리슈너-노르트스트롬 계량

Reissner–Nordström metric

물리학과 천문학에서 리스너-노르트스트룀 계량아인슈타인-맥스웰 필드 방정식정적 해이며, 질량 M의 하전되고 회전하지 않으며 구형 대칭인 물체의 중력장에 해당합니다. 대전된 회전체에 대한 유사한 해결책은 커-뉴먼 메트릭에 의해 제공됩니다.

1916년에서 1921년 사이에 한스 레이스너,[1] 헤르만 바일,[2] 군나르 노드스트롬[3], 조지 바커 제퍼리[4] 각각 독립적으로 발견했습니다.[5]

미터법

구면 좌표 θ, φ), rtheta,\varphi)}에서는 Rissner-Nordström 메트릭(즉, )입니다. the line element) is ^{2}\left( {r_{\rm {Q}}^{}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}){r}+{\frac {r_{Q}^{2}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2} 여기서 c\displaystyle c}는 빛의 속도, {\displaystyle \}는 적절한 시간, 는 시간 좌표(무한대의 고정 ), r은 반경 좌,, φ)theta,\varphi )}은 구면 각도, = }에 의해 주어진 신체의 슈바르츠실트 반지름입니다. and is a characteristic length scale given by Here, is the electric constant.

The total mass of the central body and its irreducible mass are related by[6][7]

의 차이는 질량과 에너지의 등가성으로 인해 전기장 에너지도 총 질량에 기여합니다.

전하 또는 이와 동등하게 길이 가 0이 되는 한도에서 Schwarzschild 메트릭을 복구합니다. 다음 r/ 비율이 0이 되면 고전적인 뉴턴의 중력 이론이 한계 내에서 복구될 수 있습니다. / / r 모두 0으로 가는 한계에서 메트릭은 특수 상대성에 대한 민코프스키 메트릭이 됩니다.

r/ 비율이 매우 작은 경우가 많습니다. 예를 들어 지구의 슈바르츠실트 반지름은 약 9mm(3/8인치)인 반면, 지구 동시 궤도에 있는 위성의 궤도 r 42,164km(26,200마일)로 약 40억 배 더 큽니다. 지구 표면에서도 뉴턴 중력에 대한 보정은 10억분의 1에 불과합니다. 비율은 블랙홀중성자별과 같은 다른 초밀도 물체에 가까이서만 커집니다.

하전 블랙홀

r ≪의 대전된 블랙홀은 슈바르츠실트 블랙홀과 비슷하지만 사건의 지평선과 내부 코시 지평선이라는 두 가지 지평선을 가지고 있습니다. 슈바르츠실트 메트릭과 마찬가지로 시공간의 사건 지평선은 메트릭 성분 가 분기되는 곳에 위치합니다. 즉, 다음과 같은 경우입니다.

이 방정식에는 두 가지 해가 있습니다.

이러한 동심원 사건의 지평선은 극단적인 블랙홀에 해당하는 2r = r에 대해 퇴화됩니다. 2rQ > rs 블랙홀은 전하가 질량보다 크면 물리적 사건의 지평선이 없을 수 있기 때문에 자연계에 존재할 수 없습니다(제곱근 아래의 항은 음수가 됩니다).[9] 질량보다 큰 전하를 가진 물체는 자연계에 존재할 수 있지만 블랙홀로 붕괴할 수는 없으며, 붕괴할 수 있다면 맨눈의 특이점을 나타낼 것입니다.[10] 초대칭성을 가진 이론들은 보통 그러한 "초극" 블랙홀이 존재할 수 없다는 것을 보장합니다.

전자파 전위는

자기홀극이 이론에 포함되어 있는 경우, 자기 전하 P포함하는 일반화는 Q를 메트릭에서 Q + P로 대체하고 전자 포텐셜에 θ φ라는 용어를 포함함으로써 얻어집니다.

중력 시간 팽창

중심체 부근에서의 중력 시간 팽창은 다음과 같이 주어집니다.

중성 입자의 국소 방사상 탈출 속도와 관련이 있습니다.

