원의 면적

기하학에서 반경 r의 원으로 둘러싸인 면적은 πr이다². 여기서 그리스 문자 π은 원주의 지름에 대한 원주의 일정한 비율을 나타내며, 대략 3.1416과 같다.

아르키메데스에서 유래한 이 공식을 도출하는 한 가지 방법은 원을 일반 폴리곤의 수열의 한계로 보는 것을 포함한다. 정다각형의 지역은 절반의 둘레는 중도가 그것의 면까지의 거리를 곱하고 상응하는formula–that 지역이 절반의 둘레번 radius–namely, A=.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2× 2πr×r, 원의 한계에 존재한다.

흔히 비공식적인 맥락에서 원의 영역이라고 일컬어지지만, 엄밀히 말하면 원반이라는 용어는 원의 내부를 가리키는 반면, 원은 경계만을 위한 것으로, 원은 곡선이며 영역 자체를 덮지 않는다. 따라서 원반 면적이 원으로 둘러싸인 면적에 대한 보다 정밀한 구절이다.

역사

현대 수학은 적분 미적분법이나 그 보다 정교한 자손인 실제 분석을 이용하여 그 영역을 얻을 수 있다. 그러나 디스크의 면적은 고대 그리스에 의해 연구되었다. 기원전 5세기 시니두스의 유독수스는 디스크의 면적이 반지름 제곱에 비례한다는 것을 발견했다.^[1] 아르키메데스는 저서 '원 측정'에서 원 안의 영역이 원주 길이를 가지며 높이가 원의 반지름과 같은 직각 삼각형과 같다는 것을 보여주기 위해 유클리드 기하학의 도구를 사용했다. 원주는 2πr이고, 삼각형의 넓이는 베이스의 절반인 높이로 디스크의 면적 π r을² 산출한다. 아르키메데스 이전에, 키오스의 히포크라테스는 히포크라테스의 룬에 대한 그의 사분법의 일부로서 디스크의 면적이 지름의 제곱에 비례한다는 것을 가장 먼저 보여주었지만,^[2] 비례성의 상수는 확인하지 않았다.

역사적 논거

$A{\displaystyle }$ = rigor ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$등식을 수학적 엄격함의 다양한 정도로$$ 설정하기 위해 역사적으로 다양한 주장이 진전되었다. 그 중 가장 유명한 것은 아르키메데스의 탈진법으로서, 한계라는 수학적 개념을 가장 초기에 사용한 방법 중 하나일 뿐만 아니라, 실수체계의 표준 분석적 처리의 일부로서 남아 있는 아르키메데스의 공리의 기원이다. 아르키메데스의 원래 증거는 현대적인 표준에 의해 엄격하지 않다. 왜냐하면 그것은 기하학적으로 명백하게 그 지역에 대한 유사한 진술과 1초와 접선의 길이를 비교할 수 있다고 가정하기 때문이다.

다각형 사용

일반 다각형의 면적은 그 둘레의 절반이다. 일반 다각형의 변이 많아지면 다각형은 원을 그리며, 아포템은 반지름에 치우치는 경향이 있다. 이것은 디스크의 면적이 반지름의 두 배인 경계 원의 원주의 절반임을 시사한다.^[3]

아르키메데스의 증거

원의 측정(기원전 260년)에서 아르키메데스의 주장에 따라 원형으로 둘러싸인 면적을 원주 둘레의 길이가 있고 높이가 원의 반지름과 같은 직각 삼각형과 비교한다. 원의 면적이 삼각형의 면적에 해당하지 않으면 더 크거나 더 작아야 한다. 우리는 이러한 각각의 것들을 모순에 의해 제거하며, 평등을 유일한 가능성으로 남겨 둔다. 우리는 같은 방법으로 일반 다각형을 사용한다.

대단치 않다.

원으로 둘러싸인 C 영역이 삼각형의 T = ₂½보다 크다고 가정한다. E는 초과 금액을 표시하도록 한다. 네모난 네모난 모서리가 원 위에 놓이도록 원을 새긴다. 사각형과 원 사이는 네 개의 세그먼트가 있다. 이러한 간격의 총 면적 G가₄ E보다 크면 각 호를 반으로 나눈다. 이렇게 하면 새겨진 정사각형이 새겨진 팔각형이 되고, 총격차가 작은 8개의 세그먼트가 생성된다. G₈. 총격차 면적 G가_n E보다 작을 때까지 계속 분할된다. 이제 새겨진 다각형의 면적 P_n = C - G는_n 삼각형의 면적보다 커야 한다.

