엘리 카르탕

Élie Cartan
엘리 카르탕
엘리 조셉 카탄 교수
태어난(1869-04-09) 1869년 4월 9일
죽은1951년 5월 6일 (1951-05-06) (82세)
프랑스 파리
모교파리 대학교
유명한거짓말군(Cartan's theorem)
벡터공간외부대수
미분기하학
특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론
미분형식
양자역학(스피너, 회전벡터)
엘리 카르탕의 이름을 딴 목록
아이들.앙리 카르탕
친척들.안나 카탄(여동생)
레콘테상(1930)
로바체프스키상(1937)
프랑스 과학 아카데미 회장 (1946)
왕립학회 회원(1947)
과학경력
필드수학과 물리학
기관파리 대학교
에콜 노르말 수페리외르
논문술라 구조 데 그룹화 변환 유한 집합 컨티뉴어스 (1894)
박사지도교수가스통 다르부시
소푸스 리
박사과정생샤를 에레스만
모흐센 해쉬트루디
야노 켄타로
다른유명한학생들시잉선천

Elie Joseph Cartan for MemRS(Elie Joseph Cartan for MemRS) ɑ̃ʁ(, 1869년 4월 9일 ~ 1951년 5월 6일)는 프랑스의 수학자로, 리 군론, 미분계, 미분기하학기초적인 연구를 수행했습니다. 그는 또한 일반 상대성 이론과 간접적으로 양자역학에 상당한 기여를 했습니다.[1][2][3] 그는 20세기 최고의 수학자 중 한 명으로 널리 알려져 있습니다.[3]

그의 아들 앙리 카르탕대수 위상수학에서 영향력 있는 수학자였습니다.

인생

엘리 카르탕은 1869년 4월 9일 돌로미우 마을에서 요제프 카르탕(1837–1917)과 안네 코타즈(1841–1927) 사이에서 태어났습니다. 조셉 카탄은 마을 대장장이였고, 엘리 카탄은 자신의 어린 시절이 "새벽부터 시작되는 모루의 바람"을 맞았으며, "그의 어머니는, 아이들과 집을 돌보는 것으로부터 자유로웠던 그 드문 시간 동안, 물레방아를 가지고 일하고 있었다"고 회상했습니다. 엘리에게는 양재사가 된 언니 잔느 마리(1867–1931), 아버지의 대장간에서 일하는 대장장이가 된 남동생 레옹(1872–1956), 엘리의 영향을 일부 받은 여동생 안나 카르탕(1878–1923)이 있었습니다. 에콜 노르말 수페리외르(Ecole Normale Supérieure, 엘리가 이전에 그랬던 것처럼)에 입학했고, 리세(Lycée, 중등학교)에서 수학 선생님으로 직업을 선택했습니다.

엘리 카르탕은 돌로미우에 있는 초등학교에 입학했고 학교에서 가장 우수한 학생이었습니다. 그의 선생님 중 한 명인 M. Dupuis는 "엘리 카르탕은 수줍음이 많은 학생이었지만, 그의 눈에는 특이한 지성의 빛이 비치고 있었고, 이것은 뛰어난 기억력과 결합되었습니다"라고 회상했습니다. 당시 이세레의 대표였던 안토닌 두보스트는 학교를 방문하여 카르탕의 특이한 능력에 깊은 인상을 받았습니다. 그는 카르탕에게 리세 장학금을 위한 대회에 참가할 것을 추천했습니다. Cartan은 M의 감독 아래 대회를 준비했습니다. 뒤푸이는 열 살에 세상을 떠났습니다. 그는 대학교에서 5년간(1880-1885), 그르노블 대학교에서 2년간(1885-1887)을 보냈습니다. 1887년, 그는 과학을 공부하기 위해 파리의 장송사일리로 이사를 갔고, 그곳에서 그는 나중에 프랑스에서 유명한 물리학자가 된 그의 반 친구 장 밥티스트 페랭(Jean-Baptiste Perrin, 1870–1942)을 만나 친구가 되었습니다.

