운동학

Kinematics

운동학(Kinematics)은 고전역학에서 개발된 물리학의 하위 분야로, 점, 물체(물체) 및 물체의 시스템(물체 그룹)의 움직임을 기술하는 것으로,[1][2][3] 그것들을 움직이게 하는 을 고려하지 않는다.운동학은, 연구의 한 분야로서, 종종 "운동의 기하학"으로 언급되고 때때로 수학[4][5][6]한 분야로 보여진다.운동학 문제는 시스템의 형상을 기술하고 시스템 내 점의 위치, 속도 및/또는 가속도의 알려진 값의 초기 조건을 선언하는 것으로 시작됩니다.그런 다음 기하학적 인수를 사용하여 시스템의 알려지지 않은 부분의 위치, 속도 및 가속도를 결정할 수 있습니다.힘이 신체에 어떻게 작용하는지에 대한 연구는 운동학이 아닌 운동학 안에 속합니다.자세한 내용은 분석 역학을 참조하십시오.

운동학은 천체물리학에서 천체의 움직임과 그러한 천체의 집합체를 설명하기 위해 사용된다.기계공학, 로봇공학생체역학에서[7] 운동학은 엔진, 로봇 팔 또는 인간의 골격과 같은 결합된 부품(멀티 링크 시스템)으로 구성된 시스템의 움직임을 설명하기 위해 사용됩니다.

강성 변환이라고도 불리는 기하학적 변환은 운동 방정식의 도출을 단순화하는 기계 시스템에서 구성요소의 움직임을 설명하는 데 사용됩니다.동적 분석의 중심이기도 합니다.

운동학적 분석은 움직임을 설명하는 데 사용되는 운동학적 양을 측정하는 과정이다.예를 들어 공학에서는 운동학적 해석을 사용하여 [8]소정의 운동범위를 위한 메커니즘을 설계하기 위해 운동학적 합성을 사용하여 주어진 메커니즘의 운동범위를 구하고 역방향으로 작업할 수 있다.게다가, 운동학은 대수기하학기계 시스템이나 메커니즘의 기계적 이점에 대한 연구에 적용한다.

어원

kinematic이라는 용어는 A.M.의 영어 버전이다. Amper'[9]s cinématique그리스어 δμα kinema(움직임, 움직임)로 만들었으며, 그 자체가 δδα kinein(움직임,[10][11] 움직임)에서 파생되었다.

키네마틱과 시네마티크는 프랑스어의 cinéma와 관련이 있지만, 그것으로부터 직접 유래한 것은 아니다.하지만, 시네마가 시네마포그래프의 줄임말인 "영화 영사기와 카메라"에서 나왔기 때문에, 다시 한번 그리스어로 움직임을 뜻하는 단어와 그리스어로 "쓰다"[12]라는 그래프에서 유래했기 때문에, 그들은 공통적인 어원을 가지고 있다.

비회전 기준 프레임에서의 입자 궤적의 운동학

고전 입자의 운동학적 양: 질량 m, 위치 r, 속도 v, 가속도 a.
위치 벡터 r, 항상 원점에서 반경 방향으로 점을 찍습니다.
속도 벡터 v, 항상 운동 경로에 접합니다.
가속도 벡터 a. 반지름 운동과 평행하지 않고 각도 및 코리올리 가속에 의해 오프셋되거나 경로에 접선되지 않고 구심 및 반지름 가속에 의해 오프셋됩니다.
평면 극좌표에 있는 운동학적 벡터.설정은 2-d 공간으로 제한되지 않고 고차원 평면으로 제한됩니다.

입자 운동학은 입자의 궤적을 연구하는 학문이다.입자의 위치는 좌표 프레임의 원점에서 입자까지의 좌표 벡터로 정의됩니다.예를 들어, 집에서 남쪽으로 50m 떨어진 곳에 있는 타워를 가정해 보겠습니다. 이때 좌표 프레임이 집 중앙에 위치하여 동쪽은 x축 방향이고 북쪽은 y축 방향이며 타워 바닥까지의 좌표 벡터는 r =(0m, -50m, 0m)입니다.주탑의 높이가 50m이고 이 높이를 z축을 따라 측정하면 주탑 꼭대기까지의 좌표 벡터는 r =(0m, -50m, 50m)이다.

