일반상대성이론의 측지학

일반 상대성 이론에서, 측지학은 "직선"의 개념을 곡선 시공간으로 일반화한다.중요한 것은, 모든 외부, 비중력으로부터 자유로운 입자의 세계선은 특정한 유형의 측지학이다.즉, 자유롭게 움직이거나 떨어지는 입자는 항상 측지선을 따라 움직인다.

일반 상대성 이론에서 중력은 힘이 아니라 곡률의 원천이 응력-에너지 텐서(예를 들어 물질을 나타내는 것)인 곡선 시공간 기하학의 결과로 간주될 수 있다.따라서, 예를 들어, 별 주위를 도는 행성의 경로는 별 주위의 휘어진 4차원(4-D) 시공간 기하학적 형상을 3차원(3-D) 공간에 투영하는 것입니다.

수식

완전 측지방정식은

{d^{2}x^{\mu}\Gamma^{\mu}_{\alpha \alpha }{\over ds}\over ds}{display ^{\alpha } \over ds } = 0 \

여기서 s는 운동의 스칼라 파라미터(예: 적절한 시간)이며, $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ β {\ $displaystyle \Gamma$ ^{\ $mu$ }{} $_{\alpha$ \ $beta$ }}}는 $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ 하위 두 지수에서 대칭인 크리스토펠 기호(아핀 연결 계수 또는 Levi-Civita 연결 계수라고도 함)입니다.그리스 지표는 0, 1, 2, 3의 값을 취할 수 있으며, 덧셈 규칙은 반복 $\beta$ $지수α$ 와 $\alpha$ $\beta$ β에 $사용$ 됩니다. 이 방정식의 왼쪽에 있는 양은 입자의 가속도이므로 이 방정식은 뉴턴의 운동 법칙과 유사합니다.입자의 가속을 위해 lae.크리스토펠 기호는 4개의 시공간 좌표의 함수이므로 지오데식 방정식으로 운동을 설명하는 테스트 입자의 속도, 가속도 또는 기타 특성과는 독립적이다.

좌표 시간을 매개 변수로 사용하는 등가 수학식

지금까지 지오데식 운동 방정식은 스칼라 파라미터 s로 작성되었습니다.또는 시간 $t\equiv x^{0}$ t $t\equiv x^{0}$ x $t\equiv x^{0}$ 0 { $displaystyle$ t \ $equiv$ x $^$ { 0 $t\equiv x^{0}$ } (여기에서는 정의를 나타내기 위해 트리플 바를 사용했다)로 표기할 수 있다.그러면 지오데식 운동 방정식은 다음과 같이 됩니다.

{d^{2}x^{\mu }\over dt^{\mu}=-\Gamma ^{\gampa }_{\alpha \alpha }{\over dt}+\Gamma ^{0}_{\alpha } {\alpha } }

이 지오데식 운동 방정식의 공식은 컴퓨터 계산과 일반 상대성 이론과 뉴턴 ^[1]중력을 비교하는데 유용할 수 있습니다.체인 규칙을 사용하여 적절한 시간을 매개변수로 사용하는 형태에서 이러한 형태의 측지선 운동 방정식을 도출하는 것은 간단하다.이 마지막 방정식의 양쪽은 mu 인덱스가 0으로 설정되면 사라집니다.입자의 속도가 충분히 작을 경우 측지방정식은 다음과 같이 감소합니다.

({displaystyle {d^2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma^{n}{}_{00}).

여기서 라틴 지수 n은 [1,2,3] 값을 취한다.이 방정식은 단순히 특정 장소와 시간에 있는 모든 시험 입자가 같은 가속도를 가질 것이라는 것을 의미하는데, 이것은 뉴턴 중력의 잘 알려진 특징이다.예를 들어, 국제우주정거장에 떠 있는 모든 물체는 중력에 의해 거의 같은 가속을 겪게 될 것이다.

등가원칙에서 직접 도출

물리학자 스티븐 와인버그는 등가 ^[2]원리에서 직접 지오데식 운동 방정식의 유도를 제시했다.이러한 도출의 첫 번째 단계는 자유낙하 좌표계( $\$ X $^{\mu$ }}) $X^{\mu }$ 에 대해 점 이벤트 부근에서 자유낙하 입자가 가속하지 않는다고 가정하는 것입니다.T $T\equiv X^{0}$ $T\equiv X^{0}$ 0 { $style$ T \ $equiv$ X ^ { $0$ } $T\equiv X^{0}$ 、다음 식을 프리폴에 로컬로 적용할 수 있습니다.

