크럴 차원

가환대수에서 볼프강 크럴의 이름을 딴 가환 R의 크럴 차원은 원시 이상의 모든 사슬의 길이 중 최상이다.크럴 차원은 노에테르 고리의 경우에도 유한할 필요는 없습니다.보다 일반적으로 Krull 치수는 비가환 링 상의 모듈에 대해 하위 모듈 포셋의 편차로 정의할 수 있습니다.

크럴 차원은 대수적 다양성의 차원에 대한 대수적 정의를 제공하기 위해 도입되었다. 다항식 고리 R에서 이상 I에 의해 정의된 아핀 다양성의 차원은 R/I의 크럴 차원이다.

필드 k는 Krull 차원 0이며, 보다 일반적으로 k[x₁, ..., x_n]는 Krull 차원 n입니다.필드가 아닌 주요 이상 도메인은 Krull 차원 1을 가집니다.국소 고리의 최대 이상의 모든 원소가 0인 경우에만 크룰 치수가 0입니다.

링의 치수를 정의하기 위해 사용되는 다른 방법이 몇 가지 있습니다.이들 대부분은 노에테르 고리의 크룰 치수와 일치하지만, 노에테르 고리가 아닌 고리의 경우에는 다를 수 있습니다.

설명.

p ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ p ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ... ${\$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ n \ $displaystyle$ \ $mathfrak {p} _$ { 0 } \ $subsetneq \ldots$ \ $subsetneq$ \ $mathfrak$ { $p} _$ { $n} 형식$ 의 ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ 이상 사슬의 길이는 n입니다.즉, 길이는 소수점이 아닌 엄밀한 포함의 수이며, 이들은 1씩 다릅니다. $우리는 R의$ 크럴 치수를 R의 $모든 주요$ 이상 사슬 길이의 최상이라고 정의한다 $R$

주요 p}}R에서{\displaystyle{\mathfrak{p}점을 감안할 때,>:p의 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}height{\displaystyle{\mathfrak{p}}}, 쓴 ht ⁡(p){\displaystyle \operatorname{ht}({\mathfrak{p}})}의 모든 체인의 길이의 최소 상계는 .mw-parser-output .vanchor&gt을 정의한다. 프라임 이상 p{\displaystyle{\mathfrak{p}에}포함된}을 의미한다.R의 현지화 p에서 잉 감독은 p0⊊ p1⊊ 쭉 펼쳐져 ⊊ pnxp{\displaystyle{\mathfrak{p}}_{0}\subsetneq{\mathfrak{p}}_{1}\subsetneq \ldots({\mathfrak{p}}_{n}={\mathfrak{p}}}.[1] 다른 말로,{\displaystyle{\mathfrak{p}의 높이}}은 크룰 차원{\displ.ays $tyle {mathfrak {p$ 프라임 아이디얼은 최소 프라임 아이디얼일 경우에만 높이가 0이 됩니다.고리의 크럴 차원은 모든 최대 이상 또는 모든 원시 이상 높이의 최상급이다.높이는 때때로 소정의 코디멘션, 등급 또는 고도라고도 불린다.

노에테르 고리에서, 모든 주요 이상은 유한한 높이를 가지고 있다.그럼에도 불구하고 나가타는 무한 크룰 차원의 ^[2]노에테르 고리의 예를 들었다.p ${$ $\mathfrak{p}}$ 와 ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ q({ $displaystyle$ $\mathfrak$ { $p$ $})$ ${\mathfrak {p}}$ 의 p{displaystyle\mathfrak{q $})$ 와 ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$ p ${$ $}$ ${\mathfrak {p}}$ 의 p ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$ displaystyle\ $mathfrak{q$ 사이의 p{mathfrak{q $}$ 의 최대 이상 사슬까지 확장할 수 있는 링을 현수라고 합니다. $tyle {mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ q { $displaystyle {mathfrak {q}}$ 의 ${\mathfrak {q}}$ 길이가 동일합니다.링에 대해 최종적으로 생성된 대수가 현수일 경우 보편 현수라고 합니다.나가타는 현수막이 ^[3]아닌 노에테리안 고리의 예를 들었다.

노에테르 고리에서 소수 아이디얼은 n개의 원소에 의해 생성된 아이디얼보다 최소 소수 아이디얼인 경우에만 최대 n개의 높이를 가진다(크룰의 높이 정리 및 그 반대).^[4]그것은 소정의 이상에서 내려오는 사슬의 길이가 ^[5]소정의 발생기 수에 의해 제한되는 방식으로 소정의 이상을 유지하는 것을 암시한다.

