지" 초평면이라고 불린다.다면체의 이론과 면의 치수는 초평면을 포함한 이러한 교차점을 통해 분석됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ "Excerpt from Convex Analysis, by R.T. Rockafellar" (PDF). u.arizona.edu.
  2. ^ Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: From Foundations to Applications, Cambridge University Press, p. 10, ISBN 9780521483643
  3. ^ 폴리토피스, 반지, K이론 by Bruns-Gubeladze

외부 링크