\displaystyle {d^{2}X^{\mu}\over dT^{2}=0.}

다음 단계는 다차원 체인 규칙을 사용하는 것입니다.다음과 같은 것이 있습니다.

{dX^{\mu} \over dT}={dx^{\nu}\over dT}{\partial X^{\mu}\over x^{\nu}

시간과 관련하여 다시 한 번 차별화되는 점은 다음과 같습니다.

{d^{2}X^{\mu }\over dT^{2}={d^{\nu}}{\over X^{\mu}}\over x^{\mu}}}+{dx}\over d^{\alpha

우리는 이미 등가원칙 때문에 이 마지막 방정식의 왼쪽은 사라져야 한다고 말했다.그 때문에,

{\displaystyle {d^2}x^{\nu } \over dT^{\mu } \over \over \mu x^{\nu } =-{syslog x^{\nu} \over dT} \over dt {\alpha } \over dT} {\partial ^{\nu } \over dT} \mu } \over

이 마지막 방정식의 양변에 다음 양을 곱합니다.

\displaystyle \partial x^{\lambda} \over \partial X^{\mu }}

그 결과, 다음과 같이 됩니다.

{d^2}x^{\displayda}\over dT^{2}=-{dx^{\nu}\over dT}{dx^{\alpha}\left[{\partial ^{2}X^{\mu }\over x{\displayd}}}\over dT }

와인버그는 ^[3]아핀 접속을 다음과 같이 정의합니다.

\displaystyle \Gamma ^{\gamma }{\nu \alpha }=\left[{\displaystyle ^{\nu}X^{\mu}\over \gamma x^{\alpha }}{\da x^{\right}}\over \gammuX^{\light}}\light}

다음 공식으로 이어집니다.

{d^2}x^{\displayda}\over dT}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\displayda}{\nu } \over dT} {dx ^{\alpha } \over dT}

만약 우리가 국소 관성 시간 좌표 "T" 대신 적절한 시간 "s"를 움직임 매개변수로 사용했다면, 우리의 운동 지리 방정식의 도출은 완료되었을 것이다.어쨌든 1차원 체인 규칙을 적용하여 계속 진행합시다.

\displaystyle {d^2}x^{\displayda}\over dt^{2}\leftdisplay\frac {dt}{d}T}}\right)^{2}+{dx^{\lambda}\over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\nu } \over dt }{tv^{\alpha } \over dt } \over dt } \over dT}}\right)^{2}

\displaystyle {d^2}x^{\displayda}\overdt^{2}+{display^{\displayda}\overdt}{\frac {d^{2}t}{d}T^{2}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\gamda}{\overdt}{blash^{\alpha }\overdt}.}

이전과 같이 t $t\equiv x^{0}$ x $t\equiv x^{0}$ ( \ $displaystyle t$ \ $equiv x ^$ { 0 $t\equiv x^{0}$ )을 $t\equiv x^{0}$ 할 수 있습니다.그러면 t에 대한 x의 첫⁰ 번째 도함수는 1이고 두 번째 도함수는 0이다.with 를 0 으로 치환하면, 다음과 같은 결과가 됩니다.

{\displaystyle\frac{d^{2}t}{dT^{2}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }{0}{blash^{\nu } \over dt}{\over dt}\gama }}

이전 방정식에서 d x^λ / d t를 곱하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

\displaystyle {d^{2}x^{\displayda}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\displayda}{\display^{\nu } \overdt}+\Gamma _{\nu \alpha } {\d} \overdt}

이 값은 측지선 운동 방정식의 한 형태입니다(좌표 시간을 매개 변수로 사용).

지오데식 운동 방정식은 평행 ^[4]수송 개념을 사용하여 대체적으로 도출할 수 있다.

동작을 통한 측지 방정식 도출

우리는 작용 원리를 통해 측지 방정식을 도출할 수 있다(그리고 이것이 가장 일반적인 기술이다).타임라이크로 구분된2개의 이벤트 간에 측지선을 찾으려고 하는 경우를 생각해 보겠습니다.

