직교성

Orthogonality
선분 AB와 CD는 서로 직교합니다.

수학에서, 직교성쌍선형 형태의 선형 대수에 대한 수직성의 개념을 일반화한 것이다.B(u, v) = 0일 쌍선형 형태인 벡터 공간의 두 요소 u v는 직교한다. 쌍선형 형태에 따라 벡터 공간은 0이 아닌 자기 직교 벡터를 포함할 수 있다.함수 공간의 경우, 직교 함수 패밀리가 기저를 형성하기 위해 사용됩니다.

또한 직교성은 시스템의 특정 기능의 분리를 나타내는 데에도 사용됩니다.이 용어는 또한 미술과 화학을 포함한 다른 분야에서도 특별한 의미를 가지고 있다.

어원학

단어는 "올바른"[1][2]을 뜻하는 고대 그리스어 "오르토스"와 "각도"를 뜻하는 "고니아"에서 유래했다.

고대 그리스어와 고전 라틴어 오르토고늄은 원래 [3]직사각형을 의미했다.나중에, 그것들은 직각 삼각형을 의미하게 되었다.12세기에, 고전 이후의 라틴어 직교라는 단어는 직각이나 [4]직각과 관련된 것을 의미하게 되었다.

수학과 물리학

왼쪽 간 좌표계의 직교성 및 회전 비교:원각θ를 통한 유클리드 공간 오른쪽: Minkowski 시공간에서 쌍곡선 각도θ를 통한 유클리드 공간(c라벨이 붙은 빨간색 선은 광신호의 세계선을 나타내며, 벡터는 [5]이 선 위에 있으면 그 자신과 직교한다).

정의들

  • 기하학에서, 두 유클리드 벡터는 수직이면 직교한다. 즉, 직각을 이룬다.
  • 내적 공간 V의 두 벡터 x, y는 그 내적, yθ { x [6]0이면 직교한다.이 관계는 x " x y됩니다.
  • 직교 행렬은 열 벡터가 서로 직교하는 행렬입니다.
  • 내적 공간 V의 두 벡터 부분 공간 A와 B는 A의 각 벡터가 B의 각 벡터에 직교하는 경우 직교 부분 공간이라고 한다.주어진 부분 공간에 직교하는 V의 가장 큰 부분 공간은 직교 보체입니다.
  • 모듈 M과 그 듀얼 M이 주어졌을 때, M의 원소 m of과 M의 원소 m of은 자연 쌍이 0일 경우 직교한다. 즉, δm,, m⟩ = 0이다.S is의 원소가 S [7]s의 각 원소와 직교하는 경우에는 S s M S m M이 직교한다.
  • 용어 개서 시스템은 왼쪽 선형이며 모호하지 않으면 직교라고 한다.직교 용어 개서 시스템은 합류합니다.

내적 공간에서의 벡터 세트는 각각의 쌍이 직교하는 경우 쌍방향 직교라고 불립니다.이러한 집합을 직교 집합이라고 합니다.

경우에 따라서는 직교, 특히 표면에 대한 법선과 같은 기하학적 의미에서 normal이라는 단어가 사용된다.예를 들어, y축은 원점에서 y = x2 곡선에 정규 분포입니다.그러나 법선은 벡터의 크기를 나타낼 수도 있습니다.특히, 단위 벡터의 직교 집합인 경우 집합을 직교 정규 분포(직교 + 정규 분포)라고 합니다.그 결과, "직교"를 의미하는 정규 용어의 사용은 종종 회피됩니다."정상"이라는 단어는 확률통계학에서도 다른 의미를 가지고 있습니다.

쌍선형 형태의 벡터 공간은 내적의 경우를 일반화한다.두 벡터에 적용된 쌍선형 형태가 0이 되면 두 벡터는 직교입니다.유사-유클리드 평면의 경우는 쌍곡 직교성이라는 용어를 사용한다.그림에서 축 xθ와 tθ는 주어진 θ에 대해 쌍곡선 직교입니다.

