칼루자-클라인 이론

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표준 모델을 넘어서
양자를 충돌시켜 생성된 힉스 보손이 강입자 제트와 전자로 붕괴하는 모습을 묘사한 시뮬레이션 대형 강입자 충돌기 CMS 입자 검출기 데이터
표준 모델
증거 계층문제 암흑물질 암흑 에너지 퀸텐시스 팬텀 에너지 암복사 다크 광자 우주 상수 문제 강력한 CP 문제 중성미자 진동
이론들 브랜스-다이크 이론 우주 검열 가설 제5의 힘 F이론 만물론 통일장론 대통합론 테크니컬러 칼루자-클라인 이론 6D (2,0) 초적합장 이론 비상호환 양자장 이론 양자우주론 브레인 우주론 끈이론 초끈이론 M이론 수학적 우주 가설 거울 물질 Randall-Sundrum 모형 N = 4 초대칭 양-밀스 이론 트위스터 끈이론 다크 플루이드 이중 특수 상대성 이론 디시터 불변 특수 상대성 이론 인과 페르미온계 블랙홀 열역학 무입자 물리학 그라비포톤 그라비스칼라 그라비톤 그라비티노 거대중력 게이지 중력 이론 게이지 이론 중력 CPT 대칭
초대칭 MSSM NMSM 초끈이론 M이론 초중력 초대칭 깨짐 여분의 치수 큰 여분의 치수
양자중력 오진공 끈이론 스핀폼 퀀텀폼 양자기하학 고리양자중력 양자우주론 고리양자우주론 인과역학적 삼각측량 인과 페르미온계 인과집합 정준양자중력 반고전적 중력 초유체 진공론
실험 애니 그란사소 INO LHC SNO 슈퍼케이 테바트론 NOVA
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물리학에서 칼루자-클라인 이론(KK 이론)은 공간과 시간의 공통적인 4차원을 넘어서는 5차원의 아이디어를 중심으로 구축된 중력과 전자기에 대한 고전적인 통합 필드 이론이며 끈 이론의 중요한 선구자로 여겨집니다. 그들의 설정에서 진공은 일반적인 3차원의 공간과 1차원의 시간을 갖지만 또 다른 미시적인 여분의 공간 차원은 작은 원 모양입니다. Gunnar Nordström도 비슷한 생각을 가지고 있었습니다. 하지만 그 경우, 다섯 번째 성분이 전자기 벡터 퍼텐셜에 추가되어 뉴턴의 중력 퍼텐셜을 나타내며 맥스웰 방정식을 5차원으로 작성했습니다.^[1]

5차원(5D) 이론은 세 단계로 발전했습니다. 최초의 가설은 1919년^[2] 아인슈타인에게 그의 결과를 보내고 1921년에 발표한 테오도르 칼루자로부터 왔습니다.^[3] Kaluza는 일반 상대성 이론을 5D로 완전히 고전적인 확장을 제시했고, 15개의 구성 요소의 메트릭 텐서를 사용했습니다. 10개의 구성 요소는 4D 시공간 메트릭으로 식별되며, 4개의 구성 요소는 전자기 벡터 전위로 식별되며, 1개의 구성 요소는 "방사선" 또는 "딜라톤"으로 불리기도 합니다. 이에 따라 5D 아인슈타인 방정식은 4D 아인슈타인 필드 방정식, 전자기장에 대한 맥스웰 방정식, 스칼라장에 대한 방정식을 산출합니다. 칼루자는 5차원 메트릭의 어떤 구성 요소도 5차원에 의존하지 않는다는 "실린더 조건" 가설도 소개했습니다. 이 제한 없이, 다섯 번째 좌표와 관련된 분야의 도함수를 포함하는 용어가 도입되고, 이러한 추가 자유도는 완전히 가변적인 5D 상대성 이론의 수학을 엄청나게 복잡하게 만듭니다. 표준 4D 물리학은 이러한 "실린더 상태"와 함께 더 간단한 수학을 표현하는 것처럼 보입니다.

1926년 오스카 클라인은 칼루자의 고전적인 5차원 이론을 하이젠베르크와 슈뢰딩거의 당시 발견과 일치시키는 양자 해석을 제시했습니다.^[4][5] 클라인은 실린더 상태를 설명하기 위해 다섯 번째 차원이 웅크리고 미세하다는 가설을 소개했습니다. 클라인은 여분의 다섯 번째 차원의 기하학은 반지름이 10⁻³⁰ cm인 원의 형태를 취할 수 있다고 제안했습니다. 좀 더 정확히 말하면, 원형 치수의 반지름은 플랑크 길이의 23배이고, 이는 차례로 10cm⁻³³ 정도입니다.^[5] 클라인은 또한 적절하게 정규화된 5D 메트릭을 제공함으로써 고전 이론에 기여했습니다.^[4] 아인슈타인과 프린스턴의 동료들은 1930년대 동안 칼루자 장 이론에 대한 연구를 계속했습니다.

