신속성

상대성 이론에서, 속도는 상대성 이론의 속도에 대한 척도로 흔히 사용된다.수학적으로, 속도는 상대적인 움직임에서 두 개의 기준 프레임을 구별하는 쌍곡선 각도로 정의할 수 있으며, 각 프레임은 거리 및 시간 좌표에 관련지어집니다.

1차원 운동의 경우 속도는 가법이지만 속도는 아인슈타인의 속도-가법 공식에 의해 결합되어야 한다.저속에서는 속도와 속도가 비례하지만 고속에서는 빛의 속도가 무한하므로 속도가 더 큰 값을 차지합니다.

역 쌍곡선 함수 $아르탄흐를$ 사용하면 속도에 해당하는 속도는 = $아르탄흐(v$ /)이며, 여기서 c는 빛의 속도입니다.저속에서는, 는 약 / 입니다.상대성이론에서는 모든 속도가 구간 $c -$ < < 비율 $/$ 1 $을 만족$ 합니다.역쌍곡선 접선에는 도메인 단위 간격 $(-1, 1$ )과 이미지 전체 실선 단위 간격 $(c 즉$ , 간격 - <는 - $'$ 에 매핑됩니다 $.$

역사

1908년 헤르만 민코프스키는 로렌츠 변환이 단순히 시공간 좌표의 쌍곡선 회전, 즉 상상의 ^[1]각도를 통한 회전으로 보일 수 있는 방법을 설명했다.따라서 이 각도는 (1개의 공간적 차원에서) 프레임 ^[2]간 속도의 단순한 가법적 측정을 나타냅니다.속도를 대체하는 속도 매개변수는 1910년 블라디미르 바리차크와^[3] E.T.에 의해 도입되었다. 휘태커.^[4]이 매개변수는 Alfred Robb(1911)^[5]에 의해 rapidity라고 명명되었으며, 이 용어는 Silberstein(1914), Morley(1936), Rindler(2001)와 같은 많은 후속 저자들에 의해 채택되었다.

쌍곡선 섹터의 면적

Gregoire de Saint-Vincent에 의한 쌍곡선 xy = 1의 직교에서는 자연 로그가 쌍곡선 섹터의 면적 또는 점근선에 대한 등가 면적으로서 확립되었다.시공간 이론에서, 빛에 의한 사건들의 연결은 현재와 현재를^{[clarification needed]} 기준으로 우주를 과거, 미래 또는 다른 곳으로 나눕니다.공간의 어느 선에서도, 라이트 빔은 왼쪽 또는 오른쪽으로 향할 수 있습니다.x축을 오른쪽 빔이 통과한 이벤트로, y축을 왼쪽 빔의 이벤트로 취합니다.그러면 휴식 프레임에 대각선 x = y를 따르는 시간이 있습니다.직사각형 쌍곡선 xy = 1을 사용하여 속도를 측정할 수 있습니다(첫 번째 사분면).제로 속도는 (1,1)에 해당합니다.쌍곡선상의 모든 점에는 $(e^{w},\ e^{-w})$ $(e^{w},\ e^{-w})$ , $(e^{w},\ e^{-w})$ - w ) { $displaystyle$ ( $e^ {$ w , \ $e^$ { - w $(e^{w},\ e^{-w})$ } )가 $(e^{w},\ e^{-w})$ 있습니다.여기서 w는 속도이며, (1,1)부터 이들 좌표까지의 쌍곡선 섹터의 면적과 동일합니다.많은 저자들은 표준 시공간 다이어그램에서와 같이 파라미터의 속도를 $x^{2}-y^{2},$ 하여 쌍곡선 x $x^{2}-y^{2},$ 2 $x^{2}-y^{2},$ $x^{2}-y^{2},$ 2 , \ $displaystyle x^{2}-y$ ^{2 $}$ 단위를 $x^{2}-y^{2},$ 대신 참조한다.여기서 축은 시계와 미터 스틱, 좀 더 친숙한 벤치마크, 그리고 시공간 이론의 기초에 의해 측정됩니다.그래서 빔 공간의 쌍곡선 파라미터로서의 신속성의 묘사는 우리의 소중한 초월함수의 17세기 기원에 대한 언급이자^{[clarification needed]} 시공간 다이어그램의 보충물입니다.

하나의 공간 차원

속도는 벡터 매트릭스 곱으로서의 로렌츠 부스트의 선형 표현에서 발생한다.

