신퉁야우

Shing-Tung Yau
신퉁야우
Shing-Tung Yau at Harvard.jpg
태어난 (1949-04-04) 1949년 4월 4일 (73세)
국적미국(1990년 이후)
모교홍콩 중문대학교 (B.A. 1969)
버클리 캘리포니아 대학교 (1971년 박사)
로 알려져 있다.
배우자궈유윤
아이들.2
수상존 J. 카티상(1981)
베블렌상(1981)
필드 메달(1982)
크레이퍼드상(1994)
국립과학훈장 (1997년
울프상(2010년)
과학 경력
필드수학
기관하버드 대학교
스탠퍼드 대학교
스토니 브룩 대학교
고등연구연구소
박사학위 자문위원시잉선체르
박사과정 학생리처드 쇤(Stanford, 1977년)
로버트 바트니크 (Princeton, 1983년)
마크 스턴 (Princeton, 1984년)
화이동조 (Principton, 1986년)
강톈 (Harvard, 1988년)
준리 (Stanford, 1989년)
리젠지 (동북, 1991년)
케펑류 (하버드, 1993년)
무타오 왕 (Harvard, 1998년)
치우추 멜리사 류(Harvard, 2002년)

신퉁야우(/jaʊ/; 중국어: 丘成桐; 핀인:추창퉁; 1949년 4월 4일생)은 중국계 미국인 수학자 겸 윌리엄 캐스파 그루스틴 하버드대 수학 교수다.[1]

야우는 중국 산토우에서 태어나 어린 나이에 홍콩으로 건너가 1969년 미국으로 건너갔다.부분 미분방정식, 칼라비 추측, 양의 에너지 정리, 몽에-암페르 방정식에 기여한 공로를 인정받아 1982년 필즈상을 수상하였다.[2]야우는 현대 미분 기하학기하학적 분석의 발전에 주요한 공헌자 중 한 명으로 여겨진다.야우 작품의 영향은 미분 기하학, 부분 미분 방정식, 볼록 기하학, 대수 기하학, 열거 기하학, 거울 대칭성, 일반 상대성, 끈 이론의 수학적·물리적 분야에서도 볼 수 있으며, 그의 작품은 응용 수학, 공학, 수치적 분석에도 손을 댔다.

전기

야우는 1949년 중국 광둥성 산토우에서 태어났다.야우 교수의 조상 고향은 광둥 성 자오링 현이다.그의 어머니 Yeuk Lam Leung은 메이저우에서 태어났고, 그의 아버지 Chen Ying Chiu는 중국의 철학, 역사, 문학, 경제학자였다.[YN19]그는 8명의 아이들 중 다섯째였고, 하카 족속이었다.[3]

그가 생후 불과 몇 개월 되던 중국 본토를 공산당이 인수하는 동안 그의 가족은 홍콩으로 이주했다; 그는 중국 본토가 개혁개방 시대에 들어섰던 1979년 화루엉의 초청으로 재방문할 수 없었다.[YN19]그들은 모든 재산을 잃어서 재정적인 어려움을 겪었고, 그의 아버지와 둘째 누나는 그가 13살 때 죽었다.야우는 아버지의 책을 읽고 감상하기 시작했고, 학교 공부에 더욱 전념하게 되었다.푸이칭중학교를 졸업한 뒤 1966년부터 1969년까지 홍콩 중문대학교에서 수학을 공부했으며, 조기졸업으로 학위를 받지 못했다.그는 자신의 교과서를 동생인 스티븐 씽-퉁 야우에게 남겼고, 그는 그 후 수학도 전공하기로 결심했다.

yau는 1969년 가을 버클리 캘리포니아 대학의 수학 박사과정으로 떠났다.겨울방학 동안, 그는 미분 기하학 저널의 첫 번째 이슈를 읽었고, 존 밀노르기하학적 그룹 이론에 대한 논문에서 깊은 영감을 받았다.[4][YN19]이후 프리스만의 정리 일반화를 공식화했고, 다음 학기에 걸쳐 블레인 로슨과 함께 그의 생각을 더욱 발전시켰다.[5]이 작품을 이용해 이듬해인 1971년 시잉선체른의 감독 아래 박사학위를 받았다.[6]

1972년 스토니 브룩 대학에 조교수로 입학하기 전까지 1년 동안 프린스턴 고등연구소의 일원으로 지냈다.1974년 스탠퍼드대 부교수가 되었다.[7]1984년부터 1987년까지 그는 샌디에이고의 캘리포니아 대학에서 일했다.[8]1987년부터 그는 하버드 대학에 다녔다.[9]

1978년 영국 영사관이 미국 영주권 지위를 이유로 홍콩 영주권을 취소한 뒤 야우는 '무국적'[10][11]이 됐다.1982년 필즈 메달을 받을 때의 위상에 대해 야우는 "수학에서 필즈 메달을 받을 때 어느 나라의 여권도 갖고 있지 않았고, 반드시 중국인으로 간주되어야 한다고 말할 수 있어 자랑스럽다"[12]고 말했다.Yau는 미국 시민권을 취득한 1990년까지 "국가 없는" 상태를 유지했다.[10][13]

야우는 과학 저널리스트 스티브 나디스와 함께 칼라비야우 다지관과 끈 이론에 대한 비기술적 설명,[YN10] 하버드대 수학과의 역사,[NY13] 자서전 등을 집필했다.[YN19]

학술활동

Yau는 현대 미분 기하학 및 기하학적 분석의 발전에 주요한 공헌을 했다.1981년 윌리엄 서스턴의 말처럼:[14]

우리는 짧은 기간 동안 한 수학자의 작품이 전체 연구영역의 방향에 영향을 미치는 광경을 목격할 기회가 거의 없었다.기하학 분야에서, 지난 10년 동안 그러한 사건이 일어난 가장 주목할 만한 예들 중 하나는 신퉁 야우의 공헌에 의해 주어진다.

그의 가장 널리 알려진 결과로는 몽에-암페르 방정식의 경계 값 문제의 해결(시우-유엔 쳉과 함께), 일반 상대성 이론의 수학적 분석에서의 양의 질량 정리(리차드 쇤과 함께 달성), 칼라비 추측의 해결, 최소 표면의 위상론(윌리엄 M과 함께) 등이 있다.eks), 도날드슨-울렌벡-야우 정리(카렌 울렌벡과 함께 완료), 부분 미분 방정식에 대한 청야우 및 리야우 구배 추정치(Siu-Yuen Chen과 Peter Li와 함께 발견됨).(다른 것 외에) 야우의 결과물 중 상당수는 쇤과 공저한 교과서로 작성되었다.[SY94][SY97]

그의 연구 외에도 야우는 주로 중국에 있는 여러 수학 학원의 설립자 겸 이사다.존 코이츠는 야우가 중국과 홍콩에서 수학 활동을 위한 기금을 모으는 데 성공한 것에 대해 "우리 시대의 다른 수학자는 가까이 오지 않았다"고 평했다.[5]대만 국립 칭화대학교에서 안식년을 보내는 동안, 야우는 찰스 카오로부터 홍콩 중문대학교에서 수학 학원을 시작하라는 요청을 받았다.몇 년간의 모금 노력 끝에 야우는 1993년 공동저자인 쉬위옌 을 부원장으로 하여 다학제 수학과학원을 설립했다.1995년, 야우는 융샹 루를 도와 중국 과학원의 새로운 모닝사이드 수학 센터를 위해 로니 찬제럴드 찬의 모닝사이드 그룹에서 자금을 모금했다.야우는 저장대,[15] 칭화대,[16] 국립대만대,[17] 산야에서도 수학과학센터와 인연을 맺었다.[18]보다 최근인 2014년 야우는 하버드 대학에 수학적 과학 및 응용 센터(소장, 그린 빌딩 및 도시 센터, 면역 연구 센터)를 설립하기 위해 기금을 모았다.[19]

쑹다오 리첸닝 양에 의해 조직된 이전의 물리학 컨퍼런스를 모델로 한 야우는 현재 3년마다 열리고 있는 중국 수학자들의 국제회의를 제안했다.첫 번째 회의는 1998년 12월 12일부터 18일까지 모닝사이드 센터에서 열렸다.그는 매년 열리는 "차등 기하학 저널"과 "수학의 발전" 컨퍼런스를 공동 주관한다.야우는 미분 기하학 저널,[20] 아시아 수학 저널,[21] 이론과 수학적 물리학의 진보의 편집장이다.[22]2021년 현재, 그는 70명이 넘는 박사과정 학생들에게 조언을 해 왔다.[6]

홍콩에서 로니 찬의 지원으로 야우는 고등학생들을 위한 항렁상을 세웠다.패널 토론 '왜 수학일까' 등 고교생과 대학생 모임도 기획하고 참여했다. 2004년 7월 항저우에서 마스터스에게 물어봐! 그리고 2004년 12월 홍콩에서 수학의 경이로움을 물어봐.야우는 또한 인기 있는 수학 책인 "수학과 수학적 사람들"을 공동 창간했다.

