단위원

단위 원의 그림입니다.변수 t는 각도 측정값입니다.

단위원, 반지름 1의 원의 둘레를 펼치는 동작의 애니메이션.C =

2µr

이므로

단위

원의 둘레는

2µr

이다.

수학에서 단위 원은 단위 반지름의 원, 즉 반지름 ^[1]1입니다.자주, 특히 삼각법에서, 단위 원은 유클리드 평면에서 데카르트 좌표계의 원점(0, 0)을 중심으로 하는 반지름 1의 원이다.위상학에서는 1차원 단위 ^[2]^{[note 1]}n-sphere이기 때문에 종종 $S$ 로¹ 표기됩니다.

$(x,$ $y)$ 가 단위 원의 원주 위에 있는 점이라면 $x$ 와 y는 빗변의 길이가 1인 직각 삼각형의 다리 길이입니다.따라서, 피타고라스 정리에 $의해$ , x와 $y$ 는 방정식을 만족시킨다.

x^{2}+y^{2}=1.

$모든$ x에 대해 x $=(- x) 2$ 이고² $x축$ 또는 y축에 대한 단위 원의 모든 점의 반사가 단위 원에 있으므로 위의 방정식은 첫 번째 사분면에 있는 점뿐만 아니라 단위 원의 모든 점 $(x,$ $y)$ 에 대해서도 유지됩니다.

단위 원의 내부를 개방 단위 디스크라고 하며 단위 원과 결합된 단위 원의 내부를 폐쇄 단위 디스크라고 합니다.

리만 원과 같은 다른 "단위 원"을 정의하기 위해 "거리"의 다른 개념을 사용할 수도 있다. 추가 예는 수학적 규범에 관한 기사를 참조한다.

복소평면

단위 원은 단위 복소수, 즉 형태의 $복소수$ 집합으로 간주할 수 있다.

z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {t}(t)

모든

t에 대해서(「cis」도 참조).이 관계는 오일러의 공식을 나타낸다.양자역학에서는 이를 위상인자라고 합니다.이것은 또한 다음을 만족시키는 복잡한 숫자의 집합으로 정의될 수 있다.

z =1

각도가 있는 단위 원의 애니메이션

단위 원의 삼각 함수

각도

θ

(theta)의 모든 삼각함수는 O를 중심으로 한 단위원 단위로 기하학적으로 구성할 수 있다.

단위 원의 사인 함수(위)와 그래프(아래)

삼각 함수 코사인 및 사인 각도 $θ$ 는 단위 원에 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 만약 (x $, y$ )가 단위 원의 점이고, 원점( $0, 0)$ 에서 $(x,$ $y)$ 까지의 광선이 양의 x 축에서 각도 $θ$ 를 만드는 경우(반시계 방향 회전이 양수인 경우),

(\displaystyle\cos\theta=x\text{and}}\display\sin\theta=y).

$방정식 2 2$ x + $y$ = 1은 다음과 같은 관계를 나타낸다.

\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta = 1.}

또한 단위 원은 사인 및 코사인(cosine)이 주기 함수로, 동일성(identity)을 가지고 있음을 나타냅니다.

\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta)

(\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta))}

모든 integerk에 대해서요.