${\displaystyle {\reasoned}E&{}=C-T\\&}G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&}}C-E\\P_{n}&}<T\end{aigned}}$

그러나 이것은 다음과 같이 모순을 강요한다. 다각형의 중심에서 측면의 중간점까지 수직선을 그린다. 그 길이, h는 원 반지름보다 작다. 또한, 다각형의 각 면에 길이 s를 갖도록 한다. 그러면 면의 합인 ns가 원주보다 작다. 폴리곤 영역은 높이 h와 베이스 s를 가진 동일한 삼각형 n개로 구성되므로 ₂½nhs와 같다. 그러나 h < r과 ns < c>이므로 다각형 영역은 삼각형 영역인 ₂½보다 작아야 하며, 모순이다. 따라서 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀렸을 것이다.

못지 않게

원으로 둘러싸인 면적이 삼각형의 면적 T보다 작다고 가정하자. D는 적자 금액을 나타내도록 하자. 각 가장자리의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 둘렀다. 사각형과 원 사이의 총 면적 간격 G가₄ D보다 크면 원 접선으로 모서리를 잘라 원형으로 팔각형을 만들고, 간격 영역이 D보다 작을 때까지 슬라이싱을 계속한다. 다각형 P의 면적은_n T보다 작아야 한다.

${\displaystyle {\reasoned}D&{}=T-C\\\&}G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&}<C+D\\P_{n}&}<}<C+D\\\P_{n}&}}T\end{aigned}}$

이것 역시 모순을 강요한다. 단, 각 다각형 변의 중간점에 수직인 것은 길이 r의 반지름이다. 그리고 총 옆면 길이가 원주보다 크기 때문에 폴리곤은 총 면적이 T보다 큰 동일한 삼각형 n개로 구성된다. 다시 한번 우리는 모순을 가지고 있기 때문에 C가 T보다 작을지도 모른다는 우리의 가정도 틀렸음에 틀림없다.

따라서 원으로 둘러싸인 면적이 삼각형의 면적에 정확히 같은 경우일 것이다. 이것으로 증명할 수 있다.

재배열 증명

사토 모순(Smith & Mikami 1914, 페이지 130–132)과 레오나르도 다빈치(Beckmann 1976, 페이지 19)에 이어 우리는 다른 방식으로 새긴 일반 다각형을 사용할 수 있다. 육각형을 새긴다고 가정합시다. 육각형을 중심에서 분리하여 6개의 삼각형으로 자른다. 두 개의 반대쪽 삼각형은 모두 두 개의 공통 직경을 터치하고, 반지름 가장자리가 인접하도록 한 직경을 따라 밀어 넣는다. 그들은 이제 평행선을 이루는데, 육각형의 면이 두 개의 반대쪽 가장자리를 이루고 있는데, 그 중 하나가 밑면인 s이다. 두 개의 방사상 가장자리는 비스듬한 면을 형성하며, 높이 h는 그것의 아포템과 같다(아키메데스 교정에서와 같다). 사실, 우리는 또한 모든 삼각형들을 하나의 큰 평행사변형으로 조립할 수 있어. 8면 등으로 늘려도 마찬가지다. 2n 변이 있는 다각형의 경우, 평행그램은 길이 ns와 높이 h를 가진다. 변의 수가 증가하면 평행사변형 베이스의 길이가 원주 둘레의 절반에 가까워지고 그 높이는 원 반지름에 접근한다. 한계에서 평행사변형은 폭이 widthr이고 높이가 r인 직사각형이 된다.

n 폴리곤을 재배열하여 유닛 디스크 영역.

다각형			평행 사변형
n	측면		기지	높이	지역
4	1.4142136		2.8284271	0.7071068	2.0000000
6	1.0000000		3.0000000	0.8660254	2.5980762
8	0.7653669		3.0614675	0.9238795	2.8284271
10	0.6180340		3.0901699	0.9510565	2.9389263
12	0.5176381		3.1058285	0.9659258	3.0000000
14	0.4450419		3.1152931	0.9749279	3.0371862
16	0.3901806		3.1214452	0.9807853	3.0614675
96	0.0654382		3.1410320	0.9994646	3.1393502
∞	1/∞		π	1	π

현대 교정쇄

그 상수 π의 다양한 동등한 정의들이 있다. 원의 원주를 지름으로pre-calculus 기하학에서 재래식 정의 비율:.