2002년과 2003년, 그리고리 페렐만Thurston 기하학적 추측 추측과, 특별한 경우로 유명한 Poincaré 추측을 증명한다고 주장하며 ArXiv에 프리프린트를 게시했다.비록 그의 작품에는 많은 새로운 아이디어와 결과들이 포함되어 있었지만, 그의 증명들은 많은 기술적인 논쟁들에 대한 세부사항들이 결여되어 있었다.그 후 몇 년 동안, 몇몇 수학자들은 세부 사항을 기입하고 페렐만의 작품에 대한 설명을 수학적 공동체에 제공하기 위해 시간을 할애했다.[23]실비아 나사르데이비드 그루버가 이 상황에 대해 쓴 2006년 8월 뉴요커의 잘 알려진 기사는 야우와 관련된 전문적인 논쟁을 대중의 관심을 끌었다.[12][13]

  • 알렉산더 기벤탈은 봉 리안, 케펑 류, 야우가 거울 대칭의 분야에서 잘 알려진 추측을 해결한 것에 대해 불법적으로 그의 공로를 인정받았다고 주장했다.리안-류-야우의 기사가 기브탈의 기사 이후에 등장한 것은 논쟁의 여지가 없지만, 그들은 그의 작품이 자신들의 출판물에서 후속작으로만 채워진 공백을 포함하고 있다고 주장한다; 기브탈은 그의 원래 작품이 완성되었다고 주장한다.나사르와 그루버는 익명의 수학자가 지비탈에 동의한다고 인용한다.[24]
  • 1980년대에 야우의 동료 염통 시우는 야우의 박사과정 학생 강톈이 자신의 작품 일부를 표절했다고 비난했다.당시 야우는 시우의 비난에 맞서 톈을 옹호했다.[YN19]야우는 2000년대 들어 프린스턴대북경대에서 톈의 이중직은 다른 교수나 학생들에 비해 북경대 출신 연봉이 높아 비윤리적이라는 점을 발견했다며 시우의 주장을 증폭시키기 시작했다.[25][YN19]사이언스 매거진은 톈(天)과 야우( yau)를 중심 인물로 하는 등 중국 내 그러한 위치의 광범위한 현상을 다루었다.[26]
  • 나사르와 그루버는 1980년대 중반 이후 이렇다 할 일을 하지 않았다고 주장하면서, 시핑 주와 야우의 제자였던 화이동 카오가 퍼르스톤과 푸앵카레 추측을 풀었다고 주장함으로써 명성을 되찾으려 했지만, 일부에 지나지 않았다고 말한다.나사르와 그루버는 야우의 수학 센터 중 한 곳의 소장 대행의 말에 동의했다고 인용했는데, 그는 기자회견에서 카오와 주에게 추측을 해결한 공적의 30%를 할당했고, 페렐만은 겨우 25( 나머지는 리처드 해밀턴에게 돌아갔다)만 받았다.몇 달 뒤 NPR의 '모든 것을 고려했다' 코너에서는 기자회견의 오디오 녹음을 검토한 결과 야우나 소장 권한대행의 그런 발언은 발견되지 않았다.[27]

야우는 나사르와 그루버의 글이 명예를 훼손하고 여러 가지 거짓을 담고 있으며, 분쟁의 자기편을 대변할 기회를 주지 않았다고 주장했다.그는 전문적 피해를 주장하며 이 잡지를 상대로 소송을 제기하는 것을 고려했지만, 그러한 행동이 어떤 결과를 가져올지는 충분히 명확하지 않다고 판단했다고 말한다.[YN19]그는 홍보 웹사이트를 개설했고, 자신과 기사에 인용된 다른 두 명의 수학자들로부터 온 편지들이 뉴요커 기사에 응답했다.[28]

야우는 자서전에서 2006년 조조와 주씨가 "푸앵카레 추측의 증거에 대한 최초의 완전하고 상세한 설명"을 했다는 등의 그의 진술이 더 신중하게 표현되었어야 했다고 말했다.비록 그는 조조와 주씨의 작품이 페렐만의 작품에 대한 최초이자 가장 엄밀하게 상세한 설명이라고 믿고 있지만, 그는 그들이 "어떤 식으로든 페렐만의 작품을 능가하지 못했다"[YN19]는 점을 분명히 했어야 했다고 말한다.그는 또 (2019년 현재) 페렐만 증명의 최종 부분은 (수학계가) 더 잘 이해해야 한다는 견해를 견지해 왔으며, 그 결과 눈에 띄지 않는 오류가 남아 있을 가능성이 있다.

수학에 대한 기술적 기여

야우는 미분 기하학과 수학, 과학의 다른 분야에서 그것의 외관을 중심으로 다수의 주요 연구 기여를 했다.그의 연구 외에도, 야우는 새로운 제안과 문제들로 잘 알려진 오래된 추측들을 포함하여, 미분 기하학의 영향력 있는 일련의 개방적인 문제들을 정리했다.1980년대부터 가장 널리 인용된 Yau의 문제 목록 중 두 개가 2014년 현재 진행 상황에 대한 노트로 업데이트되었다.[29]특히 잘 알려진 것은 최소 과외선의 존재최소 과외선의 스펙트럼 기하학대한 추측이다.

칼라비 추측

1978년 복잡한 몽게-암페르 방정식을 연구함으로써 야우는 1954년 유제니오 칼라비가 제기했던 칼라비 추측을 해결했다.[Y78a]특별한 경우로서, 이것Kahler-Ainstein 지표가 최초의 체르 계급이 양성적이지 않은 닫힌 Kahler 다지관에 존재한다는 것을 보여주었다.야우의 방법은 퀘이린어 타원 부분 미분방정식과 실제 몽게-암페어 방정식을 위해 개발된 칼라비, 위르겐 모세르, 알렉세이 포고렐로프의 초기 작품을 복합 몽게-암페어 방정식의 설정에 맞게 변형시켰다.[30][31][32][33]

비구체적 환경에서의 칼라비 추측에 대한 이해는 명확하지 않다.강톈과 야우는 복잡한 몽게-암페어 방정식에 대한 야우의 분석을 비 컴팩트 설정으로 확장했는데, 여기서 컷오프 기능과 그에 상응하는 적분 추정치를 사용하면 무한대에 가까운 특정 제어 기하학의 조건부 가정이 필요했다.[TY90]이것은 그러한 무증상 특성을 가진 Kahler 측정기준의 존재에 대한 문제를 줄인다; 그들은 그러한 측정기준을 어떤 부드러운 준투영 복합품종에 대해 얻었다.그들은 후에 궤도 특이점들을 허용하기 위해 그들의 작업을 연장했다.[TY91]브라이언 그린, 알프레드 쉐이프레, 컴런 바파와 함께 야우는 리치 곡률 약 0을 갖는 특정 처절성 홀로모르픽 지도의 정규 지점 집합에 있는 케흘러 측량계에 안사츠를 도입했다.[G+90]그들은 티안야우 존재의 정리를 적용하여 정확히 리치 평탄한 케흘러 계량기를 구성할 수 있었다.그린-더샤프레-바파-야파-야우 안사츠와 현재 반평판 미터법으로 알려진 그것의 자연 일반화는 케를러 기하학의 문제에 대한 여러 가지 분석에서 중요해졌다.[38][39]

스칼라 곡률과 일반 상대성

Yau가 전 박사과정 학생인 Richard Schoen과 협력하여 얻은 긍정적인 에너지 정리는 물리적인 용어로 설명할 수 있다.

아인슈타인의 일반상대성이론에서 고립된 물리적 시스템의 중력에너지는 음성이 아니다.