가장 일반적인 경우 입자의 위치를 정의하기 위해 3차원 좌표계를 사용한다.그러나 입자가 평면 내에서 움직이도록 구속된 경우에는 2차원 좌표계로도 충분하다.물리학의 모든 관측치는 기준 프레임에 대해 설명되지 않으면 불완전합니다.

입자의 위치 벡터는 기준 프레임의 원점에서 입자로 그려진 벡터입니다.원점으로부터의 점의 거리와 원점으로부터의 방향 모두를 나타냅니다.3차원에서 위치 r(\style\ 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

의 x을 따라 어디){\displaystyle)}, y{이\displaystyle}, 그리고 z{z\displaystyle}은 데카르트 좌표와 나는}{\displaystyle{\hat{\mathbf{나는}^}},j ^{\displaystyle{\hat{\mathbf{j}}}}과가 ^{\displaystyle{\hat{\mathbf{k}}}}단위를 벡터{.x\displaystyle}, y{이\displaystyle}, 그리고 z, 각각 축 좌표{z\displaystyle}.위치 벡터 r(\right}의 크기{\displaystyle \mathbf{r}}와 원점 그 점 r사이의 거리를 준다.
위치 벡터의 방향 코사인은 방향의 정량적 측정을 제공합니다.일반적으로 객체의 위치 벡터는 기준 프레임에 따라 달라지며 프레임에 따라 위치 벡터의 값이 달라집니다.

입자의 궤적은 시간의 벡터 r ( 이며, 이는 다음과 같이 움직이는 입자에 의해 추적되는 곡선을 정의합니다.

서 x { x { y z 입자 위치의 각 좌표를 시간의 함수로 나타냅니다.

주행 거리는 항상 변위보다 크거나 같습니다.

속도와 속도

입자의 속도는 입자의 운동 방향과 크기를 설명하는 벡터량이다.더 수학적으로, 시간에 대한 점의 위치 벡터의 변화 속도는 점의 속도입니다.입자의 두 위치 차이를 시간 간격으로 나눈 비율을 생각해보자.이 비율은 시간 간격 동안의 평균 속도라고 불리며 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 r \ 시간 간격 t {\ \ t 사이의 위치 벡터의 변화입니다. 시간 간격 {\ \ t 0에 근접하는 한계에서는 평균 속도는 시간 파생물로 정의된 순간 속도에 근접합니다.이온 벡터,
여기서 점은 시간에 대한 도함수를 나타냅니다(: x x / \ {{ x } / 따라서 입자의 속도는 입자의 위치 변화 시간 속도입니다.게다가 이 속도는 입자의 경로를 따라 모든 위치에서 입자의 궤적에 접합니다.비회전 기준 프레임에서 좌표 방향의 도함수는 방향과 크기가 상수로 간주되지 않습니다.

물체의 속도는 물체의 속도의 크기이다.스칼라 수:

서 ss는 입자의 궤적을 따라 측정된 호 길이입니다.이 호 길이는 입자가 움직일 때 항상 커져야 합니다. t ds음이 아닙니다.이것은 속도도 음이 아님을 의미합니다.

액셀러레이션

속도 벡터는 크기와 방향 또는 두 가지 모두에서 동시에 변할 수 있습니다.따라서 가속도는 속도 벡터의 크기 변화율과 그 벡터의 방향 변화율을 모두 설명한다.속도를 정의하기 위해 입자의 위치와 관련하여 사용되는 것과 동일한 논리를 가속도를 정의하기 위해 속도에 적용할 수 있다.입자의 가속도는 속도 벡터의 변화율에 의해 정의된 벡터입니다.시간 간격에 따른 입자의 평균 가속도는 비율로 정의됩니다.

여기서 δv는 속도 벡터의 차이이고 δt는 시간 간격이다.

입자의 가속도는 시간 간격이 0에 가까워질 때의 평균 가속도의 한계이며, 이는 시간 미분이다.

또는
따라서 가속도는 속도 벡터의 첫 번째 도함수이며 입자의 위치 벡터의 두 번째 도함수이다.비회전 기준 프레임에서 좌표 방향의 도함수는 방향과 크기가 상수로 간주되지 않습니다.

