pp파 시공간

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일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형 중력 아인슈타인 장 방정식 프리드만 측지학 매티슨-파페트루-딕슨 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴어 고급 이론 칼루자-클레인 이론 양자 중력
솔루션 슈바르츠실트(내부) 리스너-노르드스트롬 괴델 커 커-뉴먼 카스너 레마슈트르톨만 타우부 너트 밀른 로버트슨-워커 pp파 반스톡툼 더스트 바일루이스파파페트로우
과학자 아인슈타인 로렌츠 힐베르트 푸앵카레 슈바르츠실트 드 시터 리스너 노드스트롬 와일 에딩턴 프리드먼 밀른 즈위키 레마슈트르 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 레이쇼후리 테일러 헐스 반 스톡텀 타우브 뉴먼 야우 손 다른이들
물리 포털 카테고리
v t

일반 상대성 이론에서, pp-파 공간, 줄여서 pp-파는 아인슈타인 장 방정식의 정확한 해들의 중요한 집합이다.pp라는 용어는 평행 전파를 가진 평면 전파를 의미하며, 위르겐 엘러스와 볼프강 쿤트에 의해 1962년에 도입되었습니다.

개요

pp파 솔루션은 빛의 속도로 이동하는 방사선을 모델링합니다.이 방사선은 다음과 같이 구성됩니다.

• 전자파 복사,
• 중력 복사,
• 와일 페르미온과 연관된 무질량 방사선,
• 어떤 가정적인 개별 유형 상대론적 고전적 장과 연관된 무질량 방사선,

모든 방사선이 같은 방향으로 움직인다면 이 두 가지를 조합할 수도 있습니다.

특별한 유형의 pp파 시공간인 평면파 시공간은 전자기학 학생들에게 익숙한 평면파의 일반 상대성 이론에서 가장 일반적인 유사성을 제공한다.특히 일반 상대성 이론에서는 전자기장 자체의 에너지 밀도의 중력 효과를 고려해야 한다.우리가 이것을 할 때, 순수하게 전자파 평면파는 맥스웰 이론에서 일반적인 평면파 해법의 직접적인 일반화를 제공한다.

게다가 일반 상대성 이론에서는 중력장 자체의 교란이 빛의 속도로 시공간 곡률에서 "주름"으로 전파될 수 있습니다.이러한 중력 복사는 전자기 복사의 중력장 유사체이다.일반상대성이론에서 전자기 평면파의 중력 유사체는 정확히 평면파 공간 사이의 진공해이다.그것들은 중력 평면파라고 불린다.

평면파 공간이 아닌 pp파 공간에는 물리적으로 중요한 예가 있다.특히, 거의 빛의 속도로 중력 물체(별이나 블랙홀 등)에 의해 윙윙거리는 관찰자의 물리적 경험은 아이헬버그-섹슬 울트라보스트라고 불리는 충동적인 pp파 시공간으로 모델링될 수 있다.광선의 중력장은 일반 상대성 이론에서 특정 공리-대칭 pp-파에 의해 모델링됩니다.

중력이 물질의 존재일 때 주어지는 pp-파의 예는 중성 바일 페르미온을 둘러싼 중력장이다. 이 시스템은 pp-파, 전자기 방사선이 없는 중력장과 축대칭성을 나타내는 질량 없는 스피너로 구성되어 있다.바일-루이스-파페트로우 시공간에는 중력과 ^[1]물질 모두에 대한 정확한 용액의 완전한 집합이 존재합니다.

P-파는 1925년 한스 브링크만에 의해 도입되었고, 그 이후로 여러 번 재발견되었으며, 특히 1937년 알버트 아인슈타인과 나단 로젠에 의해 발견되었다.

수학적 정의

pp파 시공간은 브링크만 좌표와 관련하여 다음과 같은 형태로 설명될 수 있는 메트릭 텐서를 가진 로렌츠 다양체이다.