그러나 그것은 리만 다지관이 특정한 일반화된 스칼라 곡률의 비부정성을 가지고 물리적 시스템을 모델링하는 미분 기하학기하학적 분석의 정밀한 정리다.이와 같이 쇤과 야우의 접근은 그 자체로 흥미가 있는 양의 스칼라 곡률의 리만 다지관을 연구한 데서 비롯되었다.쇤과 야우의 분석의 출발점은 3차원 리만 다지관의 안정적 최소초과면 면적에 대한 제2차 변이식에 가우스-코다치 방정식을 삽입하는 단순하지만 참신한 방법을 파악한 것이다.그러면 가우스-보넷 정리는 주변 다지관이 양의 스칼라 곡률을 가질 때 그러한 표면의 가능한 위상을 크게 구속한다.[SY79a][40][41]

쇤과 야우는 여러 가지 통제된 성질을 지닌 안정적 최소 초저공간의 참신한 구조를 발견함으로써 이러한 관찰을 이용했다.[SY79a]그들의 존재 결과 중 일부는 조나단 색스와 카렌 울렌벡의 유사한 결과와 동시에 다른 기술을 사용하여 개발되었다.그들의 근본적인 결과는 규정된 위상학적 행동과 함께 최소한의 몰입의 존재에 있다.가우스-보넷 정리로 계산한 결과, 그들은 특정한 위상적으로 구별되는 3차원 다지관은 부정 스칼라 곡률의 리만 측도를 가질 수 없다는 결론을 내릴 수 있었다.[42][43]

그런 다음 쇤과 야우는 일반 상대성 이론에서 증상 없이 평평한 특정 리만족 초기 데이터 세트의 설정에 그들의 작업을 적응시켰다.그들은 질량의 부정성이 고원 문제를 유발하여 지질학적으로 완전한 안정적인 최소 표면을 만들 수 있다는 것을 증명했다.가우스-보넷 정리와의 계산에 대한 비컴팩트 아날로그는 질량의 부정성에 대한 논리적 모순을 제공한다.이와 같이, 그들은 리만 초기 데이터 세트의 특수한 경우에서 양의 질량 정리를 증명할 수 있었다.[SY79c][44]

쇤과 야우는 이것을 장봉수가 제안한 부분 미분 방정식을 연구함으로써 양의 질량 정리의 완전한 로렌츠식 제형으로 확장시켰다.그들은 장 방정식에 대한 해법이 블랙홀의 으로 보이는 지평선에서 벗어나 존재한다는 것을 증명했고, 그 해법은 무한대로 갈 수 있다.[SY81]로렌츠 초기 데이터 세트의 기하학을 장 방정식에 대한 그러한 해법의 그래프의 기하학과 연관시켜 후자를 리만 초기 데이터 세트로 해석함으로써 쇤과 야우는 완전한 양의 에너지 정리를 증명했다.[44]나아가, 장 방정식에 대한 그들의 분석을 역설계함으로써, 일반 상대성에서의 충분한 에너지 집중이 명백한 지평선을 동반해야 한다는 것을 규명할 수 있었다.[SY83]

가우스-보넷 정리의 사용 때문에 이러한 결과는 원래 3차원 리만 다지관과 4차원 로렌츠 다지관의 경우에 한정되었다.쇤과 야우는 양의 스칼라 곡률을 가진 리만 다지관의 최소 과퍼페이스에 양의 스칼라 곡률의 리만니안 지표를 구축하여 치수에 대한 유도를 확립했다.[SY79b]프레데릭 알mgren허버트 페더러기하학적 측량 이론에 의해 만들어진 그러한 최소한의 과급은 일반적으로 대차원에서 매끄럽지 못하기 때문에 이러한 방법은 8차원 이하의 리만 다지관에만 직접적으로 적용된다.어떠한 치수 제한도 없이 쇤과 야우는 국소적으로 평탄한 다지관의 등급에서 양의 질량 정리를 증명했다.[SY88][30]2017년 쇤과 야우는 이러한 난관을 해결한다고 주장하는 프리프린트를 발행하여 치수 제한 없이 유도를 증명하고, 임의의 차원에서 리만인의 양의 질량 정리를 검증하였다.

게르하르트 후이스켄과 야우는 엄격하게 양의 질량을 가진 리만 다지관의 점근성 부위에 대해 추가 연구를 했다.Huisken은 일찍이 유클리드 공간의 초저공간의 볼륨 보존 평균 곡률 흐름에 대한 연구를 시작했다.[45]후이스켄과 야우는 리만 설정에 자신의 작품을 각색하여, 흐름에 대한 오랜 존재와 융합 정리를 증명했다.그들은 골수로서 양질량 다지관의 새로운 기하학적 특징을 확립했는데, 그것은 그들의 점증 부위가 일정한 평균 곡률의 표면에 의해 엽된다는 것이다.[HY96]

오모리야우 최대 원리

전통적으로 최대원리 기법은 최대원리 기법이 콤팩트한 공간에만 직접 적용되는데, 이때 최대원리 기법이 보장되기 때문이다.1967년, 오모리 히데키는 단면 곡선이 아래 경계인 비컴팩트 리만 다지관에 적용되는 새로운 최대 원리를 발견했다.대략적인 최대치가 존재한다는 것은 사소한 일이다; 오모리는 추가적으로 구배와 두 번째 파생상품의 값이 적절히 제어되는 대략적인 최대치의 존재를 증명했다.Yau는 Ricci 곡률에 대한 하한만 요구하도록 Omori의 결과를 부분적으로 확장했다. 그 결과는 Omori-Yau 최대 원리로 알려져 있다.[Y75b]이러한 일반성은 보치너 공식에서 리치 곡률의 출현으로 유용하며, 여기서 하한은 대수학적 조작에도 일반적으로 사용된다.원리 자체에 대한 아주 간단한 증거를 제공하는 것 외에도, 오모리-유엔 쳉과 야우는 오모리-야우 최대 원리에 있는 리치 곡률 가정은 어떤 제어 가능한 기하학적 구조를 가진 컷오프 함수의 존재 가정으로 대체될 수 있다는 것을 보여줄 수 있었다.[CY75][30][46][47][48]

야우는 오모리-야우 원리를 직접 적용해 복잡한 분석의 고전적인 슈바르츠-픽 보조정리법을 일반화할 수 있었다.그 중에서도 라르스 알포르는 이전에 리만 표면의 보조정리기를 일반화한 적이 있었다.Yau는 그의 방법으로 (Ricci 곡률에 대한 하한선을 갖는) 완전한 Kahler 다지관에서 위쪽에 음수로 경계된 홀로모르픽 이분절 곡률의 에르미트 다지관까지의 매핑 설정을 고려할 수 있었다.[Y78b][34][48]

쳉과 야우는 찰스 페퍼먼이 개발한 안사츠 아래에서 비 컴팩트 케슬러 다지관에서 케흘러-아인슈타인 지표를 찾기 위해 오모리-야우 원리의 변종을 광범위하게 사용했다.쳉과 야우가 음의 스칼라 곡률을 가진 케흘러-아인슈타인 지표만을 고려했다는 사실 때문에 연속성 방법에 관련된 추정은 앞서 야우의 칼라비 추측에 관한 연구에서처럼 어렵지 않았다.페퍼만의 초기 작품이 중요해진 곳이 더욱 미묘한 문제는 지오데틱 완성도와 관련이 있다.특히 쳉과 야우는 복잡한 유클리드 공간의 어떤 경계, 부드러움, 그리고 엄격히 필적하는 유사 콘벡스 서브셋에서 음의 스칼라 곡률의 완전한 케를러-아인슈타인 지표를 찾을 수 있었다.[CY80]이것들은 쌍곡 공간의 푸앵카레 볼 모델의 복잡한 기하학적 유사점이라고 생각할 수 있다.[34][49]

차등 해낙 불평등

오모리-야우 최대 원리의 원래 적용은 2차 타원 부분 미분 방정식의 구배 추정치를 설정하는 것이었다.[Y75b]기능 및 구배 값에 대한 라플라시안과 관련된 다양한 조건을 만족하는 완전하고 부드러운 리만 다지관의 기능을 부여한 야우는 다양한 복잡한 복합 표현에 최대 원리를 적용하여 구배 크기를 조절했다.관련된 대수적 조작은 복잡하지만, 야우의 증거의 개념적 형태는 놀라울 정도로 간단하다.[50][46]

야우의 새로운 구배 추정치는 고전적인 하낙 불평등의 형태인 불평등을 회복하기 위해 임의 경로를 따라 통합될 수 있기 때문에 "차등 하낙 불평등"이라고 불리게 되었고, 두 입력 지점에서 해결책의 값을 미분 방정식과 직접 비교하였다.리만 다지관의 거리 함수에 대한 칼라비의 연구를 활용함으로써 야우와 슈유엔 쳉은 오모리야우 최대 원리의 증거를 단순화하기 위해 같은 방법을 사용하여 야우의 구배 추정치를 강력하게 국산화시켰다.[CY75]야우와 청야우의 원래 결과가 더 일반적인 시나리오를 다루지만, 그러한 추정치는 리만 다지관의 특정 조화 함수 사례에서 널리 인용된다.[50][46]

1986년, 야우와 피터 리는 리만 다지관의 포물선 부분 미분 방정식을 연구하기 위해 같은 방법을 사용하였다.[LY86][46]Richard Hamilton은 그들의 결과를 특정한 기하학적 설정으로 일반화하여 불평등을 행렬화했다.리치 흐름 이론에서는 리치 흐름과 해밀턴-리-야우 불평등의 유사성이 매우 중요한데, 해밀턴은 특정 리치 흐름의 곡률 연산자에 대해 행렬 차등 하르낙 불평등을 증명했고, 그리고리 페렐만은 R과 결합된 역열 방정식의 해법에 대해 차등 하르낙 불평등을 증명했다.아이치 [51][50]흐름

쳉과 야우는 특정한 기하학적 조건 하에서 완전한 리만이나 사이비 리만 공간의 폐쇄된 하위 매너폴즈 자체가 완전하다는 것을 보여주기 위해 그들의 차등 하르낙 추정치를 사용할 수 있었다.예를 들어, 그들은 M이 위상학적으로 닫히고 일정한 평균 곡률을 가진 민코프스키 공간의 공간과 같은 초면체라면, M의 유도 리만 측정이 완성된다는 것을 보여주었다.[CY76a]유사하게, 그들은 만약 M이 토폴로지적으로 닫힌 아핀 공간의 아핀 하이퍼바이저라면, M의 유도 아핀 메트릭스가 완성된다는 것을 보여주었다.[CY86]이러한 결과는 (제곱) 거리 함수에 대해 주어진 지점까지의 차등 Harnack 불평등을 도출하고 본질적으로 정의된 경로를 따라 통합함으로써 달성된다.