행동을 그대로 두다

S=\int ds

$ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ 서 d s $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ - $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ μ $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ ( $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ x ) $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ x $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ d $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ { $displaystyle$ ds = $specrt$ { - $g _$ { \ $mu$ \ nu }( $x),$ spec^ { \ $mu$ }}}}는 $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ 라인 요소입니다.곡선이 타임라이크해야 하므로 제곱근 안에 음의 기호가 있습니다.측지방정식을 얻으려면 이 동작을 변화시켜야 합니다.이를 위해 파라미터 $"\displaystyle\lambda$ 에 대해 이 액션을 파라미터화합니다.이렇게 하면 다음과 같이 됩니다.

S=\int {-g_{\mu \nu }{\frac {\frac ^{\mu }}{\frac }}{\frac ^{\nu }}}}}},d\fracda }

$x^{\mu }$ x μ $(\$ x^{\ $mu$ $x^{\mu }$ 에 대해 이 동작을 변경할 수 있습니다.최소 동작의 원칙에 따라 다음과 같이 됩니다.

{\displaystyle 0=\display S=\int \displayrt {-g_{\mu \nu }}{d\displayda }}{\frac {d\nu }}}{\d\displayda }}}}}, d\d\nt \displayda = \mu \refrefright \mu \nu } {-right \nu } {-right } {-right } {-rt {-rcr} {-r} {-r

제품 규칙 사용:

0=\int \left\frac {frac^{\mu }}{d\frac}}{d\frac}}{\frac g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\frac}}{\frac x^{d\nu }}}}{d\frac}}}{\frac}}{\frac}}ial _{\alpha }g_{\mu \nu }\syslog x^{\mu \nu }}{\frac {d\syslog x^{\mu }}{\frac {d\nu }}}{\frac {d\nu }}}{d\syslog }}}\right,d\syslogd\nu

어디에

{d\nu}{d\nu}}=snurt {-g_{\mu\nu}}{d\nu}}{\frac {nu}}}{\frac {nu}}}}{\frac {d\nu}}}}

마지막 항을 부품별로 통합하고 총 파생상품(경계에서는 0과 동일)을 삭제하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

0=\int \frac {\mu }}{d\frac }}{\frac {\nu }}{d\frac }}{\frac }}{\frac }{\alpha }g_{\mu }\frac x^{\mu }-2\frac {\frac }{\frac } {\frac } {\frac } {\f} {\frac } {\f} } {\frac } {\f}2\cape x^{\mu }\cape _{\alpha }g_{\mu \nu }}{d\cape }}{\frac {d\cape }}{d}}-2\cape x^{\mu }g_{\mu }{\frac {\cape}}{\cape}{\cape}}{\cape}}}{\frac {\capex}}}}{\cape}}}}}{\capex}

간략하게 설명하면 다음과 같습니다.

0=\int \left \mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu}}{d\frac }{\frac {\alpha }}{d\frac }}{\frac {\nu } } } } {\frac {\frac } } \frac {\nu

그렇게,

0=\int \left \mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu}}{d\frac }{\frac {\alpha }}{d\frac }}{\frac {\nu } } } } {\frac {\frac } } \frac {\nu })\param x^{\mu },d\parames

$이$ 방정식에 $-12를$ 곱하면 $다음$ 과 같이 됩니다 $.$

\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu}}+{\frac {{1}{\frac {\alpha }}{d\frac }}{\frac {\nu }}{\frac {\frac }} {\frac }

그래서 해밀턴의 원리에 의해 우리는 오일러-라그랑주 방정식이

{\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\nu}}{\frac {nu}}}{\frac {\frac }{\frac }}{\frac {\frac }}{\frac {\nu }{{\nu }} {\frac }}} {\frac {\frac } {\frac } {\fr} {\f

$g^{\mu \beta }$ $g^{\mu \beta }$ g $g^{\mu \beta }$ β {\ $displaystyle g^{\mu$ \beta $g^{\mu \beta }$ }}를 곱하면 $g^{\mu \beta }$ 다음과 같이 된다.

{\frac {d^{\frac}x^{2}}+{\frac {1}{\mu \fac}g^{\left}\left(\frac _ {\alpha }g_{\mu \nu }+\fac _ {\nu }g}g_{\frac {\mu }-{\mu } {\facclapa

따라서 측지방정식을 얻을 수 있습니다.

