맥스웰 방정식

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전기망 교류 정전용량 직류 전류 전기분해 전류밀도 줄난방 기전력 임피던스 인덕턴스 옴의 법칙 병렬 회로 레지스탕스 공명 공동 직렬 회로 전압 도파관
자기회로 자이레이터-캐패시터 모델 자기 복합체 난잡도 자기저항 자기 동력 투과성
공변 공식 전자기 텐서 (stress–에너지 텐서) 사류 전자기 4전위
사이언티스트 앙페르 비옷 쿨롱 데이비 아인슈타인 패러데이 피소 가우스 헤비사이드 핸리다. 헤르츠 홉킨스슨 제피멘코 줄 켈빈 렌츠 리에나르 로렌츠 맥스웰 노이만 외르스테드 옴 포인팅 리치 사바트 가수. 슈타인메츠 테슬라 볼타 베버 비처트 포아송
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맥스웰 방정식, 또는 맥스웰-헤비사이드 방정식은 로렌츠 힘 법칙과 함께 고전 전자기학, 고전 광학 및 전기 회로의 기초를 형성하는 결합 편미분 방정식의 집합입니다. 방정식은 발전, 전기 모터, 무선 통신, 렌즈, 레이더 등과 같은 전기, 광학 및 무선 기술에 대한 수학적 모델을 제공합니다. 그들은 전하, 전류 및 장의 변화에 의해 전기장과 자기장이 어떻게 생성되는지 설명합니다.^{[note 1]} 이 방정식들의 이름은 물리학자이자 수학자인 제임스 클러크 맥스웰의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 1861년과 1862년에 로렌츠 힘 법칙을 포함하는 초기 형태의 방정식을 발표했습니다. 맥스웰은 우선 방정식을 이용하여 빛이 전자기 현상이라는 것을 제안했습니다. 가장 일반적인 공식의 현대적인 형태의 방정식은 올리버 헤비사이드에게 인정됩니다.^[1]

맥스웰 방정식을 결합하여 전자기장(파동)의 변동이 진공에서 일정한 속도로 전파되는 방법을 설명할 수 있습니다(299792458m/s).^[2] 전자기 방사선이라고 알려진 이 파동들은 전파에서 감마선에 이르는 스펙트럼의 방사선을 생성하기 위해 다양한 파장에서 발생합니다.

방정식에는 두 가지 주요 변형이 있습니다. 미시 방정식은 보편적인 적용 가능성을 가지고 있지만 일반적인 계산에는 유용하지 않습니다. 그들은 전기장과 자기장을 원자 규모의 물질에 있는 복잡한 전하와 전류를 포함한 총 전하와 총 전류와 연관시킵니다. 거시 방정식은 원자 규모 전하와 스핀과 같은 양자 현상을 고려할 필요 없이 물질의 대규모 행동을 설명하는 두 개의 새로운 보조 필드를 정의합니다. 그러나 이들의 사용에는 물질의 전자기적 반응에 대한 현상학적 설명을 위해 실험적으로 결정된 매개변수가 필요합니다. "맥스웰 방정식"이라는 용어는 종종 동등한 대체 공식에도 사용됩니다. 전기 및 자기 스칼라 전위를 기반으로 한 맥스웰 방정식의 버전은 경계 값 문제, 해석 역학으로 방정식을 명시적으로 해결하거나 양자 역학에 사용하는 데 선호됩니다. 공변 공식은 (공간과 시간이 따로 있는 것이 아니라 시공간에서) 맥스웰 방정식과 특수 상대성 이론의 호환성을 분명히 합니다. 고에너지 및 중력 물리학에서 일반적으로 사용되는 곡선 시공간의 맥스웰 방정식은 일반 상대성 이론과 양립할 수 있습니다.^{[note 2]} 실제로 알버트 아인슈타인은 맥스웰 방정식의 결과인 빛의 불변 속도를 수용하기 위해 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론을 개발했으며, 상대적인 움직임만이 물리적인 결과를 가져온다는 원리를 가지고 있습니다.

방정식의 출판은 이전에 별도로 설명된 현상인 자기, 전기, 빛 및 관련 방사선에 대한 이론의 통합을 표시했습니다. 20세기 중반부터 맥스웰 방정식은 전자기 현상에 대한 정확한 설명을 제공하는 것이 아니라 양자전기역학의 보다 정확한 이론의 고전적 한계라고 이해되어 왔습니다.

방정식의 역사

개념설명

가우스의 법칙

가우스의 법칙은 전기장과 전하 사이의 관계를 설명합니다: 전기장은 양전하에서 멀어져서 음전하로 향하고, 닫힌 표면을 통한 전기장의 순 유출은 물질의 양극화로 인한 결합 전하를 포함하여 닫힌 전하에 비례합니다. 비율의 계수는 자유 공간의 유전율입니다.

가우스의 자기 법칙

가우스의 자기 법칙에 따르면 전하는 자기홀극이라고 불리는 자기 유사체를 가지고 있지 않으며, 북쪽이나 남쪽의 자기홀극은 고립되어 존재하지 않습니다.^[3] 대신 물질의 자기장은 쌍극자에 기인하며 닫힌 표면을 통한 자기장의 순유출은 0입니다. 자기 쌍극자는 전류의 루프 또는 분리할 수 없는 동일한 "자기 전하"와 반대되는 쌍으로 표현될 수 있습니다. 정확하게는 가우시안 표면을 통한 총자속은 0이고 자기장은 솔레노이드 벡터장입니다.^{[note 3]}

패러데이 법칙

맥스웰-패러데이 버전의 패러데이 유도 법칙은 시간에 따라 변하는 자기장이 전기장의 컬에 어떻게 대응하는지를 설명합니다.^[3] 적분 형태에서는 닫힌 고리를 중심으로 전하를 이동하는 데 필요한 단위 전하당 일이 닫힌 표면을 통과하는 자속의 변화율과 같다고 기술하고 있습니다.

전자기 유도는 많은 발전기의 작동 원리입니다. 예를 들어, 회전하는 막대 자석은 변화하는 자기장을 만들고 근처 전선에 전기장을 만듭니다.

맥스웰의 덧셈에 의한 앙페르의 법칙

앙페르의 원래 법칙은 자기장이 전류와 관련이 있다고 말합니다. 맥스웰의 덧셈은 자기장이 변하는 전기장과도 관련이 있으며, 맥스웰은 이를 변위 전류라고 불렀습니다. 적분 형태는 전기 및 변위 전류가 임의의 주변 곡선을 따라 비례 자기장과 연관되어 있음을 나타냅니다.