물체의 가속도 크기는 물체의 가속도 벡터의 크기 a입니다.스칼라 수:

상대 위치 벡터

상대 위치 벡터는 한 점의 상대적인 위치를 정의하는 벡터입니다.두 점의 위치 차이입니다.다른 B에 대한 한 점 A의 위치는 단순히 위치 간의 차이입니다.

위치 벡터의 성분 간의 차이입니다.

A에 위치 이 r ( A , A , ) {} = \ , , \ )인 경우

B가 위치 r (x , , B) { _{B} } ,} ,right})인 경우

그러면 점 B에 대한 점 A의 위치는 성분 간의 차이입니다. / A - ( A - B , A - B , - B) { {} = \ {F

상대 속도

고전 역학에서 두 입자 사이의 상대 속도입니다.

한 점의 상대적인 속도는 단순히 그들 사이의 속도 차이일 뿐이다.

속도 성분 간의 차이입니다.

A가 속도 v ( x , y , A) {}=\ 지점 B는 속도 v B ( x , y , B z)({ \ {{BB_{x},B}\를 가집니다.

혹은 상대 위치 벡터B/A r의 시간 도함수를 계산함으로써 이 같은 결과를 얻을 수 있다.

속도가 광속 c에 가까운 경우(일반적으로 95% 이내), 특수 상대성 이론에서 v c의 비율에 따라 달라지는 속도라는 또 다른 상대 속도 체계를 사용한다.

상대 가속도

다른 B에 대한 한 점 C의 가속도는 단순히 가속도의 차이입니다.

가속 성분 간의 차이입니다.

C에 이 있고 점 에 가속도 이 있으면 C ( C x , , ){ {_ { \left B 가속도 성분이 점 B에 가속도 성분이 있습니다(_}}\right 그러면 B에 대한 의 가속도는 성분 간의 차이입니다. / B - a , C - , - - { \mathB style

혹은 상대위치 벡터B/A [13]r의 제2시간 도함수를 계산함으로써 이 같은 결과를 얻을 수 있다.

초기 조건 0 t _ 알려진 경우 첫 번째 적분은 입자의 속도를 시간의 [a]함수로 산출한다.

두 번째 통합은 그 경로(배신)를 산출한다.

변위, 속도, 가속도 및 시간 간의 추가 관계를 도출할 수 있습니다.가속도가 일정하기 때문에

위의 방정식으로 치환하여 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다.

시간에 대한 평균 가속도를 해결하고 대체 및 단순화함으로써 명확한 시간 의존 없이 속도, 위치 및 가속도 간의 관계를 설정할 수 있습니다.

여기서 { }은 도트 곱을 나타냅니다.이 곱은 벡터가 아닌 스칼라이므로 적절합니다.

도트곱은 벡터 사이의 각도α의 코사인(자세한 내용은 도트곱의 기하학적 해석 참조)과 벡터의 크기에 의한 벡터로 대체될 수 있습니다. 이 경우 다음과 같습니다.

가속도가 항상 움직임의 방향이고 움직임의 방향은 양수 또는 음수여야 하는 경우, 벡터(α) 사이의 각도는 이므로 cos 1 \1

이것은 벡터의 크기에 대한 표기법을 사용하여 단순화될 수 있는=, v=v, r(r0Δ r{\displaystyle \mathbf{}=a,\mathbf{v}=v, \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}=\Delta r}[표창 필요한]어디Δ r{\displaystyle \Delta r}이 될 수 있고 섹시해 경로로 선택 한결같았다. 접선 accel통기성이[citation needed] 그 경로를 따라 적용되기 때문에

이것은 입자의 파라메트릭 운동 방정식을 속도 대 위치의 데카르트 관계로 감소시킵니다.이 관계는 시간을 알 수 없을 때 유용합니다.또한 r v t{ r=\ 또는 r \r}이 속도-시간 [15]그래프 아래의 영역임을 알고 있다.