도날드슨-울렌벡-야우 정리

1985년, 사이먼 도날드슨비논리적인 투영적 다양성 복잡한 차원 2에 걸쳐, 묶음이 안정적인 경우에만 은둔자 양-밀스의 연결인정한다는 것을 보여주었다.야우와 카렌 울렌벡의 결과는 도날드슨의 결과를 일반화시켜 어떤 차원에서도 콤팩트한 케흘러 다지관을 허용했다.[UY86]울렌벡-Yau 방법은 타원형 부분 미분 방정식에 의존했고, 도날드슨은 포물선 부분 미분 방정식을 사용한 반면, Eells와 Sampson의 조화 지도에 대한 획기적 연구와 거의 병행했다.도날드슨과 울렌벡-의 결과Yau는 그 후 다른 작가들에 의해 확장되었다.Uhlenbeck와 Yau의 글은 홀로모르프 벡터다발의 안정성이 은둔자 양-밀스 연결 구축에 사용되는 분석 방법과 관련될 수 있다는 명확한 이유를 주는 데 중요하다.필수 메커니즘은 근사치 염기서열 연결이 필요한 양-밀스 연결로 수렴되지 않을 경우, 체르-윌 이론에 의해 불안정한 것으로 검증될 수 있는 하위 피복으로 수렴되도록 크기를 조정할 수 있다는 것이다.[32][52]

칼라비처럼-야우 정리, 도날드슨-울렌벡-야우 정리는 이론 물리학에 관심이 있다.[36]앤드류 스트로밍거는 초대칭의 적절한 일반적 공식화를 위해 자신의 스트로밍거 시스템의 일부로 은둔자 양-밀스 조건을 포함시켰는데, 이는 칼라비-대칭 연장에 대한 제안이다.비 케흘러 다지관에 대한 Yau 조건.[35]지샹푸와 야우는 특정 3차원 복합다지관에 스트로밍거의 시스템 해법을 위한 안사츠를 도입해 문제를 복잡한 몽게-암페어 방정식으로 줄여 해결했다.[FY08]

칼라비 추측에 대한 야우의 해결은 어떻게 비긍정적인 제1 체르누스 계급의 콤팩트한 복합 다지관에 대한 케흘러 지표가 케흘러-아인슈타인 지표로 변형될 수 있는지에 대한 질문에 합리적으로 완전한 답을 주었다.[Y78a]후타키 아키토씨는 복합다지관이 양성으로 제1 체르누스계급이 있을 때 이러한 결과를 케이스로 직접 확장하는 것을 방해하는 역할을 할 수 있다는 것을 보여주었다.[34]칼라비의 제안은 Kahler-Einstein 측정지표가 모든 소형 Kahler 다지관에 존재하며, 체르노프 벡터 필드를 인정하지 않는 포지티브 퍼스트 클래스를 가진 모든 Cheler 다지관에 존재한다고 제안했다.[Y82b]1980년대에 야우 등은 이 기준이 충분할 수 없다는 것을 이해하게 되었다.도날드슨 가족에게서 영감을 받아울렌벡-야우 정리, 야우는 카흘러-아인슈타인 지표의 존재가 기하불변성 이론의 의미에서 복합다지관의 안정성과 연결되어야 한다고 제안했는데, 다지관 자체의 홀로모르픽 벡터장이 아닌 투영적 임베딩을 따라 홀로모르픽 벡터장을 연구하자는 발상이 그것이다.[Y93][Y14a]강톈사이먼 도날드슨에 대한 후속 연구는 이 추측을 다듬었는데, 이것은 케흘러-아인슈타인 지표와 K-안정성과 관련된 야우-톈-도날드슨 추측으로 알려지게 되었다.2019년에는 추론해결로 슈시옹 첸, 도날드슨, 송선이 오스왈드 베블렌 상을 받았다.[53]

기하학적 변수 문제

1982년 리와 야우는 비침해 사건에서 윌모어 추측을 해결했다.[LY82]좀 더 정확히 말하면, 그들은 내장이 되지 않는 3-sphere의 닫힌 표면이 매끄럽게 스며드는 것을 고려할 때, 윌모어 에너지는 8㎛ 이하로 제한된다는 것을 규명했다.이는 페르난도 마르키스안드레 네베스의 2012년 결과로 보완되는데, 2차원 토러스 S1 × S1 매끄럽게 내장되는 대체의 경우 윌모어 에너지가 2㎛ 이하로2 경계된다고 한다.[54]이러한 결과는 1965년 토머스 윌모어가 처음 공식화한 것과 같이 윌모어 추측의 전모를 구성한다.비록 그들의 가정과 결론은 상당히 비슷하지만, 리야우와 마키네브의 방법은 구별된다.그럼에도 불구하고 그들은 구조적으로 유사한 미니맥스 계획에 의존한다.마키스와 네베스는 기하학적 측정 이론에서 기능적 영역에 대한 알그렌-피츠 min-max 이론을 참신한 방법으로 사용했다; 리와 야우의 접근법은 디리클레 에너지에 기초한 최소-max 양인 그들의 새로운 "적합 불변성"에 의존했다.그들의 글의 주요 작품은 그들의 순응 불변성을 다른 기하학적 양과 연관시키는 데 전념하고 있다.

William Meeks와 Yau는 제시 더글라스찰스 모레이의 오래된 연구로 인해 남겨진 지점들을 재방문하면서 3차원 다지관의 최소 표면에서 몇 가지 기초적인 결과를 도출했다.[MY82][40]이러한 기초에 따라, Meeks, Leon Simon, Yau는 그들의 호몰로지 클래스 내의 면적을 최소화하는 3차원 리만 다지관의 표면에 대해 많은 근본적인 결과를 주었다.[MSY82]그들은 많은 두드러진 지원서를 낼 수 있었다.예를 들어, 그들은 만약 M이 2-sphere의 매끄러운 임베딩이 유닛볼의 매끄러운 임베딩으로 확장될 수 있는 방향성 3-매니폴드라면, M의 어떤 커버링 공간에서도 마찬가지임을 보여주었다.흥미롭게도, 같은 해에 출판된 믹스-시몬-야우의 논문과 해밀턴의 리치 흐름에 관한 기초 논문은 매우 뚜렷한 방법에 의해 얻어지는 공통점을 가지고 있다: 리치 곡률의 양성인 모든 단순 연결 콤팩트 3차원 리만 다지관은 3-sphere와 차이점이다.

기하학적 강성 이론

서브매니폴드의 기하학에서 외적 기하학과 내적 기하학은 모두 유의미하다.이것들은 본질적인 리만 메트릭스와 두 번째 기본 형태에 의해 반영된다.많은 기하학자들은 이러한 데이터를 어떤 형태의 항상성으로 제한함으로써 발생하는 현상을 고려했다.여기에는 특별한 경우로서 최소 표면, 상수 평균 곡률, 그리고 일정한 스칼라 곡률의 지표가 있는 서브매니폴드의 문제가 포함된다.

