하이퍼볼로이드 모형

In geometry, the hyperboloid model, also known as the Minkowski model after Hermann Minkowski, is a model of n-dimensional hyperbolic geometry in which points are represented by the points on the forward sheet S⁺ of a two-sheeted hyperboloid in (n+1)-dimensional Minkowski space and m-planes are represented by the intersections of the (m+1)-planes in S가⁺ 있는 민코스키 공간 쌍곡선 거리 함수는 이 모델에서 간단한 식을 허용한다. n차원 쌍곡선 공간의 하이퍼볼로이드 모델은 이소메트리 그룹이 투영 그룹의 부분군이라는 점에서 투영 모델인 만큼 벨트라미-클레인 모델과 푸앵카레 디스크 모델과 밀접한 관련이 있다.

민코프스키 2차 형태

(x₀, x₁, ..., x_n)가 (n + 1)차원 좌표 공간 R의ⁿ⁺¹ 벡터라면, 민코프스키 2차형 형태는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$

벡터 v ∈ R은ⁿ⁺¹ Q(v) = 1이 두 개의 연결된 구성요소 또는 시트, 즉 앞쪽 또는 앞쪽 또는 앞쪽 또는 앞쪽 시트, 또는₀ 과거 시트 S로⁻ 구성된⁺ n차원 하이퍼볼로이드 S를 형성한다₀. n차원 하이퍼볼로이드 모델의 점은 앞 시트 S에⁺ 있는 점들이다.

민코프스키 이선형 B는 민코프스키 이선형 Q의 양극화 입니다.

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v})-Q(\mathbf {u} )/2.}$

분명히,

${\displaystyle B(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n})=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}y_{1}-{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

S의⁺ 두 점 u와 v 사이의 쌍곡 거리는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle d(\mathbf {u},\mathbf {v} )=\mathbf {v}=\operatorname {arcosh}(B(\mathbf {u},\mathbf {v}),}$

여기서 아코쉬는 쌍곡 코사인 역함수다.

직선

쌍곡선 n 공간의 직선은 하이퍼볼로이드의 지오데틱에 의해 모델링된다. 하이퍼볼로이드의 지오데틱은 n+1차원 밍코우스키 공간의 2차원 선형 서브공간(원점 포함)을 가진 하이퍼볼로이드의 (비어있는) 교차점이다. 만약 우리가 u와 v를 선형 하위 공간의 기본 벡터가 된다면

${\displaystyle B(\mathbf {u},\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v},\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u},\mathbf {v})=B(\mathbf {v},\mathbf {u})=0}$

그리고 지오데틱의 점에 대한 실제 매개변수로 w를 사용한다.

${\displaystyle \mathbf {u} \cosh w+\mathbf {v} \sinh w}$

지오데틱에 포인트가 될 ^[1]거야

보다 일반적으로 쌍곡선 n-공간에서 k-차원 "평면"은 민코스키 공간의 k+1차원 선형 하위공간(원점 포함)을 가진 하이퍼볼로이드의 (비어 있지 않은) 교차로에 의해 모델링된다.

등각류

(n+1)차원 로렌츠 그룹이라고도 불리는 무한직교 그룹 O(1,n)는 민코프스키 바이린리어 형태를 보존하는 진짜 (n+1)×(n+1) 행렬의 리 그룹이다. 다른 언어로, 민코프스키 공간의 선형 등각류 그룹이다. 특히 이 집단은 하이퍼볼로이드 S를 보존한다. 무한직교 그룹은 각 아공간(여기서 1차원 및 n차원)에서 방향을 반전시키거나 보존하는 것에 해당하는 4개의 연결된 구성요소를 가지고 있다는 것을 상기하고 클라인 4그룹을 형성한다. 첫 번째 좌표의 부호를 보존하는 O(1,n)의 부분군은 O(1,n)로⁺ 표기된 직교 로렌츠 그룹이며, 두 가지 구성요소를 가지고 있어 공간 하위 공간의 방향을 보존하거나 반대로 하는 데 해당한다. 결정요소가 있는 행렬로 구성된 부분군 SO⁺(1,n)는 선형 자동화에 의해 S에⁺ 작용하고 쌍곡선 거리를 보존하는 차원 n(n+1)/2의 연결된 Lie 그룹이다. 이 작용은 전이적이며 벡터의 스태빌라이저(1,0,...,0)는 형태의 매트릭스로 구성된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&#0&\ldots &0&\0&\\nd{pmatrix}}$

$여기$서 ${\displaystyle A}$이(가) 소형 특수 직교 그룹 SO(n)에 속함$$(n = 3)에 대해 회전 그룹 SO(3)를 일반화함. n차원 쌍곡선 공간은 동질적 공간이자 리만 대칭적 공간인 1등급으로 전시될 수 있다는 점에 따른 것이다.

