해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식

일반 상대성 이론에서 해밀턴-자코비-아인슈타인 방정식(HJEE) 또는 아인슈타인-해밀턴-자코비 방정식(EHJE)은 1960년대 전후의 "기하역학 시대"에 주조된 초공간 기하역학의 해밀턴 공식에 있는 방정식으로 1962년 애셔 페레스 등이 있습니다.^[1] 양자역학과 고전역학의 대응관계처럼 일반상대성이론을 반고전적 근사치 내에서 양자론과 유사하게 재구성하려는 시도입니다.

그것의 이름은 알버트 아인슈타인, 칼 구스타프 제이콥 제이컵, 윌리엄 로완 해밀턴의 이름을 따서 지어졌습니다. EHJE는 모든 10개의 아인슈타인 필드 방정식(EFE)만큼 많은 정보를 포함합니다.^[2] 이것은 고전역학에서 해밀턴-야코비 방정식(HJE)을 수정한 것이며, 아인슈타인-에서 유도될 수 있습니다.ADM 형식주의에서 최소 작용의 원리를 이용한 힐베르트 작용.

배경과 동기

고전물리학과 양자물리학의 일치

고전 해석역학에서 계의 역학은 작용 $S$ 로 요약됩니다. 양자 이론에서, 즉 비 상대론적 양자 역학(QM), 상대론적 양자 역학(RQM), 그리고 양자장 이론(QFT)에서, 다양한 해석과 수학적 형식주의를 가지고, 시스템의 동작은 복잡한 값의 확률 진폭 ψ(양자 $상태$ 케트 ψ ⟩ - 힐베르트 공간의 요소)에 완전히 포함됩니다. 파동함수의 극 형태를 사용하여 마델룽 변환을 수행합니다.

\Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }

ψ의 위상은 작용으로 해석되며, 모듈러스√ρ = √ ψ* ψ ψ는 코펜하겐 해석에 따라 확률 밀도 함수로 해석됩니다. 감소된 플랑크 $상수$ ħ은 각운동량의 양자입니다. 이를 양자 일반 슈뢰딩거 방정식(SE)에 대입하면 다음과 같습니다.

i\hbar {\frac {\partial \Psi}{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,

한계 ħ → 0을 사용하면 고전적인 HJE가 생성됩니다.

-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,

그것은 대응 원리의 한 측면입니다.

4차원 시공간의 단점

반면에 양자 이론과 일반 상대성 이론(GR) 사이의 전환은 쉽지 않습니다. 한 가지 이유는 이 이론들에서 공간과 시간을 다루는 것입니다. 비상대론적 QM에서 공간과 시간은 동등하지 않습니다. 시간은 매개변수이고 위치는 연산자입니다. RQM과 QFT에서 위치는 시간 좌표와 함께 일반적인 공간 좌표로 돌아가지만, 이러한 이론은 곡선 공간이나 GR이 아닌 4차원 평면 민코프스키 공간에서의 SR과만 일치합니다. 곡선 시공간에서 양자장 이론을 공식화하는 것은 가능하지만, 중력이 QFT에서 재규격화되지 않기 때문에 이마저도 여전히 GR을 통합할 수 없습니다.^[3] 또한 GR 입자는 매 순간 결정론적으로 알려진 위치와 운동량을 가지고 휘어진 시공간을 통과하며 이동하지만, 양자론에서는 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알 수 없고, $에너지$ E와 $시간$ t는 불확정성 원리에 의해 쌍대적으로 적용됩니다.

\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\,,

공간과 시간의 작은 간격은 에너지와 운동량의 큰 변동이 가능하다는 것을 의미합니다. GR 질량-에너지와 운동량-에너지는 시공간 곡률의 근원이기 때문에 에너지와 운동량의 큰 변동은 시공간 "직물"이 충분히 작은 규모로 분해될 수 있을 정도로 왜곡될 수 있음을 의미합니다.^[4] 원자 내 전자의 운동이 요동치기 때문에 진공이 에너지를 갖는다는 QFT의 이론적, 실험적 증거가 있는데, 이는 램 시프트와 관련이 있습니다.^[5] 이러한 이유 등으로 인해 점점 더 작은 규모에서 공간과 시간은 플랑크 길이와 플랑크 시간 척도까지 동적인 것으로 생각됩니다.^[4]

어쨌든 4차원 곡선 시공간 연속체는 일반 상대성 이론의 잘 정의되고 중심적인 특징이지만 양자역학에서는 그렇지 않습니다.

식

QM 및 GR에 가능한 한 가까운 방법으로 시스템의 역학을 지배하는 방정식을 찾으려는 한 가지 시도는 EFE와 같이 4차원 시공간 동적이 아니라 "동적"으로 이해되는 3차원 곡선 공간에서 HJE를 재구성하는 것입니다. 공간에 메트릭이 있습니다(자세한 내용은 메트릭 공간 참조).

적절한 시간, 호 길이, 곡선 시공간에서의 측지 운동 등이 모두 미터법에 의존하기 때문에 일반 상대성 이론에서 미터법 텐서는 필수적인 물체입니다. 위의 HJE는 좌표 시간 $t$ 가 없는 3d 공간 $좌표$ r(예: 직교 좌표의 r = ( $x,$ $y$ , $z))$ 의 함수일 뿐이지만 메트릭을 포함하도록 수정됩니다.

g_{ij}=g_{ij}(\mathbf {r})\,

여기서 $g$ 는_ij "메트릭 필드" 또는 간단히 "필드"라고 불립니다.