유클리드 벡터 공간

유클리드 공간에서 두 벡터는 점곱이 0인 경우, 즉 90°(θ/2 라디안)의 각도를 만들거나 벡터 중 하나가 [8]0인 경우에만 직교한다.따라서 벡터의 직교성은 모든 차원의 공간에 대한 수직 벡터 개념의 확장이다.

부분 공간의 직교 보수는 부분 공간의 모든 벡터에 직교하는 모든 벡터의 공간입니다.3차원 유클리드 벡터 공간에서 원점을 통과하는 의 직교 보어는 원점에 수직인 원점을 통과하는 평면이며,[9] 그 반대도 마찬가지입니다.

두 평면이 수직이라는 기하학적 개념은 직교 보체와 일치하지 않습니다. 3차원에서는 한 쌍의 수직 평면 각각에서 한 쌍의 벡터가 임의의 각도에서 만날 수 있기 때문입니다.

4차원 유클리드 공간에서 선의 직교 보체는 초평면이고, 그 반대도 평면의 직교 보체는 [9]평면이다.

직교 함수

적분 미적분을 사용하여 구간 [a, b]에 걸쳐 이 아닌 가중치 함수 w에 대해 두 함수 f 및 g내적을 정의하기 위해 다음을 사용하는 것이 일반적이다.

간단한 경우 w(x) = 1입니다.

함수 f와 g는 내부곱(등가적으로 이 적분의 값)이 0인 경우 직교라고 합니다.

한 내부 제품에 대한 두 함수의 직교성은 다른 내부 제품에 대한 직교성을 의미하지 않습니다.

이 내부 제품에 대한 규범을 다음과 같이 기술합니다.

함수 집합i 멤버 {f : i = 1, 2, 3, ...}은(는) 다음같은 경우 [a, b] 간격의 w에 대해 직교합니다.

이러한 함수 집합의 구성원은 다음과 같은 경우 [a, b] 간격의 w에 대해 직교 정규적입니다.

어디에

크로네커 삼각주입니다즉, 각 쌍(함수와의 쌍 제외)은 직교이며, 각 쌍의 노름은 1이다.특히 직교 다항식을 참조하십시오.

  • 벡터 (1, 3, 2),T (3, -1, 0),T (1, 3, -5)T는 서로 직교합니다. (1) + (3) (-1)(+2) (0) = 0, (3) + (-3) + (-0) (-5) = 0, (1) + (-1) + (5) + (1) + (1) + (-1) + (-1) (-1) (-1) (-1)
  • 벡터(1, 0, 1, 0, ...)T와 벡터(0, 1, 0, 1, ...)T는 서로 직교입니다.이 벡터들의 도트곱은 0입니다.그런 다음 Z의 벡터2n 고려하도록 일반화할 수 있습니다.
    일부 긍정적인 정수가, 그리고 ≤ k에 대해 예를 들어 − 1, 요각류, 직교이다[10010010]{\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0\end{bmatrix}}},[01001001]{\displaystyle{\begin{bmatrix}0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0& ≤.심장;0&, 1\end{bmatrix}}}, -LSB- 0010. &0& { 직교입니다.
  • 함수 2t + 345t2 + 9t - 17은 -1 ~ 1 구간에서 단위 무게 함수와 직교합니다.
  • 함수 1, sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ...은 [0, 2µ], [-sin, θ] 또는 길이 2µ의 다른 닫힌 간격에서 리만 적분에 대해 직교입니다.이 사실은 푸리에 급수의 중심이다.

직교 다항식

과거의 수학자들의 이름을 딴 다양한 다항식 수열은 직교 다항식의 수열이다.특히:

양자역학에서의 직교 상태

  • 양자역학에서 에르미트 연산자의 두 고유 상태 m {\ _ n {\ _이 직교하는 충분한 조건(필요하지는 않지만)은 서로 다른 고유값에 대응하는 것이다., Dirac 표기법에서는 m과 n({}\rangle 서로 다른 고유값에 대응하고 있는 경우 (\\psi_{n= 0displaystyle\displaystyle\이 됩니다.이는 슈뢰딩거 방정식 슈투름-리우빌 방정식(슈뢰딩거 공식에서)이거나 관측가능성이 에르미트 연산자에 의해 주어진다는 사실(하이젠베르크 공식에서)[citation needed]에서 비롯된다.

