단위 하이퍼볼라

기하학에서 단위 하이퍼볼라는 암묵적 방정식 x $2{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= $.[\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.}$를 만족하는 데카르트 평면의 점(x,y) 집합이다. 무한직교 그룹에 대한 연구에서$$ 단위 하이퍼볼라는 대체 방사형 길이의 기초를 형성한다.

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}.}$

단위 원이 중심을 둘러싸고 있는 반면, 단위 하이퍼볼라에는 평면 내에서 이를 보완하기 위해 결합$$ 하이퍼볼라 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{2$}=1$}$이 필요하다. 이 하이퍼볼라 쌍은 점근상 y = x 및 y = -x를 공유한다. 단위 하이퍼볼라의 결합을 사용 중일 때 대체 방사상 길이는 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{y\mathrm{}}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$- x ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$. ${\displaystyle r={\sqrt{y^{2}-x^{2}}.$$}$

단위의 하이퍼볼라는 직사각형 하이퍼볼라의 특별한 경우로서 특정한 방향, 위치 및 스케일이 있다. 이와 같이 편심성은 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$. ${\displaystyle${\$sqrt {2}$에 해당한다.$}$^[1]

하이퍼볼라 유닛은 분석 기하학을 위해 원을 하이퍼볼라로 교체해야 하는 애플리케이션을 찾는다. 대표적인 예가 사이비-유클리드 공간으로서의 스페이스 시간을 묘사한 것이다. 거기서 부대의 점근상들이 가벼운 원뿔을 형성한다. 또한 Greggoire de Saint-Vincent에 의한 쌍곡 섹터 영역에 대한 관심은 로그 함수와 섹터 영역별 하이퍼볼라의 현대 파라메트리제이션으로 이어졌다. 결합 하이퍼볼라와 쌍곡선의 개념이 이해되면 단위 원을 중심으로 구축되는 고전적인 복합적인 숫자들은 단위 하이퍼볼라 주위에 구축된 숫자로 대체될 수 있다.

점근목록

일반적으로 곡선에 대한 점근성 선은 곡선을 향해 수렴한다고 한다. 대수 기하학과 대수곡선 이론에는 점근법에 대한 다른 접근법이 있다. 곡선은 균일한 좌표를 사용하여 투영 평면에서 먼저 해석된다. 그런 다음 점근은 무한대의 한 점에서 투영곡선에 접하는 선으로, 거리 개념과 수렴에 대한 어떤 필요성도 회피한다. 공통 프레임워크에서(x, y, z)는 z = 0 등식으로 결정된 무한대의 선과 균일한 좌표다. 예를 들어 C. G. 깁슨은 다음과 같이 썼다.^[2]

For the standard rectangular hyperbola ${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$ in ℝ², the corresponding projective curve is ${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$ which meets z = 0 at the points P = (1 : 1 : 0) and Q = (1 : −1 : 0). P와 Q는 모두 F에서 접선 x + y = 0, x - y = 0으로 단순하므로, 우리는 기초 기하학의 익숙한 '아셈토트'를 회복한다.

민코프스키 도표

민코프스키 도표는 공간적인 측면이 단일 차원으로 제한되어 있는 스페이스타임 평면에 그려진다. 그러한 평면의 거리와 시간의 단위는 다음과 같다.

• 30 센티미터 길이와 나노초의 단위
• 8분 20초의 천문단위 및 주기
• 광년

이러한 좌표 척도 각각은 경사 플러스 마이너스 1의 대각선을 따라 광자 연결이 된다. 상대성 변형을 기술하는 데 사용된 도표는 5가지 원소인 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)로 구성된다: 단위 하이퍼볼라, 그것의 결합 하이퍼볼라, 하이퍼볼라, 단위 직경, 그리고 결합 직경이다. 축이 있는 평면은 휴식 중인 기준 프레임을 가리킨다. 하이퍼볼라 단위 직경은 빠르게 움직이는 기준 프레임을 나타낸다. 여기서 tanh a = y/x 및 (x,y)는 하이퍼볼라 단위 직경의 끝점이다. 공극 직경은 급도 a에 해당하는 동시성의 공간 초면체를 나타낸다. 이러한 맥락에서 단위 하이퍼볼라는 교정 하이퍼볼라다^[3][4]. 상대성 연구에서는 일반적으로 수직축을 갖는 하이퍼볼라를 1차 연구로 간주한다.