1940년대에 고전 이론은 완성되었고 스칼라장을 포함한 전체 필드 방정식은 세 개의 독립적인 연구 그룹에 의해 얻어졌습니다.^[6] 프랑스에서 리히네로비치 밑에서 논문 작업을 ^[7][8][9]한 Thiry, 독일에서 Jordan, Ludwig, Müller,^{[10][11][12][13][14]} 그리고 Pauli와 Fierz의 비판적인 의견을 받은 Scherrer^[15][16][17], 그리고 스위스에서 혼자 연구했습니다. Jordan의 연구는 Brans-Dicke의 스칼라-텐서 이론으로 ^[18]이어졌습니다. Brans와 Dicke는 Thiry나 Scherrer를 분명히 알지 못했습니다. 실린더 조건의 전체 칼루자 방정식은 상당히 복잡하며, Thiry의 영어 번역뿐만 아니라 대부분의 영어 리뷰에는 약간의 오류가 포함되어 있습니다. 완전한 칼루자 방정식에 대한 곡률 텐서는 2015년 텐서 대수 소프트웨어를 사용하여 평가되었으며,^[19] 페라리와^[20] 코크레오 & 에스포지토 파레스의 결과를 검증했습니다.^[21] 에너지-운동량 소스 용어의 5D 공변 형태는 Williams에 의해 처리됩니다.^[22]

칼루자 가설

칼루자는 1921년 논문에서 고전적인 5차원 이론의 모든 요소를 확립했습니다: ^[3]미터법, 필드 방정식, 운동 방정식, 응력-에너지 텐서, 원기둥 조건. 자유 매개변수 없이 일반 상대성 이론을 5차원으로 확장할 뿐입니다. 하나는 라틴 인덱스가 ${\displaystyle {\mathrm{5차원}}_{}}$에 걸쳐 있는 5차원 메트릭${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}g{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ~ b${\displaystyle {\widetilde$ {g$\}$_{ab$}}$의 형태를 가정하는 것으로 시작합니다$.$ 4차원 시공간 메트릭 $g\mu$ν {\$displaystyle {g}_${\mu \n도 소개합니다.$u$ 여기서 그리스 지수는 공간과 시간의 일반적인 4차원에 걸쳐 있습니다. 전자기 벡터 전위로 식별된 4-벡터 ${\displaystyle {A\mu }^{}}${\$displaystyle$ A$^{\mu}},$ 스칼라 필드$$$ϕ$${\displaystyle \$phi}. 그런 다음 5D 메트릭을 분해하여 4D 메트릭이 전자기 벡터 전위에 의해 프레임화되도록 하고 스칼라 필드는 다섯 번째 대각선에 있습니다. 이것은 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

${\displaystyle {\widetilde {g}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu}+\phi^{2}A_{\mu}A_{\nu}&\phi^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

더 정확하게 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu}+\phi^{2}A_{\mu}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

여기서 $인덱스{\displaystyle \mathrm{}}$5 {\$displaystyle 5}$는 처음 4개의 좌표가 0, 1, 2, 3으로 인덱싱되더라도 관례에 따라 5번째 좌표를 나타냅니다$$. 연관된 역 메트릭은

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu}&-A^{\mu}\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

이 분해는 상당히 일반적이며 모든 항은 무차원입니다. 그런 다음 칼루자는 표준 일반 상대성 이론의 기계를 이 계량에 적용합니다. 필드 방정식은 5차원 아인슈타인 방정식에서, 운동 방정식은 5차원 측지 가설에서 얻습니다. 결과적인 필드 방정식은 일반 상대성 이론과 전기 역학의 방정식을 모두 제공합니다. 운동 방정식은 4차원 지오데식 방정식과 로렌츠 힘 법칙을 제공하고, 전하가 5차원에서 운동과 동일하다는 것을 발견합니다.

메트릭에 대한 가설은 불변 5차원 길이 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ ${\displaystyle ds}$를 의미합니다$.$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}_{ab}\, dx^{a}\, dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu}+\phi^{2}(A_{\n)u}\, dx^{\nu}+ dx^{5})^{2}.$

칼루자 가설의 장방정식

칼루자나 클라인은 스칼라장을 무시했기 때문에 5차원 이론의 필드 방정식을 제대로 제공하지 못했습니다. 전체 칼루자 필드 방정식은 일반적으로 진공 필드 방정식을 얻은 ^[8]Thiry에게 귀속되지만, Kaluza는^[3] 원래 이론에 응력-에너지 텐서를 제공하고 Thiry는 논문에 응력-에너지 텐서를 포함시켰습니다. 그러나 Gonner가 설명한 바와 같이,^[6] 1940년대와 그 이전에 몇몇 독립적인 그룹들이 필드 방정식을 연구했습니다. Thiry는 Applequist, Chodos, & Freund가 리뷰 책에서 영어 번역을 제공했기 때문에 가장 잘 알려져 있을 것입니다.^[23] Applequist et al. 는 Kaluza 의 기사를 영어로 번역하기도 했습니다. 요르단 기사 3편(1946, 1947, 1948)의 번역본은 Research Gate와 Academia.edu 아카이브에서 확인할 수 있습니다. 스칼라 필드를 포함한 최초의 올바른 영어 칼루자 필드 방정식은 윌리엄스에 의해 제공되었습니다.^[19]

5D 필드 방정식을 얻기 위해 5D 연결${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$γ ~$$b ca ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma}}_{$bc}^{a}}는 5D${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\mathrm{메트릭}}}$g ~ b${\displaystyle {\widetilde {g$_{ab}}, ${\displaystyle {\mathrm{그리고}}_{}}$ 5D Ricci ${\displaystyle {tensor}_{}}$ $R{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~$b$ {\displaystyle ${\widetilde {R}$_{$ab}}$는 5D 연결로부터 계산됩니다$$.