${\displaystyle \mathb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrmetrm {SO}(n).}$

그룹 SO⁺(1,n)는 n차원 쌍곡선 공간의 방향 유지 등위계 전체 그룹이다.

보다 구체적인 용어로, SO⁺(1,n)를 n(n-1)/2 회전(우측 하단 블록에 규칙적인 유클리드 회전 행렬로 형성)과 n 쌍곡선 번역으로 나눌 수 있으며, 이 변환은 형식을 취한다.

$\displaystyle {\pmatrix}\cosh \cosh \cosh \no&\ldots \\no\0&1\\vdots \\\vdots \\\\ndddots \\\vdots \\\\\ndesdesdesnoss&\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\vd}}}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(이 경우 x축을 따라) 번역된 거리로, 두 번째 행/열은 다른 쌍으로 교환하여 다른 축을 따라 번역으로 변경할 수 있다. 벡터$({\displaystyle w}$, ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$, $){\displaystyle (w,x,y,z)}$을 따라 3차원의 번역의 일반적인 형태는 다음과$$ 같다.

(w)yzcmx2w+1+1y)w+1zw+1y)w는 y+2w 1y+1+yw 1zw+w 1yz+1z2w+1zz+1+1){\displaystyle{\begin{pmatrix}w&, x&, y&, z\\x&,{\frac{{2x^}}{w+1}}+1&,{\frac{yx}{w+1}}및.;{\frac{zx}{w+1}}$\\y&{\frac {xy}{w+1}}&{\frac {y^{2}}{w+1}}+1&{\frac {zy}{w+1}}\\z&{\frac {xz}{w+1}}&{\frac {yz}{w+1}}&{\frac {z^{2}}{w+1}}+1\\\end{pmatrix}}}$ where ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$.

이것은 자연스럽게 더 많은 차원으로 확장되며, 상대성별 항을 제거할 때 로렌츠 부스트의 단순화된 버전이기도 하다.

등각도 그룹의 예

하이퍼볼로이드 모델의 모든 등위계 그룹은 O(1⁺,n)이다. 모든 등각류 집단은 그것의 한 부분군이다.

반사

p $지점{\displaystyle \mathbf{}}$ 2개${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q\mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p\mathbf{}}$ ${\displaystyle \ne }$ q ${\displaystyle q\mathbf{}}$ ${\$ {$p}$,\$mathbf$ {$q} \in \mathbb {H}$^{$n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q}$에 대해 고유한 반사가 교환된다$.$

Let ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {-Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$. Note that ${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=-1}$, and therefore ${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$.

그러면

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} +2B(\mathbf {x},\mathbf {u})\mathbf {u}}}$

$p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 교환하는 반사$.$ 이는 다음 행렬에 해당한다.

${\displaystyle R=I+2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T}{\\begin{pmatrix}1&0\#0&-I\\end{pmatrix}}}}}$

(블록 행렬 표기법 사용)

그러면${\displaystyle }${ ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{I,R\}}}$은(는) 등각류 그룹이다. 그러한 모든 부분군은 결합형이다.

회전 및 반사

${\displaystyle S=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0>A\\\end{pmatrix}:A\in O(n)\right\}}$

$({\displaystyle }$1,${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (1,0,\property,0)}$을(를) 보존하는 회전 및 반사의 그룹이다$.$ A ( A) ${\$gt;$A\\\end{pmatrix}}}$은(는) O(n)에서 이 그룹에 이르는 이형성이다. For any point ${\displaystyle p}$, if ${\displaystyle X}$ is an isometry that maps ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ to ${\displaystyle p}$, then ${\displaystyle XSX^{-1}}$ is the group of rotations and reflections that preserve ${\displaystyle p}$.