시간의 화살표는 그림의 밑바닥에서 위쪽으로 간다 - 그의 유명한 도표에서 리차드 파인만에 의해 채택된 관습이다. 공간은 시간 축에 수직인 평면으로 표현된다. 여기와 지금 이 순간은 가운데에 있는 특이점이다.^[5]

수직적 시간축 컨벤션은 1908년 민코프스키에서 유래했으며, 에딩턴의 <물리 세계의 자연>(1928년) 48페이지에도 설명되어 있다.

파라메트리제이션

단위 하이퍼볼라를 파라미터화하는 직접적인 방법은 지수 함수로 파라미터화된 하이퍼볼라 xy = 1로 시작된다. (${\displaystyle e^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \text{e}{}^{}}$- ${\displaystyle t^{}}$) .${\displaystyle (e^{t},\$ e$^{-t}).$$}$

이 하이퍼볼라는 매트릭스 = 2( - 1): ${\displaystyle$ A$={\tfrac{1}{1$}:{2$}}:{\begin{pmatrix}1&1\-1\end{pmatrix}}}\}}}이($가) 있는 선형 매핑에 의해 단위 하이퍼볼라로 변환된다.

${\displaystyle (e^{t}\ e^{-t}\)\A=({\frac {e^}+e^{-t}}{-t}}}}{\frac {e^}-e^{-t}}}}}}}}}}=(\cosh t,\sinh t)}$

이 매개변수 t는 쌍곡선 함수의 인수인 쌍곡선 각이다.

W. K. 클리퍼드에 의한 동적 요소(1878년)에서 파라메타화된 단위 하이퍼볼라의 초기 표현을 발견한다. 그는 준조화 운동을 하이퍼볼라어로 다음과 같이 묘사한다.

$motion{\displaystyle }$ =${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \cosh }$osh${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle ϵ}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle ϵ}$ $){\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$는 타원조운동과 몇 가지 특이한 유사성을 가지고$$ 있다. ... 가속$$ $\rho {\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\text{;}}$ ${\displaystyle {\dot{\rho }}}}=n^{2}\rho \$;} 따라서 타원 조화 운동에서와 같이 항상 중심으로부터의 거리에 비례하지만 중심에서 멀어진다.^[6]

특정 원뿔형으로서, 하이퍼볼라는 원뿔형의 점의 추가 과정에 의해 파라메트리될 수 있다. 러시아 분석가들은 다음과 같은 설명을 했다.

원뿔에 E점을 고정한다. AB에 평행한 E를 통해 그려진 직선이 원뿔과 두 번째로 교차하는 점을 A와 B 점의 합으로 간주한다.

For the hyperbola ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ with the fixed point E = (1,0) the sum of the points ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1})}$ and ${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ is the point ${\displaystyle (x_1{x}_2+y_1{y}_2,y_1{x}_2+y_2{x}_{}}$${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$ under the parametrization ${\displaystyle x=\cosh \ t}$ and ${\displaystyle y=\sinh \ t}$ this addition corresponds to the addition of the parameter t.^[7]

복합 평면 대수

단위 원이 복잡한 숫자와 연관되어 있는 반면, 단위 하이퍼볼라는 z = x + yj로 구성된 분할 복합 숫자 평면의 핵심이다. 여기서 j = +1은 z = x + yj로 구성된다. 그런 다음 jz = y + xj이므로 평면에서 j의 작용은 좌표를 교환하는 것이다. 특히 이 작용은 단위 하이퍼볼라(hypervolla)와 그것의 결합을 교환하고 하이퍼볼라(hyperbolas)의 결합 직경 쌍을 교환한다.

쌍곡선 각도 매개변수 a의 관점에서, 하이퍼볼라 단위는 점으로 구성된다.

${\displaystyle \pm (\cosh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle \pm(\cosh a+j\sinh$ a$)\},$ 여기서 j = (0,1)

하이퍼볼라 단위의 오른쪽 가지는 양의 계수에 해당한다. 실제로 이 분기는 지수 지도가 j축에 작용하는 이미지다. 이후

${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle j}$ ) exp ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (b}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \exp(exp$)($exp)=\exp(a+b)j$

그 가지는 곱셈을 하는 그룹이다. 이 유닛 하이퍼볼라 그룹은 서클 그룹과 달리 콤팩트하지 않다. 일반적인 복잡한 평면과 마찬가지로 대각선 상에 있지 않은 점은 단위 하이퍼볼라의 파라메트리제이션과 대체 방사형 길이를 사용하여 극분해를 한다.

참조

• F. 리스 하비 (1990) 스피너와 교정, 그림 4.33, 70페이지, 아카데미 프레스, ISBN 0-12-329650-1.