Thiry와 다른 저자들의 고전적인 결과는 실린더 상태를 추정합니다.

${\displaystyle {\frac {\widetilde {g}_{ab}}{\partial x^{5}}=0.}$

이 가정이 없으면 필드 방정식은 훨씬 더 복잡해져서 다양한 새로운 필드로 식별할 수 있는 훨씬 더 많은 자유도를 제공합니다. Paul Wesson과 동료들은 물질 분야와 식별할 수 있는 추가 조건을 얻기 위해 실린더 조건의 완화를 추구했고,^[24] 이를 위해 Kaluza는 스트레스-에너지 텐서를 손으로^[3] 삽입했습니다.

원래 칼루자 가설에 대한 반대는 그 역학을 부정하기 위해 제5차원을 발동하는 것이었습니다. 그러나 Thiry는 로런츠 힘 법칙을 5차원 측지학적 관점에서 해석하면 실린더 조건과 상관없이 5차원에 대해 강력하게 군사를 일으킨다고 주장했습니다^[6]. 따라서 대부분의 저자는 필드 방정식을 유도하는 데 실린더 조건을 사용했습니다. 또한 진공 방정식은 일반적으로 다음에 대해 가정됩니다.

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

어디에

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial_{c}{\widetilde {\Gamma}}_{ab}^{c}-\partial_{b}{\widetilde {\Gamma}}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma}}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma}}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma}}_{bd}^{c}}$

그리고.

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma}}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}_{db}-\partial _{db}}{\widetilde {g}_{bc}).$

이렇게 해서 Thiry와^[8] Jordan 그룹이^[10][11][13] 얻은 진공장 방정식은 다음과 같습니다.

ϕ$${\$displaystyle$\phi}의 필드 방정식은 다음에서 가져옵니다.

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\오른쪽 화살표 \Box \phi ={\frac {1}{4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }}$

여기서 $F$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}{}_{}}$≡ ∂${\displaystyle {}_{}}$α A${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{\beta }_{}}$ - ∂ β A α, ${\displaystyle F_{\alpha \$beta $}\equiv \$partial _${\$alpha }$A_{\beta$}-\partial _{\beta }$A_${\${\displaystyle {alpha}^{}{\}}_{}}$ ◻ ≡ g μ ∇ ν, {\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \n$u}\n$$abla_{\mu}\n$$abla_{\n$$u},}$ ${\displaystyle {및}_{}}$ $∇$ μ${\displaystyle$ \n$abla_{\mu}}$는 표준입니다$$. 4D 공변 도함수. 전자기장이 스칼라장의 근원임을 보여줍니다. 전자기장을 제한하지 않고는 스칼라장을 상수로 설정할 수 없습니다. 칼루자와 클라인의 초기 처리는 스칼라장에 대한 적절한 설명이 없었고 스칼라장이 일정하다고 가정함으로써 전자기장에 대한 암시적인 제약을 실현하지 못했습니다.

$A$ν${\displaystyle$ A^{\n에 대한 필드 방정식$u}}$에서 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\widetilde {R}_{5\alpha}=0={\frac {1}{2}g^{\beta \mu}\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

스칼라장이 일정하면 진공 맥스웰 방정식의 형태를 갖습니다.

4D 리치 텐서 $R$ μ$$ν {\$displaystyle$R_{\mu \n에 대한 필드 방정식$u}}$에서 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\n아발아발아발아발아발아발아발아발아발아! _{\mu}\nabla_{\nu }\phi -g_{\mu \nu}\Box \phi),\end{aligned}}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 표준 4D 리치 스칼라입니다.

이 방정식은 "칼루자 기적"이라고 불리는 놀라운 결과를 보여줍니다. 전자기 응력-에너지 텐서에 대한 정확한 형태가 4D 방정식의 소스인 진공에서 필드로 5D 진공 방정식에서 나온다는 것입니다. 이 관계를 통해 ${\displaystyle {A\mu }^{}}$ ${\$를 전자기 벡터 전위로$$ 확실하게 식별할 수 있습니다. $따라서$ A ${\displaystyle {\mu }^{}}$ → ${\displaystyle k}$ A ${\displaystyle {\mu }^{}}$ {\$displaystyle$ $A^{\mu}\to kA^{\mu}}$이 되도록 변환 상수 $k$ ${\displaystyle k}$로 필드의 스케일을 조정해야 합니다$.$

위의 관계는 우리가 해야 할

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 중력 상수이고 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$는 자유 공간의 투과율입니다. 칼루자 이론에서 중력 상수는 미터법에서 전자기 결합 상수로 이해될 수 있습니다. 스칼라 필드를 위한 응력-에너지 텐서도 있습니다. 스칼라장은 전자기 응력-에너지와 시공간 곡률의 결합을 조절한다는 측면에서 가변 중력 상수처럼 작용합니다. 메트릭에서$$ϕ 2 ${\displaystyle \phi$^{2}}의 부호는 전자파 에너지 밀도가 양수가 되도록 4D 이론과 일치하여 고정됩니다. 다섯 번째 좌표는 메트릭의 서명과 같은 공간이라고 가정하는 경우가 많습니다.