$\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y),du^{2}+2,du,dv+dx^{2}+dy^{2}}}$

$여기$서 H$(\displaystyle$ H$)$는 부드러운 기능입니다.이것이 브링크만의 원래 정의이며 이해하기 쉽다는 장점이 있다.

현재 문헌에서 표준으로 되어 있는 정의는 더욱 정교하다.좌표 차트를 참조하지 않으므로 좌표가 없는 정의입니다.공변적으로 일정한 늘 벡터장 $(\displaystyle$ k$)$를 허용하는 로렌츠 다양체를 pp파 시공간이라고 합니다.즉, k$\displaystyle$의 공변 미분은 동일하게 사라져야 한다.

$(\displaystyle\displayla k=0).}$

이 정의는 1962년 Ehlers와 Kundt에 의해 도입되었습니다.Brinkmann의 정의를 이 정의와 관련지으려면 k ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$v \ $displaystyle$ k = \ $displaystyle$ _ ${ v$}, $하이퍼서페이스{\displaystyle }$ v ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$\ $displaystyle$ v =$v_{$0$\}$에 직교하는 좌표 벡터를 $취한다{\displaystyle }$.텐서 방정식의 지수 플라스틱 표기법에서$$k(\$displaystyle$ k$)$의 조건은 ${\displaystyle k_{}}$ a${\displaystyle {;b}_{}}$ $=$(\$displaystyle k_{a;b$}=$0$으로 쓸 수 있다.

이 정의들 중 어느 것도 어떤 필드 방정식에 대해서도 언급하지 않습니다. 사실, 그것들은 완전히 물리학과 독립적입니다.진공 아인슈타인 방정식은 pp 파동에 대해 매우 $간단합니다$. 사실 ${\displaystyle {선형}^{}}$으로 d ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}H}$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle {}^{}{u\mathrm{}}^{}}$ 2 + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle v}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 ( \ $displaystyle$ ds ^ {2} =$$H ($u$, $x$, y ) 、 du$^$ { 2 + 2 , du 、 $dv$+ $dx$ , dx ^$$2$$^ 2$$} 、 dy 、 dy 、 dy$$ 。$H_{y}=0$ 그러나 pp파 시공간 정의는 이 방정식을 강요하지 않기 때문에 전적으로 수학적이고 의사-리만 기하학 연구에 속합니다.다음 섹션에서는 pp-wave spacetime의 물리적 해석으로 눈을 돌린다.

Ehlers와 Kundt는 다음과 같은 몇 가지 코디네이션 없는 특성을 추가했습니다.

• 로렌츠 다양체는 null 궤도를 가지며 곡률 텐서가 사라지는 고유값을 갖는 등각성의 단일 파라미터 서브그룹을 허용하는 경우에만 pp파이다.
• 사라지지 않는 곡률을 가진 로렌츠 다양체는 공변적으로 일정한 쌍방향 벡터를 허용하는 경우에만 (자명하지 않은) pp-파이다.(이 경우 이 바이벡터는 늘 바이벡터입니다).

물리적 해석

pp파 시공간에서 아인슈타인 텐서의 특성 다항식이 동일하게 사라진다는 것은 순전히 수학적인 사실이다.마찬가지로, Ricci-NP 스칼라 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ i$$ \$Phi$ _${ij}$ (시공간에 존재할 수 있는 물질 또는 비중력장을 기술) 및 Weyl-NP 스칼라 ${\displaystyle {\psi }_{}}$ i$$\ \Psi _{{{$표시 스타일\psi}$ 중력장을 기술)과 같은 뉴먼-펜로즈 복합체 null 사방체를 찾을 수 있다.각 컴포넌트에는 소실되지 않는 컴포넌트는 소실되지 않습니다.구체적으로는 NP 4 rad에 대해서