예체능

예술에서는 소실점을 가리키는 원근법(가상법) 선을 "직교선"이라고 합니다.현대 미술 비평의 문학에서 "직교선"이라는 용어는 종종 상당히 다른 의미를 갖는다.피에트 몬드리안버고인 딜러같은 화가들의 많은 작품은 "직교선"을 배타적으로 사용하는 것으로 알려져 있습니다. 그러나 원근법에 관한 것이 아니라 직교하는 곳에 직각으로 수평 또는 수직을 이루는 직선을 말합니다.예를 들어, 티센 보르네미사 박물관 웹사이트에 있는 에세이는 "몬드리안은 직교선과 원색 사이의 균형을 조사하는데 그의 전 작품을 바쳤다"고 말한다.2009-01-31 Wayback Machine 아카이브 완료

컴퓨터 공학

프로그래밍 언어 설계에서 직교성은 [10]다양한 언어 특징을 일관된 결과와 함께 임의의 조합으로 사용할 수 있는 능력입니다.이 사용법은 Van Wijngaarden에 의해 Algol 68의 설계에 도입되었습니다.

언어가 설명, 학습 및 구현하기 쉽도록 독립적인 원시 개념의 수가 최소화되었습니다.반면, 이러한 개념들은 해로운 [11]중복을 피하면서 언어의 표현력을 극대화하기 위해 "정통적으로" 적용되어 왔다.

직교성은 시스템 구성요소에 의해 생성된 기술적 효과를 수정하는 것이 시스템의 다른 구성요소에 부작용을 일으키거나 전파하지 않음을 보장하는 시스템 설계 속성입니다.일반적으로 이는 관심사캡슐화분리함으로써 달성되며, 복잡한 시스템의 실현 가능하고 콤팩트한 설계에 필수적이다.구성요소로 구성된 시스템의 출현 동작은 논리 공식 정의에 의해 엄격하게 제어되어야 하며, 모듈 및 인터페이스의 비직교 설계와 같은 불충분한 통합으로 인한 부작용에 의해 제어되어서는 안 된다.직교성은 부작용을 일으키거나 이에 의존하지 않는 설계를 더 쉽게 검증할 수 있기 때문에 검사 및 개발 시간을 단축합니다.

명령어 세트는 용장성이 결여되어 있는 경우(즉,[12] 주어진 태스크를 달성하기 위해 사용할 수 있는 단일 명령어만 있다) 직교라고 하며, 명령어가 임의의 어드레싱 모드에서 임의의 레지스터를 사용할 수 있도록 설계되어 있다.이 용어는 명령을 명령 필드가 구성 요소인 벡터로 간주하는 데서 비롯됩니다.1개의 필드는 조작할 레지스터를 나타내고 다른 필드는 주소 지정 모드를 지정합니다.직교 명령 집합은 레지스터와 어드레싱 [13]모드의 모든 조합을 고유하게 부호화한다.

통신

통신에서 다중접속 스킴은 이상적인 수신기가 다른 기본 함수를 사용하여 원하는 신호로부터 임의의 강한 불필요한 신호를 완전히 거부할 수 있을 때 직교한다.이러한 방식 중 하나는 시분할다중접속(TDMA)이며, 직교 기저 함수는 겹치지 않는 직사각형 펄스("타임 슬롯")입니다.