물질이 존재하는 경우 5D 진공 상태를 가정할 수 없습니다. 정말로, 칼루자는 그것을 가정하지 않았습니다. 전체 필드 방정식에는 5D 아인슈타인 텐서의 평가가 필요합니다.

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}_{ab}{\widetilde {R}}$

위의 전자기 응력-에너지 텐서의 회복에서 볼 수 있는 바와 같이. 5D 곡률 텐서는 복잡하며 대부분의 영어 리뷰에는 Thiry의 영어 번역과 $마찬가지$로 G${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ a ${\displaystyle b_{}}$ ${\$ $또는$ R ~ ${\displaystyle b_{}}${\$displaystyle${\$widetilde {R}_{ab$에 오류가 포함되어 있습니다.^[8] 실린더 조건에서 텐서 대수 소프트웨어를 사용하여 평가된 완전한 5D 곡률 텐서 세트는 Williams를^[19] 참조하십시오.

칼루자 가설의 운동 방정식

운동 방정식은 5차원 측지 가설에서 ${\displaystyle {5차원}^{}}$ 속도 U${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$~ ≡ ${\displaystyle \mathrm{dx}}$ a $/ ds$ {\$displaystyle {\widetilde$ {$U}^{a}\equiv$ dx^{a$\}/$ds}:

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

이 방정식은 여러 가지 방법으로 재구성될 수 있으며, Kaluza,^[3] Pauli, ^[25]Gross & Perry,^[26] Gegenberg & Kunstatter,^[27] Wesson & Ponce de Leon 등의 저자들에 의해 다양한 형태로 연구되었습니다.^[28] 그러나 일반적인 4차원 길이 요소 c $2$ ${\displaystyle d^{}{}^{}}$τ 2 ≡ g ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ν d x$$μ d $x$ν {\$displaystyle$c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \n로 변환하는 것이 좋습니다.$u }\,dx^{\mu }\,dx^{\n$$u$ 위에 주어진$$ 5차원 길이 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ ${\displaystyle ds}$와 관련이 있습니다.

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu}\, dx^{\nu}+ dx^{5})^{2}.$

그런 다음 4-속도의 시공간 구성 요소에 대해 5D 측지 방정식을^[29] 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu}}{d\tau }}}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

$U$ν${\displaystyle$ U^{\n에서 2차라는 용어$u}}$에는 4D 측지 방정식과 일부 전자기 용어가 추가됩니다$$.

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

$U$ν${\displaystyle$ U^{\n에서 선형이라는 용어$u}}$은(는) 로렌츠 힘 법칙을 제공합니다$$.

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma}}_{5\alpha}^{\mu}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

이것은 "칼루자 기적"의 또 다른 표현입니다. 아인슈타인 방정식에서 전자기 응력-에너지를 제공하는 5D 메트릭에 대한 동일한 가설은 4D 측지 방정식과 함께 운동 방정식에서 로렌츠 힘 법칙을 제공합니다. 그러나 로렌츠 힘 법칙과 일치하려면 전하와 함께 5차원을 따라 5-속도의 성분을 식별해야 합니다.

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}}}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 입자 질량이고 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 입자 전하입니다$$. 따라서 전하는 다섯 번째 차원을 따르는 운동으로 이해됩니다. 로런츠 힘 법칙이 5차원 측지학으로 이해될 수 있다는 사실은 미적으로 불쾌한 원통 상태가 존재하는 경우에도 칼루자에게 5차원 가설을 고려하는 주된 동기였습니다.

$그러나{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {U5\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 사차항이라는 문제가 있습니다$.$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma}}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}}$

스칼라 필드에 기울기가 없으면 ${\displaystyle {U5\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 2차 항이 사라집니다$$. 하지만 그렇지 않으면 위의 표현은

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

기본 입자의 경우 5> c ${\displaystyle$ U$^{5}> 10^{20}c}$입니다 $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 2차라는 용어가 경험과 모순되는 경우 방정식을 지배해야$$ 합니다. 이것이 칼루자가 본 오차원 이론의 주요 부족이었고,^[3] 그는 그의 원래 글에서 그것을 약간의 논의를 합니다.^{[clarification needed]}

${\displaystyle {U5\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 운동 방정식은 실린더 조건에서 특히 간단합니다$$. 공변 5-속도에 대해 작성된 측지 방정식의 대체 형식으로 시작합니다.

${\displaystyle {\widetilde {U}_{a}}{ds}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}^{b}{\widetilde {U}}{\c}{\frac {\widetilde {g}_{bc}}{\partial x^{a}}}}$

이는 $실린더{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 조건에서 ${\displaystyle U_{\mathrm{}}}$~ 5 ${\$가 5차원 움직임의 상수임을 의미합니다.

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu}U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

물질응력-에너지 텐서에 대한 칼루자의 가설

칼루자는 이러한 형태의 5차원 물질 ${\displaystyle {\mathrm{응력}}_{}^{}}$ 텐서 T$~$ {\displaystyle ${\widetilde {T}_{M$}^{ab$}}$를 제안하였습니다^[3].