$(\displaystyle\vec\ell}=\display_{u}-H/2\partial_{v})$

$(\displaystyle\vec {n}=\display_{v})$

$({displaystyle {m}}=syslogfrac {1}{\syslogrt {2}},\left(\syslog_{x}+i,\syslog_{y}\right)})$

리치 스피너의 유일한 소멸하지 않는 구성 요소는

${\displaystyle \Phi _{00}=black {1}{4}},\left(H_{x}+H_{y}\오른쪽)}$

그리고 와일 스피너의 유일한 사라지지 않는 성분은

$(\displaystyle \Psi _{0}=black {1}{4}),\left(\left(H_{x}-H_{y}\right)+2i,H_{xy}\right).}$

이것은 일반 상대성 이론의 맥락에서 어떤 pp-파 시공간도 null 먼지 용액으로 해석될 수 있다는 것을 의미한다.또한 Weyl 텐서는 항상 Bel 기준을 사용하여 검증할 수 있는 Petrov 타입 N을 가진다.

즉, pp-wave는 로컬 빛의 속도로 이동하는 다양한 종류의 고전적이고 질량이 없는 방사선을 모델링합니다.이 방사선은 중력, 전자기, 바일 페르미온, 또는 이 세 가지 이외의 가설적인 무질량 방사선이거나 혹은 이것들의 조합일 수 있습니다.이 모든 방사선은 동일한 방향으로 이동하며, null $벡터{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ \ $displaystyle$ k = \ $displaystyle$ _ ${ v$ }는$$ 파동 벡터의 역할을 한다.

다른 클래스의 정확한 솔루션과의 관계

불행하게도, pp-wave에 관한 용어는 상당히 표준적이긴 하지만, 매우 혼란스럽고 오해를 불러일으키는 경향이 있다.

모든 pp파 시공간에서 공변 상수 $벡터장{\displaystyle }$k(\$displaystyle$ k$)$는 항상 동일하게 사라지는 광학 스칼라를 가진다.따라서, pp-파는 쿤트 클래스(소멸하는 광학 스칼라와의 null 합치를 허용하는 로렌츠 다양체의 클래스)에 속합니다.

반대로, pp-wave는 몇 가지 중요한 특수한 경우를 포함한다.

이전 절에서 설명한 리치 스피너의 형태를 보면 H$({displaystyle$ H$})$가 조화 함수($공간{\displaystyle }$ 좌표${\displaystyle }$x$,$ ${\displaystyle y}$({$displaystyle$x,$$$y$})인 $경우$에만 pp파 시공간(Brinkmann 차트에 표시됨)이 진공 솔루션임을 즉시 알 수 있습니다.물리적으로, 이것들은 늘 광선을 따라 전파되는 순수 중력 방사선을 나타낸다$.{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ \$partial$ _${v$

Ehlers와 Kundt, Sippel과 Gönner는 진공 pp-wave spacetime을 자동측정기, 즉 자기동위계로 분류했다.이것은 항상 Lie 그룹이며, 평소처럼 킬링 벡터 필드의 기본 Lie 대수를 분류하는 것이 더 쉽다.가장 일반적인 pp파 시공간은 킬링 벡터 필드인 null 지오데식 $일치{\displaystyle }$ k ${\$ ${\displaystyle v_{}}$ \ $display$ k = \ $display$$$_ { $v$} $。$다만$,$ H의 $다양$한 특수 형태에 대해서는 킬링 벡터 필드가 추가로 존재한다.

특히 대칭인 pp파의 가장 중요한 클래스는 평면파 시공간으로 볼드윈과 제퍼리에 의해 처음 연구되었다.평면파는 H$(\displaystyle$ H$)$가 2차인 pp파이며, 따라서 단순한 형태로 변환될 수 있다.

