모양

Shape
다양한 모양을 익히는 데 사용되는 어린이 장난감

형상 또는 도형색상, 질감 또는 재료 유형과 같은 다른 특성과는 달리 물체 또는 물체의 외부 경계, 윤곽 또는 외부 표면을 그래픽으로 표현한 것이다.평면 형상, 2차원 형상 또는 2D 형상(평면 형상, 2차원 형상 또는 2D 형상)은 단단한 3D 형상과 대조적으로 평면 위에 눕도록 제한된다.

단순 형상 분류

다양한 다각형 모양.

어떤 간단한 모양은 넓은 범주에 넣을 수 있다.예를 들어, 다각형은 가장자리 수에 따라 삼각형, 사변측정감시, 펜타곤 등으로 분류된다.이들 각각은 작은 범주로 나뉜다; 삼각형은 등각형, 이소체, 둔형, 급성, 스칼렌 등이 될 수 있고, 사분면 측광선은 직사각형, 롬비, 사다리꼴, 사각형 등이 될 수 있다.

다른 일반적인 형태로는 , , 평면타원, , 파라볼라와 같은 원뿔 단면이 있다.

가장 일반적인 3차원 형태로는 납작한 얼굴을 가진 형태인 다면체, 달걀 모양이나 구 모양의 물체인 타원체, 원통형, 원뿔형 등이 있다.

만약 물체가 정확히 또는 대략적으로 이러한 범주들 중 하나에 속한다면, 우리는 물체의 모양을 설명하는 데 그것을 사용할 수 있다.따라서 우리는 맨홀 뚜껑의 모양이 디스크라고 말하는데, 그것은 거의 실제 기하학적 원반과 같은 기하학적 물체이기 때문이다.

기하학에서

2차원 기하학적 형상: 평행사변형, 삼각형 & 원
3차원 기하학적 형상: 피라미드, 구체 & 큐브

기하학적 모양기하학적 물체의 설명에서 위치, 척도, 방향반사를 제거할 때 남아 있는 기하학적 정보로 구성된다.[1]즉 형체를 이리저리 움직이거나, 확대하거나, 회전시키거나, 거울에 비친 결과는 원래 형상과 같은 형상으로, 뚜렷한 형상이 아니다.

많은 2차원 기하학적 모양은 폐쇄된 체인의 이나 정점과 점들을 연결하는 선들뿐만 아니라 결과적인 내부 점들에 의해 정의될 수 있다.그러한 모양은 다각형이라고 불리며 삼각형, 사각형, 펜타곤을 포함한다.다른 모양은 원이타원 같은 곡선에 의해 경계될 수 있다.

많은 3차원 기하학적 모양은 정점 집합, 정점을 연결하는 선, 그리고 그 선으로 둘러싸인 2차원 과 그에 따른 내부 점으로 정의할 수 있다.그러한 모양은 다면체라고 불리며 4면체 같은 피라미드뿐만 아니라 정육면체도 포함한다.다른 3차원 모양은 타원체와 같이 곡면 표면으로 경계할 수 있다.

두 점 사이의 선 세그먼트에 있는 모든 점이 형상의 일부인 경우 형상은 볼록하다고 한다.

특성.

같은 색으로 표시된 그림은 모양이 서로 같고 비슷하다고 한다.

두 물체의 모양을 비교하는 방법에는 다음과 같은 몇 가지가 있다.

  • 일치:한 물체가 일련의 회전, 번역 및/또는 반사에 의해 다른 물체로 변형될 수 있다면 두 물체는 합치된다.
  • 유사성:한 물체가 일정한 스케일링으로 다른 물체로 변형될 수 있다면, 두 물체는 회전, 번역 및/또는 반사의 순서와 함께 유사하다.
  • 동위원소:물체가 찢어지거나 구멍이 나지 않는 일련의 변형에 의해 한 물체가 다른 물체로 변형될 수 있다면 두 물체는 동위원소다.

때때로 두 개의 유사하거나 합치된 물체는 하나의 물체를 다른 물체로 변환하기 위해 반사가 필요한 경우 다른 형태를 갖는 것으로 간주될 수 있다.예를 들어, "b"와 "d"는 서로 비친 것이므로 합치되고 유사하지만, 어떤 맥락에서는 같은 모양을 가진 것으로 간주되지 않는다.때로는 물체의 윤곽이나 외부 경계만이 그 모양을 결정하는 것으로 간주되기도 한다.예를 들어, 속이 빈 구형은 고체 구와 같은 형태를 가지고 있다고 생각할 수 있다.프로크루스트 분석은 많은 과학에서 두 물체의 모양이 같은지 여부를 판단하거나 두 가지 형상 간의 차이를 측정하는 데 사용된다.고급 수학에서 준등산법은 두 모양이 거의 같다는 것을 명시하는 기준으로 사용할 수 있다.

