전하가 있는 구형 대칭 메트릭
물리학과 천문학 에서 리스너-노르트스트룀 계량 은 아인슈타인-맥스웰 필드 방정식 의 정적 해이며 , 질량 M 의 하전되고 회전하지 않으며 구형 대칭인 물체의 중력장에 해당합니다. 대전된 회전체에 대한 유사한 해결책은 커-뉴먼 메트릭 에 의해 제공됩니다.
1916년에서 1921년 사이 에 한스 레이스너 ,[1] 헤르만 바일 ,[2] 군나르 노드스트롬 [3] , 조지 바커 제퍼리 가[4] 각각 독립적으로 발견했습니다.[5]
미터법 구면 좌표 (t , r , θ, φ) {\displaystyle(t , r,\ theta,\varphi)}에서는 Rissner-Nordström 메트릭(즉, )입니다. the line element ) is d s 2 = c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r + r Q 2 r 2 ) c 2 d t 2 − ( 1 − r s r + r Q 2 r 2 ) − 1 d r 2 − r 2 d θ 2 − r 2 sin 2 θ d φ 2 , {\displaystyle ds^{2}=c^{2}\, d\ tau ^{2}= \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}+{\frac {r_{\ rm {Q}}^{2 }}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}){r}+{\frac {r_{Q}^{2}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2} 여기서 c\displaystyle c}는 빛의 속도, τ {\displaystyle \tau }는 적절한 시간, t {\displaystyle t} 는 시간 좌표(무한대의 고정 시계로 meas ured ), r {\displaystyle r} 은 반경 좌표 , ( θ , φ) {\displaystyle (\ theta,\varphi )}은 구면 각도, 그리고 rs {\display r_{\text{s}} 는 rs = 2GM c2 , {\display r_{\text{s }에 의해 주어진 신체의 슈바르츠실트 반지름 입니다. }}={\frac {2 GM}{c^{2}}},} and r Q {\displaystyle r_{Q}} is a characteristic length scale given by r Q 2 = Q 2 G 4 π ε 0 c 4 . {\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.} Here, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} is the electric constant .
The total mass of the central body and its irreducible mass are related by[6] [7] M i r r = c 2 G r + 2 2 → M = Q 2 16 π ε 0 G M i r r + M i r r . {\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0} GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}
M {\displaystyle M} 과 Mir {\ displaystyle M_{\rm {irr}} 의 차이는 질량과 에너지 의 등가성으로 인해 전기장 에너지 도 총 질량에 기여합니다.
전하 Q {\displaystyle Q}( 또는 이와 동등하게 길이 척도 Q {\ display r_{Q }) 가 0이 되는 한도에서 Schwarzschild 메트릭 을 복구합니다. 그런 다음 r / r {\display r_{\text{s}}/r} 비율이 0이 되면 고전적인 뉴턴의 중력 이론이 한계 내에서 복구될 수 있습니다. r Q / r {\display r_{Q}/r} 및 rs / r {\display r_{\text{s}}/r} 가 모두 0으로 가는 한계에서 메트릭은 특수 상대성 에 대한 민코프스키 메트릭 이 됩니다.
실제로 r / r {\display r_{\text{s}}/r} 비율이 매우 작은 경우가 많습니다. 예를 들어 지구 의 슈바르츠실트 반지름은 약 9mm (3/8인치 )인 반면, 지구 동시 궤도 에 있는 위성 의 궤도 반지름 r{\displaystyle r} 은 42,164km (26,200마일 )로 약 40억 배 더 큽니다. 지구 표면에서도 뉴턴 중력에 대한 보정은 10억분의 1에 불과합니다. 이 비율은 블랙홀 과 중성자별 과 같은 다른 초밀도 물체에 가까이서만 커집니다.
하전 블랙홀 r ≪의 대전된 블랙홀은 슈바르츠실트 블랙홀 과 비슷하지만 사건 의 지평선과 내부 코시 지평선이라는 두 가지 지평선 을 가지고 있습니다. 슈바르츠실트 메트릭과 마찬가지로 시공간의 사건 지평선은 메트릭 성분 gr {\ displaystyle g_{rr}} 가 분기되는 곳에 위치합니다. 즉, 다음과 같은 경우입니다.