크리스토펠 기호

크리스토펠 상징들

지수와 함께
사라지지 않는 표정을 짓다

크리스토펠 기호가 주어지면 테스트 입자의 측지학을 계산할 수 있습니다.[11][12]

테트라드 형태

홀로노믹스 기반에서 작업하는 대신 테트라드로 효율적인 계산을 수행할 수 있습니다.[13] = {\ }mu I}}: 내부 민코프스키 지수 I {0, 1, 2, 3} {\displaystyle I\in \{0, 1, 2, 3\}, 즉 I J e J g μ {\displaystyle \eta^{ 리스너 메트릭은 테트라드로 설명할 수 있습니다.

= G / 2 d {\displaystyle {\bf {e}_{0} = G^{1/2}\,dt},
= - 1 / 2 dr {\displaystyle {\bf {e}_{1} = G^{-1/2}\,dr},

여기서 = -r r r - 1 + r Q 2 r - 2 {\displaystyle G(r) = 1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{-2}}. 테트라드의 평행 수송연결 1-형태 ω I = - ω J= ω μ I J = e ν ∇ μ J νdisplaystyle {\boldsymbol {\omega}_{ 이들은 γμ ν λ \Gamma _{\mu \n의 40개 구성 요소와 비교하여 24개의 독립 구성 요소만 가지고 있습니다. 연결은 Cartan의 방정식 = ∧ ω I {\displaystyle{e}}_{에서 검사하여 해결할 수 있습니다. 여기서 왼손은 테트라드의 외부 파생물이고, 오른손은 쐐기 제품입니다.

리만 텐서 J = ν I J bf {R}}_{는 두 번째 카탄 IJ + I K {\displaystyle {\bf {R}}_{에 의해 두 가지 형태의 집합으로 구성할 수 있습니다. 외관 도함수와 쐐기 곱을 다시 사용합니다. 이 접근 방식은 γμ ν λ \Gamma_{\mu \n을 사용한 기존 계산보다 훨씬 빠릅니다. 0이 아닌 I J }}_{ μ {\\Gamma _{\mu \n의 9개의 0이 아닌 구성 요소와 비교됩니다.

운동방정식

[14]

미터법의 구형 대칭성 때문에, 좌표계는 항상 시험 입자의 움직임이 평면에 국한되는 방식으로 정렬될 수 있으므로, 간결함과 일반성의 제한 없이 우리는 φ 대신 θ을 사용합니다. G = M = c = K = 1의 무차원 자연 단위에서 전하 q를 가진 전하를 띤 입자의 운동은 다음과 같이 주어집니다.

어떤 결과가 나오는지

도함수는 ˙ = τ {\displaystyle {\dot {a}}={\frac{da}{d\tau }}의 적절한 시간과 관련됩니다.

움직임의 상수는 편미분 방정식에 대한 해 ˙,r ˙ θ, θ ˙, φ ˙, φ) {\displaystyle S(t, {\dot {t}}, r, {\dot {r}},\theta, {\dot {\theta}},\varphi, {\dot {\varphi}}}에 의해 제공됩니다.

위의 2차 도함수를 대체한 후에 미터법 자체는 미분 방정식으로 쓰여질 때 해입니다.

가분방정식은

즉시 일정한 상대론적 특정 각운동량을 산출합니다.
에서 얻어진 제3상수.
는 특정 에너지(단위 정지 질량당 에너지)[16]입니다.

바꾸면 방사 방정식이 생성됩니다.

적분 기호 아래에 를 곱하면 궤도 방정식이 나옵니다.

무한대에서 시험입자와 관찰자 사이의 총 시간 팽창은

제1 도함수 ˙{x}^{i}} 및 로컬 v^{i}의 반변 성분은 다음과 관련이 있습니다.

그것은 초기 조건을 제공합니다.