${\displaystyle \pi){\frac{C}{D}}.}$

때문에 원의 원주는 아닌 원시적인 분석적 개념 하지만, 이 정의 현대적인 엄격한 치료에 적합하지 않다. 표준 현대 정의는 π이 코사인 함수의 두번 가장 덜 긍정적인 뿌리 또는 사인(이나 코사인)기능의, 동등하게, 반주기 와 같다. 그 코사인 함수의 멱급수나 혹은 특정한 미분 방정식의 해결로 정의될 수 있다. 는"지역"과"원주"과 같은 개념에 대한 분석적 정의에서 따르도록 π의 서클의 원주와 지역에 대한 관계에 대해 진술은 실제로 정리보다는 정의, 이, π의 정의에서 서클에의 얼마간의 레퍼런스를 피할 수 있습니다.

그 원의 원주를 개정할 수 있는 곡선은 적분하여 측정된다는 것에 동의를 있는 분석적 정의 같은 것을, 보인다.

${\displaystyle C=2\int_{-R}^{R}{\frac{R\,dx}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}}=2R\int _{)}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}.}$

은 사인 함수, π와 같은 값은 반주기는 적분 오른쪽에 나타나고 있는abelian 적분. 따라서 C=2π R)π D{C=2\pi R=\pi D\displaystyle}를 볼 사실로 정리를.

는 초등 미적분에서 사용만 개념을 따르는 논쟁들 중 몇몇은 공식 A=π r2{\displaystyle A=\pi{2r^}},지만 많은 경우 실제 증거로 이 위해서, 그들은 은연중에 이 사실이 완전히independ 있는 방식으로 삼각 기능과 근본적인 상수 π을 개발할 수 있는지에 대한 의존을 재현한다.기하학에 대한 그들의 관계의 Ent. 어디로 어떻게 이 증거를 모든 삼각 법의 독립될 수 있는 적절한 우리는 계속 되고 있는 초등 미적분이 제공보다 더 정교한 수학적 생각해야 하는 경우에는

양파 프루프

미적분학을 이용하여, 우리는 그 면적을 점진적으로 합산할 수 있고, 디스크를 양파의 층처럼 얇은 동심원 고리로 분할할 수 있다. 이것이 2차원의 껍데기 통합 방식이다. 반지름 t의 "onion"의 무한히 얇은 고리의 경우, 누적 면적은 2㎛ dt이고, 링의 원주 길이는 최소 너비에 곱한다(폭=2πt 및 높이=dt의 직사각형으로 이 링의 대략을 맞출 수 있다). 이것은 반지름 r의 원반에 기본 적분을 제공한다.

${\displaystyle {\begin}\mathrm {Area}(r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&}=2\pi \[{\frac {t^{2}}}\right]_{0}^{r}\&}\}\pi r^{{{}.\end{정렬}}}$

극좌표에서의 다변량 대체 규칙에 의해 엄격하게 정당화된다. 즉, 면적은 디스크 자체에 대한 상수함수 1의 이중 적분으로 주어진다. D가 디스크를 나타내는 경우 다음과 같이 극좌표로 이중 적분을 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\\end{aligned}}}$

위에서 얻은 결과와 동일한 결과.

삼각법의 특수 좌표에 의존하지 않고 등가 엄격한 정당성은 동일 면적 공식을 사용한다. $함수$ $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$을(를)$$${\displaystyle \}(x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{y\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$2}{2}{$2$}을 정의하십시오.$\}\}\}\}.$ 노트 ${\displaystyle \rho }$은 단위 벡터 ${\displaystyle \nabla \mathrm{}}$= 1 ${\displaystyle \nabla \rho =1}($거의 모든 곳)인 립슈츠 기능이다. D가 되고 디스크 ρ<>R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}에 1{\displaystyle \rho<1}}. 우리는 L2(D))π{\displaystyle{{나는\mathcal}}^ᆮ(D)=\pi}, R2{\displaystyle \math에서 L2{\displaystyle{{나는\mathcal}}^{2}}은 2차원 르베그 측정을 보여 줄 것이라는 것이다.소홀히 했거나{$R} ^{2$ 원 $dimensional{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$r ${\displaystyle \rho =r}$의 1차원 Hausdorff 측정치는 반경 원주 r의 원주인$$$2{\displaystyle \mathrm{}}$㎛ ${\displaystyle r}${\$displaystyle$2\$pi$ r$}$라고 가정한다(이는 원주의 정의로 취할 수 있다). 그럼, 공동 면적 공식으로