카르탕은 1888년 에콜 노르말 수페리외르에 입학했습니다. 그는 샤를 에르미트 (1822–1901), 쥘 타너리 (1848–1910), 가스통 다르부 (1842–1917), 폴 아펠 (1855–1930), 에밀 피카르 (1856–1941), 에두아르 구르사트 (1858–1936), 앙리 푸앵카레 (1854–1912)의 강의에 참석했습니다.

1891년 에콜 노르말 수페리에르를 졸업한 후, 카르탕은 프랑스 군대에 징집되어 1년을 복무하고 병장의 계급을 얻었습니다. 그 후 2년간(1892-1894) 카르탕은 ENS로 돌아왔고, 1888-1889년에 소푸스 리 아래에서 공부했던 그의 급우 아서 트레세(1868-1958)의 조언에 따라 빌헬름 킬링에 의해 시작된 단순한 리 분류에 대한 주제를 연구했습니다. 1892년에 리는 다르부와 태너리의 초대로 파리에 와서 처음으로 카르탕을 만났습니다.

카르탕은 1894년 소르본의 과학부에서 그의 논문인 유한한 연속적인 변환 그룹의 구조를 변호했습니다. 1894년에서 1896년 사이에 카르탕은 몽펠리에 대학교에서 강사로 일했고 1896년에서 1903년 사이에는 리옹 대학교의 과학부에서 강사로 일했습니다.

1903년 리옹에 있는 동안, 카르탕은 마리 루이 비앙코니(1880–1950)와 결혼했고, 같은 해에 낭시 대학교의 과학부 교수가 되었습니다. 1904년, 후에 영향력 있는 수학자가 된 카르탕의 첫째 아들 앙리 카르탕이 태어났고, 1906년에는 작곡가가 된 또 다른 아들 장 카르탕이 태어났습니다. 1909년 카르탕은 그의 가족을 파리로 이주시켰고 소르본의 과학부에서 강사로 일했습니다. 1912년에 카르탕은 푸앵카레로부터 받은 자료를 바탕으로 그곳의 교수가 되었습니다. 그는 1940년 은퇴할 때까지 소르본에 머물며 여아들을 위한 에콜 노르말 수페리외르에서 수학을 가르쳤습니다.

기하학자 시잉셴천은 카르탕의 제자로서 다음과 같이 썼습니다.[4]

보통 [카탄과의 만남] 다음 날이면 저는 그에게서 편지를 받곤 했습니다. 그는 "당신이 떠난 후, 당신의 질문에 대해 더 생각해 보았습니다."—그는 몇 가지 결과와 몇 가지 질문이 더 있었습니다. 그는 단순한 거짓말군, 거짓말대수에 관한 이 모든 논문들을 외워서 알고 있었습니다. 길에서 그를 보았을 때, 어떤 문제가 불거질 때, 그는 오래된 봉투를 꺼내 무엇인가를 써서 당신에게 답을 주곤 했습니다. 그리고 가끔은 같은 답을 얻는데 몇 시간, 심지어 며칠이 걸리기도 했습니다. 저는 매우 열심히 일해야 했습니다.

1921년에는 폴란드 아카데미의 외국인 회원이 되었고, 1937년에는 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미의 외국인 회원이 되었습니다.[5] 1938년에 그는 과학의 통합을 위한 국제 회의를 조직하기 위해 구성된 국제 위원회에 참여했습니다.[6]

그는 1951년 파리에서 오랜 투병 끝에 세상을 떠났습니다.

1976년, 달 분화구는 그의 이름을 따서 지어졌습니다. 이전에는 아폴로니우스 D로 지정되었습니다.

일하다.

트라보에서 카르탕은 그의 작품을 15개의 영역으로 나눕니다. 현대 용어를 사용하면 다음과 같습니다.

