접선 공간

수학에서 다지관의 접선 공간은 3차원의 표면과 2차원의 곡선에 접선 평면의 개념을 더 높은 차원으로 일반화한다. 물리학의 맥락에서 한 지점에서 다지관에 대한 접선 공간은 다지관 위에서 움직이는 입자의 가능한 속도 공간으로 볼 수 있다.

비공식 설명

차동 기하학에서, 다른 다지관의 모든$$ $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 접선 공간, 즉 접선 공간, 즉 $접선적$으로 x {\$displaystyle x$을 통과할 수 있는 가능한 방향을 직관적으로 포함하는 실제 벡터 공간. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 접선 공간의 요소를 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에서 접선 벡터라고 한다$$$.$ 이것은 유클리드 공간에서 주어진 초기 지점에 근거한 벡터 개념을 일반화한 것이다. 연결된 다지관의 모든 점에서 접선 공간의 치수는 다지관 자체의 치수와 동일하다.

예를 들어, 주어진 다지관이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2$} -sphere인 경우, 어떤 점에서 접선 공간을 해당 지점에서 구체와 접촉하고 그 지점을 통과하는 구의 반경에 수직인 평면으로 그려볼 수 있다. 더 일반적으로, 만약 주어진 다지관이 유클리드 공간의 내장형 하위매니폴드로 생각된다면, 사람들은 이런 문자 그대로의 접선 공간을 상상할 수 있다. 이것은 평행 운송을 정의하기 위한 전통적인 접근방식이었다. 미분 기하학 및 일반 상대성 이론의 많은 저자들이 그것을 사용한다.^[1][2] 보다 엄밀하게 말하면, 이것은 현대 용어로 기술된 접선 벡터의 공간과는 구별되는 부속 접선 공간을 정의한다.

대조적으로 대수 기하학에서는 $적어도{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$ 그 자체의$$ 치수를 갖는 벡터 공간을 주는$$ 대수적 $다양성{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V}$의 지점에 접선 공간의 본질적 정의가 있다. 접선 공간의 치수가 $정확히{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$의 치수가 되는 $p$ ${\displaystyle p}$을(를) 비송음 점이라고 하며, 다른 점을 단수 점이라고 한다. 예를 들어, 그 자체를 가로지르는 곡선은 그 점에 고유한 접선선을 가지고 있지 않다. $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 단수 지점은 "다지관이 되는 테스트"가 실패한 지점이다$$. 자리스키 접선 공간을 참조하십시오.

다지관의 접선 공간이 도입되면 공간을 움직이는 입자의 속도장을 추상화하는 벡터장을 정의할 수 있다. 벡터 장은 다지관의 모든 지점에 그 지점의 접선 공간으로부터 벡터를 매끄럽게 부착한다. 그러한 벡터 장은 다지관의 일반화된 일반적인 미분 방정식을 정의하는 역할을 한다: 그러한 미분 방정식의 해법은 어느 지점에서 파생되는 것이든 벡터장이 그 지점에 부착하는 접선 벡터와 동일한 다지관의 차별성 곡선이다.

다지관의 모든 접선 공간은 "함께 글레이징"하여 다지관의 접선다발이라고 하는 원래 다지관의 두 배의 치수를 가진 새로운 다지관을 형성할 수 있다.

형식 정의

위의 비공식적인 설명은 접선 벡터가 주변 공간에 "밖으로 내밀" 수 있도록$$ 주변 벡터 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 삽입되는 다지관의 능력에 의존한다. 그러나 다지관 그 자체만으로 접선 공간의 개념을 정의하는 것이 더 편리하다.^[3]

다지관의 접선 공간을 정의하는 다양한 동등한 방법이 있다. 곡선의 속도를 통한 정의는 직관적으로 가장 단순하지만, 또한 작업하기가 가장 번거롭기도 하다. 보다 우아하고 추상적인 접근법이 아래에 설명되어 있다.