{d^{\display }}{d\display ^{2}}+\Gamma ^{\display }_{\alpha }}{d\display }}{\frac {\nu}}}{\frac {\frac }} =0

다음과 같이 미터법 텐서의 관점에서 정의된 크리스토펠 기호를 사용하여

\Displaystyle \Gamma ^{\gamma }_{\alpha \nu } =g^{\mu \nu } \left(\displaystyle _ {\alpha }g_{\mu \nu }+\displaystypart _ {\mu } \nu } \nu } \right frac {\nu } \nu }

(주: 유사한 유도체를 약간의 수정으로 사용하여 빛과^{[citation needed]} 같은 또는 공간처럼 분리된 점 쌍 사이의 측지학에서 유사한 결과를 도출할 수 있습니다.)

운동 방정식은 빈 공간에 대한 필드 방정식에서 따를 수 있습니다.

알버트 아인슈타인은 지구 운동 방정식이 빈 공간에 대한 필드 방정식, 즉 리치 곡률이 사라진다는 사실에서 도출될 수 있다고 믿었다.그는 다음과 같이 ^[5]썼다.

임의로 큰 중력 질량의 경우로 일반화된 이 운동 법칙은 빈 공간의 필드 방정식에서만 도출될 수 있다는 것이 입증되었습니다.이 도출에 따르면 운동법칙은 생성되는 질량점 밖 어디에서도 단수라는 조건에 의해 암시된다.

그리고

원래의 상대론적 중력 이론의 결점 중 하나는 그것이 필드 이론으로서 완전하지 않다는 것이다; 그것은 입자의 운동 법칙이 측지학의 방정식에 의해 주어진다는 독립적인 전제를 도입했다.
완전한 장 이론은 입자와 운동의 개념이 아닌 장만을 알고 있다.이는 필드로부터 독립적으로 존재할 수 없으며 필드의 일부로 취급되어야 합니다.
특이점이 없는 입자의 설명을 바탕으로 복합 문제를 논리적으로 더 만족스럽게 처리할 수 있는 가능성이 있다.그 분야의 문제와 그 운동의 문제가 일치한다.

물리학자들과 철학자들 모두 종종 중력 특이점의 움직임을 묘사하기 위해 측지방정식을 필드 방정식으로부터 얻을 수 있다는 주장을 반복해 왔지만, ^[7]이 주장은 여전히 논쟁의 여지가 있다.데이비드 말라멘트에 따르면, "지오데식 원리는 일반 상대성 이론에서 정리로 회복될 수 있지만, 아인슈타인의 방정식(또는 보존 원리)만의 결과는 아니다.문제의 ^[8]정리를 추진하려면 다른 전제 조건이 필요합니다."논란의 여지가 적은 것은 필드 방정식이 ^[9]점-단일성의 움직임과 구별되는 유체 또는 먼지의 움직임을 결정한다는 개념이다.

하전 입자의 경우로 확장

등가원리에서 측지방정식을 도출할 때 국소 관성좌표계의 입자가 가속하지 않는다고 가정했다.그러나 실제로는 입자가 충전되어 로렌츠 힘에 따라 국소적으로 가속될 수 있습니다.즉, 다음과 같습니다.

{d^{2}X^{\mu}={q \over m}{F^{\mu \display}}{dX^{\alpha }{\eta _{\alpha \display}}}}.

와 함께

{\alpha \display} {dX^{\alpha } \over ds} {dX^{\beta} \over ds} =-1

민코프스키 텐서 $\eta _{\alpha \beta }$ β $\eta _{\alpha \beta }$ {\ $displaystyle \eta$ _ ${\alpha \beta$ }}는 $\eta _{\alpha \beta }$ 다음과 같이 구한다.