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{2}(D)&=\iint _{D} \nabla \rho \,d{\mathcal {L}}^{2}\\&=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r)\cap D)\,dr\\&=\int _{0}^{1}{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r))\,dr\\&=\int _{0}^{1}2\pi r\,dr=\pi .\end{정렬}}}$

삼각형 프루프

위에서 설명한 양파 증빙과 비슷하게, 우리는 원반 면적의 공식에 도달하기 위해 다른 방법으로 미적분을 이용할 수 있다. 동심원을 직선 스트립으로 풀어 보십시오. 이것은 r을 키로, 2㎛(양파의 바깥쪽 슬라이스)를 베이스로 하여 직각 삼각형을 형성한다.

이 삼각형의 면적을 찾으면 디스크 면적이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{Area}&}={\frac{1}{1}:{1}{{1}}\cdot{\text{base}\cdot{\cdot{1}{1}{1}}}}}}\pi r^2}\end{aigned}}}}}}}}}}}}$

이 삼각형의 반대각과 인접각은 각각 9.0430611..., 80.956939... 라디안 0.198311... OEIS: A233527, 1.4129651...OEIS: A233528.

분명히, 우리는 원을 삼각형으로 나눈다고 상상하는데, 각각 원의 반지름과 높이가 같고 기지가 무한히 작은 삼각형이다. 각 삼각형의 면적은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$⋅ ${\displaystyle r}$u u ${\displaystyle u}$ u ${\displaystyle u}$ u$${\$displaystyle$ 1$/2\cdot r\cdot$ du$}$과 같다. 이 삼각형의 모든 면적을 합산(통합)함으로써 원 영역의 공식에 도달한다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathrm {Area}(r)&{}=\int_{0}^{2\pi r}{1}{1}{1}{2}}r\,du\\&}\}}\왼쪽[{1}{1}{2}}ru\rig]_{0}^{2\pi r}}}}}}@pi r^.\end{정렬}}}$

또한 통합 순서를 거꾸로 하고 위의 반복된 적분에서 변수의 변화를 사용함으로써 디스크 위에 있는 상수 함수 1의 이중 적분으로 정당화될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\ d\theta \\\end{aligned}}}$

대체 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \text{d}}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \text{d}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u=r\theta,\du=r\d\theta}$을(를) 만들면$$ integrated가 변환된다.

${\displaystyle {\regated}\int _{0}^{2\pi r}{1}{1}{{0}{r^{r^{2}}:{r}}{{{0}^{2\pi r}{1}{1}{1}{1}{1}}r\du\end}}}}}}}}}}}}}}"$

위의 결과와 같은 것이다.

삼각형 교정쇄는 삼각형과 상수 of에 대한 모든 언급을 회피하는 방식으로 플럭스-다이버전 형태(즉, 발산 정리의 2차원 버전)에서 그린의 정리를 응용한 것으로 재구성할 수 있다. 평면에서$$ 벡터 필드 $r{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle x\mathbf{}}$ i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y\mathbf{}}$ j ${\$를) 고려하십시오. 따라서 r의 차이는 2와 같으며, 따라서 디스크 D의 면적은 다음과 같다.

${\displaystyle A={\frac {1}{1}2}}\iint _{D}\operatorname {div} \mathbf {r}\dA.}$

그린의 정리로는, 이것은 원 경계 D:를 가로지르는 r의 바깥쪽 유동과 같다.

${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{2}}\point _{\partial D}\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} \,ds}$

여기서 n은 단위 정규이고 ds는 호 길이 측정이다. 원점을 중심으로 한 반지름 R의 원의 경우,${\displaystyle R\mathbf{}}$ = ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf${$R$} =$R}$ 및$$ $n{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle R\mathbf{}}$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {R} /R}$이(가) 있으므로 위의 동등성은 다음과 같다$.$

${\displaystyle A={\frac {1}{1}2}}\point _{\partial D}\mathbf {r}\cdot {\frac {\mathbf {}{R}\}\ds={\frac {R}2}}\point _{\partial D}\ds.}$

전체 원 ds${\displaystyle \mathrm{}D}$ ${\displaystyle \partial D}$에 걸친 ds의 적분은 원주인 호 길이일$$ 뿐이므로, 원주 주위에 둘러싸인 A 영역이 $원주$의 R${\displaystyle /2\mathrm{}}$ ${\displaystyle R/2$}배와$$ 같다는 것을 알 수 있다.