접선 곡선을 통한 정의

내장형 manifold 그림에서 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 접선 벡터는 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$을 통과하는 곡선의 속도로 간주된다$.$ 따라서 우리는 $x$에서 서로 접선되는$$ 동안 x ${\$displaysty x}를 통과하는 곡선의 등가 등급으로 접선 벡터를 정의할 수 있다.$(\backslash$$displaystyle$ x$})$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 서로 다른$$ 다지관(평활도 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle k\geq$ 1$\})$이고 $그{\displaystyle }$ x${\displaystyle m}$ M$${\$displaysty$$x$\$in$ M$}$을$($를)이라고 가정하고 좌표 ${\displaystyle \phi }$: U${\displaystyle }$→$$을 선택한다$.$$U\to \mathbb {R} ^{n}}$, where ${\displaystyle U}$ is an open subset of ${\displaystyle M}$ containing ${\displaystyle x}$. Suppose further that two curves ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$ with ${\displaystyle {\gamma _$${1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$ are given such that both ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$ are differentiable in the ordinary sense (we call these differentiable curves initialized at ${\displaystyle x}$). Then ${\displaystyle \gamma _{1}}$ and ${\displaystyle \gamma _{2}}$ are said to be equivalent at ${\displaystyle 0}$ if and only if the derivatives of ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$ and ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$ at ${\displaystyle 0}$ coincide. 이것은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 초기화된 모든 다른 곡선 집합에 동등성 관계를 정의하며$,$ 그러한 곡선의 동등성 클래스는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 접선 벡터로 알려져 있다$.$ 이러한 곡선 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$의 동등성 클래스는 $\gamma {\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ ( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \gamma '(0)}$로 표시된다$.$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{x}M$에 표시된$$$x{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $x}$에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 접선 공간은 x ${\displaystyle x}$의 모든 접선 벡터 집합으로 정의되며$,$ 좌표도 $chart{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$: : :$U\to \mathb{R} ^{n$

$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle T_{x}M$에서 벡터 공간 연산을 정의하려면 차트 $chart{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$:U$\to \mathbb {R}$^{$n}}$을(를) 정의하고$$ $맵{\displaystyle \mathrm{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$x : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}{}_{}}$ → ${\displaystyle {}^{}}${\$daystyle \mathrmatrm {d} {\varphi }_{x}:$$T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ by ${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left.$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right _{t=0},}$ where ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$. Again, one needs to check that this construction does not depend on the particular chart ${\displaystyle \varphi :$$U\to \mathb {R} ^{n}}$ 및 곡선$$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$이(가) 사용 중이지만$$, 실제로는 사용되지 않는다.

The map ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ turns out to be bijective and may be used to transfer the vector-space operations on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ over to ${\displaystyle T_{x}M}$, thus turning the latter set into an ${\displaystyle n}$-dimensional real vector space

파생어를 통한 정의

$이제{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$이(가) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\infit }}$ 다지관이라고$$$$ 가정합시다. ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 값 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$M{\displaystyle }$\$to \mathb {R} }$은(는) 모든 좌표 차트에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle {}^{}}$과 같은 $경우$에만 C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\$$displaystyle$${C^{\$$inflit }}}(M)$에 속한다고 한다$$$.$$U\to \mathb{R}$^{$n$ 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ {\mathrm{\phi }}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle \phi }$[ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$] ${\displaystyle \subseteq }$ R ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$\circp $\varphi [U]\subseteq \mathb {R} |{n}}}}}}}$는 무한히 다르다$$$.$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle {C^{\infit }}}}}(M)$은 점괘 산물 및 함수와 스칼라 곱의 합과 관련하여 실제 연관 대수라는 점에 유의하십시오.

점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ x$\in M}$을(를) 선택하십시오$.$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 파생은 선형 지도 $D{\displaystyle }$: ${\displaystyle C{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$→ R ${\$$라이프니즈$ 아이덴티티를 만족하는$\c^{\\nft$}($M)\mathb {R}에$

${\displaystyle \f,g\in {C^{\\infit }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$

미적분학의 생산 규칙을 본떠서 만든 것이다.

(모든 동일 상수 함수 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{constance}}$, ${\displaystyle f={\text{const},}$에 대해 D${\displaystyle (}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle D(f)=0}$ ${\displaystyle \mathrm{뒤}}$에 온다.$$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 파생 집합에 대한 추가 및 스칼라 곱을 정의한$$ 경우

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ D ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (f}$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\text{df}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ D ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}f}$) ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f)\mathrel {\\\\stackrel {\df}}{=}}}}{D}(f)+{D}($f) 및 {D$}(f$$)$
• ${\displaystyle }$(${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle D}$)${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\text{df}}\lambda }$ D${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ) $displaystyle (\lambda \cdot$ D$)(f$)(f$)\mathrel {\stackrel {\df}{$df}}}}}} $\lambda \cdot$ D$(f$

그런 다음 실제 벡터 공간을 얻는다. 이 공간은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 접선 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ M ${\displaystyle T_{x}M}$으로 정의된다$.$

일반화

예를 들어, 복잡한 다지관과 대수적 다양성에 대한 이 정의의 일반화가 가능하다. 그러나 함수의 전체 대수에서$$ $파생$된 D ${\displaystyle D$}을(를) 조사하는 대신 함수의 세균 수준에서 일을 해야 한다. 그 이유는 이러한 구조물에 대해 구조 피복이 좋지 않을 수 있기 때문이다. For example, let ${\displaystyle X}$ be an algebraic variety with structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Then the Zariski tangent space at a point ${\displaystyle p\in X}$ is the collection of all ${\displaystyle \mathbb {k} }$-derivations ${\displaystyle$$D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$, where ${\displaystyle \mathbb {k} }$ is the ground field and ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$ is the stalk of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ at ${\displaystyle p}$.