\displaystyle \eta _{\alpha \display}=syslog {pmatrix}-1&0&0&0\0&0&1&0&1\end{pmatrix}

이 마지막 세 개의 방정식은 자유낙하 ^[2]시 가속도가 0이라고 가정하는 대신 일반상대성 이론에서 운동 방정식의 도출을 위한 시작점으로 사용될 수 있습니다.민코프스키 텐서는 여기에 포함되기 때문에 일반상대성 이론에서 미터법 텐서라고 불리는 것을 도입할 필요가 있다.메트릭 텐서 g는 대칭이며 자유 낙하 시 국소적으로 민코프스키 텐서로 감소한다.운동 방정식은 다음과 같습니다.^[10]

\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}=-\Gamma ^{\mu }_{\alpha \alpha } \over ds} \over ds} +{q \over m^{\mu } \over ds} \oper ds } \oper ds } \oper ds ^{\oper ds } \ } } } }}

와 함께

{g_{\alpha \alpha }}{\over ds}{display ^{\alpha } \over ds}=-1

이 마지막 방정식은 입자가 시간 같은 측지선을 따라 움직이고 있다는 것을 나타냅니다; 대신 광자와 같은 질량이 없는 입자는 늘 측지선을 따릅니다(마지막 방정식의 오른쪽에서 -1을 0으로 바꿉니다).마지막 두 방정식은 적절한 시간에 대해 구별되는 경우 서로 일관성이 유지되는 것이 중요합니다. Christofel 기호에 대한 다음 공식은 일관성을 보장합니다.

\displaystyle \Gamma ^{\gamma }_{\alpha \gamma }=g^{\gamma \gamma }\left\frac {\camma }}+{\frac {\camma g_{\cammapa }\camma } } ={{\cammapa} } } - {\}

이 마지막 방정식은 전자기장을 포함하지 않으며 전자기장이 사라지기 때문에 한계에서도 적용할 수 있습니다.위 첨자가 있는 문자 g는 미터법 텐서의 역수를 나타낸다.일반상대성이론에서 텐서의 지수는 각각 미터법 텐서 또는 그 역수축에 의해 낮아지고 상승한다.

정지 간격의 곡선으로서의 측지학

두 사건 사이의 측지선은 또한 정지 간격(4차원 "길이")을 갖는 두 사건을 연결하는 곡선으로도 설명할 수 있다.여기서 정지상태는 이 항이 변동의 미적분학에서 사용되는 의미, 즉 곡선을 따라 간격이 측지선 근처에 있는 곡선들 사이에서 최소한으로 변화한다는 의미에 사용된다.

민코프스키 공간에는 주어진 사건 쌍을 연결하는 측지학이 하나뿐이며, 시간적 측지학에서는 이것이 두 사건 사이의 적절한 시간이 가장 긴 곡선이다.곡면 시공간에서, 넓게 분리된 한 쌍의 사건 사이에 하나 이상의 시간 같은 측지학이 있을 수 있다.이러한 경우, 여러 측지학에서 적절한 시간은 일반적으로 동일하지 않습니다.이러한 경우에 일부 측지학에서는 두 이벤트를 연결하고 측지학에 가까운 곡선이 ^[11]측지학보다 더 길거나 더 짧은 적절한 시간을 가질 수 있습니다.

두 사건을 통과하는 공간 같은 측지선의 경우, 민코프스키 공간에서도 측지선보다 길이가 길거나 짧은 두 사건을 통과하는 곡선이 항상 근처에 있다.민코프스키 공간에서 측지선은 직선이 될 것이다.관성 기준 프레임에서 순수하게 공간적으로(즉, 시간 좌표를 변경하지 않음) 측지선과 다른 곡선은 측지선보다 적절한 길이가 길지만, 그러한 기준 프레임에서 순수하게 시간적으로(즉, 공간 좌표를 변경하지 않음) 그러한 곡선은 보다 짧은 적절한 길이를 갖는다.길이.

시공간에서 곡선의 간격은

l=\int {\dot g_{\mu \nu}{\dot {x}{\dot {x}}{\nu}\right }},ds\.

그리고 오일러-라그랑주 방정식은

{\displaystyle {d \over ds}{\dot {x}{\alpha}}{\dot {x}{\mu }{\dot {x}}{\right }}}{\dot {x}}{\right }}{\dot left {\dot }{\mu}}{\dot } {\dot } {\mu } {\nu } {\nu } } {\right {\lefore lefore lefore ds} {\right {\

어떤 계산 후에

2\left(\Gamma ^{\mu \nu }{\dot {x}^{\mu }{\dot {x}^{\nu}+{\dot {x}^{\nu}\right}=U^{\lambda}{d \over ds}\ln U_{\nu }U^{\nu } \ ,

$U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ 서 U $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ x $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ μ $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ . { $displaystyle$ U $^{\mu$ } = { $x}^{\mu$ } $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$ }

증명

목표는 가치의 곡선을 찾는 것이다.