는 삼각형 사용하는 또 다른 증거는 지역 원으로 둘러싸인 삼각형의 무한 수의(그 삼각형은 각 원의 중심에 d𝜃의 각도 있어야), 1/2·r2·d𝜃(식에서 삼각형의 면적:1/2·한·b·sin𝜃 파생)1/2·r·r·죄(d𝜃))1/2·r2·d𝜃)의 지역으로 이루어져 것으로 간주한다. 작은 각도 근사치로 인한 죄(d𝜃) ≈ d𝜃에 유의한다. 따라서 삼각형의 면적을 합쳐서 원의 면적에 대한 표현은 다음과 같이 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \\&{}=\left[{\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&{}=\pi r^{2}.\end{정렬}}}$

반원형 교정쇄

반지름 r의 반원 영역은${\displaystyle {}_{}^{}}$integral${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle r_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\sqrt{{}^{}}}$ r${\displaystyle \sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$ - ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d\sqrt{{}^{}}}$ x$${\$displaystyle \int$ _${-r}^{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx}$ 로 계산할 수 있다는 점에 유의하십시오$.$

삼각 치환법으로 $x{\displaystyle }$= r ${\displaystyle \sin \sin }$ ${\displaystyle x=r\sin \theta}$을$($를) ${\displaystyle \mathrm{대체}}$하므로 d x =${\displaystyle }$r ${\displaystyle \cos }$ d d${\displaystyle \theta .}$ ${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta.}$을(를)로 대체한다.

${\displaystyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{-{\frac {\pi }:{2}}:{\pi }{2}}:{\sqrt{r^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\cdot r\cos \teta \,d\ta \}}}$

${\displaystyle =2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }}{2}}\cos ^{2}\theta \,d\ta }$

${\displaystyle ={\frac {\pi r^{2}}{2}}.}$

The last step follows since the trigonometric identity ${\displaystyle \cos(\theta )=\sin(\pi /2-\theta )}$ implies that ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ and ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ have equal integrals over the interval ${\displaysty$re$[0,\pi /2]},$ 대체에 의한 통합 사용$.$ But on the other hand, since ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$, the sum of the two integrals is the length of that interval, which is ${\displaystyle \pi /2}$. Consequently, the integral of ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ is equal to half the length 이 간격의 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /4$

따라서 반지름 r의 원 면적이 반원 면적의 2배인 r의 원 면적이 $2{\displaystyle \mathrm{}\cdot }$ ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ r^{2$}}:00$=\$pi$ r$^{2$

삼각계 치환에 관련된 사인 및 코사인 함수가 원과 관련하여 정의되는 것으로 간주되는 경우, 이 특별한 증거는 질문을 구걸하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 앞에서 언급한 바와 같이 사인, 코사인, π을 삼각법과 완전히 독립된 방식으로 정의할 수 있는데, 이 경우 사인 및 코사인(원과의 관계에 대해서도 전혀 가정하지 않고 증명할 수 있는)의 기본적 성질을 가정하여 변수 공식과 푸비니의 정리의 변경에 의해 증명서가 유효하다.).

등측 부등식

원은 최대 면적을 둘러싸는 최소 둘레의 닫힌 곡선이다. 이것은 유클리드 평면의 수정 가능한 요르단 곡선이 둘레 C를 가지고 있고 (요르단 곡선 정리) 영역 A를 둘러싸는 것을 말하는 등측 불평등이라고 알려져 있다.

${\displaystyle 4\pi A\leq C^{2}}$

게다가, 만약 곡선이 원일 경우에만 평등이 이 불평등에서 유지되는데, 이 $경우{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ A$=\pi$ r$^{2$}}$$및$$ C${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C=2\pi r}$.

빠른 근사치

아르키메데스가 숫자로 그 면적을 추정할 때 사용한 계산은 힘겨운 것이었고, 96개의 면으로 된 다각형을 들고 멈추었다. 더 빠른 방법은 Gerretsen & Verdenduin(1983년, 페이지 243–250년)에 기술된 Christian Huygens(De Circuli Magnwidaine Authenta, 1654년)에 의해 더욱 발전된 Willibarbord Snell(사이클로머러스, 1621년)의 아이디어를 사용한다.

아르키메데스의 2중법

원을 그리면, u를_n 새긴 일반 n곤의 둘레가 되게 하고, u를_n 한정된 일반 n곤의 둘레가 되게 한다. 그러면 u와_n u는_n n이 증가할수록 더 날카로워지고 날카로워지는 원의 둘레에 대한 하한과 상한이 되며, 이들의 평균(u_n + U_n)/2는 둘레에 대한 특히 좋은 근사치가 된다. 큰 n에 대한 u와_n U를_n 계산하기 위해 Archimedes는 다음과 같은 두 배의 공식을 도출했다.