비궤도 에너지는

그리고 특정 상대 각운동량
테스트 particle의 보존된 운동량입니다. {\ 및 v ⊥ v_{\perp}}는 로ector의 반경 및 횡방향 성분입니다. 따라서 국소 속도는

미터법의 대체 공식

미터법은 다음과 같이 Kerr-Schild 형태로 표현할 수 있습니다.

k단위 벡터임을 주목하십시오. 여기M은 물체의 일정한 질량, Q는 물체의 일정한 전하, η은 민코프스키 텐서입니다.

미터법에 대한 양자 중력 보정

양자 중력에 대한 특정 접근 방식에서 고전적인 Rissner-Nordström 메트릭은 양자 보정을 받습니다. 바르빈스키와 빌코비스키가 개척한 효과적인 장 이론 접근법이 그 예입니다.[17][18][19][20] 곡률의 두 번째 순서에서 고전 아인슈타인-힐베르트 작용은 국소 및 비국소 용어로 보충됩니다.

( ν ρ σ {\displaystyle R_ \n {\displaystyle R \n으로 취소합니다. {\mu \n {\^{\mu \n으로 취소합니다.

서 μ 에너지 척도입니다. 계수 의 정확한 값은 양자중력의 자외선 이론의 특성에 따라 달라지기 때문에 알 수 없습니다. 반면, 계수 γ {\displaystyle gamma}는 계산 가능합니다. 연산자 ⁡( ◻ /) \ln ^{2right)}이(가) 적분 표현을 가지고 있습니다.

액션의 새로운 추가 용어는 고전적인 솔루션의 수정을 의미합니다. Campos Delgado는 O 까지 양자 보정된 Rissner-Nordström 메트릭을 발견했습니다[22]

어디에

참고 항목

메모들

  1. ^ Reissner, H. (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik (in German). 50 (9): 106–120. Bibcode:1916AnP...355..106R. doi:10.1002/andp.19163550905.
  2. ^ Weyl, H. (1917). "Zur Gravitationstheorie". Annalen der Physik (in German). 54 (18): 117–145. Bibcode:1917AnP...359..117W. doi:10.1002/andp.19173591804.
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  4. ^ Jeffery, G. B. (1921). "The field of an electron on Einstein's theory of gravitation". Proc. R. Soc. Lond. A. 99 (697): 123–134. Bibcode:1921RSPSA..99..123J. doi:10.1098/rspa.1921.0028.
  5. ^ 빅 씽크
  6. ^ Thibault Damour: 블랙홀: 에너지와 열역학, S. 11ff.
  7. ^ 애슈가르 쿼디르: 리슈너 노르트스트롬 반발력
  8. ^ Chandrasekhar, S. (1998). The Mathematical Theory of Black Holes (Reprinted ed.). Oxford University Press. p. 205. ISBN 0-19850370-9. Archived from the original on 29 April 2013. Retrieved 13 May 2013. And finally, the fact that the Reissner–Nordström solution has two horizons, an external event horizon and an internal 'Cauchy horizon,' provides a convenient bridge to the study of the Kerr solution in the subsequent chapters.
  9. ^ 앤드류 해밀턴: Rissner Nordström 기하학 (Casa Colorado)
  10. ^ 카터, 브랜든 Wayback Machine, Physical Review, 174페이지에서 보관Kerr 중력장 가족의 글로벌 구조 2020-06-22
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  12. ^ 에바 해크만, 쉬훙샤오: 커-뉴먼 시공간에서 하전 입자 운동
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  21. ^ Donoghue, John F. (2014). "Nonlocal quantum effects in cosmology: Quantum memory, nonlocal FLRW equations, and singularity avoidance". Phys. Rev. D. 89 (10): 10. arXiv:1402.3252. Bibcode:2014PhRvD..89j4062D. doi:10.1103/PhysRevD.89.104062. S2CID 119110865.
  22. ^ Campos Delgado, Ruben (2022). "Quantum gravitational corrections to the entropy of a Reissner-Nordström black hole". Eur. Phys. J. C. 82 (3): 272. arXiv:2201.08293. Bibcode:2022EPJC...82..272C. doi:10.1140/epjc/s10052-022-10232-0. S2CID 247824137.

참고문헌

외부 링크