l=\int d\int {d\int \over d\phi },d\phi =\int {(d\phi)^{2} \over (d\phi)^{2},d\phi =\int {-g_{\mu \nu }\nu over d\int ^{\nu } \nu } \nu } over d\nu

정지해 있습니다.

f=paramrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}{\dot {x}}{\nu }}

이러한 목표는 f에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 계산함으로써 달성될 수 있다.

d

d

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

∂

f

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

=

xx

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

λdisplaydisplaydisplay

f λdisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d f \

displaystyle { d

\ d \ d \ detplaystyle { d \ d \ d \ d \ d \ det { \ det { \

det

{ \ det { \

det

{ x

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

\

det

f의 식을 오일러-라그랑주 방정식에 대입하면 (적분 l의 값을 정상으로 만든다)

{\displaystyle {d\over d\dot}{\dot {g_{\mu \nu}{\dot {x}}{\dot {x}}{\nu}}}\dot \dot \dot {x}}{\dot {x}}}{\nu}}}}{\dot {\dot {dot {\dot {dot {dot}}}}{\dot {dot {\dot}}}{\dot {\dot {dot}}{\mu}}{{\dot

${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ d d ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ μ μ ${d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$ $1$ $도트 {x}^{\mu}{\dot {x}^{\nu}\over 2sqrt {-g_{\mu \nu}{\dot {x}^{\nu}}}}\qquad \qquad (1)$

${\displaystyle {d \over d\mu \nu }\dot ^{\mu }{\dot {x}^{\nu }{\dot {x}{\mu }\dot ^{\nu }{\dot }\dot ^{\nu }\displaystypa ^{\mu } } over du } {\mu } {\dotsu } {\mu } {\mu } {\d} } {\lotsuad \qquad (2)$

${d \over d\dot}\dot {x}^{\dot \nu}+g_{\mu \dot {x}^{\mu }\over {\dot {x}^{\mu \nu}}{\dot {\dot {x}}}}} {\dot {\nu}}} {\dot {\dot {\nu}}}} {\dot {\dot {\nu} {\nu} {\nu}}}} {\dot {\nu$

${{displaystyle {-g_{\mu \nu }{\dot {x}^{\nu}}{\dot {x}{\dot {x}}{\dot {x}}{\nu}}+g_{\dot {\mu \nu}}{{\dot {x}}}}{\mu}}{\dot {g}}}}}}}-\nu }}={g_{\mu \nu},\dot {x}^{\dot {x}^{\mu \nu}{\dot {x}{\mu }{\dot {x}}{\dot {x}}}{\mu }}}}}}\qad \quad \quad \quad \quad {qad}(4)$

${{displaystyle {(-g_{\mu \nu }{\dot {x}^{\nu}}{\dot {x}}{\dot {x}{\nu}}+g_{\mu \dot {x}{\nu}}}{\dot {x}}{\mu}}}\over dot dot {g}{{{\mu}{{{\mu}}{{{{{\mu}}}}}}{{{{\mu}}}}}}}{{{\=g_{\mu \nu ,\dot {x}^{\mu }{\dot {x}^{\nu }\qquad \qquad (5)}$

${\displaystyle(g_{\mu \nu }{\dot {x}^{\nu})(g_{\dot {x}^{\nu}{\dot {x})+g_{\mu \nu}{\dot {x}}{\dot {\mu}^{\dot {x})$

=(g_{\mu \nu,\dot {x}^{\nu})(g_{\alpha \nu}{\dot {x}}{\alpha }{\dot {x})+{1 \over2}(g_{\nu\nu\dot {x}){\nu}}{\dot } {x}} {\nu} {\dot } } } } } {\dot

$g_{\dot {x}^{\mu}{\dot {x}^{\nu}+g_{\dot {x}^{\mu}{\dot {x}{\nu}{\dot {x}{\nu}{\dot {x}}}{-g_{\mu}{\dot {\mu}}{\mu}}{{\mu}}}{{{\dot {x}}}}}}}{\dot {x}}}}}}}}}\dot {x} {{\dots}}\qquad \qquad (7)$

${\displaystyle 2(\Gamma _{\dot \mu \nu }{\dot {x}^{\nu}+{\dot {x}_{\dot {x}}_{\dot {x}})=dot {x}_{\dot {\dot {x}}{\dot {\nu}}{\nu}}}}{{\dot {\nu}}}}}}}{dot {dot {\dot {\dot }} {\dot {\nu}}qquad \qquad (8)$

이것은 측지학 방정식에서 한 발짝만 떨어져 있다.