(c(′)′))(cosh ⁡ wsinh −⁡ w− sinh⁡ wcosh ⁡ w)(ct))= Λ(w)(ct)){\displaystyle{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&,-\sinh w\\-\sinh w&,\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf{\Lambda}(w){\beg.pmatr{에

ix}ct\x\end{pmatrix

행렬 $δ (w)$ 는 ( ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ p ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ ) ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ $displaystyle { displaystyle$ { p & $q }$ p&q \ $q$ & p \ $end$ { $pmatrix$ }형이며 ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ 만족도는 - = $1$ 이므로( )이 단위 쌍곡선에 놓인다 $. p$ 이러한 행렬은 반대각 단위 행렬에 의해 확장된 1차원 라이 대수와 함께 무한 직교 군 O(1,1)를 형성하며, 속도가 이 라이 대수의 좌표임을 보여준다.이 동작은 시공간 다이어그램으로 나타낼 수 있습니다.행렬 지수 표기법에서는 $δ ($ $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$ = $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$ $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$ w \ $displaystyle \mathbf {Lambda }$ (w) $= e^{\mathbf {Z}$ w $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$ 로 나타낼 수 있습니다. $여기$ 서 Z는 안티메트릭스 단위 행렬의 음수입니다.

\mathbf {Z} = syslog {pmatrix} 0&-1&0\end {pmatrix}.

을 증명하는 것은 어렵지 않다

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

(

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

w

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

+ w

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

2 ) =

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

(

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

)

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

( w ) δ ( w )

（ w _

{ 1 + w _

{ 2

} = \

mathbf

{

Lambda

} ( w

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

_ { } )\

mathbf

{

Lambda

} ( w _ {

\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})

} )

이것에 의해, A, $B$ , $및$ C가 참조 프레임인 $경우$ , 고속의 유용한 부가 특성이 확립됩니다.

\displaystyle w_{\text{\text}AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}

$여기$ 서_PQ w는 기준 $프레임$ P에 대한 기준 $프레임$ Q의 속도를 나타냅니다.이 공식의 단순성은 대응하는 속도 가산 공식의 복잡성과 대조된다.

위의 로렌츠 변환에서 볼 수 있듯이, 로렌츠 인수는 $cosh$ w와 동일하다.

=

1

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

- v

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

/

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

c

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

≡ cosh

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

⁡

w

\

displaystyle

\

display frac

{

1

、 \

scaprt

{ 1 -

v ^

{ 2

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w

} } } \

equiv

\

cosh

w ,

그래서 $속도$ w는 로런츠 변환 표현식의 쌍곡선 각도로 암묵적으로 사용된다.β속도 가산 공식과 속도를 관련짓는다.

({displaystyle u=subfrac {u_{1}+u_{2}}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}}{c^{2}}}})

인식함으로써

_{i}=snapfrac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}

그래서

({displaystyle}\tanh w_{1}+\tanh w_{2}){1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}\\&=\tanh(w_1}+w_{2})\end{aligned}}\dfrac

적절한 가속도(가속되는 물체에 의해 '느낌'되는 가속도)는 적절한 시간(가속 중인 물체에 의해 측정되는 시간)에 대한 속도 변화율입니다.따라서, 주어진 프레임 내의 물체의 속도는 그 프레임 내의 정지 상태에서 주어진 속도로 가속할 경우 물체 자체의 관성 유도 시스템에 의해 비상대적으로 계산되는 물체의 속도로 단순하게 볼 수 있다.

β와 $β$ 의 곱은 자주 나타나며, 위의 논거에서 나온 것이다.

(*displaystyle w=\sinh w\end {aligned})

지수 및 로그 관계

위의 표현에서 우리는

{\displaystyle e^{w}=\displays (1+{\frac {v}{c}}\right}=displayrt {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}},

그래서

e^{-w}=\displays (1-{\frac {v}{c}}=displayrt {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}}}.

또는 명시적으로

\displaystyle w=\ln \left[\displaystyle (1+\right)\right]=-\ln \left[\displaystyle (1-\right)\right],}

$속도$ w와 관련된 도플러 이동 인수는 k $k=e^{w}$ $k=e^{w}$ w {\ $displaystyle$ k $=e^{w$ 이다.

둘 이상의 공간 차원

상대론적 $(\$ 는 ${\boldsymbol {\beta }}$ 물체의^[6] $\mathbf {w}$ w $(\$ 와 $\mathbf {w}$ 관련된다.