맥스웰이 앙페르의 법칙에 추가한 것은 앙페르와 가우스의 법칙이 정적 장에 맞게 조정되어야 하기 때문에 중요합니다.^{[4][clarification needed]} 결과적으로 전기장이 변화함에 따라 회전하는 자기장이 발생한다고 예측합니다.^[3][5] 또 다른 결과는 빈 공간을 이동하는 자가 지속적인 전자파의 존재입니다.

전하와 전류에 대한 실험으로부터 예측할 수 있는 전자기파에 대해 계산된 속도는 빛의 ^{[note 4]}속도와 일치합니다. 실제로 빛은 전자기 복사의 한 형태입니다(X선, 전파 등). 맥스웰은 1861년에 전자기파와 빛의 연관성을 이해하고 전자기학과 광학 이론을 통합했습니다.

전기장과 자기장의 관점에서 제형화(현미경 또는 진공 버전)

전기장과 자기장 공식에는 주어진 전하와 전류 분포에 대한 필드를 결정하는 네 가지 방정식이 있습니다. 별도의 자연법칙인 로렌츠 힘 법칙은 반대로 전기장과 자기장이 대전된 입자와 전류에 어떻게 작용하는지 설명합니다. 이 법칙의 버전은 맥스웰에 의해 원래 방정식에 포함되었지만 관례에 따라 더 이상 포함되지 않습니다. 올리버 헤비사이드의 업적인 아래 벡터 미적분 형식주의가 표준이 되었습니다.^[6][7] 그것은 명백하게 회전 불변이며 따라서 x,y,z 성분의 맥스웰의 원래 20개 방정식보다 수학적으로 훨씬 더 투명합니다. 상대론적 공식은 훨씬 더 대칭적이고 명백하게 로렌츠 불변입니다. 텐서 미적분학 또는 미분 형식을 사용하여 표현된 동일한 방정식의 경우 § 대체 공식을 참조하십시오.

미분 공식과 적분 공식은 수학적으로 동등하며 둘 다 유용합니다. 통합 공식은 공간 영역 내의 필드를 경계의 필드와 연관시키며 전하와 전류의 대칭 분포에서 필드를 단순화하고 직접 계산하는 데 자주 사용될 수 있습니다. 반면, 미분 방정식은 순수하게 국소적이며, 예를 들어 유한 요소 분석을 사용하는 등 보다 복잡한 (덜 대칭적인) 상황에서 필드를 계산하기 위한 보다 자연스러운 출발점입니다.^[8]

표기법의 핵심

굵은 글씨로 표시된 기호는 벡터 수량을 나타내고, 이탤릭체로 표시된 기호는 달리 표시되지 않는 한 스칼라 수량을 나타냅니다. 이 방정식은 벡터장인 전기장 E와 의사벡터장인 자기장 B를 소개하며, 각각 일반적으로 시간과 위치 의존성을 갖습니다. 출처는.

• 총 전하 밀도(단위 부피당 총 전하량), ρ 및
• 총 전류 밀도(단위 면적당 총 전류), J.

방정식에 나타나는 보편 상수(SI 단위 공식에만 명시적으로 처음 두 개의 상수)는 다음과 같습니다.

• 자유 공간, ε, 그리고 자유 공간의 허용 가능성.
• 자유 공간의 투과율, μ₀ 및
• 빛의 속도, $c$ = ${\displaystyle 1}$ε 0 μ 0 {\displaystyle c = {\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0$}\$mu _{0}}}

미분방정식

미분방정식에서는

• 나블라 기호인 ∇는 3차원 구배 연산자인 del을 나타냅니다.
• ∇⋅ 기호("del dot"으로 발음)는 발산 연산자를 나타냅니다.
• ∇× 기호("del cross"로 발음)는 컬 연산자를 나타냅니다.

적분방정식

적분방정식에서는

• ω은 닫힌 경계면 ∂ ω을 가진 모든 볼륨입니다.
• σ은 닫힌 경계 곡선 ∂ σ,

방정식은 시간에 독립적인 표면과 부피로 해석하기가 조금 더 쉽습니다. 시간에 독립적인 표면 및 볼륨은 "고정" 상태이며 지정된 시간 간격 동안 변경되지 않습니다. 예를 들어, 표면은 시간에 독립적이기 때문에, 우리는 패러데이 법칙의 적분 부호 아래 미분을 가져올 수 있습니다.

맥스웰 방정식은 미분 버전을 사용하고 가우스와 스톡스 공식을 적절하게 사용하여 시간 의존적인 표면과 부피로 공식화할 수 있습니다.

• $∂ ω {\displaystyle$ {\vphantom {\int}}_{\scriptstyle \partial \Omega }}는 경계 표면 위에 있는 표면 적분이며, 루프는 표면이 닫혀 있음을 나타냅니다.
• $ω {\$displaystyle \$iiint_{\$Omega }}는 볼륨 ω에 대해 통합된 볼륨입니다.
• ${\displaystyle {\oint }_{}}{\displaystyle {}_{}}$∂$σ {\displaystyle$ \point _{\partial \Sigma }}는 경${\displaystyle {계}_{}}$ ${\displaystyle {곡}_{}}$선 ∂ σ 주위에 적분된 선이며 루프는 곡선이 닫혀 있음을 나타냅니다.
• $σ {\$displaystyle \$iint_{\$Sigma }}는 표면 σ에 대한 표면 적분입니다.
• ω에 포함된 총 전하 Q는 전하 밀도 ρ의 ω에 따른 부피 적분입니다(아래 "거시적 공식" 섹션 참조).
  $${\displaystyle Q=\iiint_{\Omega}\rho \mathrm {d} V,}$$

  
  여기서 dV는 볼륨 요소입니다.
• 순 전류 I은 고정된 표면을 통과하는 전류 밀도 J의 표면 적분값으로 σ:
  $${\displaystyle I=\iint_{\Sigma}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S},}$$

  
  여기서 dS는 표면적 S의 미분 벡터 요소를 나타내며, 표면적 σ에 대해 정규입니다. (벡터 영역은 S가 아닌 A로 표시되기도 하지만, 이는 자기 벡터 전위에 대한 표기법과 상충됩니다.)