  1. 거짓말이론
  2. Lie 그룹의 표현
  3. 초복소수, 나눗셈대수
  4. PDE의 체계, 카르탕-켈러 정리
  5. 당량론
  6. 통합 가능한 시스템, 연장 이론 및 혁신 중인 시스템
  7. 무한 차원 의사
  8. 차동 지오메트리이동 프레임
  9. 구조군과 연결, 카르탕 연결, 홀로노미, 바일 텐서를 갖는 일반화된 공간
  10. Lie 그룹의 기하학 및 토폴로지
  11. 리만 기하학
  12. 대칭공간
  13. 콤팩트 그룹과 그 동차 공간의 토폴로지
  14. 적분 불변량과 고전역학
  15. 상대성이론, 스피너

카르탕의 수학적 연구는 미분 가능한 다양체에 대한 분석의 발전으로 설명될 수 있는데, 이는 많은 사람들이 현재 현대 수학의 중심적이고 가장 중요한 부분이며 그가 형성하고 발전하는 데 있어 가장 중요한 부분이라고 생각합니다. 이 분야는 Lie 군, 편미분계, 미분기하학을 중심으로 하며, 주로 Cartan의 기여를 통해 밀접하게 상호 결합되어 통합되고 강력한 도구를 구성합니다.

거짓말 그룹

카탄은 학위 논문 후 30년 동안 사실상 Lie 그룹 분야에서 혼자였습니다. Lie는 이 그룹들을 주로 유한한 수의 매개변수에 따라 분석적 다양성의 분석적 변환 시스템으로 간주했습니다. 1888년 빌헬름 킬링이 다른 다양체에 대한 가능한 행동으로부터 독립적으로 그룹 자체를 체계적으로 연구하기 시작하면서 이 그룹들에 대한 연구에 대한 매우 유익한 접근법이 열렸습니다. 그 당시(그리고 1920년까지)에는 국소적 성질만을 고려했기 때문에 Killing의 주요 연구 대상은 순수하게 대수적인 용어로 국소적 성질을 정확히 반영하는 군의 Lie 대수학이었습니다. Killing의 위대한 업적은 모든 단순한 리 대수를 결정하는 것이었습니다. 그러나 의 증명들은 종종 결함이 있었습니다. 그리고 카탄의 논문은 주로 국소 이론에 엄격한 기초를 제공하고 킬링이 가능하다고 보여준 단순한 복소 리 대수의 각 유형에 속하는 예외적인 리 대수의 존재를 증명하는 데 전념했습니다. 후에 카르탕은 두 가지 기본적인 문제를 명시적으로 해결함으로써 국소 이론을 완성했습니다. 이를 위해 그는 완전히 새로운 방법을 개발해야 했습니다: 단순 실수 리 대수의 분류와 단순 리 대수의 모든 축소 불가능한 선형 표현의 결정은 표현의 무게 개념을 통해, 그런 목적으로 소개한 겁니다 1913년 카르탕이 이후 양자역학에서 매우 중요한 역할을 한 스피너를 발견한 것은 직교군의 선형 표현을 결정하는 과정에서였습니다.

1925년 이후 카르탕은 위상학적 질문에 점점 더 관심을 갖게 되었습니다. 콤팩트 그룹에 대한 Weyl의 훌륭한 결과에 자극을 받아, 그는 Lie 그룹의 전역적 특성 연구를 위한 새로운 방법을 개발했습니다. 특히 위상적으로 연결된 Lie 그룹은 유클리드 공간과 콤팩트 그룹의 산물이라는 것을 보여주었습니다. 그리고 그는 콤팩트 리 군에 대해서는 그 군의 리 대수의 구조로부터 기본 다양체의 가능한 기본 군들을 읽을 수 있다는 것을 발견했습니다. 마지막으로, 그는 콤팩트 리 군들의 베티 수를 결정하는 방법을 설명했고, 그 문제를 다시 그들의 리 대수에 대한 대수적 질문으로 축소했고, 그 이후 완전히 해결되었습니다.