단순한 모양은 종종 점, , 곡선, 평면, 평면 형상(예: 사각형 또는 원) 또는 고체 형상(예: 입방체 또는 구체)과 같은 기본적인 기하학적 객체로 분류될 수 있다.그러나 물리적 세계에서 일어나는 대부분의 모양은 복잡하다.식물 구조와 해안선과 같은 일부는 전통적인 수학적 설명에 위배될 정도로 복잡할 수 있다. 이 경우 그것들은 미분 기하학 또는 프랙탈로 분석될 수 있다.

도형의 등가성

기하학에서, 한 유클리드 공간의 두 하위 집합은 번역, 회전, 그리고 균일한 스레싱의 조합에 의해 다른 하위 집합으로 변환될 수 있다면 동일한 형태를 가진다.즉 점 집합의 모양은 번역, 회전, 크기 변화에 불변하는 모든 기하학적 정보라는 것이다.같은 모양을 갖는다는 것은 등가관계로, 따라서 형상의 개념에 대한 정확한 수학적 정의는 같은 형상을 가진 유클리드 공간의 하위 집합에 대한 등가 등급으로 주어질 수 있다.

수학자 겸 통계학자 데이비드 조지 켄달은 다음과 같이 쓰고 있다.[2]

이 논문에서 '모양'은 저속한 의미로 사용되며, 통상적으로 그것이 어떤 의미를 가질 것으로 예상하는 것을 의미한다.[...] 여기서는 '모양'을 비공식적으로 '위치, 규모[3], 회전 효과가 물체에서 걸러질 때 남아 있는 모든 기하학적 정보'로 정의한다.

물리적 물체의 모양은 이러한 물체가 차지하는 공간의 하위 집합이 위의 정의를 충족한다면 동일하다.특히 모양은 물체의 크기와 공간에서의 위치에 따라 달라지지 않는다.예를 들어 "d"와 "p"는 일정한 거리에 의해 오른쪽으로 번역되어 뒤집혀 회전하고 주어진 인자에 의해 확대되면 완벽하게 중첩될 수 있기 때문에 모양이 같다(자세한 내용은 Procrustes suppositions 참조).그러나 거울 이미지는 다른 모양이라고 할 수 있다.예를 들어, "b"와 "p"는 적어도 그들이 쓰여진 페이지와 같은 2차원 공간 내에서 이동하도록 제약되었을 때 다른 모양을 가진다.같은 크기를 가지고 있다고 해도 페이지를 따라 번역하고 돌리면 완벽하게 겹칠 수 있는 방법은 없다.마찬가지로 3차원 공간 안에서 오른손과 왼손은 서로의 거울상이라고 해도 모양이 다르다.물체가 균일하지 않게 크기가 조정되면 모양이 바뀔 수 있다.예를 들어, 수직 방향과 수평 방향에서 다르게 크기가 조정되면 구가 타원체가 된다.즉, 대칭의 축(존재하는 경우)을 보존하는 것이 형상 보존에 중요하다.또한, 모양은 물체의 외부 경계에만 의해 결정된다.

조화 및 유사성

경직된 변환과 미러링(스케일링이 아님)에 의해 서로 변형될 수 있는 개체가 일치한다.따라서 물체는 거울 이미지와 일치하지만(대칭적이지 않더라도), 크기가 조정된 버전에 일치하지는 않는다.두 개의 일치된 물체는 항상 같은 모양이나 거울 이미지 모양을 가지며 크기가 같다.

모양이나 거울 이미지 모양이 같은 물체는 크기가 같든 아니든 기하학적으로 유사하다고 한다.따라서 경직된 변환, 미러링, 균일한 스케일링에 의해 서로 변형될 수 있는 객체가 유사하다.유사성은 물체 중 하나가 균일하게 크기가 조정될 때 보존되는 반면, 일치성은 그렇지 않다.따라서 합체 물체는 항상 기하학적으로 유사하지만, 크기가 다를 수 있기 때문에 유사 물체는 합치되지 않을 수 있다.

동형성

형상의 보다 유연한 정의는 현실적인 형상이 종종 변형된다는 사실을 고려한다. 예를 들어, 다른 자세의 사람, 바람에 휘는 나무 또는 손가락 위치가 다른 손과 같은 것이다.

비강체 운동을 모델링하는 한 가지 방법은 동형체론에 의한 것이다.대략적으로 말하면, 동형성은 물체를 계속 스트레칭하고 구부려 새로운 모양으로 만드는 것이다.따라서 사각형원은 서로 동형이지만 도넛은 그렇지 않다.흔히 반복되는 수학적인 농담은 충분히 유연한 도넛은 보조개를 만들어 점진적으로 확대하면서 컵 손잡이에 있는 도넛 구멍을 보존함으로써 커피 컵의 형태로 재구성될 수 있기 때문에,[4] 톱학자들이 그들의 커피 컵과 도넛을 구분할 수 없다는 것이다.

묘사된 모양은 형체를 보고 구성할 수 있는 외부 선을 가지고 있다.좌표를 배치하고 좌표 그래프를 표시할 경우 도형을 볼 수 있는 위치를 표시하기 위해 선을 그릴 수 있지만 그래프에 좌표를 넣을 때마다 도형을 만들 수는 없다.이 모양은 윤곽과 경계가 있어서 그것을 볼 수 있고, 일반 종이에 그냥 점들이 있는 것이 아니다.