1 − r s r + r Q 2 r 2 = − 1 g r r = 0. {\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}
이 방정식에는 두 가지 해가 있습니다.
r ± = 1 2 ( r s ± r s 2 − 4 r Q 2 ) . {\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}
이러한 동심원 사건 의 지평선은 극단적 인 블랙홀에 해당하는 2r = r 에 대해 퇴화 됩니다. 2rQ > r 인s 블랙홀은 전하가 질량보다 크면 물리적 사건의 지평선이 없을 수 있기 때문에 자연계에 존재할 수 없습니다(제곱근 아래의 항은 음수가 됩니다).[9] 질량보다 큰 전하를 가진 물체는 자연계에 존재할 수 있지만 블랙홀로 붕괴할 수는 없으며, 붕괴할 수 있다면 맨눈의 특이점 을 나타낼 것입니다.[10] 초대칭성 을 가진 이론들은 보통 그러한 "초극" 블랙홀이 존재할 수 없다는 것을 보장합니다.
전자파 전위는
A α = ( Q / r , 0 , 0 , 0 ) . {\displaystyle A_{\alpha} = (Q/r,0,0,0)}
자기홀극이 이론에 포함되어 있는 경우, 자기 전하 P 를 포함 하는 일반화는 Q를 메트릭에서 Q + P로 대체하고 전자 포텐셜에 θ φ라는 용어를 포함함으로써 얻어집니다.
중력 시간 팽창 중심체 부근에서의 중력 시간 팽창 은 다음과 같이 주어집니다.
γ = g t t = r 2 Q 2 + ( r − 2 M ) r , {\displaystyle \gamma ={\sqrt { g^{tt} }}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},} 중성 입자의 국소 방사상 탈출 속도와 관련이 있습니다. v e s c = γ 2 − 1 γ . {\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}
크리스토펠 기호 크리스토펠 상징들
Γ j k i = ∑ s = 0 3 g i s 2 ( ∂ g j s ∂ x k + ∂ g s k ∂ x j − ∂ g j k ∂ x s ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3 }\ {\frac {g^{is}}{2}}\left ({ {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}-{\frac {\partial g_{jk}}-{\partial x^{s}}\right)} 지수와 함께 { 0 , 1 , 2 , 3 } → { t , r , θ , φ } {\displaystyle \{0,\1,\2,\3\}\to\t,\r,\theta,\\\varphi \} 사라지지 않는 표정을 짓다 Γ t r t = M r − Q 2 r ( Q 2 + r 2 − 2 M r ) Γ t t r = ( M r − Q 2 ) ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) r 5 Γ r r r = − Q 2 − M r r ( Q 2 − 2 M r + r 2 ) Γ θ θ r = − r 2 − 2 M r + Q 2 r Γ φ φ r = − 죄악 2 θ ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) r Γ θ r θ = 1 r Γ φ φ θ = − 죄악 θ 코스 θ Γ φ r φ = 1 r Γ φ θ φ = 간이 침대 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\ Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\ Gamma _{rr}^{r}&=-{\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\ Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\ Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\ Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\ 감마 _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \coseta \\[6pt]\ Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\ 감마 _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}
크리스토펠 기호가 주어지면 테스트 입자의 측지학을 계산할 수 있습니다.[11] [12]
테트라드 형태 홀로노믹스 기반에서 작업하는 대신 테트라드로 효율적인 계산을 수행할 수 있습니다.[13] I = e μ I {\displaystyle {\bf {e}}_{ I }=e_ {\ mu I}}: 내부 민코프스키 지수 I ∈ {0, 1, 2, 3} {\displaystyle I\in \{0, 1, 2, 3\}, 즉 η I J e ν J = g μ ν {\displaystyle \eta^{IJ}e_{\mu I}e_{\n uJ}=g_{\mu \n u }}. 리스너 메트릭은 테트라드로 설명할 수 있습니다.