${\displaystyle {\widetilde {T}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}{ds}}}$

여기서$$ρ ${\displaystyle$\rho}는 밀도이고 길이$$ $ds$ {\$displaystyle$ds}는 위에서 정의한 대로입니다.

그러면 시공간 성분은 전형적인 "먼지" 응력-에너지 텐서를 제공합니다.

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu}}:{ds}}.$

혼합 성분은 맥스웰 방정식에 4 전류원을 제공합니다.

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

5차원 메트릭이 전자기 벡터 전위에 의해 프레임화된 4차원 메트릭을 포함하는 것처럼, 5차원 스트레스-에너지 텐서는 벡터 4-전류에 의해 프레임화된 4차원 스트레스-에너지 텐서를 포함합니다.

클라인의 양자해석

칼루자의 원래 가설은 순전히 고전적이고 확장된 일반 상대성 이론의 발견이었습니다. 클라인의 공헌에 즈음하여 하이젠베르크, 슈뢰딩거, 드브로이의 발견은 많은 주목을 받았습니다. 클라인의 네이처 기사는 다섯 번째 차원이 폐쇄적이고 주기적이며 다섯 번째 차원에서 움직임이 있는 전하의 식별은 원자의 보어 모델에서 핵 주위의 전자와 매우 유사한 ${\displaystyle {파장}^{}}$λ 5 {\displaystyle$$\$lambda$ ^{5}}의 정상파로 해석될 수 있다고 제안했습니다. 그러면 전하의 양자화는 5차원 운동량의 정수배로 잘 이해될 수 있을 것입니다. 전하량 $측면$에서 U ${\displaystyle 5^{}}${\$displaystyle$ U$^{5}}$에 대한 이전의 칼루자 결과와 $운동량$ p ${\displaystyle 5^{}}$ =${\displaystyle h}$ /$$λ 5 {\displaystyle p^{5} = h/\ lambda ^{5}}에 대한 드브로이 관계를 결합하여 클라인은 이러한 파동의 0번째 모드에 대한 식을 얻었습니다.

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}\quad \오른쪽 화살표 \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}}}$

$여기$서 h ${\displaystyle$ h$}$는 플랑크 상수입니다. Klein은${\displaystyle {}^{}}$λ${\displaystyle {}^{}}$5 ~ 10 - 30 ${\displaystyle \lambda$^{$5}\sim$10^{-30}cm 이 작은 값에서 실린더 상태에 대한 설명을 발견했습니다.

같은 해 클라인의 Zeitschrift für Physik 기사는 ^[4]슈뢰딩거와 드브로이의 기술을 명시적으로 언급하는 더 자세한 치료를 제공했습니다. 위에서 설명한 칼루자의 고전 이론의 상당 부분을 요약한 다음 클라인의 양자 해석으로 출발했습니다. 클라인은 폐쇄적이고 콤팩트한 5차원에서 공명하는 5차원 파동의 관점에서 확장을 사용하여 슈뢰딩거와 같은 파동 방정식을 풀었습니다.

양자장이론 해석

이 섹션은 비어 있습니다. 추가하여 도움을 드릴 수 있습니다. (2015년 2월)

군론해석

1926년 오스카 클라인은 네 번째 공간 차원이 매우 작은 반지름의 원 안에 웅크려서 그 축을 따라 짧은 거리를 이동하는 입자가 그것이 시작된 곳으로 돌아갈 것이라고 제안했습니다. 입자가 초기 위치에 도달하기 전에 이동할 수 있는 거리는 차원의 크기라고 합니다. 이 여분의 차원은 콤팩트 세트이며, 이 콤팩트 차원의 구성을 콤팩트화라고 합니다.

현대 기하학에서 추가 5차원은 원 그룹 U(1)로 이해될 수 있는데, 전자기학은 본질적으로 게이지 그룹 U(1)와 함께 섬유 다발인 원 번들에 대한 게이지 이론으로 공식화될 수 있기 때문입니다. 칼루자-클라인 이론에서 이 그룹은 게이지 대칭이 원형 콤팩트 차원의 대칭임을 시사합니다. 이 기하학적 해석을 이해하면 U(1)을 일반적인 Lie 그룹으로 대체하는 것이 비교적 간단합니다. 그러한 일반화를 흔히 양-밀스 이론이라고 합니다. 구별이 그려지면 양-밀스 이론은 평평한 시공간에서 발생하는 반면 칼루자-클라인은 곡선 시공간의 더 일반적인 경우를 다룬다는 것입니다. 칼루자-클라인 이론의 기본 공간은 4차원 시공간일 필요는 없습니다; 그것은 임의의 (의사-) 리만 다양체이거나, 심지어 초대칭 다양체 또는 오비폴드이거나, 심지어 비가환 공간일 수도 있습니다.