SI 단위 표기법

이름.	적분방정식	미분방정식
가우스의 법칙	${\displaystyle {\vphantom {\point}}_{\scriptstyle \partial \Omega}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}\iiint _{\Omega}\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
가우스의 자기 법칙	${\displaystyle {\vphantom {\point}}_{\scriptstyle \partial \Omega}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
맥스웰-패러데이 방정식(패러데이 유도 법칙)	${\displaystyle \point_{\partial \Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}}=-{\frac {\mathrm {d} {\d} t}\iint_{\Sigma}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} {\partial t}}$
앙페르의 순환법칙 (Maxwell의 덧셈 포함)	${\displaystyle {\begin{aligned}\point_{\partial \Sigma}&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}} =\mu_{0}\left(\iint_{\Sigma}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon_{0} {\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t}\iint_{\Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\end {aligned}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} {\partial t}\right)}$

가우시안 단위 규칙에서의 공식화

전하, 전기장 및 자기장의 정의는 전통적으로 ε 및 μ의 치수 인자를 계산 단위로 흡수함으로써 이론적 계산을 단순화하기 위해 변경될 수 있습니다. 로렌츠 힘 법칙에 대한 관례의 상응하는 변화로, 이는 동일한 물리학, 즉 하전 입자의 궤적 또는 전기 모터에 의해 수행되는 작업을 산출합니다. 이러한 정의는 전자기 텐서의 외관을 단순화하기 위해 동일한 단위로 전기장과 자기장을 취하는 것이 자연스러운 이론 및 고에너지 물리학에서 종종 선호됩니다. 그러면 전기장과 자기장을 통합하는 로렌츠 공변 물체는 균일한 단위와 치수를 가진 구성 요소를 포함합니다.^{[9]: vii} 이러한 수정된 정의는 일반적으로 가우스(CGS) 장치와 함께 사용됩니다. 이러한 정의와 규칙을 사용하여 구어적으로 "가우스 단위"^[10]로 맥스웰 방정식은 다음과 같습니다.^[11]

이름.	적분방정식	미분방정식
가우스의 법칙	${\displaystyle {\vphantom {\point}}_{\scriptstyle \partial \Omega}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega}\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$
가우스의 자기 법칙	${\displaystyle {\vphantom {\point}}_{\scriptstyle \partial \Omega}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
맥스웰-패러데이 방정식(패러데이 유도 법칙)	${\displaystyle \point_{\partial \Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}}=-{\frac {1}{c}} {\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t}\int_{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}{\frac {\partial \mathbf {B}}{\partial t}}$
앙페르의 순환법칙 (Maxwell의 덧셈 포함)	${\displaystyle {\begin{aligned}\point_{\partial \Sigma}&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}}={\frac {1}{c}\left(4\pi \iint_{\Sigma}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t}\iint_{\Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end{aligned}}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {B} = {\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E}}{\partial t}\right)}$

이 방정식은 빛의 속도로 양의 시스템을 선택할 때 약간 단순화되며, c는 비차원화에 사용되므로 예를 들어 초와 광초는 상호 교환할 수 있으며 c = 1입니다.

4가지 π의 인자를 흡수하여 추가 변경이 가능합니다. 합리화라고 불리는 이 과정은 쿨롱의 법칙이나 가우스의 법칙 중 어느 것에 그러한 요소가 포함되어 있는지에 영향을 미칩니다(입자물리학에서 주로 사용되는 헤비사이드-로렌츠 단위 참조).

미분 공식과 적분 공식의 관계

미분 공식과 적분 공식의 등가성은 가우스 발산 정리와 켈빈-스토크스 정리의 결과입니다.

플럭스와 발산

(순수수학적인) 가우스 발산 정리에 따르면, 경계면 ∂ ω을 통한 전기유속은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

따라서 가우스 방정식의 적분 버전은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

ω은 임의이므로(예를 들어, 임의의 중심을 가진 임의의 작은 공), 이는 적분이 모든 곳에 0인 경우에만 만족됩니다. 이것은 사소한 재배열까지 가우스 방정식의 미분 방정식 공식입니다.

마찬가지로 가우스의 자기 법칙에서 적분 형태로 자속을 다시 쓰면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega}\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

∇ ⋅ ${\displaystyle B}$ = 0${\displaystyle$ \n인 경우에만 모든 ω에 대해 만족합니다.모든 곳에 $bla \cdot \mathbf {B}$ $=$ 0}이(가) 있습니다.

순환 및 컬

켈빈-스토크스 정리에 의해 우리는 닫힌 경계 곡선 ∂ σ 주변의 장의 선적분을 표면 위의 "장의 순환"(즉, 그들의 컬)의 적분으로 다시 쓸 수 있습니다.

따라서 적분 형태의 수정된 앙페르 법칙은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 임의의 작고 임의의 방향으로 향하는 임의의 중심 디스크로서 σ를 임의로 선택할 수 있기 때문에, 미분 방정식 형태의 암페어의 수정된 법칙이 만족되는 경우에만 적분값이 0이라고 결론지었습니다. 미분과 적분 형태의 패러데이 법칙의 등가성도 마찬가지입니다.

선적분과 컬은 고전 유체 역학의 양과 유사합니다: 유체의 순환은 닫힌 루프를 둘러싼 유체의 유속장의 선적분이고 유체의 와류는 속도장의 컬입니다.

전하보존

전하의 불변성은 맥스웰 방정식의 상관관계로 유도될 수 있습니다. 수정된 앙페르의 법칙의 좌변은 디브-컬 항등식에 의해 발산이 0입니다. 우변의 발산을 확장하고, 도함수를 교환하며, 가우스의 법칙을 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

예., 가우스 발산 정리에 따르면, 이것은 고정된 부피에서 전하의 변화율이 경계를 흐르는 순 전류와 같다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega}}$

특히 격리된 시스템에서는 총 전하량이 보존됩니다.

진공 방정식, 전자파 및 빛의 속도

진공과 같이 전하가 없고 전류가 없는 영역(J = 0)에서는 맥스웰 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

컬 방정식의 컬(∇×)을 취하고 컬 항등식의 컬을 이용하여 구합니다.

$수량$ μ ${\displaystyle 0_{}}$ε 0 ${\displaystyle \$mu _{$0}\varepsilon$_{0}}의 치수는 (시간/길이)입니다. $c$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$0 ε 0 ) - 1 / 2 {\displaystyle c = (\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}를 정의하면, 위의 방정식들은 표준 파동 방정식의 형태를 갖습니다.

맥스웰의 생전에 이미$$ε 0 {\displaystyle $\varepsilon$_{${\displaystyle 0_{}}$}}$$및 μ 0 ${\displaystyle \$mu _{0}}에 대한 알려진 값은 c ≈${\displaystyle \text{2}}$.998 × $108$ m/s {\$displaystyle$c\$약 2.$998$\times 10^{$8$\}~\{\backslash$text{m/s}}를${\displaystyle \mathrm{}}$제공한다는 것을 발견했습니다. 이 때문에 그는 빛과 전파가 전자기파를 전파하고 있다는 것을 충분히 확인했기 때문에 제안하게 되었습니다. ${\displaystyle {이전}_{}}$ SI 단위 시스템에서 μ 0 = ${\displaystyle 4{}^{}}$π$$×$$10 - 7 ${\$displaystyle \mu _{0} = 4\pi \times 10^{-7}} 및 c = 299 792 458m/s {\displaystyle c = 299\,792\,458~{\text{m/s}}의 값은 정의된 상수이며, 이는 정의된 ε 0 = 8.854...${\displaystyle \varepsilon$암페어와 미터를 정의하는 $\times 10^{-12}~{\text{F/m$ 새로운 SI 시스템에서는 c만 정의된 값을 유지하고 전자 전하는 정의된 값을 얻습니다.

