쌍곡선 직교성

기하학에서, 쌍곡선의 점근에 의해 분리된 두 선 사이의 쌍곡 직교 관계는 동시 사건을 정의하기 위해 특수 상대성 이론에서 사용되는 개념이다.2개의 이벤트가 특정 타임라인에 대해 하이퍼볼릭하게 직교하는 라인상에 있는 경우 동시에 발생합니다.특정 시간선에 대한 이러한 의존성은 속도에 의해 결정되며 동시성의 상대성 이론의 기초가 됩니다.

기하학.

두 선은 주어진 쌍곡선의 점근선에 걸쳐 서로의 반사일 때 쌍곡선 직교입니다.플레인에는 다음 두 개의 특정 하이퍼볼라가 자주 사용됩니다.

쌍곡선 직교성의 관계는 실제로 평면의 평행선 클래스에 적용되며, 여기서 특정 선은 클래스를 나타낼 수 있습니다.따라서 주어진 쌍곡선 및 점근선 A에 대해 쌍곡선(a, b)은 쌍곡선 직교이며 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ c${\displaystyle ,}$ b${\displaystyle \text{b}}$ ${\displaystyle d}$\$display$ style$a\rVert$ c,$b\rVert$ d$\},$ c는 A에 걸친 d의 반사이다.

접선에 대한 원 반지름의 수직도와 유사하게, 쌍곡선에 대한 반지름은 쌍곡선과 ^[1][2]직교합니다.

해석기하학의 직교성을 설명하기 위해 쌍선형 형태가 사라졌을 때 직교하는 2개의 요소를 사용한다.$복소수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$u + ${\displaystyle iv}$ , ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$ + ${\displaystyle i}$ \ $display z_{1$} $=$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ + iv$$, \ $display z_{2$} ${\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle \mathrm{iy}}$$$$\}$ 평면에서는 쌍선형 ${\displaystyle \mathrm{형태}}$는 x${\displaystyle }$${\displaystyle u}$ + ${\displaystyle y}$v \ $display$x + ${\displaystyle y}$ 입니다$.$$displaystyle xu-yv$$$$}$

복소수 평면의 벡터₁₁ z와₂ z, 쌍곡수 평면의 벡터 w와₂ w는 각각 유클리드 직교 또는 쌍곡선 직교라고 합니다. 각각의 내부 곱[쌍곡선 형식]이 ^[3]0일 경우입니다.

이중선형 형태는 한 숫자의 복합곱과 다른 숫자의 켤레의 실제 부분으로 계산될 수 있다.그리고나서

$displaystyle z_{1}z_{2}^{*}+z_{1$$}^{*}z_{2}=$0$$}은 복소 평면에서 수직을 수반하는 반면,

$displaystyle w_{1}w_{2}^{*}+w_{1$$}^{*}w_{2}=$0$$}은 w가 쌍곡 직교임을 의미합니다.

쌍곡선 직교성의 개념은 타원 및 쌍곡선의 ^[4]공역 직경을 고려하여 해석 기하학에서 생겨났다.g와 g가 공역 직경의 기울기를 나타내는 경우, ${\displaystyle g\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ a$$ { { $display gg$= - { \ $frac$$${ $b^{2}}}$ 타원의 경우 g ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$ $=$ b 2 ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 { $display style$ gg' = b $frac$ {$b$$^{$2$}}$ {a}}}}{$a$}}} $ola$ 、 a}의$$ ${\displaystyle {}^{}}$의 경우 g = b = b if 2 a 。a = b일 때 타원은 원이고 공역 지름은 수직인 반면 쌍곡선은 직사각형이고 공역 지름은 쌍곡 직교입니다.

투영기하학 용어로 쌍곡선 직교선을 취하는 연산은 해법이다.수직선의 기울기가 so로 표시되므로 모든 선이 투영적으로 확장된 실선의 기울기를 가질 수 있습니다.그런 다음 쌍곡선(A) 또는 (B) 중 어느 쪽을 사용하든 연산은 점근선이 불변인 쌍곡선 진전의 예입니다.쌍곡선 직교선은 쌍곡선의 점근선에 의해 결정되는 평면의 다른 섹터에 있으므로 쌍곡선 직교선의 관계는 평면의 선 집합에서 이질적인 관계입니다.

동시성

1908년 헤르만 민코프스키의 시공간 연구의 기초가 된 이래, 시공간 평면에서의 점의 개념은 시간대에 상대적인 사건의 동시성을 정의하기 위해 사용되어 왔다.민코프스키의 개발에서는 위의 (B) 유형의 쌍곡선이 사용되고 ^[5]있다.2개의 벡터(x₁,y₁,z₁,t₁( ) 및 ( )x₂,y₂,z₂,t는 정규(쌍곡선 직교)입니다₂.

${\displaystyle c^{2}\t_{1}\t_{2}-x_{1}\x_{2}-y_{1}\y_{1}-z_{1}\z_{2}=0.}$

언제c= 1 및y및zs는 제로입니다.x₁ § 0,t₂ 0 0 、 ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\text{2}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}_{}}{}}$t 2 （ {$displaystyle$ \$frac${ c \ t$_$ {$1$} } =$specfrac { x$_ {$2$} } { c \$t$ _ {$\}$ } } 。

점근점 A가 있는 쌍곡선이 주어졌을 때, A에서의 반사는 켤레 쌍곡선을 생성한다.원래 쌍곡선의 직경은 공역 직경에 반영됩니다.공역 지름이 나타내는 방향은 상대성 이론에서 공간과 시간 축에 대해 취해진다.E.T.로서 휘태커는 1910년에 "쌍곡선은 어떤 켤레 직경의 쌍이 새로운 축으로 받아들여질 때 변하지 않고, 길이의 새로운 단위는 이 ^[6]지름들 중 하나의 길이에 비례한다"고 썼다.이 상대성 원리에 대해, 그는 현대적 형태의 로렌츠 변환을 빠른 속도로 썼다.

에드윈 비드웰 윌슨과 길버트 N. 루이스는 1912년에 합성 기하학 내에서 그 개념을 개발했다.그들은 "우리 평면에서 다른 ^[1]쌍보다 더 적합한 수직 [초과직교] 선 쌍은 없다"고 지적한다.

레퍼런스

• G. D. Birkhoff (1923) 상대성과 현대물리학, 62,3페이지, 하버드 대학 출판부.
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti 및 Roberto Cannata(2008) 바젤, Birkhauser Verlag, 민코프스키 공간의 수학.38페이지, 유사정통성을 참조하십시오.
• 로버트 골드블랫(1987) 직교와 시공간 기하학, 1장: 아인슈타인의 기차 여행, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR088161
• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.