대략적으로 다음과 같이 구성을 설명할 수 있습니다.^[30] 하나는 매니폴드 M 위에 게이지 그룹 G가 있는 주 섬유 다발 P를 고려하는 것으로 시작됩니다. 번들에 대한 연결과 기본 매니폴드에 대한 메트릭 및 각 섬유의 접선에 대한 게이지 불변 메트릭이 주어지면 전체 번들에 정의된 번들 메트릭을 구성할 수 있습니다. 이 번들 메트릭의 스칼라 곡률을 계산하면 각 섬유에서 일정하다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 "칼루자 기적"입니다. 실린더 조건을 명시적으로 부과하거나 압축할 필요가 없었습니다. 가정에 따라 게이지 그룹은 이미 콤팩트합니다. 다음으로, 이 스칼라 곡률을 라그랑지안 밀도로 가져와서 아인슈타인을 구성합니다.묶음에 대한 힐버트 작용, 전체적으로. 운동 방정식인 오일러-라그랑주 방정식은 기본 매니폴드의 메트릭 또는 게이지 연결의 변형과 관련하여 동작이 정지된 위치를 고려하여 얻을 수 있습니다. 기본 메트릭에 대한 변화는 기본 매니폴드의 아인슈타인 필드 방정식을 제공하며, 에너지-운동량 텐서는 게이지 연결의 곡률(필드 강도)로 제공됩니다. 반대로, 게이지 연결이 양-밀스 방정식을 해결할 때 게이지 연결의 변화에 대해 동작이 고정됩니다. 따라서 단일 아이디어: 최소 작용의 원리, 번들의 스칼라 곡률(전체적으로) 단일 수량에 적용하여 시공간과 게이지 필드 모두에 필요한 모든 필드 방정식을 동시에 얻습니다.

힘의 통일을 위한 접근법으로, 표준 모델의 대칭군인 SU(3) × SU(2) × U(1)을 사용하여 중력을 강약력과 전기약력으로 통일하려는 시도에서 Kaluza-Klein 이론을 적용하는 것은 간단합니다. 그러나 이 흥미로운 기하학적 구조를 현실에 대한 선의의 모델로 전환하려는 시도는 페르미온이 인위적인 방법으로 도입되어야 한다는 사실을 포함하여 여러 가지 문제에 허덕입니다. 그럼에도 불구하고, KK는 이론 물리학에서 중요한 시금석으로 남아 있으며 종종 더 정교한 이론에 내장됩니다. 그것은 K-이론에서 기하학적 관심의 대상으로서 나름대로 연구되고 있습니다.

완전히 만족스러운 이론 물리학 프레임워크가 없는 경우에도 추가적이고 압축된 차원을 탐색하는 아이디어는 실험 물리학 및 천체 물리학 커뮤니티에서 상당한 관심을 끌고 있습니다. 실제 실험 결과와 함께 다양한 예측을 할 수 있습니다(큰 여분의 차원과 뒤틀린 모델의 경우). 예를 들어, 가장 단순한 원리에서는 추가로 압축된 차원에서 정상파를 가질 것으로 예상할 수 있습니다. 공간 추가 차원이 반지름 R인 경우, 이러한 정상파의 불변 질량은 정수 n을 갖는 M = nh/Rc이며, h는 플랑크 상수이고 c는 빛의 속도입니다. 이 가능한 질량 값들의 집합은 종종 칼루자-클라인 타워라고 불립니다. 유사하게, 열 양자장 이론에서 유클리드 시간 차원의 압축은 마츠바라 주파수로 이어져 이산화된 열 에너지 스펙트럼으로 이어집니다.

그러나 양자 이론에 대한 클라인의 접근 방식은 결함이^{[citation needed]} 있으며, 예를 들어 플랑크 질량의 크기 순서로 계산된 전자 질량으로 이어집니다.^[31]

실험적인 연구의 예로는 CDF 공동 연구에 의한 작업이 있습니다. CDF 공동 연구는 큰 추가 차원/왜곡 모델과 관련된 효과의 서명을 위해 입자 충돌기 데이터를 재분석했습니다.

브란덴베르거와 바파는 초기 우주에서 우주 팽창으로 인해 우주 차원 중 세 가지가 우주 크기로 확장되는 반면 나머지 우주 차원은 미시적으로 유지된다고 추측했습니다.

시공간 물질 이론

칼루자-클라인 이론의 한 가지 특별한 변형은 시공간 물질 이론 또는 유도 물질 이론이며, 주로 폴 웨슨과 다른 시공간 물질 컨소시엄의 구성원들에 의해 발표되었습니다.^[32] 이 버전의 이론에서, 방정식에 대한 해는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

4차원에서 이 해들이 아인슈타인의 방정식을 만족하도록 다시 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu}\,}$

5차원 공간 위의 리치-평탄 조건으로부터 다음과 같은 정확한 형태의_μν T로. 즉, 이전 개발의 실린더 상태가 감소하고, 응력-에너지는 이제 5번째 좌표에 대한 5D 메트릭의 도함수에서 나옵니다. 에너지-운동량 텐서는 일반적으로 4차원 공간의 물질 농도에 기인하는 것으로 이해되기 때문에, 위의 결과는 4차원 물질이 5차원 공간의 기하학으로부터 유도된다는 것으로 해석됩니다.

특히, $R{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle b}$ = 0 ${\$display style {\widetilde {R}_{ab}=0}의 솔리톤 솔루션은 방사선이 지배하는(초기 우주) 형태와 물질이 지배하는(후기 우주) 형태 모두에서 프리드만-레마 î트르-로버트슨-워커 메트릭을 포함하는 것으로 나타날 수 있습니다. 일반 방정식은 물리적 원리에서 허용될 수 있는 일반 상대성 이론의 고전적 테스트와 충분히 일치하는 동시에 흥미로운 우주론적 모델을 제공할 수 있는 상당한 자유를 남깁니다.