$({displaystyle H(u,x,y)=a(u),(x^{2}-y^{2})+2,b(u),xy+c(u),(x^{2}+y^{2})})$

여기서 a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$(\$displaystyle$ a,$b, c)$는$$u(\$displaystyle$u$)$의 임의의 스무스 함수입니다.물리적으로 a${\displaystyle ,}$(\$displaystyle$ a$, b$)는 존재할 수 있는 두 개의 선형 독립적 중력 복사 편파 모드의 파형 프로파일을 $c$(\$displaystyle$c)는$$ 파형 특성을 나타냅니다.비중력 방사선의 e.c ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ c$=0$이면 평면 중력파라고 불리는 진공 평면파가 있습니다.

마찬가지로 평면파는 X ${\displaystyle ={\mathrm{}}_v}$ v$$\ $displaystyle$ X$$$=$ \ $partial$_ { $v$} 등$$ 4개 $이상$의 킬링 벡터 $필드{\displaystyle }$X의 최소 $5차원$ Lie 대수를 갖는 PP파이다.

${\displaystyle X=param frac {\display frac u}(px+qy),\display_{v}+p,\display_{x}+q,\display_{y}$

어디에

${\displaystyle {p}}=-ap+bq-cp}$

$({displaystyle {q}}=aq-bp-cq})$

직감적으로 평면파의 파동은 진정으로 평면적이라는 것이 특징입니다. 주어진 2차원 파면의 모든 점은 동일합니다.더 일반적인 pp-wave에 대해서는 그렇지 않습니다.평면파는 여러 가지 이유로 중요하다; 단 한 가지 언급하자면, 평면파를 충돌시키는 아름다운 주제에 필수적이다.

보다 일반적인 하위 클래스는 축대칭 pp-파로 구성되며, 이들은 일반적으로 킬링 벡터 필드의 2차원 아벨리안 라이 대수를 가지고 있다.이것들은 Sippel과 Gönner의 대칭 분류에서 두 번째 유형이기 때문에 SG2 평면파라고도 불립니다.특정 축대칭 pp파의 제한적인 경우는 고립된 구형 물체와의 초라티비즘적인 만남을 모델링하는 아이셸버그/Sexl 울트라부스트를 생성한다.

(물리적으로 중요한 평면파 특수 사례에 대한 논의는 평면파 공간 공간 관련 기사도 참조).

J. D. 스틸은 일반화된 pp-wave spacetime의 개념을 도입했다.이것들은 자기 이중 공변적으로 일정한 늘 바이벡터 필드를 수용하는 비평탄 로렌츠 공간이다.Steel이 지적한 바와 같이 이들은 위에서 정의한 의미에서 명목상 비평탄 pp파의 특수한 경우이기 때문에 이 이름은 오해의 소지가 있습니다.브링크만 메트릭 형태가 보존되어 있지만 반드시 Ehlers와 Kundt, Sippel과 Gönner 등에 의해 연구된 진공 해답은 아니라는 점에서 일반화에 불과하다.

또 다른 중요한 특별 등급의 pp-wave는 샌드위치 웨이브입니다.이것들은 일부 1< 2 \ $displaystyle u_${1} < u < $u$_ {2}} 를 제외하고 소실되는 곡률을 가지며, 민코프스키 시공간 배경을 통과하는 중력파를 나타냅니다.

다른 이론과의 관계

그것들이 늘 합치라는 관점에서 정의된 로렌츠 다양체의 매우 단순하고 자연스러운 클래스를 구성하기 때문에, 그것들이 다른 상대론적 고전 중력장 이론에서도 중요한 것은 그리 놀라운 일이 아니다.특히, pp-파는 브랜스-딕케 이론, 다양한 고곡률 이론과 칼루자-클레인 이론, 그리고 J. W. 모파트의 특정 중력 이론에서 정확한 해이다.실제로, B. O. J. Tupper는 일반 상대성 이론과 브랜스/다이크 이론에서 일반적인 진공 해는 정확히 진공 pp-파라는 것을 보여주었다.한스 위르겐 슈미트는 (4차원) pp파 이론을 2차원 미터법-디라톤 중력 이론으로 재구성했다.