  • 그러한 질문의 전형적인 예는 번스타인의 문제인데, 1960년대 제임스 시몬스, 엔리코 봄비에리, 엔니오 기오르기, 엔리코 기우스티의 유명한 작품에 완전히 정착한 것이다.그들의 연구는 유클리드 공간 위의 그래프인 최소 초저면체는 높은 차원에 백열판이 있는 저차원의 평면이어야 한다고 주장한다.[55]평면성 증명의 핵심 요점은 원뿔형 및 비 평면 안정형 최소 초저형 공간의 비존재인데, 이것은 리차드 , 레온 시몬, 야우에 의해 간단한 증명이 주어졌다.[SSY75]시몬스 불평등과 제2차 지역 변동의 공식을 결합하는 그들의 기술은 이후 문헌에서 여러 번 사용되었다.[40][56]
  • 표준 번스타인 문제에서 "임계" 치수 현상을 볼 때, 시우옌 쳉과 야우 때문에 로렌츠 아날로그에는 치수 제한이 없다는 것은 다소 놀라운 사실이다: 유클리드 공간 위에 그래프로 되어 있고 평균 곡률 0이 있는 다차원 민코프스키 공간의 모든 공간 같은 초면체는 반드시 a가 되어야 한다.그들의 증거는 그들이 이전에 다른 Harnack 추정을 증명하기 위해 사용했던 최대 원리 기법을 사용한다.[CY76a][CY75]나중에 그들은 아핀 기하학에서 완전한 포물선 또는 타원형 아핀 하이퍼퍼레이트의 분류에 대한 새로운 증거를 제공하기 위해 유사한 기법을 사용하였다.[CY86]
  • Yau는 그의 초기 논문 중 하나에서 상수 평균 곡률 조건의 확장을 더 높은 코드션으로 고려했다. 여기서 상태는 평균 곡률 상태가 정상 다발의 한 부분으로서 평행하거나 평균 곡률 길이의 항상성으로 해석될 수 있다.그는 이전의 해석에서 리만 우주 형태의 2차원 표면의 경우를 충분히 특징지었고, (취약) 2차 해석에서 부분적인 결과를 찾아냈다.[Y74]그의 결과 중 일부는 방옌 첸에 의해 독자적으로 발견되었다.[57]
  • 필립 하트먼루이 니렌버그의 초기 유클리드 공간의 평평한 초저공간에 대한 연구를 확장하면서, 쳉과 야우는 일정한 스칼라 곡률을 가진 우주 형태의 초저공주를 고려했다.[58]그들의 분석에서 핵심 도구는 Weyl isometric embedding 문제의 해결책에 사용된 Hermann Weyl의 차등적 정체성의 확장이었다.[CY77b]

하위 매니폴드 경직성 문제의 설정에서 벗어나 야우는 위르겐 모세르의 카치오폴리 불평등 입증 방법을 채택할 수 있었고, 따라서 완전한 리만 다지관의 기능에 대한 새로운 경직성 결과를 증명할 수 있었다.특히 그의 유명한 결과는 하위조화 함수가 일정하지 않으면 양과 L을p 모두 통합할 수 없다고 말한다.[Y76][46][59]마찬가지로, 완전한 Kahler 다지관에서는 Holomorphic 함수가 일정하지 않으면 L 통합할p 수 없다.[Y76]

민코프스키 문제와 몽에-암페어 방정식

고전적인 미분 기하학의 민코우스키 문제가우스 곡면성을 처방하는 문제로 볼 수 있다.1950년대에 루이 니렌베르크알렉세이 포고렐로프는 2차원 영역에 대한 몽게-암페르 방정식의 최근 진행 상황을 활용하면서 2차원 표면에 대한 문제를 해결했다.1970년대까지 몽에-암페르 방정식에 대한 고차원적인 이해는 여전히 부족했다.1976년, 슈유엔 쳉과 야우는 몽에-암페르 방정식 이론 대신 완전한 기하학적 추정치를 사용하여 민코프스키 문제를 연속성의 방법을 통해 일반적 차원에서 해결했다.[CY76b][60]

쳉과 야우는 민코프스키 문제를 해결한 결과 몽에-암페르 방정식의 이해에 진전을 이룰 수 있었다.[CY77a]주요 관측은 몽에-암페어 방정식의 해법 레전드르 변환에 몽에-암페어 방정식의 "우측"에 따라 단순한 공식으로 규정된 그래프의 가우스 곡면성이 있다는 것이다.그 결과, 그들은 당시 2차원 영역을 제외한 주요 공개 문제였던 몽에-암페르 방정식에 대한 디리클레 문제의 일반적인 해결 가능성을 증명할 수 있었다.[60]

쳉과 야우의 논문은 포고렐로프가 1971년에 발표한 몇 가지 아이디어를 따랐는데, 비록 그의 공개 작품(청과 야우의 작품 당시)에는 상당한 세부 사항이 부족했음에도 불구하고, 쳉과 야우의 논문은 포고렐로프가 제시한 몇 가지 아이디어를 따랐다.[61]포고렐로프도 자신의 독창적인 사상을 보다 상세하게 펴냈으며, 문제의 해결은 일반적으로 청-야우와 포고렐로프 양쪽에 기인한다.[62][60]다른 저자들, 특히 루이스 카파렐리, 니렌버그, 조엘 스프록이 더 강력한 결과를 산출하고 민코프스키 문제의 보조적 활용을 필요로 하지 않는 직접적 기법을 개발했기 때문에 청야우와 포고렐로프의 접근법은 더 이상 몽에-암페르 방정식에 관한 문헌에서 흔히 볼 수 없다.[62]

아핀 구들은 어떤 몽게-암페르 방정식의 해법에 의해 자연스럽게 설명되기 때문에 그들의 완전한 이해는 유클리드 구보다 훨씬 더 복잡하고, 후자는 부분 미분 방정식에 기초하지 않는다.포물선 케이스에서는 콘라트 요르겐스, 유제니오 칼라비, 포고렐로프의 연이은 작업에 의해 아핀 구가 파라볼로이드로 완전히 분류되었다.타원형 아핀 구들은 칼라비에 의해 타원형으로 식별되었다.쌍곡선 부위는 더욱 복잡한 현상을 보인다.쳉과 야우는 그들이 볼록한 원추에 무증상이라는 것을 증명했고, 반대로 모든 (균일하게) 볼록콘은 어떤 쌍곡성 아핀 영역에 그러한 방식으로 대응한다는 것을 증명했다.[CY86]그들은 또한 칼라비와 요르겐스-칼라비-포고렐로프의 이전 분류에 대한 새로운 증거를 제공할 수 있었다.[60][63]

거울 대칭

A칼라비-야우 다지관은 리치 평탄한 소형 칼러 다지관으로, 칼라비 추측에 대한 야우의 검증의 특별한 사례로서 그러한 다지관이 존재하는 것으로 알려져 있다.[Y78a]미러 대칭은 1980년대 후반부터 이론 물리학자들이 개발한 제안으로 칼라비-이(Calabi-)라고 가정한다.복합 치수 3의 Yau 다지관은 오일러와 호지 숫자와 같은 특정 특성을 공유하는 쌍으로 그룹화할 수 있다.이 추측 그림을 바탕으로 물리학자인 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파르크스는 4차원 복합 투영 공간의 일반적인 5중주 초사면에서 어떤 고정된 정도의 합리적 곡선의 수를 암호화하는 열거형 기하학의 공식을 제안했다.봉롄, 케펑 류, 야우는 이 공식이 지니고 있다는 엄밀한 증거를 제시했다.[LLY97]1년 전, 알렉산더 기브탈은 거울 공식의 증거를 출판했다; 리안, 류, 야우에 따르면, 그의 증거의 세부사항은 그들 자신의 출판물을 따라 성공적으로 채워졌다.[24]Givental과 Lian-Liu-Yau의 증거는 어느 정도 겹치지만 문제에 대한 뚜렷한 접근법이며, 그 이후 각각은 교과서적인 설명을 제공받았다.[64][65]

기브탈과 리안-류-야우의 작품은 3차원 칼라비가 어떻게 이 일을 하는지에 대한 보다 근본적인 거울 대칭 추측에 의해 만들어진 예측을 확인시켜 준다.Yau 다지관은 페어링할 수 있다.그러나 그들의 작품은 논리적으로 추측 자체에 의존하지 않기 때문에 그 타당성과는 즉각적인 관계가 없다.야우는 앤드류 스트로밍거에릭 자슬로우와 함께 거울 대칭이 어떻게 체계적으로 이해되고 사실로 증명될 수 있는지에 대한 기하학적 그림을 제안했다.[SYZ96]그들의 생각은 칼라비-복합 치수 3을 가진 야우 다지관은 칼라비-밑에 있는 6차원 리만 다지관의 3차원 최소 서브매니폴드의 특정 유형인 특수 라그랑지안 토리에 의해 추론되어야 한다.야우 구조.미러 다지관은 이 추측 구조 측면에서 이중 분열을 갖는 것으로 특징지어질 것이다.스트로밍거-Yau-Zaslow (SYZ) 제안은 1996년부터 다양한 방식으로 수정, 개발되었다.그것이 제공하는 개념 그림은 거울 대칭 연구에도 상당한 영향을 미쳤으며, 그 다양한 측면에 대한 연구는 현재 활발한 분야다.막심 콘체비치의 대안적 호몰로지 거울 대칭 제안과 대조될 수 있다.SYZ 추측의 관점은 칼라비의 기하학적 현상에 관한 것이다.야우 공간, 콘체비치의 추측은 순수하게 대수적 구조와 범주 이론을 다루는 문제를 추상화한다.[31][38][64][65]