일반식(자유곡면 공간)

곡선 "빈 공간" 또는 "자유 공간"에 있는 자유 입자, 즉 입자 자체가 아닌 다른 물질이 없는 경우 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.^[6]^[7]^[8]

${\frac {1}{\sqrt {g}}}\left({\frac {1}{2}}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right){\frac {\delta S}{\delta g_{pq}}}{\frac {\delta S}{\delta g_{rs}}}+{\sqrt {g}}R=0$

여기서 $g$ 는 미터 텐서의 행렬식이고 R은 3차원 기하학(시간 포함)의 리치 스칼라 곡률이며, "d" $대신$ "δ"는 일반 도함수가 아닌 변동 도함수를 나타냅니다. 다음 도함수들은 "메트릭 필드에 대한 공역"이라는 필드 모멘트에 해당합니다.

\pi ^{ij}(\mathbf {r} )=\pi ^{ij}={\frac {\delta S}{\delta g_{ij}}}\,,

$현장 ij$ 좌표 g $(r$ )에 대한 작용 변화율 $.$ 여기서 $g$ 와 π은 고전 해밀턴 역학에서 각각 $q$ 와 p = ∂S/ ∂q와 유사합니다. 자세한 배경은 표준 좌표를 참조하십시오.

이 방정식은 자유 입자의 물질 파동의 역학이 곡선 공간에서 전개됨에 따라 일정한 작용의 파면이 초공간에서 어떻게 전파되는지 설명합니다. 입자에 대한 추가적인 영향의 존재를 설명하기 위해 추가적인 소스 조건이 필요합니다. 여기에는 다른 입자의 존재 또는 물질의 분포, 전하 또는 스핀으로 입자에 영향을 미치는 전자기장의 소스가 포함됩니다. 아인슈타인 필드 방정식과 마찬가지로 메트릭 구성 요소의 곱으로 인해 메트릭에서 비선형이고, HJE와 마찬가지로 동작에서 변분 도함수의 곱으로 인해 동작에서 비선형입니다.

작용이 파동함수의 위상이라는 양자역학적 개념은 이 방정식으로부터 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 상은 최소 작용의 원리를 만족시켜야 합니다. 계의 구성의 작은 변화, 즉 입자의 위치의 약간의 변화, 즉 미터법 성분의 약간의 변화에 해당하는 약간의 변화에 대해서는 정지되어 있어야 합니다.

g_{ij}\rightarrow g_{ij}+\delta g_{ij}\,

위상의 약간의 변화는 0입니다.

\delta S=\int {\frac {\delta S}{\delta g_{ij}(\mathbf {r})}\delta g_{ij}(\mathbf {r})\mathrm {d}^{3}\mathbf {r} =0\,

(여기서 $dr$ 은³ 볼륨 적분의 볼륨 요소입니다). 따라서 물질파의 보강 간섭은 최대입니다. 이는 중첩 원리에 의해 표현될 수 있으며, 곡선 공간 전체에 퍼져 있는 많은 비국소화된 파동 함수에 적용되어 국부화된 파동 함수를 형성합니다.

\Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,

일부 계수 $c$ 에 대해서는 추가적으로 $각$ ψ에 대한 작용(위상) $S$ 는 다음을 만족해야 합니다.

\delta S=S_{n+1}-S_{n}=0\,

모든 n에 대하여, 또는 이와 동등하게,

S_{1}=S_{2}=\cdots =S_{n}=\cdots \,.

ψ이 최대 또는 최소인 영역은 입자를 발견할 확률이 있고 작용(상) 변화가 0인 지점에서 발생합니다. 그래서 위의 EHJE에서는 일정한 작용의 각 파면이 입자를 찾을 수 있는 곳입니다.

양자 이론과 일반 상대성 이론의 맥락에서 반고전적 아이코날 근사가 적용되어 이 이론들 사이의 전환을 제공했기 때문에 이 방정식은 여전히 양자 역학과 일반 상대성 이론을 "통일"하지 않습니다.

적용들

이 방정식은 다음과 같은 다양한 복잡한 형태를 취합니다.

참고 항목

참고문헌

메모들

^ A. Peres (1962). "On Cauchy's problem in general relativity - II". Nuovo Cimento. Springer. 26 (1): 53–62. Bibcode:1962NCim...26...53P. doi:10.1007/BF02754342. S2CID 189781412.
^ U.H. Gerlach (1968). "Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics". Physical Review. 177 (5): 1929–1941. Bibcode:1969PhRv..177.1929G. doi:10.1103/PhysRev.177.1929.
^ A. Shomer (2007). "A pedagogical explanation for the non-renormalizability of gravity". arXiv:0709.3555 [hep-th].
^ ^a ^b R.G. Lerner; G.L. Trigg (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC Publishers. p. 1285. ISBN 978-0-89573-752-6.
^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 1190. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: 다중 이름: 저자 목록 (링크)
^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: 다중 이름: 저자 목록 (링크)
^ J. Mehra (1973). The Physicist's Conception of Nature. Springer. p. 224. ISBN 978-90-277-0345-3.
^ J.J. Halliwell; J. Pérez-Mercader; W.H. Zurek (1996). Physical Origins of Time Asymmetry. Cambridge University Press. p. 429. ISBN 978-0-521-56837-1.

Search