곡선공간

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다음에 대한 시리즈 일부
스페이스타임
특수상대성 일반상대성
스페이스 타임 개념 스팩타임 다지관 등가원리 로렌츠 변환 민코스키 공간
일반상대성 일반 상대성 소개 일반 상대성 수학 아인슈타인 장 방정식
고전중력 중력 소개 뉴턴의 만유인력의 법칙
관련수학 4벡터 상대성 유도 스페이스타임 도표 미분 기하학 곡선 스페이스타임 일반 상대성 수학 스페이스타임 위상
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곡선 공간은 종종 "평탄한" 공간이 아닌 공간 기하학을 말하는데, 여기서 평탄한 공간은 유클리드 기하학에 의해 묘사된다. 곡면 공간은 일반적으로 리만 기하학에 의해 설명될 수 있지만, 몇몇 간단한 사례들은 다른 방식으로 설명될 수 있다. 곡선 공간은 중력이 곡선 공간으로 시각화되는 일반상대성이론에서 필수적인 역할을 한다. 프리드만-레마슈트레-로버트슨-워커 메트릭은 우주의 공간과 형상의 확장에 대한 설명에 대한 현재의 기초를 형성하는 곡선 메트릭이다.

단순 2차원 예

곡선 공간의 매우 익숙한 예는 구의 표면이다. 우리의 익숙한 전망에 따르면, 구체는 3차원적으로 보이지만, 물체가 표면에 눕도록 제약을 받는다면, 그것은 움직일 수 있는 2차원만 가지고 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠어 보일지라도, 그것은 여전히 표면일 뿐인데, 그것은 부피의 2차원 바깥 테두리인 것이기 때문에 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 심지어 복잡성에 있어서 프랙탈인 지구의 표면도 여전히 부피 바깥쪽을 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다.

임베딩

곡선 공간의 결정적인 특징 중 하나는 피타고라스 정리로부터의 이탈이다. 휘어진 공간에서

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle d}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d}$ l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$.

피타고라스 관계는 여분의 차원으로 공간을 묘사함으로써 종종 회복될 수 있다. 좌표$′,$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$)가 있는 비유클리드 3차원 공간이 있다고 가정합시다$.$ $평평$하지 않기$때문에$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ l${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2 l { 2 $displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2$

그러나 지금 우리가 4차원 공간(${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$, w ${\displaystyle x,y,z,w$을 설명한다면 우리는 다음과 같은 좌표를 선택할 수 있다.

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ d ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ d ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2$}+dz^{2$}+dz^{2$}=$dl^{2}\,}$.

좌표 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 좌표 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과(와) 같지 않다는 점에 유의하십시오$.$

4D 좌표를 원래 3D 공간의 유효한 설명자로 선택하려면 자유도가 동일해야 한다. 4개의 좌표는 4개의 자유도를 가지기 때문에 그 위에 제약을 두어야 한다. 우리는 피타고라스의 정리가 새로운 4D 공간에서 가지는 제약조건을 선택할 수 있다. 그것은

$displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2$$$$}}={\textrm {constant$

상수는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다. 편의상 우리는 상수를 선택할 수 있다.

${\displaystyle {}^{}}$$\kappa {\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$2$}}: $여기$서 ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ R$^{2}\,$ ${\displaystyle \pm }$ ± 1$${\$displaysty \kappa \equiv \pm 1$

이제 이 제약 조건을 사용하여 인위적인 네 번째 좌표 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$을(를) 제거할 수 있다$.$ 구속 방정식의 차이는

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$ + ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle z}$ +${\displaystyle w}$ =${\displaystyle 0}$ ${\$을(를) 유발하여$$ ${\displaystyle d}$=${\displaystyle }$- w${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}\mathrm{xd}}$ ${\displaystyle x}$+ y ${\displaystyle d}$y + z ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$) ${\$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle dw}$을(를) 원래 방정식에 연결하면

${\$$^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z$$2}}.$

This form is usually not particularly appealing and so a coordinate transform is often applied: ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$, ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$, ${\displaystyle z=r\cos \theta }$. With this coordinate transformation

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

포함하지 않음

n차원 공간의 기하학은 리만 기하학으로도 설명할 수 있다. 등방성 및 동종 공간은 미터법으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

이것은 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$일 때 유클리드 공간으로 감소하지만, Weyl 텐서에는 모든 성분이 0인 경우 공간이 "평평평하다"고 말할 수 있다$.$ 3차원에서 이 조건은 Ricci $($R ${\displaystyle a_{}}$ b {\$displaystyle$ R_$\{$ab})가 Ricci 스칼라(${\displaystyle }$ {\$displaystyle$R$},$ 이전 섹션의 R과 혼동되지 않도록)의 메트릭 곱한 경우 충족된다. 즉, ${\displaystyle R_{}}$ a ${\displaystyle b_{}}$= ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R$ 이러한 구성 요소를 메트릭에서 계산하면

${\displaystyle \lambda }$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ - k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)$${\$displaystyle \lambda =-\frac$ {$1}{1$}:{2$}}:\ln \left(1-kr^{2}\오른쪽)$ 여기서 k${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$2$\}\}.$

이렇게 하면 메트릭스가 제공된다.

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 0, 양 또는 음일 수 있으며$$ ±1로 제한되지 않는다.

개방, 평면, 폐쇄

등방성 및 동종 공간은 미터법으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

곡률 상수(${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$)가 무한히 커지는 한계에서 평평한 유클리드 공간이 반환된다. 본질적으로 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa$}을(를$$) 0으로 설정하는 것과 같다. $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 0이 아니면$$ 공간이 유클리드인이 아니다. $\kappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \kappa =+1}$인 경우 공간이 닫히거나 타원형인 것으로 알려져 있다. $\kappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$이(가) 열려 있거나 쌍곡선이 있는 공간이라고 한다.

열린 공간의 표면에 놓여 있는 삼각형은 180° 미만의 각도를 가질 것이다. 닫힌 공간의 표면에 놓여 있는 삼각형들은 180° 이상의 각도를 가질 것이다. 그러나 볼륨은${\displaystyle }$(${\displaystyle 4}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$) ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$이 아니다$.$

참고 항목

• CAT(k) 공간
• 비양성 곡률

추가 읽기

• Papastavridis, John G. (1999). "General n-Dimensional (Riemannian) Surfaces". Tensor Calculus and Analytical Dynamics. Boca Raton: CRC Press. pp. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

외부 링크

• Curved Spaces, Jeffrey Weeks가 개발한 다중 연결 우주 시뮬레이터