e 0 = G 1 / 2 d {\displaystyle {\bf {e} }_{0} = G^{1/2}\,dt}, e 1 = G - 1 / 2 dr {\displaystyle {\bf {e} }_{1} = G^{-1/2}\,dr}, e 2 = r d θ {\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta} e 3 = r 죄악 θ d φ {\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi} 여기서 G( r ) = 1 - r r r - 1 + r Q 2 r - 2 {\displaystyle G(r) = 1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{-2}}. 테트라드의 평행 수송 은 연결 1-형태 ω I J = - ω J = ω μ I J = e ν ∇ μ J ν {\ displaystyle {\boldsymbol {\omega}_{ IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{J I}=\omega _{\mu IJ}=e_{ I}^{\n u}\n abla _{\mu }e_{J\n u }}. 이들은 γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \n의 40개 구성 요소와 비교하여 24개의 독립 구성 요소만 가지고 있습니다. u}^{\lambda }}. 연결은 Cartan의 방정식 de I = e J ∧ ω I J {\displaystyle d{\bf {e}}_{에서 검사하여 해결할 수 있습니다. I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{ IJ }, 여기서 왼손은 테트라드의 외부 파생물 이고, 오른손은 쐐기 제품입니다.
ω 10 = 1 2 ∂ r G d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt} ω 20 = ω 30 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}_{20}={\boldsymbol {\omega}}_{30}=0} ω 21 = − G 1 / 2 d θ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta} ω 31 = − 죄악 θ G 1 / 2 d φ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi} ω 32 = − 코스 θ d φ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi} 리만 텐서 R I J = R μ ν I J {\displaystyle {\ bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \n u IJ}} 는 두 번째 카탄 방정식 R IJ = d ω IJ + ω I K ∧ ω KJ, {\displaystyle {\bf {R}}_{에 의해 두 가지 형태의 집합으로 구성할 수 있습니다.IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{ IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{ IK}\wedge {\boldsymbol {\omega}}^{K}{}_{J}} 외관 도함수와 쐐기 곱을 다시 사용합니다 . 이 접근 방식은 γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma_{\mu \n을 사용한 기존 계산보다 훨씬 빠릅니다. u}^{\lambda }}; 0이 아닌 ω I J {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ} γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \n의 9개의 0이 아닌 구성 요소와 비교됩니다.u}^{\lambda }}.
운동방정식 [14]
미터법의 구형 대칭성 때문에, 좌표계는 항상 시험 입자의 움직임이 평면에 국한되는 방식으로 정렬될 수 있으므로, 간결함과 일반성의 제한 없이 우리는 φ 대신 θ을 사용합니다. G = M = c = K = 1의 무차원 자연 단위에서 전하 q 를 가진 전하를 띤 입자의 운동은 다음과 같이 주어집니다.
x ¨ i = − ∑ j = 0 3 ∑ k = 0 3 Γ j k i x ˙ j x ˙ k + q F i k x ˙ k {\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}} 어떤 결과가 나오는지 t ¨ = 2 ( Q 2 − M r ) r ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) r ˙ t ˙ + q Q ( r 2 − 2 m r + Q 2 ) r ˙ {\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}} r ¨ = ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) ( Q 2 − M r ) t ˙ 2 r 5 + ( M r − Q 2 ) r ˙ 2 r ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) + ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) θ ˙ 2 r + q Q ( r 2 − 2 m r + Q 2 ) r 4 t ˙ {\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}} θ ¨ = − 2 θ ˙ r ˙ r . {\displaystyle {\dot {\theta}}=-{\frac {2\{\dot {\theta}}\{\dot {r}}{r}}
모든 도함수는 ˙ = dad τ {\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}의 적절한 시간과 관련됩니다.
움직임의 상수는 편미분 방정식에 대한 해 S( t , t ˙, r , r ˙, θ, θ ˙, φ ˙, φ) {\displaystyle S(t, {\dot {t}}, r, {\dot {r}},\theta, {\dot {\theta}},\varphi, {\dot {\varphi}}}에 의해 제공됩니다.