정의의 등가성

For ${\displaystyle x\in M}$ and a differentiable curve ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ such that ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ define ${\displaystyle {D_{\gamma }}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (f\circ \gamma )'(0)}$ ($여기$서 f ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\circle \gamma}$은$($- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle(-1,1$)에서 R ${\$까지의 함수이기 때문에 일반적인 의미로 파생상품을 취한다. $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$이(가) $x{\displaystyle }$,${\displaystyle x,}$ 지점에서의 파생이며$$$$ 등가 곡선이 동일한 파생값을 산출한다는 것을 확인할 수 있다. Thus, for an equivalence class ${\displaystyle \gamma '(0),}$ we can define ${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (f\circ \gamma )'(0),}$ where the curve ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ has been 임의로 선택한 지도 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 0}$)${\displaystyle {}^{}\mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma {}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ′ ′${$ ( ${\displaystyle 0_{}}$ ) {\$displaystyle \gamma '(0$)\$mapsto$D_{\$gamma$$'0)}}}}}}}$는 등가 등급의 공간 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$γ ($){\$$displaystystylema$$$'$0')$과 파생된 지점 사이의 벡터 공간 이형이다$.$

코탄젠트 공간을 통한 정의

Again, we start with a ${\displaystyle C^{\infty }}$ manifold ${\displaystyle M}$ and a point ${\displaystyle x\in M}$. Consider the ideal ${\displaystyle I}$ of ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ that consists of all smooth functions ${\displaystyle f}$ vanishing at ${\disp$$laystyle x}$, i.e., ${\displaystyle f(x)=0}$. Then ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle I^{2}}$ are both real vector spaces, and the quotient space ${\displaystyle I/I^{2}}$ can be shown to be isomorphic to the cotangent space ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$ through t테일러의 정리를 이용했어 접선 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$을(를) $I{\displaystyle /{I\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$의 이중 공간으로 정의할 수 있다$$$.$

이 정의가 가장 추상적이지만, 예를 들어 대수 기하학에서 고려하는 품종과 같은 다른 설정으로 가장 쉽게 이전할 수 있는 정의이기도 하다.

If ${\displaystyle D}$ is a derivation at ${\displaystyle x}$, then ${\displaystyle D(f)=0}$ for every ${\displaystyle f\in I^{2}}$, which means that ${\displaystyle D}$ gives rise to a linear map ${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$. Conversely, if ${\displaystyle r:I}$${\$$I/I^{2}\to \mathb$ {$R}}}$이(가) 선형 지도인 다음, $D{\displaystyle (f}$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ r${\displaystyle }$( ${\displaystyle (f}$- f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {I\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\$$+I^{2}\right)}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 파생어를 정의한다$.$ 이는 유도를 통해 정의된 접선 공간과 등가선 공간을 통해 정의된 접선 공간 사이의 동등성을 산출한다.

특성.

If ${\displaystyle M}$ is an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, then ${\displaystyle M}$ is a ${\displaystyle C^{\infty }}$ manifold in a natural manner (take coordinate charts to be identity maps on open subsets of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), and the tangent spaces는 모두 $자연$스럽게 ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R}$ ^{$n}$ 로 식별된다$.$

방향 유도체로서의 접선 벡터

접선 벡터에 대해 생각하는 또 다른 방법은 방향 유도체로서이다. ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$에 $벡터{\displaystyle }$ v ${\displaystyle x\$in$$\mathb {$R}$ ^{n}}}을(를) 지정하면, 다음$$ $기준점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 해당하는 방향 유도체를 정의한다.

${\displaystyle \f\in {C^{\in}}}(\mathb {R}^{n}):\qquad(D_{v}f)(x)\mathrel {\stackrel {\df}}{df}}}}}}} \왼쪽.{\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}{t}}[f(x+tv)]]\right _{t=0}=\sum _{i=1}^{nv^{i}{\frac {\frac {\f}{\propert x^{i}}}}(x).}$

이 지도는 $당연히{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$에서 파생된 것이다$.$ 더욱이 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 한 지점에 있는 모든 파생은 이러한$$ 형태의 것이다. 따라서 벡터(한 점에서 접선 벡터로 간주)와 한 점에서 파생되는 것 사이에는 일대일 일치성이 있다.