속도 시간 물리학 그래프

상단 영역과 하단 영역을 더하면 r을 얻을 수 있습니다.아래쪽 영역은 직사각형이며 직사각형의 영역은 A B A이며, A 폭, B B [16]높이입니다. A { A = B B}}(여기서A {\ A(는) 가속 A {\ a와 다릅니다)이는 하단 영역이 t 을 의미합니다. 이제 상단 영역(삼각형)을 찾습니다.삼각형의 면적은 B 스타일 입니다. B B 베이스이고 H H [17]높이입니다. 경우, t { B} 및 t { H= 또는 1 a 2 { A ={1} } }}={ t {\ {\ {\}}을 equation \delstyle가 된다.[18] 이 공식은 최종속도 v를 알 수 없는 경우에 적용할 수 있다

그림 2: 비균일한 원형 운동을 위한 속도와 가속도: 속도 벡터는 궤도에 접해 있지만, 가속도 벡터는 회전 속도를 증가시키는 접선 성분θ a 때문에 방사상으로 안쪽으로 향하지 않는다: dθ/dt = aθ /R

원통-극좌표 입자의 궤적

종종 X-Y 평면에서 극좌표를 사용하여 입자 r(t) = (x(t), y(t), z(t)의 궤적을 공식화하는 것이 편리하다.이 경우 속도와 가속도가 편리한 형태를 취합니다.

입자 P의 궤적은 고정 기준 프레임 F에서 측정된 좌표 벡터 r에 의해 정의된다는 것을 기억한다.입자가 움직일 때, 좌표 벡터 r(t)는 다음과 같이 주어진 공간의 곡선인 궤적을 추적합니다.

여기서 i, j, k는 각각 기준 프레임F의 X, Y, Z축을 따른 단위 벡터입니다.

원형 실린더 r(t) = 일정하게 움직이는 입자 P를 가정하면 고정 프레임 F의 Z축과 실린더의 축을 맞출 수 있다.그런 다음 X-Y 평면에서 이 축 주위의 각도 θ를 사용하여 궤적을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

여기서 중심으로부터의 일정한 거리는 R로 표시되고, θ = θ(t)는 시간의 함수이다.

r(t)에 대한 원통 좌표는 반지름 및 접선 단위 벡터를 도입하여 단순화할 수 있습니다.

그리고 기초 미적분으로부터 파생된 시간:

이 표기법을 사용하여 r(t)는 다음 형식을 취합니다.

일반적으로 궤적 r(t)는 원통상에 놓이도록 구속되지 않으므로 반지름 R은 원통형 극좌표에서 입자의 궤적과 시간에 따라 다음과 같이 변화한다.
여기서 R, θ z는 연속적으로 미분 가능한 시간의 함수일 수 있으며 단순화를 위해 함수 표기는 생략됩니다.속도 벡터P v는 궤적 r(t)의 시간 도함수이며, 다음과 같은 값을 산출한다.

마찬가지P 속도 v의 시간 미분인 가속도P a는 다음과 같이 구한다.

- 2 e r \ - R\ { \ } ^{ \ } 일반적으로 경로상의 해당 지점에서 경로의 곡률 중심을 향해 작용하며 구심 가속이라고 합니다. 2 코리올리 가속이라고 불립니다 2 { \ { } } { \ { \ } 。

일정한 반지름

입자의 궤적이 실린더에 놓이도록 구속되면 반지름 R은 일정하고 속도 및 가속도 벡터는 단순해진다.v의 속도P 궤적 r(t)의 시간 미분이다.

평면 원형 궤도

Kinematics of Machinery
바퀴의 각 입자는 평면 원형 궤적을 따라 이동합니다(기계 운동학, 1876).[19]

원형 실린더의 입자 궤적은 특별한 경우 Z축을 따라 움직임이 없을 때 발생합니다.

여기R0 z는 상수입니다.이 경우 속도P v는 다음과 같이 구한다.
여기서 ˙ { style ={ \ 실린더의 z축을 중심으로 한 단위 벡터θ e의 각 속도입니다.

입자 P의 가속도P a는 다음과 같이 표시됩니다.

컴포넌트

각각 가속도의 반경접선 성분이라고 합니다.

각속도와 각가속도에 대한 표기법은 종종 다음과 같이 정의된다.

따라서 원형 궤도에 대한 방사형 및 접선 가속 구성 요소도 다음과 같이 작성됩니다.

평면 내에서 움직이는 물체의 궤적을 포인트합니다.