0 = t ˙ ∂ S ∂ t + r ˙ ∂ S ∂ r + θ ˙ ∂ S ∂ θ + t ¨ ∂ S ∂ t ˙ + r ¨ ∂ S ∂ r ˙ + θ ¨ ∂ S ∂ θ ˙ {\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\dot}}{\dot {r}}{\dot partial S}{\dot }}{\dot }}+{\dot {theta}}{\frac {\dot partial S}{\dot }}+{\dot {t}}{\dot }{\dot {t}}{\dot partial S}{\dot {t}}+{\dot {r}}{\dot }}{\dot {r}}+{\dot partial S}{\frac {\dot }}}{\dot partial S}{\dot {\dot }}}}} 위의 2차 도함수를 대체한 후에 미터법 자체는 미분 방정식으로 쓰여질 때 해입니다. S 1 = 1 = ( 1 − r s r + r Q 2 r 2 ) c 2 t ˙ 2 − ( 1 − r s r + r Q 2 r 2 ) − 1 r ˙ 2 − r 2 θ ˙ 2 . {\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}
가분방정식은
∂ S ∂ r − 2 r θ ˙ ∂ S ∂ θ ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta}}}=0} 즉시 일정한 상대론적 특정 각운동량을 산출합니다. S 2 = L = r 2 θ ˙ ; {\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta}};} 에서 얻어진 제3상수. ∂ S ∂ r − 2 ( M r − Q 2 ) r ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) t ˙ ∂ S ∂ t ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2)}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\dot {t}}}=0} 는 특정 에너지(단위 정지 질량당 에너지)[16] 입니다. S 3 = E = t ˙ ( r 2 − 2 M r + Q 2 ) r 2 + q Q r . {\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}
S 2 {\ displaystyle S_{2}} 와 S 3 {\ displaystyle S_{3}} 을 S 1 {\ displaystyle S_{1} 로 바꾸면 방사 방정식이 생성됩니다 .
c ∫ d τ = ∫ r 2 d r r 4 ( E − 1 ) + 2 M r 3 − ( Q 2 + L 2 ) r 2 + 2 M L 2 r − Q 2 L 2 . {\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2 ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}.
적분 기호 아래에 S2 {\ displaystyle S_{2}} 를 곱하면 궤도 방정식이 나옵니다 .
c ∫ L r 2 d θ = ∫ L d r r 4 ( E − 1 ) + 2 M r 3 − ( Q 2 + L 2 ) r 2 + 2 M L 2 r − Q 2 L 2 . {\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2 ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}.
무한대에서 시험입자와 관찰자 사이의 총 시간 팽창은
γ = q Q r 3 + E r 4 r 2 ( r 2 − 2 r + Q 2 ) . {\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}
제1 도함수 x ˙i {\displaystyle {\dot {x}^{i}} 및 로컬 3-속도 vi {\displaystyle v^{i}의 반변 성분은 다음과 관련이 있습니다.
x ˙ i = v i ( 1 − v 2 ) g i i , {\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ g_{ii} }}},} 그것은 초기 조건을 제공합니다. r ˙ = v ∥ r 2 − 2 M + Q 2 r ( 1 − v 2 ) {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}{r\sqrt {(1-v^{2}}}} θ ˙ = v ⊥ r ( 1 − v 2 ) . {\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}
비궤도 에너지는
E = Q 2 − 2 r M + r 2 r 1 − v 2 + q Q r {\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}} 그리고 특정 상대 각운동량 L = v ⊥ r 1 − v 2 {\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}} 테스트 particle의 보존된 운동량입니다. v ∥ {\displaystyle v_{\para llel }} 및 v ⊥ {\displaystyle v_{\perp}}는 로컬 속도-v ector의 반경 및 횡방향 성분입니다. 따라서 국소 속도는 v = v ⊥ 2 + v ∥ 2 = ( E 2 − 1 ) r 2 − Q 2 − r 2 + 2 r M E 2 r 2 . {\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM} {E^{2}r^{2}}}.