보다 일반적으로 이상 I의 높이는 I를 포함하는 모든 주요 이상 높이의 최소값이다.대수기하학에서 이것은 ^[6]I에 대응하는 사양 $($ \ $displaystyle$ R)의 하위변수의 코드멘션이다.

스킴

Zariski 위상을 갖춘 R의 주요 이상 공간인 링 Spec(R)의 스펙트럼 정의에서 R의 크럴 치수는 위상 공간으로서 스펙트럼의 치수와 동일하며, 이는 환원 불가능한 닫힌 부분 집합의 모든 사슬 길이 중 최상임을 의미한다.이는 R의 이상과 스펙(R)의 닫힌 부분 집합 사이의 갈로아 연결과 스펙(R)의 정의에 따라 R의 각 소수 ${\mathfrak {p}}$ p(\ $displaystyle$ $\mathfrak {p})$ 가 ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $Gal$ 에 ${\mathfrak {p}}$ 연관된 닫힌 부분 집합의 일반 지점에 해당한다는 관찰에 따른 것이다.ois 접속.

예

필드 k[x₁, ..., x_n] 위의 다항식 링의 차원은 변수 n의 수입니다.대수기하학에서, 이것은 필드 위의 차원 n의 아핀 공간이 예상대로 차원 n을 갖는다고 말한다.일반적으로 R이 n차원의 noetherian 고리일 경우, R[x]의 치수는 n + 1이다.Noetherian 가설을 드롭하면 R[x]는 n + 1에서 2n + 1 사이의 치수를 가질 수 있다.
예를 들어, ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ 인 p ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ ( ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ - ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ x , ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ ) ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ C ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ [ ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ , ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ ]{ $displaystyle \mathfrak {p$ }=( $y^{2}-x,y)\display \mathbb {C}$ [ $x,y]$ 는 ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ 소수 $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ 이상( $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ ( ( $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ y $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$ 의 최대 상승 사슬을 형성할 수 있기 때문에 높이가 2이다. ${p}_{0}\mathfrak(y^{2}-x)=mathfrak$ { $p}_{1$ }\ $mathfrak(y^{2}-x,y$ )= $mathfrak$ { $p}=mathfrak {p$
환산 불가능한 $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$ f $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$ $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$ [ $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$ , $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$ , z $]$ {{ $displaystyle$ f\ $in \mathbb {C}$ [ $x , y$ , $z$ 가 주어졌을 때, $I=(f^{3})$ 인 I $f\cdot f^{2}\in I$ ( $f$ ) $I=(f^{3})$ { $displaystyle$ $f\cdot f^{2}\in I$ 2 $f\cdot f^{2}\in I$ $f\cdot f^{2}\in I$ { $displaystyle$ f\ $cdot$ f $}$ 는 $I=(f^{3})$ $f\cdot f^{2}\in I$ 소수가 아니다. $ning$ I $(디스플레이 스타일$ I $)$ 은 $I$ 그냥 $)$ $디스플레이$ 스타일 $(f$ 입니다.
정수 Z의 링은 치수 1입니다.보다 일반적으로 필드가 아닌 모든 주요 이상 도메인은 차원 1을 가집니다.
적분 도메인은 Krull 치수가 0인 경우에만 필드입니다.필드가 아닌 Dedekind 도메인(예: 이산 평가 링)은 차원 1을 가집니다.
제로 링의 크럴 치수는 일반적으로 - ${\(\displaystyle$ - $\infty)$ 또는 $-\infty$ $(\displaystyle -1$ 로 정의됩니다. 제로 링은 음의 치수를 가진 유일한 링입니다.
고리는 노에테리안이고 크룰 치수가 0 이상인 경우에만 아르티니아이다.
링의 일체형 익스텐션은 링과 같은 치수를 가집니다.
R을 적분 영역인 필드 k 위의 대수라고 하자.그러면 R의 크럴 차원은 ^[7]k에 대한 R의 분수 영역의 초월도보다 작거나 같다.R이 대수로서 최종적으로 생성되는 경우(예를 들어 noether 정규화 보조법에 의해) 등식은 유지됩니다.
R을 Noetherian 링으로 $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ , I를 noetherian $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ 으로 하고, $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ I $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ θ ( $R$ ) $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ 0 $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ k / $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ I k + 1 { $display \operatorname$ {gr } _ { $I$ } (R) = \ $oplus _$ { 0 }^{\ $infty$ } I^{ $k}$ / I ^{ $k}$ + {k + 1 $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ } } } } be $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ 으로 dim $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ I $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ ( $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ ) \ $displaystyle \operatorname {dim}$ \ $operatorname {gr} _{I}(R)$ 는 $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ ^[8]I를 포함하는 R의 최대 이상 높이의 최상부이다.
크룰 차원 0의 교환 노에테리안 고리는 크룰 차원 0의 국소 고리 중 유한한 수(아마도 하나)의 직접적인 산물이다.
Noetherian 로컬 링은 치수가 깊이와 같으면 Cohen-Macaulay 링이라고 불립니다.일반 로컬 링은 이러한 링의 예입니다.
Noetherian 적분 도메인은 모든 높이 1의 주요 이상이 ^[9]주 아이디얼인 경우에만 고유한 인수 분해 영역입니다.
교환 노에테르 고리의 경우, 다음의 세 가지 조건은 같다: 크룰 차원 0의 환원 고리, 필드 또는 필드의 직접 산물, 폰 노이만 규칙이다.