형상해석

앞에서 언급한 강성 및 비강성 형상의 수학적 정의는 통계적 형상 분석 분야에서 발생하였다.특히 프로크루스테스 분석은 유사한 물체의 형상(예: 다른 동물의 뼈)을 비교하거나 변형 가능한 물체의 변형을 측정하는 데 사용되는 기법이다.다른 방법은 예를 들어 자세 독립형 모양 검색(예: 스펙트럼 형상 분석 참조)과 같이 비강체(벤더블) 물체와 함께 작동하도록 설계된다.

유사계급

비슷한 삼각형은 모두 모양이 같다.이러한 모양은 J.A에 의해 진전된 방법으로 정점에 대한 복잡한 숫자 u, v, w를 사용하여 분류할 수 있다.레스터와[5] 라파엘 아티.예를 들어, 정점을 나타내는 복잡한 숫자 0, 1, (1 + i √3)/2로 정삼각형을 표시할 수 있다.레스터와 아트지가 비율을 부른다.

삼각형의 모양(u, v, w)그러면 정삼각형의 모양은

(0–(1+ √3)/2)/(0–1) = ( 1 + i √3)/2 = 코스(60°) + i 죄(60°) = exp(i π/3)

복잡한 평면의 어떤 부속 변환, z a + b0,{\ za\ 0 삼각형은 변환되지만 모양은 변경되지 않는다.따라서 모양은 부속 기하학불변성이다.형상 p = S(u,v,w)는 함수 S의 인수의 순서에 따라 다르지만 순열은 관련 값으로 이어진다.예를 들어.

또한 - = ( , , ). p

이러한 순열을 조합하면 , , =( - p)- . 더 나아가,

이들 관계는 삼각형 모양에 대한 "전환 규칙"이다.

정사각형의 모양은 두 개의 복잡한 숫자 p,q와 연관된다. 정점u,v,w,x인 경우 p = S(u,v,w)와 q = S(v,w,x)이다.Artzy는 4각형 모양에 대한 이러한 명제를 증명한다.

  1. = ( -)- , 경우, 4각형은 평행사변형이다.
  2. 평행사변형이 arg p = arg q 를 갖는다면 그것은 rhombus이다.
  3. p = 1 + i와 q = (1 + i)/2일 때, 4각형은 정사각형이다.
  4. = (1 -- 1) sgn r = sgn(Im p)이면 사다리꼴이다.

다각형 , 2,.. . ) has a shape defined by n – 2 complex numbers The polygon bounds a convex set when all these shape components have imaginary components of the same sign.[6]

도형에 대한 인간의 인식

심리학자들은 인간이 정신적으로 이미지를 지온이라고 불리는 단순한 기하학적 모양으로 분해한다는 이론을 세웠다.[7]지온의 예로는 원추와 구가 있다.광범위한 다른 형태 표현도 조사되었다.[8]형상 형상은 세그먼트성, 컴팩트성, 스파이크성의 3가지 기본 차원으로 요약되는 것 같다.[9]

모양이 사람의 주의를 인도한다는 명확한 증거도 있다.[10][11]

참고 항목

참조

  1. ^ Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces". Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.
  2. ^ Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces" (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.
  3. ^ 여기서 척도는 균일하지 않은 스케일링이 물체의 모양을 변화시키므로(예: 사각형을 직사각형으로 바꾼다) 균일한 스케일링을 의미한다.
  4. ^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
  5. ^ J.A. 레스터(1996) "트라이앵글스 I: 쉐이프", Aequisitions Mathematicae 52:30–54
  6. ^ 라파엘 아티(1994) "폴리곤의 형상", 지오메트리 50 저널(1–2):11–15
  7. ^ Marr, D, & Niishara, H. (1978년).3차원 형상의 공간구성에 대한 표현과 인식.런던 왕립 협회의 진행, 200, 269-294.
  8. ^ Andreopoulos, Alexander; Tsotsos, John K. (2013). "50 Years of object recognition: Directions forward". Computer Vision and Image Understanding. 117 (8): 827–891. doi:10.1016/j.cviu.2013.04.005.
  9. ^ Huang, Liqiang (2020). "Space of preattentive shape features". Journal of Vision. 20 (4): 10. doi:10.1167/jov.20.4.10. PMC 7405702. PMID 32315405.
  10. ^ Alexander, R. G.; Schmidt, J.; Zelinsky, G.Z. (2014). "Are summary statistics enough? Evidence for the importance of shape in guiding visual search". Visual Cognition. 22 (3–4): 595–609. doi:10.1080/13506285.2014.890989. PMC 4500174. PMID 26180505.
  11. ^ Wolfe, Jeremy M.; Horowitz, Todd S. (2017). "Five factors that guide attention in visual search". Nature Human Behaviour. 1 (3). doi:10.1038/s41562-017-0058. S2CID 2994044.

외부 링크

  • Wiktionary에서 모양 사전 정의