하이퍼플레인

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기하학에서 하이퍼플레인은 주변 공간보다 치수가 1 작은 부분 공간입니다.예를 들어, 공간이 3차원이면 그 하이퍼플레인은 2차원 평면이고, 공간이 2차원이면 그 하이퍼플레인은 1차원 선이다.이 개념은 부분 공간의 차원 개념이 정의된 모든 일반 공간에서 사용할 수 있습니다.

설정에 따라 하이퍼플레인의 속성이 다를 수 있습니다.예를 들어, n차원 아핀 공간의 하이퍼플레인은 차원 n - 1의^[1] 평평한 부분 집합이며, 공간을 두 개의 반공간으로 분리한다.반면 n차원 투영 공간의 하이퍼플레인에는 이 특성이 없습니다.

부분 공간 S와 주변 공간 X 사이의 치수 차이는 X에 대한 S의 코디멘션으로 알려져 있다.따라서 S가 X에서 하이퍼플레인이 되기 위해 필요한 조건은 S가 X에서 1의 코디멘션을 갖는 것이다.

기술 설명

기하학에서 n차원 공간 V의 하이퍼플레인은 V에서 n차원 1 또는 이에 상당하는 부호 차원 1의 부분 공간이다.공간 V는 유클리드 공간 또는 보다 일반적으로 아핀 공간 또는 벡터 공간 또는 투영 공간일 수 있으며, 부분 공간의 정의는 이러한 설정에서 다르기 때문에 그에 따라 달라진다; 그러나 모든 경우에, 모든 하이퍼플레인은 단일의 해로서 좌표에서 주어질 수 있다 ("코디멘션 1"에 의해)strant) 1차 대수 방정식.

V가 벡터 공간인 경우, 벡터 하이퍼플레인(직선 서브스페이스이므로 원점을 통과해야 함)과 아핀 하이퍼플레인(원점을 통과하지 않아도 벡터 하이퍼플레인 변환으로 얻을 수 있음)을 구분한다.유클리드 공간의 하이퍼플레인은 그 공간을 두 개의 반공간으로 구분하여 하이퍼플레인을 고정하고 두 개의 반공간을 교환하는 반사를 정의합니다.

특수한 유형의 하이퍼플레인

특정 목적에 적합한 속성을 사용하여 몇 가지 특정 유형의 하이퍼플레인이 정의됩니다.여기에서는, 이러한 전문화에 대해 설명합니다.

아핀 초평면

아핀 하이퍼플레인은 아핀 공간에서의 코드멘션 1의 아핀 부분 공간이다.데카르트 좌표에서 이러한 하이퍼플레인은 다음 형식의 단일 선형 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다(${\displaystyle {여기}_{}}$서 i$\$s 중 적어도 하나는 0이 $아니며{\displaystyle }$ b$\displaystyle$ b$}$는 임의 상수입니다).

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\ }$

실 아핀 공간의 경우, 다시 말해 좌표가 실수일 때, 이 아핀 공간은 공간을 두 개의 반공간으로 나누고, 하이퍼플레인 보체의 연결된 구성요소이며 부등식에 의해 주어진다.

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\}$

그리고.

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\ }$

예를 들어 점은 1차원 공간에서의 하이퍼플레인, 선은 2차원 공간에서의 하이퍼플레인, 평면은 3차원 공간에서의 하이퍼플레인이다.3차원 공간의 선은 하이퍼플레인이 아니며 공간을 두 부분으로 분리하지 않습니다(이 선의 보완선은 연결되어 있습니다).

유클리드 공간의 어떤 초평면도 정확히 두 개의 단위 법선 벡터를 가지고 있다.

아핀 하이퍼플레인은 선형 결합(사각) 의사결정 트리 및 퍼셉트론과 같은 많은 기계 학습 알고리즘에서 의사결정 경계를 정의하는 데 사용됩니다.

벡터 초평면

벡터 공간에서 벡터 하이퍼플레인은 코디멘션 1의 부분공간으로, 원점에서 벡터만큼만 이동했을 가능성이 있으며, 이 경우 평탄하다고 한다.이러한 초평면은 단일 선형 방정식의 해이다.

투영 하이퍼플레인

투영 초평면은 투영 기하학에서 사용됩니다.투영 부분 공간은 세트의 두 점에 대해 두 점에 의해 결정되는 선의 모든 점이 ^[2]세트에 포함되는 특성을 가진 점 집합입니다.투영 지오메트리는 소실점(무한점의 점)이 추가된 아핀 지오메트리로 볼 수 있습니다.무한대의 관련점과 함께 아핀 하이퍼플레인이 투영 하이퍼플레인을 형성한다.투영 하이퍼플레인의 한 가지 특별한 경우는 무한대 또는 이상적인 하이퍼플레인으로, 무한대에 있는 모든 점의 집합으로 정의됩니다.

투영 공간에서 하이퍼플레인은 공간을 두 부분으로 나누는 것이 아니라 점을 분리하고 공간을 분할하는 데 두 개의 하이퍼플레인이 필요합니다.그 이유는 공간이 본질적으로 "뒤집혀서" 하나의 하이퍼플레인 양쪽이 서로 연결되기 때문입니다.

적용들

볼록 기하학에서, n차원 유클리드 공간의 두 개의 분리된 볼록 집합은 초평면에 의해 분리되며, 그 결과 초평면 분리 정리라고 불린다.

기계학습에서 하이퍼플레인은 컴퓨터 비전 및 자연어 처리와 같은 작업을 지원하는 벡터 머신을 만드는 핵심 도구입니다.

이면각

유클리드 공간의 두 비평행 초평면 사이의 이면각은 대응하는 법선 벡터 사이의 각도이다.두 초평면에서 변환의 곱은 축이 초평면을 교차시켜 얻은 코드멘션 2의 부분 공간이고 각도가 초평면 사이의 각도의 두 배인 회전이다.

하이퍼플레인 지원

초평면 H는 P가 H와 $H{\displaystyle p}$ P ${\displaystyle \ne }$ ${\$ half \ \ display $H\cap$ P$\neq \varnothing$^[3]$}$로 둘러싸인 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 포함되는 경우 다면체 $P$의 "지지" 초평면이라고 불린다.다면체의 이론과 면의 치수는 초평면을 포함한 이러한 교차점을 통해 분석됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 하이퍼서페이스
• 의사결정 경계
• 햄 샌드위치 정리
• 하이퍼플레인 배치
• 지원 하이퍼플레인 정리

레퍼런스

• Binmore, Ken G. (1980). The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction: Book 2 Topological Ideas. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 0-521-29930-6.
• 찰스 W. 커티스(1968) 선형 대수학, 62쪽, 보스턴 앨런 & 베이컨.
• 하인리히 구겐하이머(1977) 적용 가능한 기하학, 7페이지, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1.
• Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov(1997,2001) 기하학, 22페이지, 200권, 미국 수학학회 번역, 프로비던스 ISBN 0-8218-2038-9.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Hyperplane". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Flat". MathWorld.