비교 기하학

블레인 로슨과 함께 작성된 야우의 초기 논문들 중 하나에서, 비양성 곡률의 폐쇄된 리만 다지관의 위상에 대해 많은 근본적인 결과가 발견되었다.[LY72]그들의 평평한 토러스 정리기본 집단의 대수적 관점에서 평평하고 완전히 지오데틱한 몰입형 토루스의 존재를 특징짓는다.분할정리는 기본집단을 최대 비확정직물로서 분할하는 것은 다지관 자체의 등축분열을 내포하고 있다고 말한다.데틀프 그로몰조셉 울프가 동시에 비슷한 결과를 얻었다.[66][67]그들의 결과는 비양성 곡률의 미터 공간에 대한 등축 그룹 작용의 광범위한 맥락으로 확장되었다.[68]

제프 치거와 야우는 리만 다지관의 열알을 연구했다.그들은 지오데틱 구가 일정한 평균 곡률을 갖는 리만 지표의 특별한 경우를 설정했는데, 이는 열 알맹이의 방사형 대칭으로 특징지어지는 것으로 증명되었다.[CY81]회전 대칭 지표를 전문으로 하는 그들은 지수 지도를 사용하여 열 커널을 일반 리만 다지관의 지오데틱 공에 이식했다.대칭 "모델" 공간이 다지관 자체의 Ricci 곡면성을 과소평가한다는 가정 하에, 결과 함수가 열 방정식의 소급이라는 것을 보여주는 직접 계산을 수행했다.그 결과, 리치 곡률의 하한이라는 관점에서 일반 리만 다지관의 열 알맹이에 대한 낮은 추정치를 얻었다.[69][70]비음성 Ricci 곡률의 특별한 경우, 피터 리와 야우는 구배 추정치를 사용하여 체거-을 증폭하고 개선할 수 있었다.어림짐작.[LY86][46]

칼라비가 독자적으로 입수한 야우의 잘 알려진 결과는 비부정 리만곡률의 모든 비부정 리만 다지관은 적어도 선형 비율의 부피 성장을 가지고 있어야 한다는 것을 보여준다.[Y76][46]기능 이론 대신 비숍-그로모프 불평등을 이용한 두 번째 증거가 나중에 치거, 미카엘 그로모프, 그리고 마이클 테일러에 의해 발견되었다.

스펙트럼 기하학

경계를 포함하거나 포함하지 않고 부드러운 콤팩트 리만 다지관의 경우 스펙트럼 기하학은 라플라스-벨트라미 연산자의 고유값을 연구하는데, 다지관이 경계를 갖는 경우 대개 디리클레트 또는 노이만 조건의 선택과 결합된다.폴 양과 야우는 닫힌 2차원 다지관의 경우, 최초의 고유값은 다지관의 속과 부피에만 의존하는 명시적 공식에 의해 위에서 경계된다는 것을 보여주었다.[YY80][40]앞서 야우는 제프 치거치거 상수 분석을 기하학적 데이터 측면에서 아래로부터 첫 번째 고유값을 추정할 수 있도록 수정했다.[Y75a][71]

1910년대에 헤르만 베일은 평면의 매끄럽고 경계가 있는 부분 집합의 디리클레 경계 조건의 경우, 고유값은 그 지역에 포함된 영역에 의해 전적으로 지시되는 점증거동을 가지고 있다는 것을 보여주었다.그의 결과는 Weyl의 법칙으로 알려져 있다.1960년 조지 폴리야는 웨일 법칙이 실제로 각 개인의 고유값을 지배하게 하고, 그 점증적 분포뿐만 아니라 각각의 고유값을 지배하게 한다고 추측했다.리와 야우는 폴랴의 추측이 약해진 버전을 증명해 보였으며, 바일 법칙의 표현에 의해 고유값의 평균을 통제하게 되었다.[LY83][72]

1980년에 리와 야우는 라플라스-벨트라미 고유값에 대한 다수의 새로운 불평등을 확인했는데, 이 모든 것이 야우와 청야우가 5년 전에 개척한 최대 원리와 차등 하르낙 추정치에 기초하였다.[LY80]기하학적 데이터에 기초한 하한에 대한 그들의 결과는 특히 잘 알려져 있으며,[73][50][46] 조건부 가정을 요구하지 않은 최초의 사례였다.[74]비슷한 시기에 리와 야우보다는 결과가 약하지만 미카엘 그로모프이등분법을 통해 얻은 것과 비슷한 불평등도 있었다.[69]야우는 이사도레 싱어, 분 웡, 신퉁 야우와 협력하여 리-야우 방법론을 사용하여 처음 두 고유 기능의 지수에 대한 구배 추정치를 설정했다.[S+85]야우가 하낙 불평등을 찾기 위해 구배 추정치를 통합한 것과 유사하게, 그들은 구배 추정치를 통합하여 처음 두 고유값 사이의 차이인 근본적 격차를 제어할 수 있었다.싱어의 작품-Wong-Yau-Yau-Yau는 근본적인 격차에 대한 새로운 추정치가 발견되고 개선된 다양한 작가들의 일련의 작품을 시작했다.[75]

1982년, 야우는 위의 Polya 추측을 포함하여 스펙트럼 기하학에서 14개의 관심 문제를 확인했다.[Y82b]해당 고유값의 값에 의한 고유 기능의 수준 집합의 크기를 제어한 야우에 대한 특별한 추측이 알렉산더 로구노프유제니아 말리니코바에 의해 해결되었으며, 이들에 대한 연구로 2017년 클레이 연구상을 부분적으로 수상했다.[76]

이산형 및 계산형 기하학

시안펑 구와 야우는 2차원 다지관(분산된 메쉬로 표시됨) 사이의 등각 지도의 수치 연산, 특히 균일화 정리에서 예측한 대로 균일화 지도의 연산을 고려했다.0속 표면의 경우, 지도는 조화일 경우에만 일치하므로, 구와 야우는 소멸된 디리클레 에너지를 직접 최소화하여 등정 지도를 계산할 수 있다.[GY02]상위 속들의 경우, 균일화 지도는 폐쇄형 및 조화형 1-형식의 호지 이론에서 결정되는 대로 구배로부터 계산된다.[GY02]따라서 고전 이론의 수치적으로 효과적인 디스커버리지를 식별하는 것이 주된 작업이다.그들의 접근방식은 일반 표면을 경계로 다루기에 충분히 유연하다.[GY03][77]토니 , 톰슨, 얄린 왕과 함께 구와 야우는 의료 영상 촬영에서 중요한 이슈인 두 개의 뇌 표면을 매칭하는 문제에 작업을 적용했다.가장 관련성이 높은 속-제로의 경우, 등정 지도는 뫼비우스 집단의 작용까지만 잘 정의되어 있다.중앙 설커스와 같은 뇌 랜드마크의 불일치를 측정하는 디리클레 형태의 에너지를 더욱 최적화함으로써, 그들은 그러한 신경학적 특징에 의해 잘 정의된 매핑을 얻었다.[G+04]

그래프 이론 분야에서 판충과 야우는 리만 기하학의 개념과 결과의 유사점을 광범위하게 개발했다.로널드 그레이엄과 알렉산더 그리고리얀과 함께 부분적으로 발견된 차등 하낙 불평등, 소볼레프 불평등, 열 커널 분석에 대한 이러한 결과는 후에 그녀의 잘 알려진 책 "Spectral Graph 이론"의 마지막 몇 장으로 교과서 형태로 쓰여졌다.[78]후에, 그들은 그래프에 대해 정의된 과 같이 그린의 함수를 도입했는데, 이는 라플라시안 그래프유사 반대편에 해당한다.[CY00]이들의 작업은 자연스레 무작위 산책이나 관련 주제의 타격 시간 연구에 적용할 수 있다.[79][80]

결과에 대한 일반적인 그래프-이론적 맥락을 찾기 위해, 정 회장과 야우는 그래프의 리치-플랫티즘 개념을 도입했다.[78]미터법 공간에서 마르코프 체인을 다루는 리치 곡률에 대한 보다 유연한 개념은 후에 얀 올리비에에 의해 소개되었다.용린, 린위안 루, 야우는 예를 들어 에르드외스-레니 랜덤 그래프의 리치 곡면성을 고려하여 그래프 이론의 특수한 맥락에서 올리비에의 정의의 기본 이론 중 일부를 개발했다.[LLY11]린과 야우는 앞서 도미니크 배리와 미셸 에메리가 소개한 곡률-경량 불평등을 고려하면서, 그것과 올리비에의 곡률과 정-야우의 Ricci-Flateness의 개념에 관련시켰다.[LY10]그들은 국소적으로 유한한 그래프의 경우 베이크-에메리와 올리비에의 곡선에 대한 일반적인 하한을 증명할 수 있었다.[81]

영예와 상

야우는 후난사범대, 북경대, 난카이대, 칭화대 등 많은 중국 대학에서 명예교수직을 받았다.그는 하버드 대학교, 홍콩 중국 대학교, 워털루 대학교를 포함한 많은 국제 대학들로부터 명예 학위를 받았다.중국 인도 러시아 국립과학원 외국인 회원이다.