${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$= ${\displaystyle U\sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{2n}}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{u_{}}}$ ${\$기하 평균) 및

${\$$$$U_{n}u_{n}}{{n}}+u_{n}}}}}($조화 평균).

육각형에서 출발한 아르키메데스는 96곤을 얻어내면서 n을 네 배로 늘렸고, 이는 원의 둘레에 대한 좋은 근사치를 제공했다.

현대 표기법에서 우리는 다음과 같이 그의 연산을 재현할 수 있다. 단위 원의 경우, 새겨진 육각형은 u₆ = 6이고, 원형으로 된 육각형은 u₆ = 433이다. 수율 7배 증가

아르키메데스는 7배, n = 6×2이다^k.

k	n	un	Un	un + un/4
0	6	6.0000000	6.9282032	3.2320508
1	12	6.2116571	6.4307806	3.1606094
2	24	6.2652572	6.3193199	3.1461443
3	48	6.2787004	6.2921724	3.1427182
4	96	6.2820639	6.2854292	3.1418733
5	192	6.2829049	6.2837461	3.1416628
6	384	6.2831152	6.2833255	3.1416102
7	768	6.2831678	6.2832204	3.1415970

(여기서 u_n + U_n/2는 단위 원의 둘레에 근사치로서, u_n + U_n/4 근사치 π)

이 표의 마지막 항목은 가장 합리적인 근사치 중 하나로 ₁₁₃½을 가지고 있다. 즉, 분모가 113까지 있는 합리적 숫자 사이에 더 나은 근사치가 없다. ½이라는 ₁₁₃숫자도 π에 대한 훌륭한 근사치로, 분모가 16604 이하인 다른 어떤 이성적인 숫자보다 낫다.^[4]

스넬-후이겐스의 정교함

스넬은 아르키메데스보다 더 엄격한 경계선을 제안했고 (그리고 Huygens는 다음과 같이 말했다.

${\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{n}}}{n}}}}{2+\frac <n\pi }{n}}}}}}{3n}}\frac {\pi }}\rig}오른쪽).}$

n = 48에 대한 이 값은 n = 768에 대한 아르키메데스의 방법보다 더 나은 근사치(약 3.14159292)를 제공한다.

아르키메데스의 이중공식 도출

새긴 일반 n곤의 한쪽 면에 길이가_n s가 되도록 하고 A와 B 지점에서 원을 터치한다. A를 원 위에 있는 A의 반대쪽 지점이 되게 하여 A를 지름으로 하고, AabAB를 지름에 새긴 삼각형으로 한다. 탈레스의 정리로는, 이것은 B에서 직각을 갖는 직각 삼각형이다. A′B의 길이를 c로_n 하고, 이를_n s의 보완이라고 한다. 따라서_n² c+s_n² = (2r)² C는 호를 A에서 B로 이등분하고, C는 원 위의 C와 반대쪽 점이 되게 한다. 따라서 CA의 길이는 s이고_2n, C′A의 길이는 c이며_2n, C′CA는 그 자체로 직경 C′C의 직각 삼각형이다. C는 호를 A에서 B로 이등분하기 때문에 C는 A에서 B로 화음을 수직으로 이등분한다. 따라서 Triangle C′AP는 직각 삼각형이며, C′에서 각도를 공유하기 때문에 CcaCA와 비슷하다. 따라서 세 개의 해당 면이 모두 동일한 비율이다. 특히, 우리는 CaA : CcC = CpP : CaA 및 AP : CaA = CA : CcC가 있다. 원의 중심인 O는 A′A를 이등분하기 때문에 AabAB와 비슷한 삼각형 OAP도 있고, OP는 AbB 길이의 절반이다. 옆구리의 길이로 볼 때, 이것은 우리에게

${\displaystyle {\s_{2n}^{2}={2}=\left(r+{\frac{1}{1}{1}{1}{1}{1}{2}}:c_{n}\{2n}\}={\frac{s_{n}}}}}}}.\end{정렬}}}$

첫 번째 방정식에서 C′P는 C′O+OP, 길이 r+¹₂½c_n, C′C는 지름 2r이다. 유닛 서클에서는 루돌프 반 쿨렌의 유명한 더블링 방정식이 있다.