또 다른 방식은 직교 주파수 분할 다중화(OFDM)입니다.이는 단일 송신기가 서로 간섭하지 않도록 직교하기 위해 필요한 정확한 최소 주파수 간격을 가진 일련의 주파수 다중화 신호를 사용하는 것을 말합니다. 알려진 예로는 (a, g 및 n) 버전802.11 Wi-Fi, WiMAX, ITU-T G.hn, DVB-T, 북미 이외의 대부분의 지역에서 사용되는 지상파 디지털 TV 방송 시스템, ADSL의 표준 형식인 DMT(Discrete Multi Tone) 등이 있습니다.

OFDM에서는 서브캐리어가 서로 직교하도록 서브캐리어의 주파수가[how?] 선택되므로 서브채널 간의 크로스톡이 배제되고 인터캐리어 가드 대역이 불필요해진다.이것에 의해, 송신기와 수신기의 양쪽 모두의 설계가 큰폭으로 심플화됩니다.기존 FDM에서는 각 하위 채널에 대해 별도의 필터가 필요합니다.

통계, 계량경제학

통계 분석을 수행할 때, 특정 종속 변수에 영향을 미치는 독립 변수는 공분산이 내부곱을 형성하기 때문에 상관 관계가 [14]없는 경우 직교 변수라고 합니다.이 경우 변수의 영향을 단순 회귀 분석으로 개별적으로 모형화하든 다중 회귀 분석으로 모형화하든 상관없이 종속 변수에 대한 독립 변수의 효과에 대해 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.상관 관계가 있으면 요인이 직교하지 않고 두 가지 방법으로 서로 다른 결과를 얻을 수 있습니다.이러한 용도는 기대값(평균)을 빼서 중심을 잡는 경우, 상관 없는 변수는 위에서 설명한 기하학적 의미에서 관측 데이터(즉, 벡터)와 랜덤 변수(즉, 밀도 함수)로서 모두 직교한다는 사실에서 발생한다.최대우도 프레임워크에 대한 대안인 하나의 계량적 형식주의인 일반 모멘트 방법은 직교 조건에 의존한다.특히 정규 최소 제곱 추정기는 설명 변수와 모형 잔차 사이의 직교성 조건에서 쉽게 도출할 수 있습니다.

분류법

분류학에서 직교 분류는 항목이 둘 이상의 그룹에 속하지 않는 분류입니다. 즉, 분류는 상호 배타적입니다.

조합

조합론에서, 두 의 n×n 라틴 사각형은 그 중첩가능2 [15]n개의 엔트리 조합을 모두 산출하는 경우 직교라고 한다.

화학 및 생화학

합성유기화학에서 직교보호는 서로 독립적으로 작용기를 탈보호할 수 있는 전략이다.화학과 생화학에서 직교 상호작용은 두 쌍의 물질이 있고 각 물질이 각각의 파트너와 상호작용할 수 있지만 다른 쌍의 물질과 상호작용하지 않을 때 발생한다.예를 들어 DNA는 2개의 직교쌍을 가지고 있다.시토신과 구아닌은 염기쌍을 형성하고 아데닌과 티민은 또 다른 염기쌍을 형성하지만 다른 염기쌍의 조합은 강하게 거부된다.화학적인 예로서 테트라진은 트랜스시클로옥텐과 반응하고, 아지드는 시클로옥텐과 교차반응 없이 반응하므로 상호 직교반응이므로 동시에 선택적으로 [16]반응할 수 있다.생물 직교 화학은 자연적으로 존재하는 세포 성분과 반응하지 않고 살아있는 시스템 안에서 일어나는 화학 반응을 말한다.초분자 화학에서 직교성의 개념은 두 개 이상의 초분자, 종종 비공유성 상호작용이 양립할 수 있는 가능성을 언급합니다; 다른 분자의 간섭 없이 가역적으로 형성됩니다.

분석 화학에서 분석은 완전히 다른 방법으로 측정 또는 식별을 할 경우 "직교"하므로 측정의 신뢰성이 높아집니다.따라서 직교 테스트는 결과의 "교차 확인"으로 볼 수 있으며, "교차" 개념은 직교성 어원적 기원에 해당합니다.신약 적용의 일부로서 직교 테스트가 필요한 경우가 많다.