상대 유전율, ε 및 상대 투자율(μ)을 갖는 재료에서, 빛의 위상 속도는

일반적으로^{[note 5]} c보다 작습니다.

또한 E와 B는 서로 수직이며 파동 전파 방향에 대해 서로 위상이 있습니다. 사인파 평면파는 이러한 방정식의 특별한 해결책 중 하나입니다. 맥스웰 방정식은 이 파동들이 어떻게 우주를 통해 물리적으로 전파될 수 있는지 설명합니다. 변화하는 자기장은 패러데이 법칙을 통해 변화하는 전기장을 만들어냅니다. 결국 그 전기장은 맥스웰이 앙페르의 법칙에 추가함으로써 변화하는 자기장을 만들어냅니다. 이 영구적인 주기는 현재 전자기 복사로 알려진 이 파동들이 c 속도로 우주를 이동할 수 있게 해줍니다.

거시적 공식화

위의 방정식들은 맥스웰 방정식의 미시적 버전으로, 전기장과 자기장을 (원자 수준일 가능성이 있는) 전하와 전류로 표현합니다. 이를 "일반적" 형태라고 부르기도 하지만, 아래의 거시적 버전도 마찬가지로 일반적이며, 그 차이는 부기의 하나입니다.

마이크로 버전은 때때로 "진공 속의 맥스웰 방정식"이라고 불리는데, 이것은 물질 매개체가 방정식의 구조에 내장되어 있는 것이 아니라 전하와 전류 용어에만 나타난다는 사실을 말합니다. 미시적 버전은 로렌츠에 의해 소개되었는데, 로렌츠는 이를 이용하여 그것의 미시적 구성요소로부터 벌크 물질의 거시적 특성을 도출하려고 시도했습니다.^{[12]: 5}

물질에서 맥스웰 방정식이라고도 불리는 "맥스웰의 거시 방정식"은 맥스웰이 직접 소개한 방정식과 더 유사합니다.

이름.	적분방정식 (SI 규약)	미분방정식 (SI 규약)	미분방정식 (가우스 규약)
가우스의 법칙	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega}\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}}$
앙페르의 순환법칙 (Maxwell의 덧셈 포함)	${\displaystyle {\begin{aligned}\point_{\partial \Sigma}&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}}=\&\iint_{\Sigma}\mathbf {J}_{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}\iint_{\Sigma}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{aligned}}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D}}{\partial t}}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {H} = {\frac {1}{c}\left(4\pi \mathbf {J}_{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D}}{\partial t}\right)}$
가우스의 자기 법칙	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} = 0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
맥스웰-패러데이 방정식(패러데이 유도 법칙)	${\displaystyle \point_{\partial \Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\ell}}=-{\frac {dt}}\iint_{\Sigma}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} {\partial t}}$	${\displaystyle \nbla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}{\frac {\partial \mathbf {B}}{\partial t}}$

거시 방정식에서 결합 전하 Q와_b 결합 전류 I의_b 영향은 변위장 D와 자화장 H에 통합되는 반면 방정식은 자유 전하 Q와_f 자유 전류 I에만_f 의존합니다. 이는 총 전하 Q와 전류 I(및 그 밀도 ρ 및 J)를 자유 부분과 구속 부분으로 분할한 것을 반영합니다.

이 분할의 비용은 전기장 E와 자기장 B에 관련된 현상학적 구성 방정식과 결합된 전하와 전류를 통해 추가적인 전기장 D와 H를 결정해야 한다는 것입니다.

공기/진공에 유용한 물질 기여를 포함한 총 전하 및 전류를 다루는 미시 방정식과 물질 내에서 사용하기에 실용적인 자유 전하 및 전류를 다루는 거시 방정식의 차이점에 대한 자세한 설명은 아래를 참조하십시오.^{[note 6]}

바운드 전하 및 전류

전기장이 유전체 물질에 가해지면 분자는 미세한 전기 쌍극자를 형성함으로써 반응합니다. 원자핵은 전기장 방향으로 아주 작은 거리를 이동하는 반면 전자는 반대 방향으로 아주 작은 거리를 이동합니다. 이렇게 하면 관련된 모든 전하가 개별 분자에 속박되어 있음에도 불구하고 물질에 거시적으로 속박된 전하를 생성합니다. 예를 들어 모든 분자가 그림과 같은 반응을 하면, 이러한 작은 전하 운동이 결합하여 물질의 한쪽에는 양의 결합 전하층이, 다른 쪽에는 음의 전하층이 생성됩니다. 결합된 전하는 물질의 편광 P, 단위 부피당 쌍극자 모멘트로 가장 쉽게 설명됩니다. P가 균일하면 물질이 들어가고 나오는 표면에서만 거시적인 전하 분리가 생성됩니다. 불균일한 P의 경우, 전하도 대량으로 생성됩니다.^[13]

이와 유사하게 모든 물질에서 구성 원자는 원자의 구성 요소, 특히 전자의 각운동량과 본질적으로 연결된 자기 모멘트를 나타냅니다. 각운동량에 대한 연결은 미시적 전류 루프의 집합의 그림을 암시합니다. 물질 외부에서 이러한 미세 전류 루프의 집합체는 물질 표면을 순환하는 거시 전류와 다르지 않지만, 개별 전하가 큰 거리를 이동하지는 않습니다. 이러한 속박 전류는 자화 M을 사용하여 설명할 수 있습니다.^[14]

따라서 매우 복잡하고 세분화된 전하와 결합된 전류는 개별 원자의 입도가 보이지 않도록 충분히 큰 규모로 이러한 전하와 전류를 평균할 뿐만 아니라 물질의 위치에 따라 달라질 정도로 충분히 작습니다. 따라서 맥스웰의 거시 방정식은 적절한 부피에 대해 평균을 내는 필드를 계산함으로써 전체 규모의 문제를 이해하는 데 중요하지 않을 수 있는 미세 규모의 많은 세부 사항을 무시합니다.

보조장, 분극 및 자화

보조 필드의 정의는 다음과 같습니다.

여기서 P는 편광장이고 M은 자화장이며 각각 미세 속박 전하와 속박 전류로 정의됩니다. 그러면 편광 P와 자화 M에 대한 거시적인 결합 전하 밀도 ρ과 결합 전류 밀도 J는 다음과 같이 정의됩니다.

우리가 총, 한계, 그리고 자유 전하와 전류 밀도를 다음과 같이 정의한다면,

위의 정의 관계를 이용하여 D와 H를 제거하고, "거시적" 맥스웰 방정식은 "거시적" 방정식을 재현합니다.

구성적 관계

'맥스웰의 거시 방정식'을 적용하기 위해서는 변위장 D와 전기장 E, 그리고 자화장 H와 자기장 B 사이의 관계를 명시해야 합니다. 마찬가지로, 우리는 인가된 전기장과 자기장에 대한 편광 P(따라서 결합된 전하)와 자화 M(따라서 결합된 전류)의 의존성을 지정해야 합니다. 이 반응을 지정하는 방정식을 구성 관계라고 합니다. 실제 자료의 경우, 구성 관계는 대략적인 것을 제외하고는 거의 단순하지 않으며 일반적으로 실험에 의해 결정됩니다. 자세한 설명은 구성 관계에 대한 메인 기사를 참조하십시오.^{[15]: 44–45}

편광 및 자화가 없는 물질의 경우 구성 관계는 (정의에 따라)^{[9]: 2}

여기서 ε는 자유 공간의 유전율이고 μ는 자유 공간의 투과율입니다. 속박된 전하가 없기 때문에 총량과 자유 전하와 전류는 같습니다.

미시 방정식에 대한 대안적인 관점은 진공이 추가적인 편광과 자화 없이 완벽한 선형 "물질"처럼 행동한다는 진술과 함께 거시 방정식이라는 것입니다. 보다 일반적으로, 선형 재료의 경우, 구성 관계는^{[15]: 44–45}

여기서 ε는 물질의 유전율과 μ의 투과율입니다. 변위장 D의 경우 실험실에서 얻을 수 있는 가장 극단적인 전기장이나 온도(고출력 펄스 레이저)를 제외한 모든 경우 10V¹¹/m 정도의 물질의 원자간 전기장이 외부장보다 훨씬 높기 때문에 선형 근사는 일반적으로 우수합니다. 그러나 자화장 $H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 경우$$철과 같은 일반적인 물질에서 선형 근사치가 분해되어 히스테리시스와 같은 현상이 발생할 수 있습니다. 그러나 선형의 경우에도 다양한 합병증이 있을 수 있습니다.

• 균일한 재료의 경우 ε과 μ는 재료 전체에서 일정한 반면, 불균일한 재료의 경우 재료 내 위치(및 시간)에 따라 달라집니다.
• 등방성 재료의 경우 ε 및 μ는 스칼라인 반면, 등방성 재료(예: 결정 구조로 인한)의 경우 텐서입니다.
• 재료는 일반적으로 분산되므로 ε 및 μ는 입사 전자파의 주파수에 따라 달라집니다.

더욱 일반적으로 비선형 재료(예: 비선형 광학)의 경우, D와 P는 반드시 E에 비례하지 않으며, 마찬가지로 H 또는 M은 반드시 B에 비례하지 않습니다. 일반적으로 D와 H는 E와 B, 위치와 시간, 그리고 아마도 다른 물리량에 의존합니다.

또한 응용 분야에서 자유 전류와 전하 밀도가 E와 B를 기준으로 어떻게 작용하는지, 전하를 운반하는 입자의 질량, 수 밀도 및 속도와 같은 다른 물리량과 결합되어 있는지 설명해야 합니다. 예를 들어, 맥스웰에 의해 주어진 원래 방정식(맥스웰 방정식의 역사 참조)은 옴의 법칙을 형태로 포함하고 있습니다.

대체 공식

다음은 미시적 맥스웰 방정식을 쓰기 위한 수많은 다른 수학적 형식들의 일부를 요약한 것이며, 열은 전하와 전류를 포함하는 두 개의 불균일한 맥스웰 방정식을 분리합니다. 각 제형은 전기장과 자기장의 관점에서 직접적으로, 그리고 전기 퍼텐셜 φ과 벡터 퍼텐셜 A의 관점에서 간접적으로 버전이 있습니다. 균질 방정식을 푸는 편리한 방법으로 퍼텐셜이 도입되었지만, 관측 가능한 모든 물리학은 전기장과 자기장(또는 상대론적으로 패러데이 텐서)에 포함되어 있다고 생각되었습니다. 그러나 전위는 양자역학에서 중심적인 역할을 하며 전기장과 자기장이 사라질 때도 관찰 가능한 결과와 함께 양자역학적으로 작용합니다(아하로노프-봄 효과).

각 표는 하나의 형식주의를 설명합니다. 각 제형에 대한 자세한 내용은 메인 기사를 참조하십시오. SI 단위는 전체적으로 사용됩니다.

벡터 미적분학

공식화	동차방정식	동차방정식
필드 3D 유클리드 공간 + 시간	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nbla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t} =\mathbf {0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \nbla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial \mathbf {E}}{\partial t}=\mu _{0}\mathbf {J}$
전위(게이지) 3D 유클리드 공간 + 시간	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nbla} \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} = -\mathbf {\nabla} \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} } {\partial t}}$	${\displaystyle -\nabla^{2}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \left (-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {A} +\mathbf {\nbla} \left(\mathbf {\n)abla} \cdot \mathbf {A} +{\frac {1} {c^{2}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}\right)=\mu _{0}\mathbf {J}$
전위(로렌츠 게이지) 3D 유클리드 공간 + 시간	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nbla} \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} = -\mathbf {\nabla} \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} } {\partial t}}$ ${\displaystyle \mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1} {c^{2}}{\frac {\partial \varphi}{\partial t}}$	${\displaystyle \left (-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \left (-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\right)\mathbf {A} =\mu_{0}\mathbf {J}$

텐서 미적분학

공식화	동차방정식	동차방정식
필드 공간+시간 시간에 무관한 공간 지표	${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{[i}B_{jk]}=\\&\qquad \nabla _{[i}B_{jk]}=0\\&\partial _{[i}E_{j]}+{\frac {\partial B_{ij}}{\partial t}}=\\&\qquad \nabla_{[i}E_{j]}+{\frac {\partial B_{ij}}{\partial t}}=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {h}}\partial _{i}{\sqrt {h}}E^{i}=\&\qquad \nabla _{i}E^{i}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\&{-}{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}E^{j}=\\&\qquad {-}\nabla _{i}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E^{j}}{\partial t}}=\mu _{0}J^{j}\end{aligned}}$
가능성 공간(§ 위상 제한 포함) + 시간 시간에 무관한 공간 지표	${\displaystyle {\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla_{[i}A_{j]}\end{aligned}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{i}&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}-\nabla_{i}\varphi \\end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\frac {1}{\sqrt {h}}\부분 _{i}{\sqrt {h}}\left(\partial ^{i}\varphi +{\frac {\partial A^{i}}{\partial t}\right)=\&\qquad -\nabla_{i}\nabla^{i}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}\nabla_{i}A^{i}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}\\&{-}{\frac {1}{\sqrt {h}}\partial _{i}\left ({\sqrt {h}h^{im}h^{jn}\partial _{[m}A_{n]}\right)+{\frac {1}{c^{2}}{\partial t}\left ({\frac {\j}{\partial t}}+\partial ^{j}\varphi \right)=\\&\qquad {-}\nabla_{i}\n블라 ^{i}A^{j}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}+\nabla ^{j}\left(\nabla_{i}A^{i}+{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial \varphi}{\partial t}\right)=\mu _{0}J^{j}\end{aligned}}$
전위(로렌츠 게이지) 공간(위상 제한 포함) + 시간 시간에 무관한 공간 지표	${\displaystyle {\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla_{[i}A_{j]}\end{aligned}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{i}&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}-\nabla_{i}\varphi \end{aligned}}$ ${\displaystyle \nabla_{i}A^{i}=-{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial \varphi}{\partial t}}$	${\displaystyle -\nabla_{i}\nabla ^{i}\varphi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle -\nabla_{i}\n블라 ^{i}A^{j}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}=\mu _{0}J^{j}}$

미분형식

공식화	동차방정식	동차방정식
필드 임의의 공간 + 시간	${\displaystyle dB=0}$ ${\displaystyle dE+{\frac {\partial B}{\partial t}}=0}$	${\displaystyle d{\star}E={\frac {\rho}{\varepsilon_{0}}}$ ${\displaystyle d{\star}B-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\star}E}{\partial t}=\mu _{0}J}$
전위(게이지) 임의의 공간(§ 위상 제한 포함) + 시간	${\displaystyle B=dA}$ ${\displaystyle E=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}$	${\displaystyle -d{\star}\!\left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)={\frac {\rho}{\varepsilon _{0}}}$ ${\displaystyle d{\star}dA+{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial}{\partial t}{\star}\!\left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}\right)=\mu _{0}J}$
전위(로렌츠 게이지) 임의의 공간(위상 제한이 있는) + 시간 시간에 무관한 공간 지표	${\displaystyle B=dA}$ ${\displaystyle E=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}$ ${\displaystyle d{\star}A=-{\star}{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial \varphi}{\partial t}}$	${\displaystyle {\star}\!\left(-\Delta \varphi +{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\varphi \right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\star}\!\left(-\Delta A+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial ^{2}t}}\right)=\mu _{0}J}$

상대론적 공식

맥스웰 방정식은 공간과 시간이 동등한 지위에서 취급되는 시공간과 같은 민코프스키 공간에서도 공식화될 수 있습니다. 직접적인 시공간 공식은 맥스웰 방정식이 상대적으로 불변하다는 것을 분명히 합니다. 이러한 대칭성 때문에 전기장과 자기장은 동등한 지위로 취급되며 패러데이 텐서의 구성 요소로 인식됩니다. 이렇게 하면 더 이상 익숙한 벡터 공식을 사용할 수 없지만 맥스웰 방정식 4개가 2개로 줄어 방정식이 단순화됩니다. 실제로 공간 + 시간 공식의 맥스웰 방정식은 갈릴레오 불변이 아니며 숨겨진 대칭으로 로렌츠 불변성을 갖습니다. 이것은 상대성 이론의 발전에 주요한 영감의 원천이었습니다. 실제로 공간과 시간을 분리하여 다루는 공식조차도 비상대론적 근사치가 아니며 단순히 변수 이름을 변경하여 동일한 물리학을 설명합니다. 이러한 이유로 상대론적 불변 방정식은 보통 맥스웰 방정식이라고도 불립니다.

아래 각 표는 하나의 형식주의를 설명합니다.

텐서 미적분학

공식화	동차방정식	동차방정식
필드 민코프스키 공간	${\displaystyle \partial_{[\alpha}F_{\beta \gamma]}=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta}}$
전위(게이지) 민코프스키 공간	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle 2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }$
전위(로렌츠 게이지) 민코프스키 공간	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$ ${\displaystyle \partial _{\alpha}A^{\alpha}=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
필드 어떤 시공간에서든	${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{[\alpha}F_{\beta \gamma}}=\\&\qquad \nabla_{[\alpha }F_{\beta \gamma}}=0\end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {-g}}\partial _{\alpha}({\sqrt {-g}}F^{\alpha \ beta })=\\&\qquad \nabla_{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu_{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
전위(게이지) 어떤 시공간에서든 (§ 위상 제한 포함)	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2}{\sqrt {-g}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }\partial _{[\mu }A_{\nu ]})=\\&\qquad 2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]})=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}}$
전위(로렌츠 게이지) 어떤 시공간에서든 (위상 제한 포함)	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

미분형식

공식화	동차방정식	동차방정식
필드 어떤 시공간에서든	${\displaystyle \mathrm {d} F=0}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star}F=\mu _{0}J}$
전위(게이지) 어떤 시공간에서든 (위상 제한 포함)	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star}\mathrm {d} A=\mu _{0}J}$
전위(로렌츠 게이지) 어떤 시공간에서든 (위상 제한 포함)	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\star}A=0}$	${\displaystyle {\star}\Box A=\mu _{0}J}$

• 텐서 미적분 공식에서 전자기 텐서 F는 반대칭 공변 차수 2 텐서이고, 4-포텐셜 A는 공변 벡터이고, 전류 J는 벡터이고, 대괄호 [ ]는 지수의 반대칭을 나타내며, ∂는 좌표 x에 대한 부분 도함수입니다. 민코프스키 공간에서는 관성 프레임에 대해 (x) = (ct, x, y, z)를 선택하여 지수를 높이고 낮추는 데 사용되는 메트릭 텐서가 η = diag(1, -1, -1, -1)입니다. 민코프스키 공간의 달랑베르 연산자는 벡터 공식에서와 같이 ◻ = ∂∂입니다. 일반적인 시공간에서 좌표계 x는 임의적이고, 공변 도함수 ∇, 리치 텐서, R 및 지수의 상승 및 하강은 로렌츠 메트릭에 의해 정의되며, g는 ◻ = ∇∇로 정의됩니다. 위상 제약은 공간의 두 번째 실제 코호몰로지 군이 사라진다는 것입니다(설명은 미분 공식 참조). 이는 선이 제거된 민코프스키 공간에 대해 위반되며, 선의 보표에 점 같은 모노폴이 있는 (평평한) 시공간을 모델링할 수 있습니다.
• 임의의 시공간에 대한 미분 형식에서 F = 1/2Fdx ∧ $dx$는 2-형태로 간주되는 전자기 텐서이고, A = Adx는 전위 1-형태, J = - J α ⋆ d x α {\displaystyle J =-J_{\alpha}{\star}\mathrm {d} x^{\alpha }는 현재의 3-형태, d는 외부 도함수, $그리고$⋆ ${\displaystyle${\star}}은 로렌츠 시공간 메트릭에 의해 정의된 형태(방향, 즉 부호까지)의 호지 별입니다. F와 같은 2-형태의 특수한 경우, 호지 $스타$⋆ ${\displaystyle$ {\star}}는 로컬 스케일에 대해서만 메트릭 텐서에 의존합니다. 이는 공식화된 미분 형식 필드 방정식은 등각적으로 불변하지만 로렌츠 게이지 조건은 등각적 불변성을 깨뜨린다는 것을 의미합니다. $연산자$ ◻ =${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-$$⋆ d ⋆ d - d ⋆ d ⋆) {\$displaystyle$ \Box = (-{\star}\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star } {\star })는 임의의 로렌츠 시공간의 1-형태에 대한 d'Alembert-Laplace-Beltrami 연산자입니다. 위상 조건은 다시 두 번째 실제 코호몰로지 군이 '사소한'(그 형태가 정의에서 따옴을 의미함)이라는 것입니다. 두 번째 드 람 코호몰로지와의 동형에 의해 이 조건은 모든 닫힌 2-형태가 정확하다는 것을 의미합니다.

다른 형식론으로는 기하 대수 공식과 맥스웰 방정식의 행렬 표현이 있습니다. 역사적으로 4차 이온 제형이^[17][18] 사용되었습니다.

솔루션

맥스웰 방정식은 전기장과 자기장을 서로 연관시키고 전하와 전류를 연관시키는 편미분 방정식입니다. 종종 전하와 전류는 로렌츠 힘 방정식과 구성 관계를 통해 전기장과 자기장에 의존합니다. 이들은 모두 종종 해결하기 매우 어려운 결합 편미분 방정식의 집합을 형성합니다: 솔루션은 고전 전자기학의 모든 다양한 현상을 포괄합니다. 몇 가지 일반적인 발언이 뒤따릅니다.

미분방정식의 경우 경계조건과^[19][20][21] 초기조건이^[22] 고유해에 필요합니다. 예를 들어, 시공간 어디에도 전하가 없고 전류가 없더라도 E와 B가 0이거나 일정한 명백한 해가 존재하지만, 전자기파에 해당하는 사소한 해도 존재합니다. 어떤 경우에는 맥스웰 방정식이 공간 전체에 걸쳐 풀리고 경계 조건은 무한대에서 점근 한계로 주어집니다.^[23] 다른 경우, 맥스웰 방정식은 공간의 유한한 영역에서 풀리는데, 그 영역의 경계에 적절한 조건, 예를 들어 우주의 나머지 부분을 나타내는 인공적인 흡수 ^[24][25]경계 또는 주기적인 경계 조건, 또는 도파관 또는 공동 공진기와 같이 외부로부터 작은 영역을 격리하는 벽.^[26]

제피멘코 방정식(또는 밀접하게 관련된 리에나르-)비처트 퍼텐셜)은 주어진 전하와 전류의 분포에 의해 생성된 전기장과 자기장에 대한 맥스웰 방정식의 명시적인 해입니다. 이른바 "지연 솔루션"을 얻기 위한 특정 초기 조건을 가정합니다. 여기에 존재하는 필드는 전하에 의해 생성된 필드뿐입니다. 그러나 Jefimenko의 방정식은 전하와 전류 자체가 생성하는 장에 영향을 받는 경우에는 도움이 되지 않습니다.

정확한 해가 불가능할 때, 미분 방정식에 대한 수치적 방법을 사용하여 맥스웰 방정식의 근사해를 계산할 수 있습니다. 여기에는 유한요소법과 유한차분 시간영역법이 포함됩니다.^{[19][21][27][28][29]} 자세한 내용은 전산 전자기학을 참조하십시오.

맥스웰 방정식의 과결정

맥스웰 방정식은 6개의 미지수(E와 B의 세 가지 성분)를 포함하지만 8개의 방정식(두 개의 가우스 법칙 각각에 대해 하나씩, 패러데이와 앙페르의 법칙에 대해 각각 3개의 벡터 성분)을 포함한다는 점에서 과도하게 결정된 것으로 보입니다. (전류 및 전하량은 알 수 없는 것이 아니라 전하량 보존의 대상으로 자유롭게 지정할 수 있습니다.) 이것은 맥스웰 방정식의 특정 제한된 종류의 중복과 관련이 있습니다. 패러데이 법칙과 앙페르 법칙을 만족하는 계는 계의 초기 조건이 만족하고 전하의 보존과 자기홀극의 존재를 가정하는 한, 두 가우스 법칙도 자동적으로 만족한다는 것을 증명할 수 있습니다.^[30][31] 이 설명은 1941년 줄리어스 애덤스 스트래튼에 의해 처음 소개되었습니다.^[32]

수치 알고리듬에서 두 가우스의 법칙을 단순히 무시할 수 있지만(초기 조건과는 별개로), 계산의 불완전한 정밀도는 이러한 법칙의 위반을 계속 증가시킬 수 있습니다. 이러한 위반을 특징짓는 더미 변수를 도입함으로써 결국 4개의 방정식이 과도하게 결정되지 않게 됩니다. 그 결과로 나온 공식은 네 가지 법칙을 모두 고려한 보다 정확한 알고리즘으로 이어질 수 있습니다.^[33]

${\displaystyle 두}$ 아이덴티티${\displaystyle }$∇ ⋅ ∇${\displaystyle }$× ${\displaystyle \mathrm{B}}$≡ 0, ∇ ⋅ ∇ × $E$ ≡ 0 {\displaystyle \n$abla \cdot \n$$bla \times \mathbf {B} \equiv 0,\n$$abla \cdot \n$8개의 방정식을 6개의 독립적인 방정식으로 줄이는$$$bla \times \mathbf {E} \equiv$ 0$}$은 과결정의 진정한 이유입니다.^[34][35]

마찬가지로, 과잉 결정은 위에서 설명한 유도에서 요구되지만 두 가우스의 법칙에 의해 암시되는 전기와 자기 전하의 보존을 암시하는 것으로 볼 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 경우 방정식과 미지수를 다시 쓰기 위해 '착한' 규칙을 만들 수 있습니다. 방정식은 선형 종속적일 수 있습니다. 그러나 미분 방정식, 특히 편미분 방정식(PDE)에서는 적절한 경계 조건이 필요하며, 이는 방정식에 그다지 명확하지 않은 방식으로 의존합니다. 또한 벡터 및 스칼라 전위 측면에서 다시 쓴다면 게이지 고정으로 인해 방정식이 과소 결정됩니다.

QED의 고전적 극한으로서 맥스웰 방정식

맥스웰 방정식과 로렌츠 힘 법칙(고전 전자기학의 나머지 부분과 함께)은 다양한 현상을 설명하고 예측하는 데 탁월하게 성공했습니다. 그러나 그들은 양자 효과를 설명하지 않기 때문에 적용 가능성의 영역이 제한됩니다. 맥스웰 방정식은 양자전기역학(QED)의 고전적 한계로 여겨집니다.

관측된 일부 전자기 현상은 맥스웰 방정식과 양립할 수 없습니다. 여기에는 광자-광자 산란 및 광자 또는 가상 광자와 관련된 많은 다른 현상, "비고전적인 빛" 및 전자기장의 양자 얽힘(양자 광학 참조)이 포함됩니다. 예를 들어, 양자 암호학은 맥스웰 이론으로 설명할 수 없고, 대략적으로 설명할 수도 없습니다. 맥스웰 방정식의 대략적인 성질은 극도로 강한 장 체계로 들어가면 점점 더 분명해집니다(오일러-참조).하이젠베르크 라그랑지안) 또는 매우 작은 거리까지.

마지막으로 맥스웰 방정식은 광전효과, 플랑크 법칙, 듀안-처럼 개별 광자가 양자 물질과 상호작용하는 어떤 현상도 설명할 수 없습니다.헌트 법칙과 단일 광자 빛 탐지기. 그러나 그러한 많은 현상은 외부 장으로 또는 맥스웰 방정식의 오른쪽에 있는 전하 전류 및 밀도의 예상 값으로 고전 전자기장과 결합된 양자 물질의 중간 이론을 사용하여 근사화될 수 있습니다.

변주곡

맥스웰 방정식에 대한 고전적인 전자기장 이론의 일반적인 변형은 표준 방정식이 시간의 시험을 현저하게 잘 견뎌냈기 때문에 상대적으로 부족합니다.

자기홀극

맥스웰 방정식은 우주에는 전하가 있지만 자기 전하는 없다는 것을 가정합니다. 실제로 광범위한 탐색에도 불구하고 자기 전하가 관찰된 적이 ^{[note 7]}없으며 존재하지 않을 수도 있습니다. 만약 그것들이 존재한다면, 가우스의 자기 법칙과 패러데이의 법칙은 모두 수정되어야 할 것이고, 그 결과로 나온 네 개의 방정식은 전기장과 자기장의 교환 하에서 완전히 대칭이 될 것입니다.^{[9]: 273–275}

참고 항목

해설주

참고문헌

더보기

• Imaeda, K. (1995), "Biquaternionic Formulation of Maxwell's Equations and their Solutions", in Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (eds.), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer, pp. 265–280, doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN 978-90-481-4525-6

역사적 출판물

• 패러데이의 힘의 선에서 – 1855/56. Maxwell의 첫 번째 논문(Part 1 & 2) – Blaze Labs Research(PDF)에서 편집.
• 물리적 힘의 선에서 – 1861년. 1861년 맥스웰의 자기력선을 기술한 논문 – 1873년 논문의 전신.
• 제임스 클러크 맥스웰, "전자장의 역학 이론", 런던 왕립학회의 철학적 거래 155, 459–512 (1865). (이 기사는 1864년 12월 8일 맥스웰이 왕립학회에서 발표한 내용을 첨부했습니다.)
  • 전자기장의 역학적 이론 – 1865. 맥스웰의 1865년 논문은 그의 20개 방정식을 기술하고 있으며, 구글 북스의 링크입니다.
• J. Clerk Maxwell(1873), "전기와 자기에 관한 논문":
  • 맥스웰, J. C., "전기와 자기에 관한 논문" – 1권 – 1873 – 포스너 기념 컬렉션 – 카네기 멜론 대학교.
  • 맥스웰, J. C., "전기와 자기에 관한 논문" – 2권 – 1873 – 포스너 기념 컬렉션 – 카네기 멜론 대학교.

상대성 이전의 발전은 다음과 같습니다.

• Larmor Joseph (1897). "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium. Part 3, Relations with material media" . Phil. Trans. R. Soc. 190: 205–300.
• Lorentz Hendrik (1899). "Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems" . Proc. Acad. Science Amsterdam. I: 427–443.
• Lorentz Hendrik (1904). "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light" . Proc. Acad. Science Amsterdam. IV: 669–678.
• 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré, 1900) "La Théorie de Lorentz et le Principe de Réaction" (프랑스어로), Archives Nélandaises, V, 253–278.
• 앙리 푸앵카레 (1902) "La Science et 'Hypothèse" (프랑스어).
• 앙리 푸앵카레 (1905) "Surla dynamique de l'électron" (프랑스어로), Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–1508.
• 캣, 월튼 그리고 데이비슨. 웨이백 머신에 보관된 "변위 전류의 역사" 2008-05-06. 무선 세계, 1979년 3월

외부 링크

• "Maxwell equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — Maxwell 방정식의 직관적인 튜토리얼.
• 물리학에 관한 파인만 강의 제1권. II Ch. 18: 맥스웰 방정식
• 맥스웰 방정식에 관한 위키백과 페이지

현대 치료법

• 전자기학(ch. 11), B. 크로웰, 풀러턴 칼리지
• 강의 시리즈: 상대성이론과 전자기학, Austin 텍사스 대학교 R. Fitzpatrick
• 프로젝트 PHISSNET에서 맥스웰 방정식의 전자기파.
• MIT 비디오 강의 시리즈 (36 × 50분 강의) (.mp4 형식) – Walter Lewin 교수가 가르친 전기와 자기.

다른.

• Silagadze, Z. K. (2002). "Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions". Annales de la Fondation Louis de Broglie. 27: 241–256. arXiv:hep-ph/0106235. Bibcode:2001hep.ph....6235S.
• 네이처 마일스톤: 광자 – 마일스톤 2 (1861) 맥스웰 방정식