파라미터 s가 아핀으로 선택되면 위의 방정식의 오른쪽은 사라집니다( $U u$ U ${\$ $_$ { \ $nu } U$ ^ { \ nu $U_{\nu }U^{\nu }$ $}$ ）。마지막으로 측지방정식이 있습니다.

\Displaystyle \Gamma ^{\mu \nu }{\dot {x}^{\mu }+{\dot {x}^{\nu}=0\}

자동 패러렐 전송을 사용한 도출

측지방정식은 곡선의 자동평행수송에서 대체적으로 도출할 수 있다.이 추론은 프레데릭 P의 강의에 기초하고 있다.We-Heraeus International Winter School for Gravity & Light의 슐러.

( $(M,O,A,\nabla )$ , $(M,O,A,\nabla )$ , $(M,O,A,\nabla )$ , $(M,O,A,\nabla )$ ) $(M,O,A,\nabla )$ { $displaystyle ( M$ , $O$ , $A$ , \ $nabla$ ) }를 $(M,O,A,\nabla )$ 연결 매끄러운 다지관, $（$ \ $displaystyle$ \ gamma $\gamma$ ）로 $\gamma$ $\gamma$ $(M,O,A,\nabla )$ 곡선은 $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ v $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ v $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ { $displaystyle$ \ $displayla$ _ { v _ { v _ { \ displaystyle } $v$ _ { \ $displaysla$ } $=$ 0 $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ 인 $경우$ 에만 자동 전송된다고 합니다.

측지방정식을 도출하려면 차트 $(U,x)\in A$ , $(U,x)\in A$ ) ) $(U,x)\in A$ A $(U,x)\in A$ \ $display$ ( $U$ , $x$ $(U,x)\in A$ $in$ A :

\displaystyle _{\dot {\dot }^{i}{\frac}{\frac x^{i}}}}\leftfrac {\dots }^{m}{\frac x^{m}}\right}=0}

Using the $C^{\infty }$ linearity and the Leibniz rule:

{\dot } {{i} \left(\frac {\frac} {\dot x^{i} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} + {\dot } {\i} {\frac} {\frac} {\fr} {\frac

접속이 함수에 어떻게 작용하는지( 「 ${\dot {\gamma }}^{m}$ \ $displaystyle$ \ $dot$ \ $gamma$ } }^{ $m}$ )를 사용하고, 접속계수 함수의 도움을 받아 두 번째 항을 확장합니다.

{\dot } {{i} {\frac {\frac} {\frac x^{m}} + {\dot {{i} {\dot } {{m} {\dot } {{m} \ Gamma _{im } {{frac} {\frac} {\frac

첫 번째 용어는 ${\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}$ m ${\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}$ x m { $displaystyle$ \ $ddot$ \ $gamma }^{ m$ } { \ $frac$ \ partial } { \ $partial$ x ^ { m $}$ } ${\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}$ . 。더미 인덱스의 이름을 변경합니다.

{\dot }{q} {\frac x^{q} + {\dot {\frac } {{i} {\dot } {{m} {\gamma } {{q} {\frac } {\frac x^{q} =0

마침내 측지 방정식에 도달했습니다.

{\dot }^{q}+{\dot {\dot }^{i}{\dot {\dot }^{m}\Gamma _{q}=0

「」를 참조해 주세요.

참고 문헌

Steven Weinberg, 중력과 우주론: 일반상대성이론의 원리와 응용, 뉴욕, 존 와일리 & 선스(1972) ISBN 0-471-92567-5.3장을 참조해 주세요.
Lev D. Landau와 Evgenii M. Lifschitz, The Classical Theory of Fields, (1973) Pergamon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7 섹션 87 참조.
찰스 W. 미스너, 킵 S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.
버나드 F. Schutz, 일반상대성이론의 제1코스(1985; 2002) 케임브리지 대학 출판부: 영국 케임브리지; ISBN 0-521-27703-5.6장을 참조해 주세요.
로버트 M. Wald, General Relativity, (1984) 시카고 대학 출판사, 시카고.섹션 3.3을 참조하십시오.

