하우스도르프 차원

정수 이외의 치수의 예제입니다.Koch 곡선의 처음 4회 반복. 각 반복 후 모든 원래 선 세그먼트가 원본 길이의 1/3인 자체 유사 복사본인 4회로 바뀝니다.하우스도르프 차원의 한 형식주의는 스케일 계수(S = 3)와 자기 유사 객체의 수(N = 4)를 사용하여 D = (log N)/(log S) = (log 3) 1 1.26이 ^[1]되는 첫 번째 반복 후의 치수 D를 계산한다.

수학에서 하우스도르프 차원(Hausdorf dimension)은 1918년 수학자 펠릭스 하우스도르프에 ^[2]의해 처음 소개된 거칠기, 즉 프랙탈 차원(fractal dimension)예를 들어 단일점의 하우스도르프 치수는 0, 선분은 1, 정사각형은 2, 큐브는 3이다.즉, 매끄러운 모양이나 모서리 수가 적은 모양(기하학 및 과학의 모양)을 정의하는 점 집합의 경우 하우스도르프 차원은 위상 차원이라고도 하는 일반적인 차원 감각에 일치하는 정수입니다.그러나 다른 단순하지 않은 객체의 치수를 계산할 수 있는 공식도 개발되었으며, 여기서 프랙탈을 포함한 특정 객체의 치수는 정수 이외의 하우스도르프 치수를 갖는다는 결론을 도출할 수 있다.Abram Samoilovitch Besicovitch가 매우 불규칙하거나 "거친" 세트에 대한 치수를 계산할 수 있도록 한 상당한 기술적 진보 때문에 이 치수는 일반적으로 하우스도르프-베시코비치 차원이라고도 한다.

구체적으로는 하우스도르프 치수는 메트릭 공간과 관련된 치수 수, 즉 모든 부재 간의 거리가 정의되는 집합입니다.The dimension is drawn from the extended real numbers, ${\overline {\mathbb {R} }}$ , as opposed to the more intuitive notion of dimension, which is not associated to general metric spaces, and only takes values in the non-negative integers.

수학적인 용어로 하우스도르프 차원은 실제 벡터 공간의 차원에 대한 개념을 일반화한다.즉, n차원 내적 공간의 하우스도르프 치수는 n과 같다.이는 점의 하우스도르프 치수는 0, 선의 하우스도르프 치수는 1 등이며 불규칙 집합은 정수 이외의 하우스도르프 치수를 가질 수 있다는 이전의 진술에 기초한다.예를 들어 오른쪽의 코흐 눈송이는 등변삼각형으로 구성되며, 각 반복에서 성분선 세그먼트는 3개의 단위길이 세그먼트로 분할되며, 새로 생성된 중간 세그먼트는 바깥쪽을 가리키는 새로운 등변삼각형의 베이스로 사용되며, 이 베이스 세그먼트는 삭제되어 최종 오브젝트가 남는다.단위 길이 ^[3]4의 반복으로부터.즉, 첫 번째 반복 후 각 원본 선분은 N=4로 대체되었으며, 여기서 각 자체 유사 복사본은 ^[1]원본의 1/S = 1/3 길이이다.다시 말해, 우리는 유클리드 차원 D의 물체를 취하여 각 방향의 선형 축척을 1/3로 줄여서 그 길이가 N^D=^[4]S로 증가하도록 했다.이 방정식은 D에 대해 쉽게 풀 수 있으며, 그림에 나타나는 로그(또는 자연 로그)의 비율을 산출하고, 코흐 및 다른 프랙탈의 경우 이러한 물체에 대해 정수 이외의 차원을 부여한다.

하우스도르프 치수는 단순하지만 일반적으로 동등한 상자 계수 또는 민코프스키-불리간드 치수의 후속 값이다.

직감

기하학적 객체 X의 직감적인 차원 개념은 내부에 있는 고유한 점을 고르기 위해 필요한 독립적 매개변수의 수입니다.단, 실제 평면의 카디널리티는 실제 회선의 카디널리티와 같기 때문에 2개의 파라미터로 지정된 포인트는 1개로 지정할 수 있습니다(이는 같은 정보를 부호화하는1개의 번호를 인터위칭하는 인수를 통해 알 수 있습니다).공간 채우기 곡선의 예는 실선을 투영적으로 실제 평면에 매핑할 수 있다는 것을 보여준다(모든 숫자의 쌍이 포함되도록 하나의 실수를 한 쌍의 실수에 포함). 그리고 연속적으로 1차원 물체가 더 높은 차원의 물체를 완전히 채울 수 있다.