기계 시스템의 부품 이동은 각 부품에 기준 프레임을 부착하고 다양한 기준 프레임이 서로 어떻게 움직이는지 결정함으로써 분석됩니다.부품의 구조적 강성이 충분할 경우 부품의 변형이 무시될 수 있으며 이러한 상대적 움직임을 정의하기 위해 강성 변환을 사용할 수 있습니다.이렇게 하면 복잡한 기계 시스템의 다양한 부분의 움직임에 대한 설명이 각 부품의 기하학적 구조와 다른 부품에 대한 각 부품의 기하학적 연관성을 설명하는 문제로 줄어듭니다.

기하학은 공간이 다양한 방식으로 변환되는 동안 동일하게 유지되는 도형의 특성에 대한 연구입니다. 더 정확히 말하자면, [20]변환 집합에서 불변량을 연구하는 것입니다.이러한 변환에 의해 평면에서 삼각형의 변위가 발생할 수 있으며, 정점 각도와 정점 사이의 거리는 변경되지 않습니다.운동학은 종종 응용 기하학으로 설명되며, 여기서 기계 시스템의 움직임은 유클리드 기하학의 단단한 변환을 사용하여 설명된다.

평면의 점 좌표는 R(2차원 공간)의 2차원2 벡터입니다.강성 변환은 두 점 사이의 거리를 유지하는 변환입니다.n차원 공간에서의 강성 변환 집합을 R 위의 특수n 유클리드 군이라고 하며 SE(n)로 표기한다.

변위 및 동작

Boulton & Watt Steam Engine
Boulton & Watt 증기 엔진(1784)의 각 컴포넌트의 이동은 연속적인 강성 변위 세트에 의해 모델링됩니다.

기계 시스템의 한 컴포넌트와 다른 컴포넌트의 상대적인 위치는 고정 프레임 F에 상대적인 이동 기준 프레임 M을 도입함으로써 정의된다.F에 대한 M의 강성 변환 또는 변위는 두 구성 요소의 상대적 위치를 정의합니다.변위는 회전변환의 조합으로 구성됩니다.

F에 대한 M의 모든 변위 집합을 M의 구성 공간이라고 합니다. 이 구성 공간에서 한 위치에서 다른 위치로 부드러운 곡선은 F에 대한 M움직임이라고 하는 연속적인 변위 집합입니다.물체의 움직임은 연속적인 일련의 회전과 변환으로 구성됩니다.

행렬 표현

평면2 R에서의 회전과 변환의 조합은 균질 변환으로 알려진 특정 유형의 3×3 행렬로 나타낼 수 있습니다.3×3 균질 변환은 다음과 같이 2×2 회전 행렬 A(가변)와 2×1 변환 벡터 d =(dx, dy)로 구성됩니다.

이러한 균질 변환은 평면 z = 1의 점, 즉 좌표가 r = (x, y, 1)인 점에 대해 강성 변환을 수행합니다.

특히 r은 고정 프레임 F와 일치하는 기준 프레임 M 내의 점 좌표를 정의한다.다음으로 M의 원점이 F의 원점에 대해 변환 벡터 d만큼 변위하고 F의 x축에 대해 각도 θ만큼 회전하는 경우 M의 점 F의 새로운 좌표는 다음과 같이 구한다.

균질 변환은 아핀 변환을 나타냅니다.변환은 R의 선형2 변환이 아니기 때문에 이 공식화가 필요합니다.단, R이 R3 서브셋으로 간주되도록 투영기하학을 사용하면2 변환은 아핀 선형 [21]변환이 됩니다.

순수 번역

기준 프레임 M이 고정 프레임 F에 대해 회전하지 않도록 강체가 움직이는 경우(기준 프레임 M = 0) 그 움직임을 순수 변환이라고 한다.이 경우, 신체 내 모든 지점의 궤적은 M 원점궤적 d(t)의 오프셋이다. 즉, 다음과 같다.

따라서 순수 변환된 물체의 경우, 물체의 모든 점 P의 속도와 가속도는 다음과 같이 구한다.

여기서 점은 시간O 및 v에 관한 도함수를 나타내고O a는 이동 프레임 M의 원점의 속도와 가속도를 나타낸다.M의 좌표 벡터 p가 일정하므로 그 도함수는 0임을 기억하십시오.

고정 축을 중심으로 본체의 회전

그림 1: 오른쪽 규칙에 따라 각속도 벡터 δ는 시계 반대 방향으로 회전할 경우 위쪽을 가리키고 시계 방향으로 회전할 경우 아래쪽을 가리킵니다.각도 위치 θ(t)는 시간에 따라 θ(t) = dθ/dt의 속도로 변화한다.