${\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.}$

If we now circumscribe a regular n-gon, with side A″B″ parallel to AB, then OAB and OA″B″ are similar triangles, with A″B″ : AB = OC : OP. Call the circumscribed side S_n; then this is S_n : s_n = 1 : ¹⁄₂c_n. (We have again used that OP is half the length of A′B.) 그래서 우리는 얻는다.

${\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

부착된 둘레 u_n = ns_n, 둘레 u_n = ns를_n 호출한다. 그리고 방정식을 조합하면

${\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}=2{\frac {s_{2n}}}}}}$

하도록

${\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}}$

이것은 기하학적 평균 방정식을 제공한다.

우리는 또한 추론할 수 있다.

${\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}{\frac {s_{n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}}},}$

또는

${\displaystyle {\frac {2}{{2n}}={\frac {1}{{n}}+{\frac {1}{U_{n}}}.}$

이것은 조화 평균 방정식을 제공한다.

다트 근사치

더 효율적인 지역 찾기 방법이 없을 때, 우리는 "다트 던지기"에 의지할 수 있다. 이 몬테카를로 방법은 무작위 샘플을 디스크가 있는 사각형의 표면에 균일하게 흩어져서 채취할 경우, 디스크에 부딪히는 표본의 비율은 사각형의 면적에 대한 디스크 면적의 비율에 근접한다는 사실을 이용한다. 이것은 디스크 면적(또는 어떤 형태든)을 계산하기 위한 마지막 수단으로 간주되어야 한다. 유용한 정확도를 얻기 위해서는 엄청난 수의 샘플이 필요하기 때문이다. 10에⁻ⁿ 대한 추정치는 약 100개의ⁿ 무작위 샘플을 필요로 한다(Thijssen 2006, 페이지 273).

유한 재배열

우리는 디스크를 무한히 많은 조각으로 분할함으로써 조각들을 직사각형으로 재조립할 수 있다는 것을 보았다. 비교적 최근에 발견된 주목할 만한 사실(Laczkovich 1990)은 원반을 크고 유한한 수의 조각으로 해부한 다음 그 조각들을 동일한 면적의 사각형으로 재조립할 수 있다는 것이다. 이것을 타르스키의 서클 스쿼링 문제라고 한다. 라츠코비치 증명의 본질은 그러한 칸막이의 존재(사실상 많은 칸막이의 존재)를 증명하면서도 특별한 칸막이를 나타내지 않는 그런 것이다.

비유클리드 원

원은 비유클리드 기하학, 특히 쌍곡면과 타원면에서 정의할 수 있다.

예를 들어 단위 구 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle S^{2$}(1$)는$2차원 타원 평면의 모델이다$$. 그것은 지오데틱 길이를 측정함으로써 발생하는 내적 지표를 가지고 있다. 지오데틱 원은 지오데틱 좌표계의 평행이다.

더 정확히 말하면, 우리가 정점에 놓는 $지점$ z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {z} \in S^{2}($1)를$$수정한다. 0{\displaystyle\phi =0}를 여기에서 z는 점 ϕ 그 정점에 연관된는 측지 극좌표계(ϕ, θ){\displaystyle(\phi ,\theta)}, 0≤ϕ≤ π{\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi}, 0≤θ<>2π{\displaystyle 0\leq \theta<>2\pi},. 이러한 좌표에서 za로에서 측지 거리마침내는 o점 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{2}(1$) 좌표$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi ,}$)가 있는$$ \$displaystyle (\phi,\theta$)는$$ x에서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaysty \pi }$의 값이다. 구형 원은 정점 z에서 지오데틱 거리 R의 집합이다. Equivalently, with a fixed embedding into ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, the spherical circle of radius ${\displaystyle R\leq \pi }$ centered at z is the set of x in ${\displaystyle S^{2}(1)}$ such that ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {z} =\cos R}$.

구면의 내적 표면적 측정을 이용하여 구면 원 안에 둘러싸인 구면 원반의 면적을 측정할 수도 있다. R 반경의 디스크 영역은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\sin(\phi )d\,d\theta =2\pi(1-\cos R)}$

보다 일반적으로 구 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\rho }$) ${\displaystyle$ S$^{2}(\rho )}$의 곡률 반경이 $radius{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$인 경우$,$ radius R의 디스크 영역은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A=2\pi \rho ^{2}(1-\cos(R/\rho )).}$

L'H'Hitalpital's rule의 적용으로, 이것은 평평한 한계 $\rho {\displaystyle }$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ $\$$rho \to \inflt }$의 유클리드 영역 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ \rho \infto $}$에 경향이 있다는 것을 관찰한다$.$

쌍곡선 케이스는 유사하며, (정수 곡률${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1$ 쌍곡선 평면에서 내인성 반지름 R의 디스크 면적이 다음과 같다.