모든 공간 채우기 곡선은 일부 점에 여러 번 부딪히며 연속적인 역수를 가지지 않습니다.연속적이고 연속적으로 반전할 수 있는 방법으로 2차원을 1차원에 매핑하는 것은 불가능합니다.르베그 피복 차원이라고도 불리는 위상 차원이 그 이유를 설명해 줍니다.이 치수는 작은 오픈 볼에 의한 X의 모든 커버에서 n + 1 볼이 겹치는 지점이 하나 이상 있는 경우 n이다.예를 들어, 열린 구간이 짧은 선을 덮는 경우 일부 점을 두 번 덮어야 하므로 치수 n = 1이 됩니다.

그러나 위상 치수는 공간의 국소 크기(점 근처 크기)에 대한 매우 대략적인 척도입니다.공간이 거의 채워진 곡선은 영역의 대부분 영역을 채우는 경우에도 위상 차원 1을 가질 수 있습니다.프랙탈은 정수 위상 차원을 가지지만 차지하는 공간의 양으로 보면 더 높은 차원의 공간처럼 행동합니다.

하우스도르프 치수는 점 사이의 거리인 메트릭을 고려하여 공간의 로컬 크기를 측정합니다.X를 완전히 덮는 데 필요한 최대 r개의 반지름 볼 수 N(r)을 고려합니다.r이 매우 작을 때 N(r)은 1/r과 함께 다항식으로 성장합니다.충분히 동작하는 X의 경우, 하우스도르프 치수는 일의의 수 d이며, r이 0에 가까워지면 N(r)이 1/r만큼^d 커집니다.보다 정확하게는 박스 카운트 치수를 정의합니다.이것은, d값이 공간을 커버하기에 불충분한 성장률과 과잉한 성장률 사이의 중요한 경계인 경우의 하우스도르프 치수와 같습니다.

매끄러운 모양 또는 모서리 수가 적은 모양, 전통적인 기하학 및 과학의 모양에서 하우스도르프 차원은 위상 차원과 일치하는 정수입니다.그러나 Benoit Mandelbrot는 정수 이외의 하우스도르프 차원을 가진 프랙탈이 자연 어디에서나 발견된다는 것을 관찰했다.그는 주변에서 볼 수 있는 대부분의 거친 형상의 적절한 이상화는 매끄러운 이상 형상의 관점이 아니라 프랙탈 이상 형상의 관점이라고 관찰했습니다.

구름은 구체도 아니고, 산은 원뿔도 아니고, 해안선은 원이 아니며, 나무껍질은 매끄럽지 않고,^[5] 번개는 일직선으로 이동하지 않는다.

자연에서 발생하는 프랙탈의 경우 하우스도르프와 상자 계산 치수가 일치합니다.패킹 치수는 여러 형상에 동일한 값을 제공하는 또 다른 유사한 개념이지만, 이러한 치수가 모두 ^{[examples needed]}다른 경우에는 잘 문서화된 예외가 있습니다.

형식적 정의

하우스도르프 치수의 공식 정의는 먼저 르베게 측정의 분수 차원 유사체인 하우스도르프 측정을 정의함으로써 도달한다.먼저, 외부 측정이 구성됩니다.X를 메트릭 공간으로 합니다.S x X 및 d [ [ 0 , ]의 경우,

H_{\delta}^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty}^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteQ, opername {di

여기서 최소값은 모든 가산 가능 범위_i U of S를 차지한다.하우스도르프 외부 측정치는 ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ( ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ S ) ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ → ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ d ( ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ ) { $displaystyle {\mathcal {H}^{d}(S)=\lim _{\delta }^{d$ }(S ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ 로 정의되며 측정 가능한 측정 세트에 대한 측정값의 제한으로 정의됩니다.

하우스도르프 차원

X의 하우스도르프 $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ H $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ ( $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ $){$ _ ${\operatorname {H}}{(X)}}}$ 는 $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \dim _{\operatorname {H} {(X):=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}{d}(X)=0\}}.