시스템 신뢰성

시스템 신뢰성 분야에서 직교 용장성은 백업 장치 또는 방법의 형태가 오류 발생 가능성이 높은 장치 또는 방법과 완전히 다른 용장성 형태입니다.직교 용장 백업 디바이스 또는 방법의 장애 모드는 치명적인 장애로부터 시스템 전체를 보호하기 위해 용장성을 필요로 하는 디바이스 또는 방법의 장애 모드와 교차하지 않으며 완전히 다릅니다.

신경과학

신경과학에서 자극 코드(예: 위치와 품질)가 겹치는 뇌의 감각 지도를 직교 지도라고 한다.

게임

정사각형의 격자를 특징으로 하는 체스 같은 보드 게임에서, "직교"는 "같은 행/'랭크' 또는 "열/'파일"을 의미하기 위해 사용됩니다.이것은 "다각형적으로 인접한"[17] 정사각형에 대응하는 것입니다.고대 중국 바둑에서 바둑은 직교로 인접한 모든 지점을 점유함으로써 상대의 돌을 잡을 수 있다.

기타 예

스테레오 비닐 레코드는 좌우 양쪽 스테레오 채널을 하나의 홈으로 인코딩합니다.비닐에 있는 V자 모양의 홈은 서로 90도인 벽을 가지고 있으며, 각 벽의 변화는 스테레오 신호를 구성하는 두 개의 아날로그 채널 중 하나를 따로 부호화한다.카트리지는 수직에서 양쪽으로 45도씩 [18]두 개의 직교 방향으로 홈을 따라가는 스타일러스의 움직임을 감지합니다.순수 수평 운동은 두 채널이 동일한(동상) 신호를 전송하는 스테레오 신호와 동일한 모노 신호에 해당합니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ 리델과 스콧, 그리스-영국 어휘집 s.v.
  2. ^ 리델과 스콧, 그리스-영국 어휘집 s.v. α
  3. ^ 리델과 스콧, 그리스-영국 사전 s.v.
  4. ^ "orthogonal". Oxford English Dictionary (3rd ed.). Oxford University Press. September 2004.
  5. ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
  6. ^ "Wolfram MathWorld".
  7. ^ Bourbaki, "ch. II §2.4", Algebra I, p. 234
  8. ^ Trefethen, Lloyd N. & Bau, David (1997). Numerical linear algebra. SIAM. p. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.
  9. ^ a b R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. pp. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.
  10. ^ 마이클 L. 스콧, 프로그래밍 언어 실용학, 페이지 228
  11. ^ 1968, Adrian van Wijgaarden 등, 알고리즘 언어 ALGOL 68, 섹션 0.1.2, 직교 설계 개정 보고서
  12. ^ Null, Linda & Lobur, Julia (2006). The essentials of computer organization and architecture (2nd ed.). Jones & Bartlett Learning. p. 257. ISBN 978-0-7637-3769-6.
  13. ^ Linda Null (2010). The Essentials of Computer Organization and Architecture (PDF). Jones & Bartlett Publishers. pp. 287–288. ISBN 978-1449600068.
  14. ^ Athanasios Papoulis; S. Unnikrishna Pillai (2002). Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill. p. 211. ISBN 0-07-366011-6.
  15. ^ Hedayat, A.; et al. (1999). Orthogonal arrays: theory and applications. Springer. p. 168. ISBN 978-0-387-98766-8.
  16. ^ Karver, Mark R.; Hilderbrand, Scott A. (2012). "Bioorthogonal Reaction Pairs Enable Simultaneous, Selective, Multi-Target Imaging". Angewandte Chemie International Edition. 51 (4): 920–2. doi:10.1002/anie.201104389. PMC 3304098. PMID 22162316.
  17. ^ "chessvariants.org chess glossary".
  18. ^ 일러스트는 유튜브를 참조해 주세요.

추가 정보