회전 운동학 또는 각도 운동학은 [22]물체의 회전에 대한 설명입니다.다음 내용에서는 고정된 방향의 축에 대한 단순한 회전에 주의를 제한한다.z축은 편의상 선택되었습니다.

위치

이를 통해 회전을 이 공유 z축에 대한 고정 F에 상대적인 평면 기준 프레임 M의 각도 위치로 설명할 수 있습니다.M좌표 p = (x, y)는 행렬 방정식으로 F의 좌표 P = (X, Y)와 관련이 있습니다.

어디에

F에 대한 M의 각도 위치를 시간의 함수로 정의하는 회전 행렬입니다.

속도

p가 M에서 움직이지 않을 경우, F에서의 속도는 다음과 같이 주어진다.

좌표 p를 지우고 이것을 궤적 P(t)에 연산으로 쓰면 편리하다.
매트릭스
는 F에 대한 M의 각속도 행렬로 알려져 있다.파라미터 θ는 각도 θ의 시간 도함수이며, 다음과 같습니다.

액셀러레이션

F에서 P(t)의 가속도는 속도의 시간 도함수로 구한다.

어느 쪽이 되느냐
어디에
F M의 각가속도 행렬이다.

회전의 설명에는 다음 세 가지 양이 포함됩니다.

  • 각도 위치: 회전 축상의 선택된 원점에서 물체의 점까지의 방향 거리는 점을 위치시키는 벡터 r(t)이다.벡터 r(t)는 회전축에 수직인 평면에 투영(또는 등가 성분) r(t)를 가진다.그런 다음 해당 지점의 각도 위치는 알려진 회전 의미(일반적으로 오른쪽 규칙에 의해 지정됨)에서 기준 축(일반적으로 양의 x 축)에서 벡터 r(t)까지의 각도 θ입니다.
  • 각속도: 각속도 θ시간 t에 대해 각위치 θ가 변화하는 속도이다.
    각 속도는 그림 1에 크기 θ와 오른쪽 규칙에 의해 주어진 회전 방향에 의해 결정되는 감각과 함께 회전 축을 따라 가리키는 벡터 δ로 나타난다.
  • 각가속도: 각가속도α의 크기는 시간 t에 대해 각속도θ가 변화하는 속도이다.

변환 운동학의 방정식은 간단한 가변 교환을 통해 일정한 각도 가속을 위해 평면 회전 운동학으로 쉽게 확장할 수 있습니다.

여기에서 θiθf 각각 초기 및 최종 각도 위치, θiθf 각각 초기 및 최종 각도 속도, α는 일정한 각도 가속도이다.공간에서의 위치와 공간에서의 속도는 둘 다 진정한 벡터이지만, 각속도와 마찬가지로 각도 자체는 진정한 벡터가 아니다.

3차원으로 이동하는 차체의 점 궤적

운동학에서 중요한 공식은 3차원 공간에서 궤적을 추적할 때 움직이는 물체의 점의 속도와 가속도를 정의합니다.이것은 뉴턴의 제2법칙이나 라그랑주 방정식을 사용하여 운동 방정식을 도출하는 데 사용되는 물체의 질량 중심에서 특히 중요합니다.

위치

이들 식을 정의하기 위해 기계계 부품 B의 이동은 [A(t)]와 균질 변환 [T(t)]=[A(t), d(t)]에 조립된 변환 d(t)의 세트로 정의된다.p가 이동 기준 프레임 M에서 측정된 B의 점 P의 좌표인 경우, F에서 추적된 이 점의 궤적은 다음과 같습니다.

이 표기법은 P = (X, Y, Z, 1) 및 P = (X, Y, Z)를 구분하지 않으며, 이는 문맥상 명확합니다.

P의 궤적에 대한 이 방정식은 M의 좌표 벡터 P를 다음과 같이 계산하기 위해 반전될 수 있다.

이 식은 회전 행렬의 전치도 역행렬이라는 사실을 사용합니다. 즉, 다음과 같습니다.

속도

궤적 P(t)를 따라 P의 속도는 이 위치 벡터의 시간 도함수로 구한다.