모듈의

R이 교환환이고 M이 R-모듈인 경우, M의 Krull 치수를 R의 몫의 Krull 치수로 정의하여 M을 충실한 모듈로 한다.즉, 다음 공식으로 정의합니다.

({displaystyle \dim_{R}M:=\dim(R/\operatorname {Ann}_{R}(M)}),

여기서_R Ann(M)은 자연 지도 R → M의 R-선형 내형사상의 고리에 들어가는 끝(M)의_R 커널이다.

스킴의 언어로 말하면, 최종적으로 생성된 모듈은 일관성 있는 시브, 즉 일반화된 유한 순위 벡터 번들로 해석됩니다.

비가환 링의 경우

가환환에 대한 모듈의 Krull 치수는 포함에 의해 순서화된 하위 모듈의 포셋의 편차로 정의됩니다.교환 노에테르 고리의 경우, 이것은 일차 ^[10]이상의 사슬을 사용한 정의와 같습니다.두 가지 정의는 Noetherian이 아닌 교환환에 대해 다를 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 마쓰무라, 히데유키 : "환율론", 1989년 30~31페이지
^ 아이젠부드 D가환 대수(1995).스프링거, 베를린연습 9.6.
^ 마쓰무라, H. 가환 대수(1970).벤자민, 뉴욕.예 14.e.
^ Serre 2000, Ch. III, § B.2, 정리 1, 결과 4.
^ Eisenbud, Corollary 10.3. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud(도움말)
^ 마쓰무라, 히데유키 : "환율론", 1989년 30~31페이지
^ 크럴 차원이 초월도보다 작거나 같다고요?
^ Eisenbud 2004, 연습 13.8 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud 2004 (도움말)
^ 하트손, 로빈:대수기하학", 7,1977페이지
^ McConnell, J.C. 및 Robson, Nonclative Noetherian Rings(2001).아머. 수학.Soc., Providence.결과 6.4.8.

참고 문헌

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Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
Serre, Jean-Pierre (2000). Local Algebra. Springer Monographs in Mathematics (in German). doi:10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8. OCLC 864077388.

[1] 마쓰무라, 히데유키 : "환율론", 1989년 30~31페이지

[2] 아이젠부드 D가환 대수(1995).스프링거, 베를린연습 9.6.

[3] 마쓰무라, H. 가환 대수(1970).벤자민, 뉴욕.예 14.e.

[4] Serre 2000, Ch. III, § B.2, 정리 1, 결과 4.

[5] Eisenbud, Corollary 10.3. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud(도움말)

[6] 마쓰무라, 히데유키 : "환율론", 1989년 30~31페이지

[7] 크럴 차원이 초월도보다 작거나 같다고요?

[8] Eisenbud 2004, 연습 13.8 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud 2004 (도움말)

[9] 하트손, 로빈:대수기하학", 7,1977페이지

[10] McConnell, J.C. 및 Robson, Nonclative Noetherian Rings(2001).아머. 수학.Soc., Providence.결과 6.4.8.

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v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
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