미터법의 대체 공식 미터법은 다음 과 같이 Kerr-Schild 형태 로 표현할 수 있습니다.
g μ ν = η μ ν + f k μ k ν f = G r 2 [ 2 M r − Q 2 ] k = ( k x , k y , k z ) = ( x r , y r , z r ) k 0 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \n u }&=\eta _{\mu \n u}+fk_{\mu}k_{\n u }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\ \[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right) \\[5pt]k_{0}&=1. \end{align}}}
k 는 단위 벡터임 을 주목하십시오. 여기 서 M 은 물체의 일정한 질량, Q 는 물체의 일정한 전하, η은 민코프스키 텐서입니다.
미터법에 대한 양자 중력 보정 양자 중력 에 대한 특정 접근 방식에서 고전적인 Rissner-Nordström 메트릭은 양자 보정을 받습니다. 바르빈스키와 빌코비스키가 개척한 효과적인 장 이론 접근법이 그 예입니다.[17] [18] [19] [20] 곡률 의 두 번째 순서에서 고전 아인슈타인-힐베르트 작용 은 국소 및 비국소 용어로 보충됩니다.
Γ = ∫ d 4 x − g ( R 16 π G N + c 1 ( μ ) R 2 + c 2 ( μ ) R μ ν R μ ν + c 3 ( μ ) R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ ) − ∫ d 4 x − g [ α R ln ( ◻ μ 2 ) R + β R μ ν ln ( ◻ μ 2 ) R μ ν + γ R μ ν ρ σ ln ( ◻ μ 2 ) R μ ν ρ σ ] , {\displaystyle \Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \n u}R^{\mu \n u }+c_{3}(\mu )R_{\mu \n u \rho \sigma }R^{\mu \n u \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right) R+\beta R_{\mu \n u }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right) R^{\mu \n u }+\gamma R_{\mu \n u \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right) R^{\mu \n u \rho \ sigma }{\bigg ]}} ( R μ ν ρ σ {\displaystyle R_{\mu \n u \rho \sigma}}: Rμ ν ρ σ {\displaystyle R^{\mu \n으로 취소합니다.u \rho \sigma}} 및 Rμ ν {\displaystyle R_ {\mu \nu}} Rμ ν {\displaystyle R ^{\mu \n으로 취소합니다.u}).
여기 서 μ {\displaystyle \mu} 는 에너지 척도입니다. 계수 c 1 , c 2, c 3 {\ displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}} 의 정확한 값은 양자중력의 자외선 이론의 특성에 따라 달라지기 때문에 알 수 없습니다 . 반면, 계수 α, β , γ {\displaystyle \alpha,\beta,\ gamma}는 계산 가능합니다. 연산자 ln ( ◻ / μ2 ) {\displaystyle \ln \left(\Box /\mu ^{2}\ right)}이(가) 적분 표현을 가지고 있습니다.
ln ( ◻ μ 2 ) = ∫ 0 + ∞ d s ( 1 μ 2 + s − 1 ◻ + s ) . {\displaystyle \ln \left ({\frac {\mu ^{2}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left ({\frac {1}{\mu ^{2}+s}-{\frac {1}{\Box +s}\right)}} 액션의 새로운 추가 용어는 고전적인 솔루션의 수정을 의미합니다. Campos Delgado는 O( G2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(G^{2}) 까지 양자 보정된 Rissner-Nordström 메트릭을 발견했습니다. [22]
d s 2 = − f ( r ) d t 2 + 1 g ( r ) d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 죄악 2 θ d ϕ 2 , {\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},} 어디에
f ( r ) = 1 − 2 G M r + G Q 2 r 2 − 32 π G 2 Q 2 r 4 [ c 2 + 4 c 3 + 2 ( β + 4 γ ) ( ln ( μ r ) + γ E − 3 2 ) ] , {\displaystyle f(r)=1-{\frac {2 GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},} g ( r ) = 1 − 2 G M r + G Q 2 r 2 − 64 π G 2 Q 2 r 4 [ c 2 + 4 c 3 + 2 ( β + 4 γ ) ( ln ( μ r ) + γ E − 2 ) ] . {\displaystyle g(r)=1-{\frac {2 GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\ big ]}.
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참고문헌 외부 링크
종류들 크기 형성 특성. 문제들 메트릭 대안 아날로그 목록 관련된 주목할 만한