점은 시간에 대한 도함수를 나타냅니다. p가 일정하기 때문에 도함수는 0입니다.

이 공식은 고정 프레임 F에서 측정된 궤적 P(t)를 연산하여 P의 속도를 구하도록 수정할 수 있다.속도 방정식에 p의 역변환을 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

행렬 [S]는 다음과 같이 주어진다.
어디에
각속도 매트릭스입니다.

연산자 [S]를 곱하면 속도P v 공식은 다음과 같은 형태를 취한다.

여기서 벡터 δ는 행렬 [δ]의 성분에서 얻은 각속도 벡터이다.
이동 프레임 M의 원점 O에 상대적인 P의 위치이다.
원점 O의 속도입니다.

액셀러레이션

이동체 B의 P의 가속도는 그 속도 벡터의 시간 도함수로 구한다.

이 방정식은 먼저 컴퓨팅을 통해 확장할 수 있습니다.

그리고.

이제P 가속도 A의 공식은 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

또는
여기서 α는 각속도 행렬의 도함수로부터 얻은 각가속도 벡터이다.
상대적인 위치 벡터(이동 프레임 M의 원점 O에 대한 P의 위치)이다.
이동 프레임 M의 원점 가속입니다.

운동학적 제약

운동학적 구속조건은 기계 시스템의 구성 요소 이동에 대한 구속조건입니다.운동학적 구속조건은 (i) 시스템의 구조를 정의하는 힌지, 슬라이더 및 캠 조인트에서 발생하는 구속조건과 (ii) 평면에서 아이스스케이트의 칼끝 구속조건과 같이 시스템의 속도에 가해지는 구속조건 또는 미끄럼 방지와 같은 두 가지 기본적인 형태를 갖는 것으로 간주할 수 있다.비홀로노믹 구속이라고 하는 평면에 접하는 원반 또는 구체의 핑.다음은 일반적인 예입니다.

키네마틱 커플링

운동학적 결합은 6개의 자유도를 모두 정확히 구속합니다.

미끄러지지 않고 굴림

미끄러지지 않고 표면에 구르는 물체는 질량 중심 속도가 접촉점에서 질량 중심까지의 벡터와 각 속도의 교차곱과 동일한 조건을 준수한다.

물체가 기울어지거나 회전하지 않는 경우 v { v=r \ obega} 로 합니다.

연장 불능 코드

이는 바디가 장력을 유지하고 길이를 변경할 수 없는 이상적인 코드로 연결된 경우입니다.제약조건은 코드의 모든 세그먼트의 길이의 합계가 총 길이이며, 따라서 이 합계의 시간 도함수가 [23][24][25]0이라는 것입니다.이런 유형의 동적 문제는 진자입니다.또 다른 예로는 확장 불가능한 [26]코드에 의해 림에 부착된 낙하 중량에 의한 중력의 당김에 의해 회전하는 드럼이 있습니다.이 유형의 평형 문제(즉, 운동학적 문제가 아님)는 [27]현수막이다.

운동학적 쌍

Reuleaux는 기계 운동학적 쌍을 이루는 구성요소들 사이의 이상적인 연결이라고 불렀습니다.그는 두 링크 사이에 선 접촉이 있는 것으로 알려진 상위 쌍과 링크 사이에 영역 접촉이 있는 하위 쌍을 구분했습니다.J. Phillips는 이 단순한 [28]분류에 맞지 않는 쌍을 구성하는 많은 방법이 있음을 보여줍니다.

하부 쌍

하부 쌍은 움직이는 고체(3차원) 본체의 점, 선 또는 평면과 고정 고체 본체의 대응하는 점선 또는 평면 사이의 접촉을 유지하는 이상적인 접합 또는 홀로노믹 구속조건입니다.다음과 같은 경우가 있습니다.