거짓말군

카탄(Cartan)이 "무한 연속군"(또는 "무한 변환군")이라고 불렀던 Lie 군의 구조에 대한 문제를 푼 후, 카탄은 "무한 연속군"에 대해서도 비슷한 문제를 제기했고, 이 문제를 현재 Lie 의사군이라고 합니다. 무한 차원의 Lie 군의 아날로그(다른 무한한 일반화의 Lie 군이 있음). Cartan에 의해 고려된 Lie 의사 그룹은 동일한 변환을 포함하는 공간의 부분 집합 사이의 변환 집합이며, 이 집합에서 두 변환의 구성 결과가 (가능할 때마다) 동일한 집합에 속한다는 속성을 가지고 있습니다. 두 변환의 구성이 항상 가능한 것은 아니기 때문에, 변환들의 집합은 군이 아니라 (현대 용어로 groupoid), 따라서 의사군이라는 이름입니다. Cartan은 다양체의 세분화가 없는 다양체의 변환만을 고려했습니다. 이는 고려 중인 변환에 의해 이전된 클래스로 다양체가 세분화되지 않은 것입니다. 이와 같은 변환의 유사군을 원시군이라고 합니다. Cartan은 복소 분석 변환의 모든 무한 차원 원시 의사 그룹이 6가지 클래스 중 하나에 속한다는 것을 보여주었습니다: 1) n개의 복소 변수에 대한 모든 분석 변환의 의사 그룹; 2) n개의 복소 변수에 대한 모든 분석 변환의 의사 그룹(즉, 일정한 자코비안을 사용하는). 모든 부피에 동일한 복소수를 곱하는 변환); 3) 야코비안이 1과 같은 n개의 복소수 변수에 대한 모든 분석 변환의 의사군 볼륨을 보존하는 변환); 4) 특정 이중 적분(심플렉틱 의사 그룹)을 보존하는 2n > 4 복합 변수의 모든 분석 변환의 의사 그룹; 5) 위에서 언급한 이중 적분에 복소 함수를 곱하는 2n > 4 복합 변수의 모든 분석 변환의 의사 그룹; 6) 복합 함수의 특정 형태에 복소 함수(접촉 유사 그룹)를 곱한 2n + 1개의 복소 변수의 모든 분석 변환의 유사 그룹. 실제 변수의 분석 함수에 의해 정의된 실제 변환의 원시 의사 그룹에 대해 유사한 클래스의 의사 그룹이 있습니다.

미분계

미분계 이론에서 카르탕의 방법은 아마도 그의 가장 심오한 업적일 것입니다. 전통을 깨고 그는 처음부터 변수와 미지의 함수의 특정 선택에 관계없이 완전히 불변하는 방식으로 문제를 공식화하고 해결하려고 했습니다. 따라서 그는 처음으로 임의의 미분 시스템의 "일반적인" 해결책이 무엇인지에 대한 정확한 정의를 내릴 수 있었습니다. 그의 다음 단계는 원래 시스템의 단일 해가 새로운 시스템의 일반적인 해가 되는 방식으로 주어진 시스템에 인접한 새로운 미지와 새로운 방정식으로 구성되는 "연장" 방법을 통해 모든 "단일" 해를 결정하는 것이었습니다. Cartan은 그의 방법을 처리한 모든 예에서 모든 단일 해가 완전히 결정된다는 것을 보여주었지만, 일반적으로 이것이 항상 임의의 시스템에 해당된다는 것을 증명하는 데 성공하지는 못했습니다. 그러한 증거는 1955년 Kuranishi 마사타케에 의해 얻어졌습니다.

카르탕의 주요 도구는 외적 미분 형태의 미적분학이었는데, 그는 논문을 발표한 후 10년 동안 미분기하학, 리 군, 해석적 동역학, 일반 상대성 이론의 다양한 문제에 적용하고 개발하는 데 도움을 주었습니다. 그는 그의 놀라운 대수학적, 기하학적 통찰력에 의해서만 가능해진 극도로 타원적인 스타일로 많은 예를 논의했습니다.