{\displaystyle {mathfrak {so} (3,1) \supset \mathrm {span} \{K_{1} \약 \mathbb {R} ^{3} \ni \mathbf {w} =\boldsymbol {-1} \symbold,

$K_{1},K_{2},K_{3}$ 서 벡터 $\mathbf {w}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ $\mathbf {w}$ { $w}은$ K 부스트 $K_{1},K_{2},K_{3}$ 1에 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 의해 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 로렌츠 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 의 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 부분공간의 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 데카르트 좌표로 ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ 됩니다 $.$ 완전한 유추의 1차원 상자를 가지Aystyle K_{1},K_{2},K_{3}}–입니다(1,1){\displaystyle{\mathfrak{는 o}}(1,1)}–과 속도 공간 위에서 논의한 반경 1{1\displaystyle}으로 자유롭게 공 B3{\displaystyle \mathbb{B}^{3}}에 의해 β<>부터 1{\displaystyle \be 표시됩니다.있을 $|\beta |<1$ < $1$ 후자는 c $(\displaystyle$ c $)$ 의 $c$ 상대성 제한 속도이다(단위: $c=1$ $=$ $c=1$ \ $displaystyle c=1).$

급도의^[7]^{[nb 1]} 구성을 위한 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

\mathbf {w} = tanh ^ {-1}\tanh ^{-1}\tan,\tan\tymbol {displaystyle}_{1}\oplus {\boldsymbol}_{2

${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ 서 ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ 1 ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ 2 ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ 2 β 2 β 2 $β$ （ \ $display$ style \ $bold$ $symbol$ \ $beta$ } } $oplus$ \ $bold$ symbol \ $beta$ } ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ { ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ } {\ β ^ $^$ { \ $displaystyle$ \ $bold$ symbol \ $hat$ \ $beta$ $}}}$ ${\boldsymbol {\beta }}$ this ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ β ${\boldsymbol {\beta }}$ this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this ${\boldsymbol {\beta }}$ this this this this this this this사교적인 $방향이$ 로 기울어진 $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$ w $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$ , $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$ 2({ $displaystyle$ $\theta$ \ $mathbf {w} _{1},\mathbf {$ $w}$ $_$ $\theta$ ${2})$ 는 $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$ 코사인 ^[8]쌍곡선 법칙에 의해 주어진 $w\equiv |\mathbf {w} |$ w $w\equiv |\mathbf {w} |$ {\ $display$ w $\equiv \mathbf {w}($ 일반 유클리드 길이)가 된다.

\displaystyle \cosh w=\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta.}

속도 공간의 기하학은 명시된 지도를 통해 속도 공간의 쌍곡선 기하학에서 상속됩니다.이 기하학은 상대론적 속도의 ^[9]덧셈 법칙에서 추론할 수 있다.따라서 Poincaré ^[10]디스크를 사용하여 2차원에서의 속도를 유용하게 시각화할 수 있습니다.측지학은 꾸준한 가속에 해당합니다.3차원의 속도 공간은 쌍곡선 모델(3차원 Poincaré 디스크(또는 볼)에 대한 등각도)과 같은 방법으로 등각도에 넣을 수 있습니다.이것은 민코프스키 공간의 기하학에 자세히 설명되어 있다.

두 가지 속도를 더하면 새로운 속도가 발생할 뿐만 아니라, 총 변환은 위에 주어진 속도에 대응하는 변환의 구성과 ${\boldsymbol {\theta }}$ ${\(\$ ${\boldsymbol {\theta }}$ 에 의해 매개변수화된 회전의 구성이다.

\Lambda = e^{-i bold symbol {theta }}\cdot \mathbf {J}}e^{-i\mathbf {w}\cdot \mathbf {K}}}

기하급수적 매핑에 대한 물리 법칙이 적용되는 곳입니다.이것은 정류 규칙의 결과입니다.

[K_{i},K_{j}]=-i\epsilon_{ijk}J_{k

$J_{k},k=1,2,3,$ 서 $J_{k},k=1,2,3,$ k $J_{k},k=1,2,3,$ $J_{k},k=1,2,3,$ $J_{k},k=1,2,3,$ , $J_{k},k=1,2,3,$ , $J_{k},k=1,2,3,$ 3 $J_{k},k=1,2,3,$ , { $displaystyle J_{k},k=1,2,3,}$ 는 $J_{k},k=1,2,3,$ 회전 발생기입니다.이것은 토마스 세차 현상과 관련이 있다.파라미터의 ${\boldsymbol {\theta }}$ 은 링크된 $문서를 참조$ 한다 ${\boldsymbol {\theta }}$

실험 입자 물리학에서

0이 아닌(정지) 질량의 입자의 에너지와 스칼라 $운동량$ p는 다음과 같이 구한다.