번역

실제 숫자 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t$에 대해 번역이 있음

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&#&#&#&#&##&#&#&#&###############I\\\end{pmatrix}}$

이것은 $거리{\displaystyle }$ $t{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle t}$을(를$)$ 양의 x 방향으로$$ 변환한 것이며$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{거리<img\; alt="t\backslash geq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/248525429e9cd266f53ab8c52d17bc206c546060"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.101ex;\; height:2.343ex;">}}$ t는 음의 x 방향으로 변환한$$ 것이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm{거리}}$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $t$$\leq$ 0$}.$ 거리 t ${\displaystyt}$의 변환은 모두 ${\displaystyle L_{}}$ t ${\$에 결합한 것이다$.$${t}$ 및$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 세트${\displaystyle }${ ${\displaystyle L{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$$L_{t}:t\in \mathb {R} \right\}}$은(는) X축을 통한 번역 그룹이며$$, 이소메트리 그룹은 선을 통한 등각류 그룹인 경우에만 결합된다.

For example, let's say we want to find the group of translations through a line ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$. Let ${\displaystyle X}$ be an isometry that maps ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ to ${\displaystyle p}$ and let ${\displaystyle Y}$ be an isometry that fixes ${\displaystyle p}$ and maps ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ to ${\displaystyle q}$. An example of such a ${\displaystyle Y}$ is a reflection exchanging ${\displaystyle X{L}_{d(\mathbf{p},\mathbf{q})}[1,0,\dots ,0{]}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$$T{\displaystyle }$ ${\$d(\$mathbf {p},\mathbf {q} )}[1,0$,\$dots,$0]^{\$operatorname{$T$$$}}}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}($이들이 서로 다르다고 가정함$).$ 그런 $다음{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ X ${\displaystyle YX}$은(는) p ${\displaystyle$p}에$$ 대한 등각도 매핑$({\displaystyle }$1$, 0,\dots,0)$이고, 양의$$ X 축에 있는 점은 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$${\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}{\mathrm{Y}}^{}}$ X${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$ ($YX)$$L_{t}(YX)^{-1}}$ is a translation through the line ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ of distance ${\displaystyle t }$. If ${\displaystyle t\geq 0}$, it is in the ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ direction. $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\leq$ 0$\}$인 경우 $q{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{p}}$→ ${\$ 방향이다$$. ${\$$L_{t}(YX)^{-1:t\in \mathb {R} \right\}}}}$은(는) $p{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ $'{\$을(를)을(를) 통한 번역 그룹이다$.$

호로스피어의 대칭

H를 호스피어(w$,{\displaystyle x,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle(w,x,0,\dots,0})$이 임의로 큰 x에 대해 그 안에 있도록$$ 한다. $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{\mathrm{n}}}$ - 1$${\$displaystyle \mathb{R}$^{$n-1}$의 벡터 b에 대해.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\frac {\ \mathbf {b} \ ^{2}}{2}}&-{\frac {\ \mathbf {b} \ ^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\{\frac {\ \mathbf {b} \ ^{2}}{2}}&1-{\frac {\ \mathbf {b} \ ^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\\\end{pmatrix}}}$

H를 그 자체로 매핑하는 경운이다. 그러한 경운들의 집합은 H를 보존하는 경운들의 집합이다. 모든 경운들은 서로 결합된다.

O(n-1)의$$ $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 대해

${\displaystyle {\pmatrix}1&0&0\0&#1&1\\0&0&#0&#1&#0&#0&#&#1&#0&#A\\\end{pmatrix}}$

H와 X축을 보존하는 회전 또는 반사. 이러한 경락, 회전 및 반사는 H의 대칭 그룹을 생성한다. 어떤 운석권의 대칭성 집단은 그것과 결합된다. 그들은 유클리드 그룹 E(n-1)와 이형성이다.

역사

1878년에서 1885년 사이의 여러 논문에서 빌헬름 킬링은^[2][3][4] 로바체프스키안 기하학을 위해 칼 위어스트라스에게 기인한 표현을 사용했다. 특히 k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ v ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{$2}+v^{$2}+w^{2$} 등 2차적 형식을 논했다.$}}=k^{2$}}$$또는 임의$$ 치수 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$+ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$= k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}$}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$, where ${\displaystyle k}$ is the reciprocal measure of curvature, ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ denotes Euclidean geometry, ${\displaystyle k^{2}>0}$ elliptic geometry, and ${\displaystyle k^{2}<0}$ hyperbolic geometry.