그의 상은 다음과 같다.

주요 출판물

연구기사.야우는 오백개가 넘는 기사의 저자다.가장 많이 인용된 것 중 위의 내용은 다음과 같다.

LY72.
Lawson, H. Blaine, Jr.; Yau, Shing Tung (1972). "Compact manifolds of nonpositive curvature". Journal of Differential Geometry. 7 (1–2): 211–228. doi:10.4310/jdg/1214430828. MR 0334083. Zbl 0266.53035.
Y74.
Yau, Shing Tung (1974). "Submanifolds with constant mean curvature. I". American Journal of Mathematics. 96 (2): 346–366. doi:10.2307/2373638. JSTOR 2373638. MR 0370443. Zbl 0304.53041.
CY75.
Cheng, S. Y.; Yau, S. T. (1975). "Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications". Communications on Pure and Applied Mathematics. 28 (3): 333–354. doi:10.1002/cpa.3160280303. MR 0385749. Zbl 0312.53031.
Y75b.
Yau, Shing Tung (1975). "Harmonic functions on complete Riemannian manifolds". Communications on Pure and Applied Mathematics. 28 (2): 201–228. doi:10.1002/cpa.3160280203. MR 0431040. Zbl 0291.31002.
CY76a.
Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "Maximal space-like hypersurfaces in the Lorentz–Minkowski spaces". Annals of Mathematics. Second Series. 104 (3): 407–419. doi:10.2307/1970963. JSTOR 1970963. MR 0431061. Zbl 0352.53021.
CY76b.
Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem". Communications on Pure and Applied Mathematics. 29 (5): 495–516. doi:10.1002/cpa.3160290504. MR 0423267. Zbl 0363.53030.
SY76.
Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1976). "Harmonic maps and the topology of stable hypersurfaces and manifolds with non-negative Ricci curvature". Commentarii Mathematici Helvetici. 51 (3): 333–341. doi:10.1007/BF02568161. MR 0438388. S2CID 120845708. Zbl 0361.53040.
CY77a.
Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1977). "On the regularity of the Monge–Ampère equation det(∂2u/∂xi∂xj) = F(x,u)". Communications on Pure and Applied Mathematics. 30 (1): 41–68. doi:10.1002/cpa.3160300104. MR 0437805. Zbl 0347.35019.
Y78a.
Yau, Shing Tung (1978). "On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I". Communications on Pure and Applied Mathematics. 31 (3): 339–411. doi:10.1002/cpa.3160310304. MR 0480350. Zbl 0369.53059.
Y78b.
Yau, Shing Tung (1978). "A general Schwarz lemma for Kähler manifolds". American Journal of Mathematics. 100 (1): 197–203. doi:10.2307/2373880. JSTOR 2373880. MR 0486659. Zbl 0424.53040.
SY79a.
Schoen, R.; Yau, Shing Tung (1979). "Existence of incompressible minimal surfaces and the topology of three-dimensional manifolds with nonnegative scalar curvature". Annals of Mathematics. Second Series. 110 (1): 127–142. doi:10.2307/1971247. JSTOR 1971247. MR 0541332. Zbl 0431.53051.
SY79b.
CY80.
Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1980). "On the existence of a complete Kähler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation". Communications on Pure and Applied Mathematics. 33 (4): 507–544. doi:10.1002/cpa.3160330404. MR 0575736. Zbl 0506.53031.
LY80.
Li, Peter; Yau, Shing Tung (1980). "Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold". In Osserman, Robert; Weinstein, Alan (eds.). Geometry of the Laplace Operator. University of Hawaii, Honolulu (March 27–30, 1979). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 36. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 205–239. doi:10.1090/pspum/036. MR 0573435. Zbl 0441.58014.
YY80.
Yang, Paul C.; Yau, Shing Tung (1980). "Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 7 (1): 55–63. MR 0577325. Zbl 0446.58017.
CY81.
Cheeger, Jeff; Yau, Shing-Tung (1981). "A lower bound for the heat kernel". Communications on Pure and Applied Mathematics. 34 (4): 465–480. doi:10.1002/cpa.3160340404. MR 0615626. Zbl 0481.35003.
CLY81.
Cheng, Siu Yuen; Li, Peter; Yau, Shing-Tung (1981). "On the upper estimate of the heat kernel of a complete Riemannian manifold". American Journal of Mathematics. 103 (5): 1021–1063. doi:10.2307/2374257. JSTOR 2374257. MR 0630777. Zbl 0484.53035.
MSY82.
Meeks, William, III; Simon, Leon; Yau, Shing Tung (1982). "Embedded minimal surfaces, exotic spheres, and manifolds with positive Ricci curvature". Annals of Mathematics. Second Series. 116 (3): 621–659. doi:10.2307/2007026. JSTOR 2007026. MR 0678484. Zbl 0521.53007.
S+85.
Singer, I. M.; Wong, Bun; Yau, Shing-Tung; Yau, Stephen S.-T. (1985). "An estimate of the gap of the first two eigenvalues in the Schrödinger operator". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 12 (2): 319–333. MR 0829055. Zbl 0603.35070.
CY86.
Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing-Tung (1986). "Complete affine hypersurfaces. I. The completeness of affine metrics". Communications on Pure and Applied Mathematics. 39 (6): 839–866. doi:10.1002/cpa.3160390606. MR 0859275. Zbl 0623.53002.
UY86.
Uhlenbeck, K.; Yau, S.-T. (1986). "On the existence of Hermitian–Yang–Mills connections in stable vector bundles". Communications on Pure and Applied Mathematics. 39 (S): 257–293. doi:10.1002/cpa.3160390714. MR 0861491. Zbl 0615.58045. (Erratum: doi:10.1002/cpa.3160420505)
G+90.
Greene, Brian R.; Shapere, Alfred; Vafa, Cumrun; Yau, Shing-Tung (1990). "Stringy cosmic strings and noncompact Calabi–Yau manifolds". Nuclear Physics B. 337 (1): 1–36. Bibcode:1990NuPhB.337....1G. doi:10.1016/0550-3213(90)90248-C. MR 1059826. Zbl 0744.53045.
HY96.
Huisken, Gerhard; Yau, Shing-Tung (1996). "Definition of center of mass for isolated physical systems and unique foliations by stable spheres with constant mean curvature". Inventiones Mathematicae. 124 (1–3): 281–311. Bibcode:1996InMat.124..281H. doi:10.1007/s002220050054. hdl:11858/00-001M-0000-0013-5B63-3. MR 1369419. S2CID 122669931. Zbl 0858.53071.
SYZ96.
GY02.
Gu, Xianfeng; Yau, Shing-Tung (2002). "Computing conformal structures of surfaces". Communications in Information and Systems. 2 (2): 121–145. arXiv:cs/0212043. Bibcode:2002cs.......12043G. doi:10.4310/CIS.2002.v2.n2.a2. MR 1958012. Zbl 1092.14514.
GY03.
Gu, Xianfeng; Yau, Shing Tung (2003). "Global conformal surface parameterization". In Kobbelt, Leif; Schroeder, Peter; Hoppe, Hugues (eds.). Eurographics Symposium on Geometry Processing (Aachen, Germany, June 23–25, 2003). Goslar, Germany: Eurographics Association. pp. 127–137. doi:10.2312/SGP/SGP03/127-137.
G+04.
Gu, Xianfeng; Wang, Yalin; Chan, Tony F.; Thompson, Paul M.; Yau, Shing-Tung (2004). "Genus zero surface conformal mapping and its application to brain surface mapping". IEEE Transactions on Medical Imaging. 28 (8): 949–958. doi:10.1109/TMI.2004.831226. PMID 15338729.
LY10.
Lin, Yong; Yau, Shing-Tung (2010). "Ricci curvature and eigenvalue estimate on locally finite graphs". Mathematical Research Letters. 17 (2): 343–356. doi:10.4310/MRL.2010.v17.n2.a13. MR 2644381. Zbl 1232.31003.
LLY11.
Lin, Yong; Lu, Linyuan; Yau, Shing-Tung (2011). "Ricci curvature of graphs". Tohoku Mathematical Journal. Second Series. 63 (4): 605–627. doi:10.2748/tmj/1325886283. MR 2872958. Zbl 1237.05204.