이것은 x의 d차원 하우스도르프 측정치가 무한하다는 점에서 dθ[0, θ] 집합의 최상부와 같다(이 뒤의 숫자 집합 d가 비어 있을 때 하우스도르프 치수는 0이라는 점을 제외한다.

하우스도르프 함량

S의 d차원 무제한 하우스도르프 함량은 다음과 같이 정의된다.

C_{H}^{d}(S):= H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty}{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty}U_{k}\supseteQ\right

즉, C $C_{H}^{d}(S)$ d ( $C_{H}^{d}(S)$ ) { $displaystyle C_{H}^{d}(S)$ 는 $C_H^d(S)$ 커버 세트가 임의로 큰 사이즈를 가질 수 있는 하우스도르프 측정의 구성을 가진다(여기서는 INF ø = ^[7]∞ inf ）。하우스도르프 측정값과 하우스도르프 함량은 모두 집합의 치수를 결정하는 데 사용할 수 있지만 집합의 측정값이 0이 아닌 경우 실제 값이 일치하지 않을 수 있습니다.

예

추가 프랙탈 예제의 차원입니다.Sierpinski 삼각형. Hausdorff 치수가 log(3)/log(2)^[4]1 1.58인 객체입니다.

카운트 가능한 세트는 하우스도르프 차원 0입니다.^[8]
유클리드 공간 δ는ⁿ 하우스도르프 차원 n을 가지며, 원¹ S는 하우스도르프 차원 ^[8]1을 가진다.
프랙탈은 종종 하우스도르프 치수가 토폴로지 ^[5]치수를 완전히 초과하는 공간입니다.예를 들어, 0차원 위상 공간인 칸토르 집합은 그 자체의 두 복사본의 결합이며, 각 복사본은 1/3 계수만큼 축소됩니다. 따라서 Hausdorff 차원이 ln(2)/ln(3) ^[9]63 0.63임을 알 수 있습니다.Sierpinski 삼각형은 3개의 복사본의 합체이며, 각 복사본은 1/2배만큼 축소됩니다. 이 경우 하우스도르프 치수는 ln(3)/ln(2) 1 1.58입니다.^[1]이 하우스도르프 차원은 알고리즘 분석에서 반복 관계를 풀기 위한 마스터 정리의 "임계 지수"와 관련이 있습니다.
페아노 곡선과 같은 공간을 채우는 곡선은 공간을 채우는 것과 같은 하우스도르프 치수를 가집니다.
치수 2 이상의 브라운 운동 궤적은 하우스도르프 치수 ^[10]2로 추측된다.

영국 해안의 하우스도르프 치수 추정

Lewis Fry Richardson은 다양한 해안선에 대한 대략적인 하우스도르프 치수를 측정하기 위해 상세한 실험을 수행했다.그의 결과는 남아프리카 해안선의 1.02에서 영국의 ^[5]서부 해안의 1.25까지 다양했다.

하우스도르프 치수의 속성

하우스도르프 치수 및 유도 치수

X를 임의의 분리 가능한 메트릭 공간으로 합니다.재귀적으로 정의된 X에 대한 유도 차원의 위상적 개념이 있습니다.항상 정수(또는 +θ)이며 dim(X)으로_ind 표시됩니다.

정리.X가 비어 있지 않다고 가정합니다.그리고나서

\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X)}

게다가.

\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}

여기서 Y는 X와 동형인 메트릭 공간에 걸쳐 있습니다.즉, X와 Y는 기본 점 집합이 같고 Y의 메트릭_Y d는 위상적으로 d와 동일합니다_X.

이러한 결과는 Edward Szpilrajn(1907–1976)에 의해 원래 확립되었다. 예를 들어 7장 ^{[full citation needed]}Hurewicz와 Wallman을 참조한다.

하우스도르프 차원 및 민코프스키 차원

민코프스키 치수는 하우스도르프 치수와 비슷하고 적어도 같은 크기이며, 많은 상황에서 동일합니다.그러나 [0, 1]의 유리점 집합은 하우스도르프 차원 0과 민코프스키 차원 1을 가진다.민코프스키 치수가 하우스도르프 치수보다 엄밀하게 큰 콤팩트 세트도 있다.