단위 원에 구성된 삼각형을 사용하여 삼각 함수의 주기성을 나타낼 수도 있습니다.첫째, 발신지 O에서 단 위원이 각도 0<>로 t;t<>.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-out에 있는 포인트 P(x1,y1)에 반경 OP을 구성한다..sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2은 x 축의 긍정적인 팔과 맺어 넣어 두어라. $이제$ 점 $Q(x 1,0)$ 와 선분 $PQ o$ OQ에 대해 생각해 보겠습니다.∠QOP)정확과 그 결과는 직각 삼각형 △OPQ 왜냐하면 PQ, OP는 단 위원에 반경 sin(t))y1과 cos(t))x1로 길이 1이 길이 y1, OQ 길이 x1다.이 equivalences 설립되는 것은, 원 같은 각도는 x-a의 부정적인 팔로 형성된다 같은 점 R(−x1,y1)에 또 다른 반경 OR은 발신지에서.xis. 이제 점 $S(- x 1,0)$ 와 $선분$ RS $os$ OS에 대해 생각해 보겠습니다.결과는 $θSOR$ = $t$ 인 직각 삼각형 $△ORS$ 입니다.따라서 R은 $P$ 가 ( $cos($ $t),$ sin $(t)에$ 있는 것과 $마찬가지로$ (cos $(t$ ), sin $(t))$ 에 $있는$ 것을 알 수 있다.결론적으로 (- $x 1,$ $y 1)$ 는 $(cos(cos)$ - $t,$ sin $(sin$ - $t$ $))$ 과₁ $같고 1 (x,$ $y)$ 는 (cos( $t),$ sin $(t)$ 과 같기 때문에 $sin (t)$ = sin(sin( $sin$ $-$ t) 및 $-cos$ ( $t)$ = $cos$ (t)= cos(s(sin $-t$ ) -t)와 같다.tan $(t)$ = $y 1 / x 1$ 및 tan $(t)$ = $y 1 / x$ 이므로₁ tan $(t)$ = $-tan(t)$ 으로 $추정$ 할 수 있다.위의 간단한 설명은 $등식$ sin $(θ / 4) = sin$ ( $3θ / 4) =$ 1/ $θ2$ 에서 볼 수 있다.

직각 삼각형, 사인, 코사인 및 기타 삼각 함수는 각도 측정값이 0보다 크고 $µ$ /2보다 작을 때만 의미가 있습니다.그러나 단위 원으로 정의하면 이러한 함수는 2µ보다 큰 각도 측정값도 포함하여 모든 실제 값 각도 측정에 대해 의미 있는 값을 생성합니다.실제로 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트, 세컨트, 코탄젠트, 세컨트 등 6가지 표준 삼각함수와 베르사인 및 엑시컨트와 같은 구식 함수는 오른쪽과 같이 단위 원의 관점에서 기하학적으로 정의할 수 있습니다.

단위 원을 사용하면 레이블이 지정된 각도 이외의 여러 각도에 대한 모든 삼각함수 값을 각도 합계와 차분 공식을 사용하여 손으로 쉽게 계산할 수 있습니다.

특정 점의 좌표를 표시하는 단위 원

서클 그룹

복소수는 유클리드 평면의 점으로 식별될 수 있다. 즉, $숫자$ $a$ + bi는 $점(a,$ b)으로 식별된다.이 식별에서 단위원은 곱셈 중인 군으로, 원군이라고 불리며, 보통 T $.\displaystyle \mathbb {T}$ 로 $\mathbb {T} .$ $\mathbb {T} .$ 됩니다. 평면에서 cos $θ$ + $i$ $sin$ $θ$ 로 곱하면 반시계방향으로 $회전$ 합니다.이 그룹은 수학과 ^{[example needed]}과학에 중요한 응용 분야를 가지고 있다.

복합 역학

복합 역학에서의 단위 원

진화 함수를 가진 Julia의 이산 비선형 동적 시스템 세트:

f_{0}(x)=x^{2}

단위 원입니다.이것은 가장 단순한 경우이기 때문에 동적 시스템 연구에 널리 사용됩니다.

메모들

^ 기하학에서 단위 원을 1-구체가 아닌 2-구체로 간주하는 경우가 많습니다.단위 원은 높이와 너비를 모두 포함하는 2차원 평면에 "포함"되므로 지오메트리에서는 2-sphere라고 합니다.그러나 원의 표면 자체가 1차원이기 때문에 위상학자들은 이를 1구체로 분류한다.자세한 내용은 원과 디스크의 기술적 ^[2]차이를 참조하십시오.

레퍼런스

^ Weisstein, Eric W. "Unit Circle". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-05.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Hypersphere". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-06.

「」를 참조해 주세요.

[3] 기하학에서 단위 원을 1-구체가 아닌 2-구체로 간주하는 경우가 많습니다.단위 원은 높이와 너비를 모두 포함하는 2차원 평면에 "포함"되므로 지오메트리에서는 2-sphere라고 합니다.그러나 원의 표면 자체가 1차원이기 때문에 위상학자들은 이를 1구체로 분류한다.자세한 내용은 원과 디스크의 기술적 ^[2]차이를 참조하십시오.

[1] Weisstein, Eric W. "Unit Circle". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-05.

[Unit_sphere-2] Weisstein, Eric W. "Hypersphere". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-06.

[1]

[2]

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