게리 기븐스가 지적한 것처럼 모든 루프 항 양자 보정은 모든 pp파 시공간에서 동일하게 사라지기 때문에 pp파도 양자 중력을 찾는 데 중요한 역할을 한다.이것은 pp파 시공간 트리 수준의 정량화를 연구하면 아직 알려지지 않은 양자 중력의 세계를 볼 수 있다는 것을 의미한다.

pp-wave를 고차원으로 일반화하는 것은 당연하며, 여기서 pp-wave는 우리가 논의한 것과 유사한 특성을 가진다.C. M. Hull은 이러한 고차원 pp파가 11차원 초중력에 필수적인 구성 요소임을 보여주었다.

기하학적 및 물리적 특성

PP-wave는 수많은 놀라운 특성을 가지고 있다.그들의 보다 추상적인 수학적 특성 중 일부는 이미 언급되었다.이 섹션에서는 몇 가지 추가 속성을 보여 줍니다.

민코프스키 시공간에서 샌드위치 평면파를 만나는 관성 관찰자를 생각해보자.그러한 관찰자는 몇 가지 흥미로운 광학 효과를 경험할 것이다.만약 그가 이미 파도와 맞닥뜨린 먼 은하에서 다가오는 파동을 들여다본다면, 그는 그들의 이미지가 왜곡되지 않은 것을 볼 것이다.빛의 속도로 이동하기 때문에 파동이 자신의 위치에 도달하기 전까지는 파동이 오는 것을 알 수 없기 때문에 그럴 것이다.그러나 이것은 null consistency$$ v \ $displaystyle _$ { $v$} 의 광학 스칼라를 직접 계산함으로써 확인할 수 있습니다. 이제 우리의 관찰자는 파동이 지나간 후 얼굴을 돌려 파동이 아직 도달하지 않은 먼 은하를 출발하는 파동을 관찰한다고 가정합니다.이제 그는 시간 의존적인 방식으로 그들의 광학 이미지를 잘라내고 확대(또는 축소)하는 것을 본다.편광 중력면파일 경우 수직방향으로 팽창하면서 수평방향으로 압축된 원형상과 수평방향으로 팽창하면서 수직방향으로 압축된 원형상이 번갈아 나타난다.이것은 빛에 대한 일반 상대성 이론에서의 중력파의 특징적인 영향을 직접적으로 보여준다.

(초기 정적) 시험 입자 구름의 상대적인 위치에 대한 편광 중력 평면파의 영향은 질적으로 매우 유사할 것이다.일반적으로 pp파 공간에서의 시험 입자의 움직임은 혼돈을 나타낼 수 있다는 것을 여기서 언급할 수 있다.

아인슈타인의 장 방정식이 비선형이라는 사실은 잘 알려져 있다.즉, 두 개의 정확한 솔루션이 있는 경우 선형으로 중첩할 수 있는 방법은 거의 없습니다.PP 파형은 이 규칙에 대한 드문 예외를 제공합니다. 동일한 공변적으로 일정한 늘 벡터(즉, 동일한 측지선 Null 합치, 즉 동일한 파형 벡터 필드)를 각각 ${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$,$({$ H_${1$}, $H_{2$}})로 공유하는 두 PP 파형이 있는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$+ $({$ H_1},$H_{$2}})를 제공합니다.세 번째 정확한 해결책

로저 펜로즈는 제로 측지학 근처에서 로렌츠 시공간이 모두 평면파처럼 보인다는 것을 발견했다.이것을 보여주기 위해, 그는 주어진 늘 지오데식(null geodesic)이 평면파의 공변적으로 일정한 늘 지오데식 합치가 되도록 하기 위해 대수 기하학에서 가져온 기술을 사용했다.이 구조를 펜로즈 한계라고 합니다.