제레미 그레이(1986년)에 따르면 푸앵카레는 1880년 자신의 개인 노트에 하이퍼볼로이드 모델을 사용했다.^[5] 푸앵카레는 ${\displaystyle {1881년}^{}}$에 자신의 결과를 발표했는데, 그 결과 ${\displaystyle \mathrm{quad}}$ 2 +${\displaystyle {}^{}{\eta \mathrm{}}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}{\zeta \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{$2}-{$2}=-1}$의 이차적 형태의 불변성을 논의하였다$.$^[6] 그레이는 후에 푸앵카레에 의해 하이퍼볼로이드 모델이 암시되어 있는 곳을 보여준다.^[7]

Also Homersham Cox in 1882^[8][9] used Weierstrass coordinates (without using this name) satisfying the relation ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$ as well as ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$.

모델의 추가 노출은 1891년 알프레드 클레브슈와 페르디난드 린데만이 x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- 4 ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- 4 ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}에 의해 이루어졌다.$}^{2}-4k^{2}x_{3}^{$2}x$$}^{$2}=-4k^{2}}$및 x $1{\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ +${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ x${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 = - ${\displaystyle 4}$ k 2 = - ${\displaystyle {}^{}}$ k = - 4 ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ style $x_{1}^{2}+x_${2_${2$}$}^{2}+x_{3$$}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2$^[10]

위어스트라스 좌표도 제라드(1892년),^[11] 펠릭스 하우스도르프(1899년),^[12] 프레데릭 S에 의해 사용되었다. 우즈(1903년),^[13] 하인리히 리브만(1905년).^[14]

하이퍼볼로이드는 알렉산더 맥팔레인에 의해 그의 Papers in Space Analysis(1894년)에서 미터법 공간으로 탐험되었다. 그는 하이퍼볼로이드의 포인트는 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 언급했다.

$\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

여기서 α는 하이퍼볼로이드 축에 직교하는 기본 벡터다. 예를 들어, 그는 물리학 대수학을 이용하여 코사인 쌍곡선 법칙을 얻었다.^[1]

H. 얀센은 그의 1909년 논문 "두 장의 하이퍼볼로이드 위에 쌍곡 기하학의 표현"의 명시적인 초점을 하이퍼볼로이드 모델을 만들었다.^[15] 1993년 W.F. 레이놀즈는 American Mathematical Monthly지에 실린 기사에서 이 모델의 초기 역사 중 몇 가지를 자세히 설명했다.^[16]

20세기까지 흔히 볼 수 있는 모델로서 1907년 괴팅겐 강의 '상대성 원리'에서 헤르만 민코프스키에 의해 게슈윈디케이트벡토렌(Velocity 벡터)과 동일시되었다. 스콧 월터는 1999년 논문 '민코프스키안 상대성 이론의 비유클리드 ^[17]스타일'에서 민코프스키의 자각을 떠올리지만 모델의 혈통을 웨이어스트라스와 킬링이 아닌 헤르만 헬름홀츠로 추적한다.

상대성 초창기에는 블라디미르 변치차크가 속도의 물리학을 설명하기 위해 하이퍼볼로이드 모델을 사용하였다. 1912년 독일 수학 연합에 대한 연설에서 그는 위어스트라스 좌표를 언급했다.^[18]

참고 항목

• 푸앵카레 디스크 모델
• 쌍곡선 쿼터니언

참고 및 참조

• Alekseevskij, D.V.; Vinberg, E.B.; Solodovnikov, A.S. (1993), Geometry of Spaces of Constant Curvature, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94348-0, 3장
• 마일즈 리드 & 발라즈 스젠드로위(2005) 기하학과 위상, 그림 3.10, 페이지 45, 캠브리지 대학 출판부, ISBN 0-521-61325-6, MR2194744.
• Ryan, Patrick J. (1986), Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. "HYPERBOLIC GEOMETRY" (PDF). Retrieved September 5, 2020.