기하학적 해석

칼루자-클라인 이론은 기하학적인 면에서 특히 우아한 표현을 하고 있습니다. 어떤 의미에서는 4차원이 아니라 5차원으로 표현된다는 점을 제외하고는 자유 공간에서의 일반적인 중력처럼 보입니다.

아인슈타인 방정식

자유 공간에서 일반 중력을 지배하는 방정식은 어떤 행동에 변분 원리를 적용함으로써 행동으로부터 얻을 수 있습니다. M이 일반 상대성 이론의 시공간으로 간주될 수 있는 (가명-) 리만 다양체라고 가정하자. g가 이 다양체의 메트릭이면 작용 S(g)를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle S(g)=\int_{M}R(g)\operatorname {vol}(g),}$

여기서 R(g)는 스칼라 곡률이고 vol(g)는 볼륨 요소입니다. 행동에 변분 원리를 적용함으로써

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\deltag}}=0,}$

자유 공간에 대한 정확한 아인슈타인 방정식을 얻습니다.

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

여기서 R은_ij 리치 텐서입니다.

맥스웰 방정식

대조적으로, 전자기학을 설명하는 맥스웰 방정식은 주 U(1) 번들 ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 원 번들${\displaystyle }$π의 호지 방정식으로 이해될 수 있습니다. P → M ${\displaystyle$ \pi :섬유 U(1)가 있는 $P\to$ M$}$입니다. 즉$,$ 전자기장 $F$ ${\displaystyle$ F$}$는 $매니폴드$ M ${\displaystyle$$M$}에서 미분 가능한 2-형태의 공간${\displaystyle }$ω$$ω 2 (M) ${\displaystyle \Omega$^{2}(M)}의 조화 2-형태입니다. 전하와 전류가 없는 경우 자유장 맥스웰 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star} F=0.}$

$여기서$⋆ ${\displaystyle$\star}은(는) 호지스타 연산자입니다.

칼루자-클라인 기하학

칼루자-클라인 이론을 구축하기 위해, 우리는 원 ${\displaystyle {S1\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 불변 메트릭을 선택합니다. 이는$$ 전자기학의 U(1) 묶음의 섬유입니다. 이 논의에서 불변 메트릭은 단순히 원의 회전 하에서 불변하는 메트릭입니다. 이 메트릭이 원에 총 길이$$λ λ ${\$displaystyle$$\Lambda$\}$를 제공한다고 가정합니다. 그런 다음 섬유 메트릭과 일치하는$번들$ P${\displaystyle$ P}의$메트릭$ g^ ${\displaystyle {\widehat$ {g}}과(와) $기본$ 매니폴드 M ${\displaystyle$M}의 메트릭을 고려합니다. 일관성 조건은 다음과 같습니다.

• 수직 부분공간 ${\displaystyle {\mathrm{Vert}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ⁡ P ⊂ $TP${\$displaystyle \operatorname {Vert}_{p}$P\subset T_{p}P}에 대한 g${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle {\widehat {g}}$의 투영은$매니폴드 M$displaystyle M}의 한 점에 걸쳐 섬유의 메트릭과 일치해야 합니다.
• The projection of ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ to the horizontal subspace ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$ of the tangent space at point ${\displaystyle p\in P}$ must be isomorphic to the metric ${\displaystyle g}$ on ${\displaystyle M}$ at ${\displaystyle }$${\displaystyle \pi }$P) {\displaystyle \pi (P)}.

이러한 메트릭에 대한 칼루자-클레인 작용은 다음과 같습니다.

${\displaystyle S({\widehat {g})=\int_{P}R({\widehat {g})\operatorname {vol}({\widehat {g}).}$

성분으로 작성된 스칼라 곡률은 다음으로 확장됩니다.

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}} F ^{2}\right),}$

여기서$$π ∗ {\$displaystyle$ \pi ^{*}는 섬유 다발$$투영 π의 풀백입니다. P → M {\displaystyle \pi :$P\to M$ 섬유 번들의$$ 연결 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$는 전자기장 강도와 관련이 있습니다.

${\displaystyle \pi^{*}F=dA.}$

임의로 복잡한 위상의 섬유 다발에 대해서도 그러한 연결이 항상 존재한다는 것은 상동성, 구체적으로는 K-이론의 결과입니다. 푸비니의 정리를 적용하고 섬유 위에 적분하면,

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int_{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}} F ^{2}\right)\operatorname {vol} (g)}$

성분 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 작용을 변경하면$$맥스웰 방정식을 다시 얻을 수 있습니다. 기본 메트릭 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에 변분 원리를 적용하면 아인슈타인 방정식을 얻을 수 있습니다$.$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

에 의해 주어진 응력-에너지 텐서로

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij} F ^{2},}$

맥스웰 응력 텐서라고 불리기도 합니다.

원래 이론은 섬유$$ g $55 {\displaystyle$ g_{55}}로$$λ ${\$displaystyle$$\Lambda}를 식별하고$$λ${\displaystyle$ \Lambda}를 섬유마다 다르게 $허용$합니다. 이 경우 중력과 전자기장 사이의 결합은 일정하지 않지만 고유의 동적 필드인 라디오가 있습니다.