미분기하학

미분기하학에 대한 카르탕의 공헌도 못지않게 인상적이며, 리만과 다르부의 초기 작업이 한 세대 전에 기본기하학과 불변 이론에서 그랬던 것처럼 음산한 계산과 사소한 결과에 빠져 있었기 때문에, 그는 전체 주제에 새로운 활력을 불어넣었다고 말할 수 있습니다. 그의 지도 원리는 다르부와 리보쿠르의 "움직이는 틀" 방법의 상당한 확장이었고, 그는 고전 미분 기하학에서 행해진 그 어떤 것도 훨씬 뛰어넘는 엄청난 유연성과 힘을 제공했습니다. 현대적인 용어로, 본 방법은 동일한 염기를 갖는 주 섬유 다발 E에 결합하고, 동일한 지점에서 E의 섬유에 작용하는 그룹과 동일한 섬유를 갖는 것으로 구성되는 방법. 만약 E가 기저 위의 접선 다발이라면 (리는 본질적으로 "접촉 요소"의 다양체로 알려져 있었기 때문에), 대응하는 군은 일반 선형 군(또는 고전 유클리드 기하학 또는 리만 기하학의 직교 군)입니다. Cartan의 다른 많은 종류의 섬유와 그룹을 다루는 능력은 그가 명시적으로 정의한 적은 없지만 섬유 다발에 대한 최초의 일반적인 아이디어를 그에게 인정할 수 있게 해줍니다. 이 개념은 현대 수학의 모든 분야에서 가장 중요한 것 중 하나가 되었습니다. 주로 전역 미분 기하학과 대수 및 미분 위상학에서 말입니다. 카르탄은 현재 보편적으로 사용되고 있으며 1917년 이후 리만 모델보다 더 일반적인 "기하학" 유형을 찾고 일반 상대성 이론을 따라 우주에 대한 설명에 더 잘 적응하기 위한 여러 기하학자들의 이전 시도를 대체하기 위해 이 연결에 대한 자신의 정의를 공식화하는 데 사용했습니다.

카르탕은 연결 개념을 사용하여 훨씬 더 우아하고 간단한 리만 기하학의 표현을 얻는 방법을 보여주었습니다. 그러나 후자에 대한 그의 주요 기여는 대칭 리만 공간의 발견과 연구로서, 수학 이론의 창시자가 그것을 완성시킨 몇 안 되는 사례 중 하나이기도 합니다. 대칭 리만 공간은 다양한 방식으로 정의될 수 있는데, 그 중 가장 간단한 것은 관여적이고, 점을 고정하고, 거리를 보존하는 "대칭" 공간의 각 점 주위의 존재를 가정하는 것입니다. 카르탕이 발견한 뜻밖의 사실은 단순한 리 군의 분류를 통해 이 공간들을 완전히 설명할 수 있다는 것입니다. 따라서 수학의 다양한 영역에서, (미분기하학에서 apparent으로 멀리 떨어져 있는) 오토모픽 함수와 분석적 숫자 이론과 같은 이러한 공간은 점점 더 중요해지는 역할을 하고 있습니다.

일반상대성이론에 대한 대안이론

카르탕은 중력의 경쟁자 이론과 아인슈타인-카르탕 이론을 만들었습니다.

출판물

카르탕의 논문들은 그의 외베르 콩쿠르 6권(Paris, 1952-1955)에 수집되었습니다. S. S. Chern과 C. 두 개의 훌륭한 부고 통지서가 있습니다. Chevalley, the Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952); 그리고 J. H. C. 화이트헤드, 왕립학회의 부고 (1952)에서.

  • Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thesis, Nony
  • Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3 (in French), Paris: Gauthier-Villars, 16: 239–332, doi:10.24033/asens.467, ISSN 0012-9593, JFM 30.0313.04
  • 레종은 1922년 파리 헤르만, 테그로에서 불변량을 판매합니다.
  • Cartan, Élie (1925). "La géométrie des espaces de Riemann". Paris, Gauthier-Villars (Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 9.) (in French): IV + 60. JFM 51.0566.01.
  • Cartan, Elie (1946). Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (2ème. ed. rev. et aug. ed.). Paris: Gauthier-Villars. p. VIII, 378. ISBN 287647008X. Zbl 0060.38101.
  • Cartan, Élie (1931). "La théorie des groupes finis et continus et l'analysis situs". Mémorial des sciences mathématiques (42): 68. JFM 56.0370.08.
  • Cartan, Elie (1950). Leçons sur la géométrie projective complexe (2d ed.). Paris : Gauthier-Villars. p. VII + 325. Bibcode:1950lgpc.book.....C. MR 0041456. Zbl 0003.06801.
  • 1932년 헤르만, La Parallelism absolute et la Théorie unitaire du champ, Hermann,
  • 에스파세 메트리케스 폰데술라 관념 다아리, 헤르만, 1933[7]
  • 라메토데 레페르 모빌, 라테오리 그룹 콘티누스, et ales spaces genéralisés, 1935[8]
  • Lésons sur la théori desespace à connexion projective, Gauthiers-Villars, 1937[9]
  • 라테오리에 그룹 피니시 콘티누스 라게오메트리 디펜티엘레 트리테 파 라 메토데레페르 모바일, 고티에-빌라르, 1937[10]
  • Cartan, Élie (1981) [1938], The theory of spinors, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850[11][12][13]
  • Les systems differentiels extérieures et leurers applications géométriques, Hermann, 1945[14]
  • 오에브르 콩쿠르, 6권 3부, 파리 1952년부터 1955년까지, CNRS 1984에 의해 재인쇄:[15]
    • 제1부: Groupes de Lie (2권), 1952년
    • 제2부, 제1권: 알제브레, 상이한 장들을 형성하다, 시스템 상이한 장들을 형성하다, 1953
    • 제2부: Groupes Finis, Systèmes differentiels, Theoryes d'equivalence, 1953
    • 제3부, 제1권: 다이버즈, 지오메트리 디퍼렌티엘, 1955
    • 제3부, 제2권: 제오메트리 디펜티엘, 1955
  • 엘리 카탄과 알베르트 아인슈타인: 절대평행주의에 관한 편지들, 1929-1932 / 프랑스어 & 독일어 원문, 영어 번역. Jules Leroy & Jim Ritter, Ed. Robert Debever, Princeton University Press, 1979[16]

참고 항목

참고문헌

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  2. ^ 수학 계보 프로젝트엘리 카르탕
  3. ^ a b O'Connor, J J; Robertson, E F (1999). Great Mathematicians of the 20th century (PDF).
  4. ^ Jackson, Allyn (1998). "Interview with Shiing Shen Chern" (PDF).
  5. ^ "Élie J. Cartan (1869–1951)". Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. Retrieved 19 July 2015.
  6. ^ Neurath, Otto (1938). "Unified Science as Encyclopedic Integration". International Encyclopedia of Unified Science. 1 (1): 1–27.
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  9. ^ Vanderslice, J. L. (1938). "Review: Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective". Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1, Part 1): 11–13. doi:10.1090/s0002-9904-1938-06648-7.
  10. ^ Weyl, Hermann (1938). "Cartan on Groups and Differential Geometry". Bull. Amer. Math. Soc. 44 (9, part 1): 598–601. doi:10.1090/S0002-9904-1938-06789-4.
  11. ^ Givens, Wallace (1940). "Review: La Theórie des Spineurs by Élie Cartan" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 46 (11): 869–870. doi:10.1090/s0002-9904-1940-07329-x.
  12. ^ Ruse, Harold Stanley (July 1939). "Review: Leçons sur le theórie des spineurs by E. Cartan". The Mathematical Gazette. 23 (255): 320–323. doi:10.2307/3606453. JSTOR 3606453.
  13. ^ Biedenharn, Lawrence C. (1968). "Review of The Theory of Spinors by Élie Cartan (trans. from 1937 French edition)". Physics Today. 21 (7): 95–96. doi:10.1063/1.3035084.
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  15. ^ Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 16: 239–332, doi:10.24033/asens.467
  16. ^ "Review of Élie Cartan, Albert Einstein: Letters on Absolute Parallelism, 1929–1932 edited by Robert Debever". Bulletin of the Atomic Scientists. 36 (3): 51. March 1980.

외부 링크

그의 책과 기사 중 일부를 영어로 번역: