브랜스-다이크 이론

중력 이론()은 물리학에서 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대항하는 이론입니다. 스칼라-텐서 이론의 한 예로, 일반 상대성 이론의 텐서 필드뿐만 아니라 스칼라 필드에 의해 중력 상호작용이 매개되는 중력 이론입니다. 중력 상수 $G$ ${\displaystyle G}$는 일정하지 않은 것으로 추정되며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 대신}$ 1$$/ G {\$displaystyle$ 1/$G}$은(는) 장소에 따라 그리고 시간에 따라 달라질 수 있는 스칼라 $필드$ϕ${\displaystyle$ \phi}로 대체됩니다.

이 이론은 1961년 로버트 H. 디케(Robert H. Dicke)와 칼 H. 브랜스(Carl H. Brans^[1])가 1959년 초기 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)의 연구를 기반으로 하여 개발되었습니다. 현재, 브랜스-다이크 이론과 일반 상대성 이론은 일반적으로 관측과 일치한다고 여겨집니다. 브랜스-다이크 이론은 물리학에서 소수의 관점을 나타냅니다.

일반 상대성 이론과의 비교

브랜즈-다이크 이론과 일반 상대성 이론은 모두 미터 이론이라고 불리는 상대론적 고전 중력장 이론의 한 종류의 예입니다. 이러한 이론에서 시공간은 미터법 ${\displaystyle {텐서}_{}}$인 ${\displaystyle {\mathrm{gab}}_{}}${\$displaystyle g_{ab}}$를 갖추고 있으며$,$ 중력장은 미터법 텐서에 의해 결정되는 리만 곡률 텐서 ${\displaystyle {\mathrm{Rab}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{cd}}_{}}${\$displaystyle R_${abcd$}$로 (전체 또는 부분적으로) 표현됩니다$.$

모든 미터법 이론은 아인슈타인 등가 원리를 만족합니다. 현대 기하학 언어에서는 매우 작은 영역(측정 가능한 곡률 효과를 나타내기에는 너무 작음)에서 특수 상대성 이론에서 알려진 모든 물리 법칙이 국소 로렌츠 프레임에서 유효하다고 말합니다. 이것은 차례로 계량 이론이 모두 중력 적색편이 효과를 나타낸다는 것을 의미합니다.

일반 상대성 이론에서와 마찬가지로 중력장의 근원은 응력-에너지 텐서 또는 물질 텐서로 간주됩니다. 그러나 어떤 지역에서 질량 에너지의 즉각적인 존재가 그 지역의 중력장에 영향을 미치는 방식은 일반 상대성 이론과 다릅니다. 시공간 곡률이 물질의 운동에 영향을 미치는 방식도 마찬가지입니다. 브랜스-다이크 이론에는 랭크 2 텐서 필드인 메트릭 외에 스칼라 필드인$$ϕ${\displaystyle$\phi}가 있으며, 이는 유효 중력 상수를 장소마다 변경하는 물리적 효과를 가지고 있습니다. (이 특징은 실제로 디케와 브랜스의 핵심적인 탈권유였다; 아래 인용된 브랜스의 논문을 참조하면 이론의 기원을 알 수 있습니다.)

브랜스-다이크 이론의 필드 방정식에는 브랜스-다이크 결합 상수라고 불리는 매개$변수$ ω${\displaystyle \$omega}가 포함되어 있습니다. 이것은 완전히 선택해야 하는 진정한 무차원 상수입니다. 그러나 관측치에 맞게 선택할 수 있습니다. 이러한 매개변수를 종종 조정 가능한 매개변수라고 합니다. 또한 유효 중력 상수의 현재 주변 값을 경계 조건으로 선택해야 합니다. 일반 상대성 이론은 무차원 매개 변수를 전혀 포함하지 않기 때문에, 브랜스-다이크 이론보다 위변조(허위 여부를 보여주는)가 더 쉽습니다. 조정 가능한 매개 변수가 있는 이론은 관찰과 일치하는 두 이론 중에서 간결한 것이 더 바람직하다는 원칙에 따라 때때로 평가 절하됩니다. 반면 표준모형의 혼합 각도가 약하다는 등 일부 이론의 필요한 특징으로 보입니다.

브랜스-다이크 이론은 다른 의미에서는 일반 상대성 이론보다 "덜 엄격하다": 더 많은 해결책을 인정합니다. 특히, 사소한 스칼라장 ϕ = 1 ${\$displaystyle \phi = 1}으로 증강된 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식에 대한 정확한 진공 해는 브랜스-디케 이론에서 정확한 진공 해가 되지만, 아인슈타인 장 방정식에 대한 진공 해가 아닌 일부 시공간은 다음과 같이 됩니다. 스칼라장의 적절한 선택을 통해, 브랜스-다이크 이론의 진공 해들. 마찬가지로 시공간의 중요한 클래스인 pp파 메트릭도 일반 상대성 이론과 브랜스-다이크 이론 모두의 정확한 널 먼지 솔루션이지만, 여기서도 브랜스-다이크 이론은 일반 상대성 이론과 양립할 수 없는 기하학적 구조를 가진 추가 파동 솔루션을 허용합니다.

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 브랜스-다이크 이론은 태양 주위를 도는 행성의 빛 편향과 근일점 세차를 예측합니다. 그러나 Brans-Dickke 이론에 따르면 이러한 효과를 제어하는 정확한 공식은 결합 상수$$ω${\displaystyle$ \omega$}$의 값에 따라 달라집니다. 이는$$태양계 및 기타 중력계 관측에서 ω ${\$displaystyle \omega}의 가능한 값에 대한 관측 하한을 설정할 수 있음을 의미합니다. 실험과 일치하는$$ω {\displaystyle$$\omega}의 값은 시간이 지남에 따라 상승했습니다. 1973년ω > 5 ${\displaystyle \omega$> 5}는 알려진 데이터와 일치했습니다. 1981년ω > 30 ${\displaystyle \omega$> 30}은 알려진 데이터와 일치했습니다. 2003년 카시니가 발견한 증거들은Huygens 실험 –$$ω {\displaystyle$$\omega}의 값이 40,000을 초과해야 함을 보여줍니다.

또한 일반 상대성 이론은 ω → ∞ {\$displaystyle \omega$\rightarrow \infty} 한계에서 브랜스-디케 이론에서 얻는다고 종종 알려집니다. 그러나 파라오니는 스트레스-에너지 운동량의 흔적이 사라지면, 즉 이것이 파괴된다고 주장합니다. ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = ${\$displaystyle T_{\mu }^{\${\displaystyle m_{}^{}}$u } = 0}, 그 예로는 캄파넬리-루스토 웜홀 솔루션이 있습니다. 일부는^[who?] 일반 상대성 이론만이 강한 동등성 원리를 만족한다고 주장했습니다.

필드 방정식

브란-다이크 이론의 장방정식은

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi}{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }(\n)}abla_{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),}$

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T,}$

어디에

$ω${\$displaystyle$\omega }는 무차원 Dicke 결합 상수입니다.

${\displaystyle {\mathrm{gab}}_{}}$ ${\$는 메트릭 텐서입니다.

${\displaystyle {}_{\mathrm{Gab}}}$ = ${\displaystyle {Rab}_{}}$- 12 R gab {\displaystyle G_${\displaystyle {\{}_{}}$ab} = R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}는 아인슈타인 텐서로, 평균 곡률의 일종입니다.

${\displaystyle {}_{\mathrm{Rab}}}$ = ${\displaystyle R}$ b {\displaystyle R_${\displaystyle {\{}_{}}$ab} = R^{m} {}_{amb}는 곡률 텐서의 일종인 리치 텐서입니다.

${\displaystyle R}$ = ${\displaystyle {Rm}^{}}${\displaystyl${\displaystyle e}$ R = R^{m}{}_{m}}은 리치 텐서의 흔적인 리치 스칼라입니다.

${\displaystyle {\mathrm{Tab}}_{}}$ ${\$은 응력-에너지 텐서입니다.

${\displaystyle T}$ = ${\displaystyle {Ta}_{}^{}}${\displaystyl${\displaystyle e}$ T = T_{a}^{a}}는 응력-에너지 텐서의 흔적입니다.

$ϕ${\$displaystyle$ \phi}은$($는) 스칼라 필드입니다.

${\displaystyle \Box }$은(는) Laplace-Beltrami 연산자 또는 공변파 연${\displaystyle 산}$자${\displaystyle ,}$${\displaystyle {◻}^{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {\varphi }^{}}$${\displaystyle }$ = ϕ; a$;$ {\displaystyle \Box \${\displaystyle p}$hi =\phi ^{;a}_{;a}입니다.

첫 번째 방정식은 응력-에너지 텐서와 스칼라 필드$$ϕ {\displaystyle$$\phi}가 함께 시공간 곡률에 어떤 영향을 미치는지 설명합니다. 좌변인 아인슈타인 텐서는 일종의 평균 곡률로 생각할 수 있습니다. 어떤 계량 이론에서도 리만 텐서는 항상 바일 곡률(또는 등각 곡률 텐서)과 아인슈타인 텐서로 구성된 조각의 합으로 쓸 수 있다는 것은 순수 수학의 문제입니다.

두 번째 방정식은 응력-에너지 텐서의 흔적이 스칼라 필드$$ϕ {\displaystyle$\$phi}의 소스로 작용한다는 것을 말합니다. 전자기장은 응력-에너지 텐서에 흔적이 없는 용어만 기여하기 때문에, 이는 전자기장(그리고 중력장)만을 포함하는 시공간 영역에서, 오른쪽이 사라지고$$ϕ ${\displaystyle$ \phi$}$ 가 (curved 시공간) 파동 방정식을 따릅니다. 따라서$$ϕ {\displaystyle$$\phi}의 변화는 전기 진공 영역을 통해 전파됩니다. 이러한 의미에서 ϕ {\displaystyle \phi}는 장거리 $필드$라고$$할 수 있습니다.

비교를 위해, 일반 상대성 이론의 필드 방정식은 간단히

${\displaystyle G_{ab}=8\pi GT_{ab}}$

이는 일반 상대성 이론에서 어떤 사건에서 아인슈타인 곡률은 그 사건에서 응력-에너지 텐서에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미합니다. 다른 한 부분인 바일 곡률은 진공 영역을 가로질러 중력파로 전파될 수 있는 중력장의 일부입니다. 그러나 브랜스-다이크 이론에서 아인슈타인 텐서는 부분적으로 질량-에너지와 운동량의 즉각적인 존재와 부분적으로 장거리 스칼라 필드$$ϕ${\displaystyle$phi}에 의해 결정됩니다.

두 이론의 진공장 방정식은 응력-에너지 텐서가 사라지면 얻어집니다. 이는 무중력장이 존재하지 않는 상황을 모델링합니다.

작용원리

다음의 라그랑지안은 브랜즈-다이크 이론에 대한 완전한 설명을 담고 있습니다.^[5]

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {M}}$

여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 메트릭의 행렬식이고$,{\displaystyle \sqrt{}}$ - ${\displaystyle \sqrt{g}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ 4 ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle${\$sqrt${-$g}\,d^{4}$x$$$}$는 4차원 볼륨 ${\displaystyle {형태}_{}}$이며, LM$${\$displaystyle {\mathcal {L}_{\mathrm$ {M$}}$은 물질 항 또는 물질 라그랑지안 밀도입니다.

물질 용어는 일반 물질(예: 가스 물질)과 전자기장의 기여를 포함합니다. 진공 영역에서 물질항은 동일하게 사라집니다. 나머지 항은 중력항입니다. 진공장 방정식을 얻기 위해서는 메트릭 ${\displaystyle {\mathrm{gab}}_{}}$ ${\$에 대해 라그랑지안의 중력항을 변경해야 합니다$.$ 이는 위의 첫 번째 필드 방정식을 제공합니다. 스칼라 필드$$ϕ {\displaystyle$$\phi}에 대해 변하면 두 번째 필드 방정식을 얻습니다.

일반 상대성 이론 분야 방정식과 달리${\displaystyle {}_{}}$δ ${\displaystyle {Rab}_{}}$ /$$δ g cd {\displaystyle $\delta R_{$ab}/\delta g_{cd} 항은 완전 도함수가 아니므로 사라지지 않습니다. 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}.}$

이 결과를 증명하려면 다음을 사용합니다.

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

리만 정규 좌표에서$$δ γ {\displaystyle \delta \Gamma}s를 평가하여 6개의 개별 항이 사라집니다. 스톡스의 정리를 사용하여 조작할 때 6개의 추가 항이 결합되어 원하는 (g b g b g c d ϕ; c; d - ϕ; a; b) δ g b {\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}.

비교를 위해 일반 상대성 이론을 정의하는 라그랑지안은

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left ({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M}}\right)}$

${\displaystyle {\mathrm{gab}}_{}}$ ${\$에 대한 중력항을 바꾸면 진공 아인슈타인 장 방정식이 나옵니다$$.

두 이론 모두 전체 라그랑지안의 변화를 통해 전체 필드 방정식을 얻을 수 있습니다.

참고 항목

• 중력에 관한 고전 이론
• 딜라톤
• 일반 상대성 이론
• 마흐의 원리
• GW170817의 과학적 중요성

메모들

참고문헌

• Bergmann, Peter G. (May 1968). "Comments on the Scalar-Tensor Theory". Int. J. Theor. Phys. 1 (1): 25–36. Bibcode:1968IJTP....1...25B. doi:10.1007/BF00668828. ISSN 0020-7748. S2CID 119985328.
• Wagoner, Robert V. (June 1970). "Scalar-Tensor Theory and Gravitational Waves". Phys. Rev. D. American Physical Society. 1 (12): 3209–3216. Bibcode:1970PhRvD...1.3209W. doi:10.1103/PhysRevD.1.3209.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 박스 39.1 참조.
• Will, Clifford M. (1986). "Chapter 8: The Rise and Fall of the Brans–Dicke Theory". Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. NY: Basic Books. ISBN 0-19-282203-9.
• Faraoni, Valerio (2004). Cosmology in Scalar-Tensor Gravity. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-1988-2.

외부 링크

• 칼 H. 브랜스의 이 주제에 관한 스콜라피디아 기사.
• Brans, Carl H. (2005). "The roots of scalar-tensor theory: an approximate history". arXiv:gr-qc/0506063.