레퍼런스

^ 윌, 클리포드중력물리학의 이론과 실험, 페이지 143 (캠브리지 대학 출판부 1993).
^ ^a ^b 와인버그, 스티븐중력과 우주론: 일반 상대성 이론의 원리와 응용 (와일리 1972).
^ 와인버그, 스티븐중력과 우주론: 일반 상대성 이론의 원리와 응용, 페이지 71, 방정식 3.2.4 (와일리 1972).
^ 플레반스키, 예지, 크라신스키, 안제이일반상대성과 우주론의 입문, 페이지 34 (Cambridge University Press, 2006).
^ 아인슈타인, 알버트상대성의 의미, 페이지 113 (심리학 프레스 2003)
^ Einstein, A.; Rosen, N. (1 July 1935). "The Particle Problem in the General Theory of Relativity". Physical Review. 48 (1): 76. Bibcode:1935PhRv...48...73E. doi:10.1103/PhysRev.48.73. 및 ER - 아인슈타인 로젠 문서 ER=EPR
^ Tamir, M. "원칙 입증: 아인슈타인의 이론에서 측지역학을 너무 심각하게 받아들이다", "현대 물리학의 역사와 철학 연구 43(2), 137–154(2012).
^ 헛소리야, 데이비드"정확한 과학에서의 분석과 해석의 일반 상대성 이론에서의 '지오데식 원리'에 관한 비고: 윌리엄 데모풀로스를 기리는 에세이, 페이지 245-252 (2012 스프링거).
^ 플레반스키, 예지, 크라신스키, 안제이일반상대성과 우주론에 대한 입문, 페이지 143(Cambridge University Press, 2006).
^ Wald, R.M. (1984). General Relativity. Eq. 4.3.2: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.{{cite book}}: CS1 유지보수: 위치(링크)
^ Charles W. Misner; Kip Thorne; John Archibald Wheeler (1973). Gravitation. W. H. Freeman. pp. 316, 318–319. ISBN 0-7167-0344-0.

[1] 윌, 클리포드중력물리학의 이론과 실험, 페이지 143 (캠브리지 대학 출판부 1993).

[Weinberg-2] 와인버그, 스티븐중력과 우주론: 일반 상대성 이론의 원리와 응용 (와일리 1972).

[3] 와인버그, 스티븐중력과 우주론: 일반 상대성 이론의 원리와 응용, 페이지 71, 방정식 3.2.4 (와일리 1972).

[4] 플레반스키, 예지, 크라신스키, 안제이일반상대성과 우주론의 입문, 페이지 34 (Cambridge University Press, 2006).

[5] 아인슈타인, 알버트상대성의 의미, 페이지 113 (심리학 프레스 2003)

[6] Einstein, A.; Rosen, N. (1 July 1935). "The Particle Problem in the General Theory of Relativity". Physical Review. 48 (1): 76. Bibcode:1935PhRv...48...73E. doi:10.1103/PhysRev.48.73. 및 ER - 아인슈타인 로젠 문서 ER=EPR

[7] Tamir, M. "원칙 입증: 아인슈타인의 이론에서 측지역학을 너무 심각하게 받아들이다", "현대 물리학의 역사와 철학 연구 43(2), 137–154(2012).

[8] 헛소리야, 데이비드"정확한 과학에서의 분석과 해석의 일반 상대성 이론에서의 '지오데식 원리'에 관한 비고: 윌리엄 데모풀로스를 기리는 에세이, 페이지 245-252 (2012 스프링거).

[9] 플레반스키, 예지, 크라신스키, 안제이일반상대성과 우주론에 대한 입문, 페이지 143(Cambridge University Press, 2006).

[10] Wald, R.M. (1984). General Relativity. Eq. 4.3.2: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.{{cite book}}: CS1 유지보수: 위치(링크)

[11] Charles W. Misner; Kip Thorne; John Archibald Wheeler (1973). Gravitation. W. H. Freeman. pp. 316, 318–319. ISBN 0-7167-0344-0.

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수식

좌표 시간을 매개 변수로 사용하는 등가 수학식

등가원칙에서 직접 도출

동작을 통한 측지 방정식 도출

운동 방정식은 빈 공간에 대한 필드 방정식에서 따를 수 있습니다.

하전 입자의 경우로 확장

정지 간격의 곡선으로서의 측지학

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