일반화

위에서 루프$$λ${\$displaystyle$$\Lambda }의 크기는 중력장과 전자기장 사이의 결합 상수로 작용합니다. 기저 다양체가 4차원인 경우, 칼루자-클라인 다양체 P는 5차원입니다. 다섯 번째 차원은 콤팩트 공간이며 콤팩트 차원이라고 합니다. 콤팩트화는 콤팩트한 치수를 도입하여 고차원의 매니폴드를 얻는 기술입니다. 콤팩트화는 매우 구체적인 경우를 제외하고는 키랄 페르미온에 대한 그룹 작용을 생성하지 않습니다. 전체 공간의 치수는 2 mod 8이어야 하고 콤팩트 공간의 디랙 연산자의 G-index는 0이 아니어야 합니다.^[33]

위의 전개는 U(1)을 대체하는 임의의 Lie 그룹 G에 대해 일반적인 주 G 번들에 대해 다소 간단한 방식으로 일반화됩니다. 그런 경우에, 그 이론은 종종 양-밀스 이론이라고 불리고 때때로 동의어로 받아들여집니다. 기본 다양체가 초대칭인 경우, 결과 이론은 초대칭 양-밀스 이론입니다.

경험적 테스트

추가 차원의 실험적 또는 관찰적 징후는 공식적으로 보고되지 않았습니다. Kaluza-Klein 공명을 검출하기 위한 많은 이론적 검색 기술이 상단 쿼크와 이러한 공명의 질량 결합을 사용하여 제안되었습니다. 2010년 12월 LHC의 결과를 분석하면 추가 차원이 큰 이론을 심각하게 제약합니다.^[34]

LHC에서 힉스 유사 보손의 관찰은 칼루자-클레인 공명 및 초대칭 입자 탐색에 적용할 수 있는 새로운 경험적 테스트를 확립합니다. 힉스 상호작용에 존재하는 루프 파인만 도표는 전하와 질량을 가진 입자들이 그러한 루프를 달릴 수 있게 해줍니다. 표준 모델 입자는 상단 쿼크와 W 보손 외에 H → γγ 붕괴에서 관찰되는 단면에 큰 기여를 하지 않지만, 표준 모델을 넘어서는 새로운 입자가 있다면 예측된 표준 모델 H → γγ 단면과 실험적으로 관찰된 단면의 비율을 잠재적으로 변경할 수 있습니다. 따라서 표준 모델에 의해 예측된 H → γγ 단면의 극적인 변화를 측정하는 것은 그 너머의 물리학을 조사하는 데 매우 중요합니다.

2018년^[35] 7월의 기사는 이 이론에 약간의 희망을 주고 있습니다; 그 기사에서 그들은 중력이 뇌 이론에서와 같이 더 높은 차원으로 새고 있다고 주장합니다. 그러나 이 기사는 전자기학과 중력이 동일한 수의 차원을 공유한다는 것을 증명하고 있으며, 이 사실은 칼루자-클라인 이론을 뒷받침합니다. 실제로 차원의 수가 3+1인지 또는 실제로 4+1인지는 더 많은 논쟁의 대상입니다.

참고 항목

메모들

참고문헌

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• Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy...37..895K. doi:10.1007/BF01397481.
• Witten, Edward (1981). "Search for a realistic Kaluza–Klein theory". Nuclear Physics B. 186 (3): 412–428. Bibcode:1981NuPhB.186..412W. doi:10.1016/0550-3213(81)90021-3.
• Appelquist, Thomas; Chodos, Alan; Freund, Peter G. O. (1987). Modern Kaluza–Klein Theories. Menlo Park, Cal.: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-09829-7. (칼루자-클라인 이론과 관련된 다른 중요한 논문들뿐만 아니라 위 기사들의 재인쇄를 포함합니다.)
• Duff, M. J. (1994). "Kaluza–Klein Theory in Perspective". In Lindström, Ulf (ed.). Proceedings of the Symposium 'The Oskar Klein Centenary'. Singapore: World Scientific. pp. 22–35. ISBN 978-981-02-2332-8.
• Overduin, J. M.; Wesson, P. S. (1997). "Kaluza–Klein Gravity". Physics Reports. 283 (5): 303–378. arXiv:gr-qc/9805018. Bibcode:1997PhR...283..303O. doi:10.1016/S0370-1573(96)00046-4. S2CID 119087814.
• Wesson, Paul S. (2006). Five-Dimensional Physics: Classical and Quantum Consequences of Kaluza–Klein Cosmology. Singapore: World Scientific. Bibcode:2006fdpc.book.....W. ISBN 978-981-256-661-4.

더보기

• CDF Collaboration, CDF에서 누락된 에너지를 사용한 추가 차원 검색, (2004) (Fermilab(CDF) 입자 물리학 시설의 충돌기 탐지기에서 추가 차원 검색에 대한 간단한 프레젠테이션)
• 존 M. 피에르, 슈퍼스트링스! 엑스트라 디멘션스, (2003).
• 크리스 포프, 칼루자-클레인 이론 강의
• 에드워드 위튼 (2014). "아인슈타인, 베르그만, 그리고 다섯 번째 차원에 관한 노트", arXiv:1401.8048