펜로즈는 또한 리만 텐서의 모든 다항식 스칼라 불변량은 동일하게 사라지지만 곡률은 거의 0이 아니라고 지적했다.이는 4차원에서는 모든 pp파가 VSI 시공간 클래스에 속하기 때문입니다.이러한 진술은 사라지지 않는 다항식 스칼라 불변량을 갖는 대수 타입 II의 고차원 pp파가 있기 때문에 고차원에서는 유지되지 않는다.리만 텐서를 바이벡터에 작용하는 두 번째 등급 텐서로 본다면, 불변의 소실은 0이 아닌 Null 벡터의 길이가 소실되는 것과 유사합니다.

펜로즈는 또한 pp-샌드위치 파동 시공간에서 인과관계의 기이한 본질을 최초로 이해했다.그는 특정 이벤트에서 방출된 Null 측지선의 일부 또는 전부가 이후 이벤트(또는 일련의 이벤트)에서 다시 초점이 맞춰진다는 것을 보여주었다.세부 사항은 파형이 순수하게 중력인지, 순수하게 전자기파인지, 아니면 둘 다 아닌지에 따라 달라집니다.

모든 pp-wave는 많은 다른 브링크만 차트를 허용합니다.이들은 좌표 변환과 관련이 있으며, 이 맥락에서 게이지 변환으로 간주될 수 있다.평면파의 경우, 이러한 게이지 변환에 의해 충돌하는 2개의 평면파가 항상 평행파동을 갖는 것으로 간주할 수 있기 때문에 정면파라고 할 수 있다.이는 완전 비선형 일반상대성이론의 정확한 결과로서, 특수상대성이론에서 다루어진 전자기 평면파에 관한 유사한 결과와 유사하다.

예

pp-wave에는 주목할 만한 명확한 예가 많이 있다.("명시적"은 미터법 함수가 기본 함수 또는 마티외 함수처럼 잘 알려진 특수 함수로 기록될 수 있다는 것을 의미한다.)

축대칭 pp파의 명확한 예는 다음과 같습니다.

• 아이헬버그-섹슬보 초성은 빛의 속도로 구대칭 중력 물체에 의해 윙윙거리는 관찰자의 물리적 경험을 모델링하는 충격 평면파이다.
• 보너 빔은 무한히 긴 전자기 방사선의 중력장을 모델링하는 축대칭 평면파입니다.

평면파 공간 공간의 명시적 예는 다음과 같다.

• 정확한 단색 중력 평면파 및 단색 전자 평면파 용액은 약장 근사에서 잘 알려진 솔루션을 일반화한다.
• 와일 페르미온의 중력장에 대한 정확한 해법,
• 슈바르츠실트 생성 평면파, 쌍성과 정면으로 충돌해야 하는 중력 평면파는 결과적으로 슈바르츠실트 블랙홀 내부의 일부에 국소적으로 등각적인 영역을 만들어냄으로써 국소적인 기하학적 구조를 가능하게 한다.이벤트 지평선,
• 균일한 전자 평면파. 이 시공간은 S $({$ S$^{3$에 대해 등각인 우주와 같은 초박자에 의해 편파된다.
• 죽음의 물결은 강한 비칼라 0 곡률 특이점을 나타내는 중력 평면파이며, 처음에는 평평한 시공간을 통해 전파되어 점진적으로 우주를 파괴한다.
• 균질 평면파 또는 SG11 평면파(Sippel 및 Göner 대칭 분류의 유형 11)로 약한 비칼라 늘 곡률 특이점을 나타내며 슈바르츠 등 많은 물리적으로 중요한 해법에 존재하는 곡률 특이점에 접근하는 적절한 늘 지오데식 펜로즈 한계로 발생한다.어린이 블랙홀과 FRW 우주론 모델입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 중력파
• 뉴먼-펜로즈 형식주의

메모들

레퍼런스

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외부 링크

• arxiv.org의 Pp-wave