한 지점에서 일반 다지관의 접선 벡터는 그 지점에서 파생으로 정의될 수 있으므로, 그들을 방향 유도체로 생각하는 것은 당연하다. $구체적$으로는 v$${\$displaystyle v$}이($$가) x$${\$displaystyle x}$ 지점에서$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과(와) 접선$$ 벡터인 경우, $방향$ 파생 모델 ${\displaystyle D_{}}$ v ${\$ $D_$${v}$을(를) v ${\displaystytime$ v$}$ 방향으로$$ 정의하십시오.

${\displaystyle \f\in {C^{\\infit }}(M):\qquad {D_{v}(f)\mathrel {\stackrel{df}}{\text{df}}}}}}}{=}v(f).}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $v$$}$을(를) x ${\displaystyle$ x$\},$ 즉 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( 0$){\displaystyle v=\gamma '0$에서 초기화된$$ 다른 곡선 ${\displaystyle {by}_{}}$${\$$displaystystyle d_{v}$의 초기 속도로 생각한다면, 대신 다음과 같이 정의하십시오$.$

${\displaystyle \f\in {C^{\\inflt }}(M):\qquad {D_{v}(f)\mathrel {\stackrel{\df}}{=}}}}}}}{\circampgamma )(0).}$

점의 접선 공간 기준

$∞{\$ 다지관$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 경우$,$ 차트 $\phi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$U\to \mathbb {R} ^{n}}$ is given with ${\displaystyle p\in U}$, then one can define an ordered basis ${\displaystyle \left\{\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)_{p},\dots ,\left({\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)_{p}\right\}}$ of ${\displaystyle T_{}}$${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ 기준$$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

그런 다음 모든 접선 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle v\in T_{p}M}$에 대해$,$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}v^{i}\cdot \왼쪽 \frac \\nflict }{\flict x^{i}}\p}}}}$

This formula therefore expresses ${\displaystyle v}$ as a linear combination of the basis tangent vectors ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}\in T_{p}M}$ defined by the coordinate chart ${\displaystyle \varphi :$$U\to \mathb{R} ^{n$^[4]

지도의 파생상품

매끄러운(또는 다른) 지도 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle \varphi$:부드러운(또는 다른) 다지관 사이의$$ $M\to N}$은(는) 해당 접선 공간 사이의 자연 선형 지도를 유도한다.

${\daystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

접선 공간이 서로 다른 곡선을 통해 정의되는 경우 이 지도는

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}(\mathrel '(0)))\mathrel {\stackrel {\text{df}}}}{=}}}}}}}}}\varphi \mathrmathy }(0).}$

대신, 접선 공간이 파생을 통해 정의되는 경우, 이 지도는 다음과 같이 정의된다.

${\desplaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}}}{=}D(f\circle \varphi ).}$

선형 지도 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\$은(는$$) x ${\displaystyle x}$에서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi }$의 파생, 총 파생, 차등 또는 푸시포워드라고 다양하게 불린다$.$ 다양한 다른 명칭을 사용하여 자주 표현된다.

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x)).}$

어떤 의미에서 파생상품은 $x{\displaystyle }${\$displaystyle$ $x}$ 근처에$$ 있는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 최상의 선형 근사치 입니다$.$$참고{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ N$=\mathb${$R$$\}\},$ 맵 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ = ${\displaystyle X{}_{}}$: ${\displaystyle T\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ → R ${\$$T_{x}M\to \mathb {R}}$은(는) 함수 $differential{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 차등 개념과 일치한다$.$ 현지 좌표에서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$}의 파생어는 Jacobian에 의해 주어진다$$.

파생상품 지도에 관한 중요한 결과는 다음과 같다.

정리. $만약{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle M}$ → ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi$:$M\to N}$은$($는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 x ${\displaystyle x}$에 있는 로컬 차이점형이며, 그 다음 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$: T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ T ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$) N ${\\displaysty \mathrm {d} {\varphi }_{x}:$$T_{x}M\to T_{\varphi (x)}$$N}$은 선형 이형성이다. 반대로 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi$:$M\to N}$은(는) 지속적으로 다를 수 있으며$$ $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\${\$varphi }_{x}}$은(는) 이소형(Isomorphism)이며, 그러면$${$${\$displaystyle \varphi$$}$이 $이미지$에 U ${\\\\displaystystystysty$}을$$(으$$$)$ 매핑하는 오픈$$ 인접 $U}$이 있다.

이것은 다지관 사이의 지도에 역함수 정리를 일반화한 것이다.

참고 항목

• 좌표유인근거
• 코탄젠트 공간
• 곡선의 차등 기하학
• 지수지도
• 벡터 공간

메모들

참조

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 107, Providence: American Mathematical Society.
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 93, Providence: American Mathematical Society.
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

외부 링크

• MathWorld의 접선 평면