${\displaystyle A=2\pi(1-\cosh R)}$

여기서 cosh는 쌍곡선 코사인 것이다. 보다 일반적으로$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{일정}}$한 곡률 - k ${\displaystyle -k}$ 쌍곡면의$$ 경우 대답은

${\displaystyle A=2\pi k^{-2}(1-\cosh(kR)).}$

이러한 정체성은 기하학의 불평등을 비교하는 데 중요하다. 예를 들어, 평평한 공간에서 반지름 R의 원으로 둘러싸인 영역은 항상 구형 원의 면적보다 크고 쌍곡선보다 작다. 단, 세 원 모두 동일한 (내경) 반지름을 가지고 있다면 말이다. 그것은

${\displaystyle 2\pi(1-\cos R)<\pi R^{2}(1-\cosh R)}$

모든 > ${\displaystyle R>0$에 대해 직관적으로 이것은 구가 스스로 뒤로 구부러져 평면에 있는 것보다 작은 면적의 원을 만들어 내는 경향이 있는 반면, 쌍곡면은 우주에 몰입할 때 추가 면적을 생성하는 프링글이 발달하기 때문이다. 고정 반지름 R의 원 영역은 곡률의 엄격히 감소하는 함수라는 것이 더 일반적으로 사실이다.

모든 $경우$에서 k$${\$displaystyle k$}이(가) 곡률(정수, 양수 또는 음수)이면$$ 영역 A와 둘레 L이 있는 영역의 등거리 불평등은

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-kA^{2}}$

정확히 평등이 이루어지면.^[5]

일반화

우리는 타원을 형성하기 위해 디스크를 늘릴 수 있다. 이 스트레치는 평면의 선형 변환이기 때문에 면적을 변화시키되 면적의 비율을 유지하는 왜곡 인자를 가지고 있다. 이 관측치는 단위 원의 영역에서 임의 타원 영역을 계산하는 데 사용할 수 있다.

측면 길이 2의 제곱으로 둘러싸인 단위 원을 고려한다. 변환은 수평 및 수직 직경을 타원의 주축과 부축으로 스트레칭하거나 축소하여 원을 타원으로 보낸다. 정사각형은 타원을 둘레질하는 직사각형으로 보내진다. 사각형 대비 원의 면적 비율은 π/4로, 직사각형 대비 타원 비율도 π/4임을 의미한다. a와 b가 타원의 주축과 부축의 길이라고 가정하자. 직사각형의 면적이 ab이므로 타원형의 면적이 πab/4이다.

우리는 또한 더 높은 차원에서 유사한 측정을 고려할 수 있다. 예를 들어, 우리는 구체 안에서 볼륨을 찾기를 원할 수 있다. 표면적에 대한 공식이 있을 때, 우리는 디스크에 사용했던 것과 같은 종류의 "온온" 접근법을 사용할 수 있다.

참고 문헌 목록

• Archimedes (1897), "Measurement of a circle", in Heath, T. L. (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press
  (원래 캠브리지 대학 출판부에서 J. L. Heiberg의 그리스 판을 바탕으로 1897년에 출판했다.)
• Beckmann, Petr (1976), A History of Pi, St. Martin's Griffin, ISBN 978-0-312-38185-1
• Gerretsen, J.; Verdenduin, P. (1983), "Chapter 8: Polygons and Polyhedra", in H. Behnke; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle (eds.), Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry, translated by S. H. Gould, MIT Press, pp. 243–250, ISBN 978-0-262-52094-2
  (원래 Grundzüge der Matheatik, Vandenhoeck & Ruprecht, Götingen, 1971)
• Laczkovich, Miklós (1990), "Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 404: 77–117, doi:10.1515/crll.1990.404.77, MR 1037431
• Lang, Serge (1985), "The length of the circle", Math! : Encounters with High School Students, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96129-3
• Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914), A history of Japanese mathematics, Chicago: Open Court Publishing, pp. 130–132, ISBN 978-0-87548-170-8
• Thijssen, J. M. (2006), Computational Physics, Cambridge University Press, p. 273, ISBN 978-0-521-57588-1

참조

외부 링크

• 타르스키 문제에 관한 과학 뉴스