  • 회전쌍 또는 힌지형 이음매는 이동체 내의 선 또는 축이 고정체 내의 선과 동일직선을 유지하도록 요구되며, 이동체 내의 이 선과 수직인 평면은 고정체 내의 유사한 수직면과의 접촉을 유지한다.이로 인해 링크의 상대적 이동에 5가지 제약이 가해지며, 따라서 힌지 축에 대한 순수한 회전인 자유도가 1개 있습니다.
  • 프리즘 조인트(슬라이더)는 이동체 내의 선 또는 축이 고정체 내의 선과 동일 직선을 유지하고, 이동체 내의 이 선과 평행한 평면은 고정체 내의 유사 평행 평면과의 접촉을 유지해야 한다.이로 인해 링크의 상대적인 이동에 5가지 제약이 가해지며, 따라서 1가지 자유도를 갖게 됩니다.이 자유도는 선을 따라 미끄럼틀의 거리입니다.
  • 원통형 이음매는 이동체 내의 선 또는 축이 고정체 내의 선과 동일 직선 상태를 유지해야 한다.회전 이음매와 슬라이딩 이음의 조합입니다.이 이음매는 두 가지 자유도를 가지고 있다.이동체의 위치는 축에 대한 회전과 축을 따라 미끄러짐으로 정의됩니다.
  • 구형 조인트(볼 조인트)는 이동체의 한 지점이 고정체의 한 지점과 접촉해야 합니다.이 관절은 3개의 자유도가 있다.
  • 평면 이음매는 이동체 내의 평면이 고정체 내의 평면에 접촉하는 것을 필요로 한다.이 관절은 3개의 자유도가 있다.

상위 쌍

일반적으로 상위 쌍은 고정체 내의 곡선 또는 표면과의 접촉을 유지하기 위해 이동체 내의 곡선 또는 표면이 필요한 구속조건이다.예를 들어, 캠과 그 추종자 사이의 접촉은 캠 조인트라고 불리는 더 높은 쌍입니다.마찬가지로 두 기어의 맞물림 톱니를 형성하는 인볼루트 곡선 사이의 접촉은 캠 조인트입니다.

키네마틱 체인

Illustration of a Four-bar linkage from Kinematics of Machinery, 1876
기계 운동학의 4바 링크 그림, 1876

운동학적 쌍("연결")으로 연결된 강체("링크")를 운동학적 사슬이라고 합니다.기계와 로봇은 운동학적 사슬의 예이다.운동학적 사슬의 자유도이동성 공식을 사용하여 링크의 수, 관절의 수 및 유형으로부터 계산된다.이 공식은 또한 기계 설계에서 유형 합성이라고 알려진 일정한 자유도를 갖는 운동학적 사슬의 토폴로지를 열거하는 데 사용될 수 있습니다.

N개의 링크와 j힌지 또는 슬라이딩 조인트로 조립된 평면상의 1자유도 링크는 다음과 같습니다.

  • N = 2, j = 1 : 레버인 2바 링크;
  • N = 4, j = 4 : 4 바 링크;
  • N = 6, j = 7 : 6바 링크.여기에는 3개의 조인트를 지원하는 2개의 링크("삼원 링크")가 있어야 합니다.2개의 3차 링크의 접속 방법에 따라 2개의 토폴로지가 있습니다.와트 토폴로지에서는 2개의 3진 링크는 공통의 조인트를 가집니다.Stephenson 토폴로지에서는 2개의 3진 링크는 공통의 조인트를 가지지 않고 바이너리 [29]링크로 연결됩니다.
  • N = 8, j = 10 : 16개의 다른 위상을 가진 8바 링크;
  • N = 10, j = 13 : 230개의 서로 다른 위상을 가진 10바 링크;
  • N = 12, j = 16 : 6,856개의 토폴로지를 가진 12바 링크.

더 큰 체인과 그 연결 토폴로지에 대해서는 R. P. Sunkari와 L. C. Schmidt, "Mcay-type 알고리즘을 채택하여 평면 운동학적 체인의 구조 합성", 메커니즘과 기계 이론 #41, 페이지 1021-1030 (2006)을 참조한다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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  • Moon, Francis C. (2007). The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
  • 에두아르튼 DHDelphenich 번역가,"기금회와 분석 운동의 목표"(1913년).

외부 링크

  • 1D운동의 자바 애플릿.
  • Physclips:뉴 사우스 웨일즈 대학에서 애니메이션과 비디오 클립들을 Mechanics.
  • 디자인 디지털 도서관(KMODDL)에 동적 모델, 영화, 기계적 시스템의 코넬 대학에서 일하는 모델과 기계적 설계 및 공학에 고전 원문의 전자책 콘텐츠 도서관 수백명의 사진이다.
  • Micro-Inch 위치 확인Kinematic과 구성 요소.