E=\gamma mc^{2}

\displaystyle \mathbf {p} =\displaymv.}

의 정의에 의해

w=\operatorname {artanh} {frac {v} {c},

이와 같이

\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v} {c}}}=\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}}}}=\flac

\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v} {c}} =\frac {1-{\frac {v} {c}}} =\frac \frac {v} {c}}

에너지 및 스칼라 모멘텀은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

E=mc^{2}\cosh w

\displaystyle \mathbf {p} = mc,\sinh w.}

따라서, 속도는 측정된 에너지와 운동량으로부터 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

w=\operatorname {artanh} {\frac {\mathbf {p} c} {E} =\ln {\mathbf {p} c} {\frac {\mathbf {p} c} {\frac {\mathbf {p} c} ^2} mc} {mc} mc} {f} {f} {f} {f} {\ln {f

그러나, 실험 입자 물리학자들은 종종 빔 축에 상대적인 속도의 수정된 정의를 사용합니다.

{\displaystyle y=sqfrac {1}{2}}\ln {frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},

여기서 은 빔 ^[11]축을 따른 운동량의 성분입니다.이것은 빔 축을 따른 부스트의 속도입니다.이 속도에서는 관찰자가 랩 프레임에서 빔에 대해 수직 방향으로만 움직이는 프레임으로 이동합니다.이것과 관련된 것은 가성(pseudorapidity의 개념.

빔 축에 대한 속도도 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

y=\ln {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}}~.

「」를 참조해 주세요.

언급

^ 이것은 두 가지 속도가 주어졌을 때, 결과적인 속도는 상대론적으로 더해진 두 속도에 해당하는 속도라는 의미에서 이해해야 한다.Rapidity에는 R $(\$ 에서 $\mathbb {R} ^{3}$ 된 일반적인 추가값도 있으며, 컨텍스트에 따라 사용할 연산이 결정됩니다.

주 및 참고 자료

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^ 로즈&세몬 2003
^ 롭 1910, 바리작 1910, 보렐 1913
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^ 로즈&세몬 2003
^ Amsler, C. et al., "입자 물리학의 리뷰", 물리학 서신 B667 (2008) 1, 섹션 38.5.2

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보렐 E(1913) 라테오리 드 라 상대성비테 에 라 시네마티크, 콩트 렌더스 아카데미 과학 파리 156 215-218; 157 703-705
Silberstein, Ludwik (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co.
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Shaw, Ronald(1982) 선형대수와 군표현, v. 1, 229페이지, 학술신문 ISBN 0-12-639201-3.
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Jackson, J. D. (1999) [1962]. "Chapter 11". Classical Electrodynamics (3d ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X.

[8] 이것은 두 가지 속도가 주어졌을 때, 결과적인 속도는 상대론적으로 더해진 두 속도에 해당하는 속도라는 의미에서 이해해야 한다.Rapidity에는 R $(\$ 에서 $\mathbb {R} ^{3}$ 된 일반적인 추가값도 있으며, 컨텍스트에 따라 사용할 연산이 결정됩니다.

[1] 헤르만 민코프스키(1908) 위키소스를 통해 움직이는 물체의 전자기 과정을 위한 기본 방정식

[2] 소머펠트, 물리.Z 1909

[3] Vladimir Varicak(1910) Wikisource를 통한 상대성 이론에서의 로바체프스키안 기하학 응용 Physikalische Zeitschrift

[4] E . T. 휘태커(1910) 에테르와 전기 이론의 역사, 441페이지.

[5] Alfred Robb(1911) 광학운동 기하학 페이지 9

[6] 잭슨 1999, 547페이지

[7] 로즈&세몬 2003

[9] 롭 1910, 바리작 1910, 보렐 1913

[10] Landau & Lifshitz 2002, 문제 페이지 38 harvnb 오류: 대상 없음: CITEREFLandauLifshitz 2002 (도움말)

[11] 로즈&세몬 2003

[12] Amsler, C. et al., "입자 물리학의 리뷰", 물리학 서신 B667 (2008) 1, 섹션 38.5.2

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역사

쌍곡선 섹터의 면적

하나의 공간 차원

지수 및 로그 관계

둘 이상의 공간 차원

실험 입자 물리학에서

「」를 참조해 주세요.

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