하우스도르프 치수 및 프로스트만 측정

μ(X) > 0 및 μ(B(x, r) r^s r이 일정 s > 0 및 X 내의 각 볼 B(x, r)에 대해 유지되도록 미터법 공간 X의 보렐 부분 집합에 정의된 측도 μ가 있으면 프로스트만_Haus 법칙에 의해 dim(X) s s. 부분 역치가 제공된다.^{[citation needed]}^[11]

조합 및 제품 하에서의 행동

$X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ i $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ I X $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ i { $displaystyle$ X = \ $bigcup _$ { $i$ \ $in$ I } $X$ _ { i $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ } a 、 유한합 또는 가산합인 $경우$

\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}

이는 정의에서 직접 확인할 수 있습니다.

X와 Y가 비어 있지 않은 메트릭 공간일 경우 해당 제품의^[12] 하우스도르프 치수는 다음을 만족합니다.

\displaystyle \dim {\operatorname {Haus}(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus}(X)+dim _{\operatorname {Haus} }(Y)}

이 불평등은 엄격할 수 있다.제품이 치수 ^[13]1인 치수 0의 두 세트를 찾을 수 있습니다.반대로 X와 Y가 R의ⁿ 보렐 부분 집합일 때 X의 하우스도르프 치수는 X의 하우스도르프 치수와 Y의 상부 패킹 치수에 의해 위에서 경계가 되는 것으로 알려져 있다.이러한 사실은 Mattila(1995)에서 논의된다.

자기 유사 집합

자기 유사성 조건에 의해 정의되는 많은 집합은 명시적으로 결정될 수 있는 치수를 가진다.대략, 집합 E는 집합 값 변환 θ의 고정점, 즉 θ(E) = E이면 자기 유사하지만, 정확한 정의는 아래에 제시되어 있다.

정리.가정하다
$\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R}^{n}\rightarrow \mathbf {R}^{n},\display i=1,\ldots,m}$

는 수축 상수_j r < 1을 갖는 R 상의 수축ⁿ 매핑입니다.다음으로 다음과 같이 비어 있지 않은 고유한 콤팩트 세트 A가 있습니다.

$A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)$

이 정리는 스테판 바나흐의 수축 매핑 고정점 정리를 하우스도르프 거리를 ^[14]갖는 R의 비어ⁿ 있지 않은 부분 집합의 완전한 메트릭 공간에 적용한 것이다.

오픈 세트 조건

자기유사세트 A의 치수(경우에 따라서는)를 결정하기 위해서는 수축순서 θ에_i 대해 오픈세트조건(OSC)이라는 기술적 조건이 필요하다.

다음과 같은 비교적 콤팩트한 오픈 세트 V가 있다.

\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}

여기서 왼쪽의 합집합 집합은 쌍으로 분리됩니다.

open set 조건은 영상 δ_i(V)가 "너무 많이" 겹치지 않도록 하는 분리 조건입니다.

정리.열린 집합 조건이 유지되고 각 θ가_i 유사하다고 가정하면, 이는 등각학과 어떤 점 주위의 확장에 의한 구성이다.그러면 θ의 고유 고정점은 하우스도르프 치수가 s인 집합이다. 여기서 s는 다음 중 하나의 해이다^[15].

\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}

유사체의 수축계수는 팽창의 크기이다.

일반적으로 매핑의 고정점인 집합 E

A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)

자기 유사성이라는 것은 교차점이

H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,

여기서 s는 E의 하우스도르프 치수이고^s H는 하우스도르프 측정을 나타낸다.이는 시에르핀스키 개스킷의 경우 명확하지만(교차는 단순한 점일 뿐) 보다 일반적으로도 해당됩니다.

정리.앞의 정리와 동일한 조건 하에서 θ의 고유 고정점은 자기 유사하다.

「」를 참조해 주세요.

하우스도르프 차원별 프랙탈 목록 결정론적 프랙탈, 랜덤 및 자연 프랙탈의 예.
하우스도르프 치수와 마찬가지로 볼에 의한 피복을 사용하여 정의되는 프랙탈 치수의 또 다른 변형인 Assouad 치수
본질적 차원
패킹치수
프랙탈 차원

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

수학 백과사전의 하우스도르프 차원
수학 백과사전의 하우스도르프 측도

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v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리토프 및 모양	하이퍼플레인 하이퍼서페이스 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 하이퍼스피어 교차 폴리토프 심플렉스 고피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 아홉개 n차원
「」를 참조해 주세요.	하이퍼스페이스
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