설문 조사 기사.

Y82a.
Yau, Shing Tung (1982). "Survey on partial differential equations in differential geometry". In Yau, Shing-Tung (ed.). Seminar on Differential Geometry. Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 3–71. doi:10.1515/9781400881918-002. ISBN 9781400881918. MR 0645729. Zbl 0478.53001.
Y82b.
Yau, Shing Tung (1982). "Problem section". In Yau, Shing-Tung (ed.). Seminar on Differential Geometry. Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 669–706. doi:10.1515/9781400881918-035. ISBN 9781400881918. MR 0645762. Zbl 0479.53001.
Y93년.
Yau, Shing-Tung (1993). "Open problems in geometry". In Greene, Robert; Yau, S. T. (eds.). Differential Geometry: Partial Differential Equations on Manifolds. American Mathematical Society Summer Institute on Differential Geometry (University of California, Los Angeles, July 9–27, 1990). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 1–28. doi:10.1090/pspum/054.1. MR 1216573. Zbl 0801.53001.
Y06.
Yau, Shing-Tung (2006). "Perspectives on geometric analysis". In Yau, Shing-Tung (ed.). Essays in geometry in memory of S.S. Chern. Surveys in Differential Geometry. Vol. 10. Somerville, MA: International Press. pp. 275–379. doi:10.4310/SDG.2005.v10.n1.a8. MR 2408227. Zbl 1138.53004.
Y14a.
Ji, Lizhen; Li, Peter; Liu, Kefeng; Schoen, Richard, eds. (2014a). Selected expository works of Shing-Tung Yau with commentary. Vol. I. Advanced Lectures in Mathematics. Vol. 28. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-293-0. MR 3307244. Zbl 1401.01045.
Y14b.
Ji, Lizhen; Li, Peter; Liu, Kefeng; Schoen, Richard, eds. (2014b). Selected expository works of Shing-Tung Yau with commentary. Vol. II. Advanced Lectures in Mathematics. Vol. 29. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-294-7. MR 3307245. Zbl 1401.01046.

교과서 및 기술 단전.

SY94.
Schoen, R.; Yau, S.-T. (1994). Lectures on differential geometry. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. Vol. 1. Lecture notes prepared by Wei Yue Ding, Kung Ching Chang, Jia Qing Zhong and Yi Chao Xu. Translated from the Chinese by Ding and S. Y. Cheng. Preface translated from the Chinese by Kaising Tso. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-012-8. MR 1333601. Zbl 0830.53001.
SY97.
Schoen, R.; Yau, S. T. (1997). Lectures on harmonic maps. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. Vol. 2. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR 1474501. Zbl 0886.53004.
SY98.
Salaff, Stephen; Yau, Shing-Tung (1998). Ordinary differential equations (Second ed.). Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-065-9. MR 1691427. Zbl 1089.34500.
GY08.
Gu, Xianfeng David; Yau, Shing-Tung (2008). Computational conformal geometry. Advanced Lectures in Mathematics. Vol. 3. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-171-1. MR 2439718.

인기 있는 책.

YN10.
Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The shape of inner space. String theory and the geometry of the universe's hidden dimensions. New York: Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2. MR 2722198. Zbl 1235.00025.
NY13.
Nadis, Steve; Yau, Shing-Tung (2013). A history in sum. 150 years of mathematics at Harvard (1825–1975). Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-72500-3. MR 3100544. Zbl 1290.01005.
YN19.
Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2019). The shape of a life. One mathematician's search for the universe's hidden geometry. New Haven, CT: Yale University Press. ISBN 978-0-300-23590-6. MR 3930611. Zbl 1435.32001.

참조

  1. ^ 2016년 4월 11일 "신퉁야우와의 질의응답" 물리학 투데이.
  2. ^ 앨버스, 도널드 J; 알렉산더슨, G. L.; 리드, 콘스탄스.국제수학회의. 삽화 역사 1893-1986.ICM 1986를 포함한 개정판스프링거-베를라크, 1986년 뉴욕
  3. ^ "丘成桐院士关注家乡蕉岭仓海诗廊文化建设项目". Eastday (in Chinese). 2018-06-06. Retrieved 2019-08-17.
  4. ^ 호소노 시노부죠新-Tug Yau와 인터뷰.
  5. ^ a b 저장대학교 수리과학센터 페이지
  6. ^ a b 신퉁야우.수학 계보.
  7. ^ "Shing-Tung Yau (Biography)".
  8. ^ "University of California, San Diego: External Relations: News & Information: News Releases : Science".
  9. ^ "Department of Mathematics faculty, Harvard University".
  10. ^ a b "스텝 호킹은 1978년 8월 말 캠브리지 대학에서 그와 [증거]에 대해 토론하기 위해 나를 초대했다.기꺼이 수락했다...그러나 최근 영국 영사관이 내 홍콩 영주권을 가져갔기 때문에 미국 영주권을 갖고 있어 여행이 어려웠다.그 과정에서 나는 무국적자가 되어 있었다.나는 더 이상 어느 나라의 시민도 아니었다...1990년 미국 시민이 될 때까지."[YN19]: 125
  11. ^ 중국 국적법에 따르면 그는 혈통과 출생에 따른 중국 국적자로 귀화 때까지 그대로 있었다.
  12. ^ a b Nasar, Sylvia; Gruber, David (August 26, 2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". New Yorker. Retrieved February 26, 2020.
  13. ^ a b Overbye, Dennis (October 17, 2006). "Scientist at Work: Shing-Tung Yau The Emperor of Math". The New York Times. Retrieved September 14, 2013. He became a United States citizen in 1990.
  14. ^ "신퉁 야우, UCSD 수학자가 필즈 메달을 수여했다.""뉴스 릴리즈"에서 University Communications Public Materials의 시리즈 2.RSS 6020.UC 샌디에이고 특별 소장품 & 보관소
  15. ^ 센터장. 저장 대학의 수학 과학 센터.
  16. ^ 약. 칭화대학교 야우수학과학센터.
  17. ^ 디렉터리. 국립대만대 응용수학과학연구소
  18. ^ 칭화산야 국제수학포럼.
  19. ^ "About – CMSA".
  20. ^ 미분 기하학 저널 편집 위원회.
  21. ^ 아시아 수학저널 편집위원회.
  22. ^ 이론과 수학적 물리학의 진보 편집위원회.
  23. ^ "그는 유명한 수학 문제를 해결했다는 러시아 보고서"뉴욕타임스(2003년 4월 15일).새라 로빈슨
  24. ^ a b 분쟁의 양쪽 모두에 대해서는 다음을 참조하십시오.각주 17인치
    • Givental, Alexander (1998). "Elliptic Gromov–Witten invariants and the generalized mirror conjecture". In Saito, M.-H.; Shimizu, Y.; Ueno, K. (eds.). Integrable systems and algebraic geometry. 41st Taniguchi Symposium held in Kobe (June 30–July 4, 1997) and at Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto (July 7–11, 1997). River Edge, NJ: World Scientific. pp. 107–155. arXiv:math/9803053. MR 1672116. Zbl 0961.14036.
  25. ^ 중국의 유명한 과학자는 2008-09-17년 8월 17일 웨이백 머신 차이나(신화)학계의 부패기록하였다.2008-08-05년에 검색됨.
  26. ^ Xin, Hao (2006). "Frustrations Mount Over China's High-Priced Hunt for Trophy Professors". Science. 313 (5794): 1721–1723. doi:10.1126/science.313.5794.1721. PMID 16990526. S2CID 35979069.
  27. ^ 오래된 수학 문제 해결 그물상, 트러블.National Public Radio(2006년).
  28. ^ Yau의 웹사이트, 그의 법적 조치와 뉴요커에게 보내는 서한에 대한 정보
  29. ^ 의 재인쇄본 및 의 1권을 참조하십시오.
  30. ^ a b c d e Aubin, Thierry (1998). Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR 1636569. Zbl 0896.53003.
  31. ^ a b c Joyce, Dominic D. (2007). Riemannian holonomy groups and calibrated geometry. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Vol. 12. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921559-1. MR 2292510. Zbl 1200.53003.
  32. ^ a b Siu, Yum Tong (1987). Lectures on Hermitian–Einstein metrics for stable bundles and Kähler–Einstein metrics. DMV Seminar. Vol. 8. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-0348-7486-1. ISBN 3-7643-1931-3. MR 0904673. Zbl 0631.53004.
  33. ^ Tian, Gang (2000). Canonical metrics in Kähler geometry. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Notes taken by Meike Akveld. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 3-7643-6194-8. MR 1787650. Zbl 0978.53002.
  34. ^ a b c d e Besse, Arthur L. (1987). Einstein manifolds. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Vol. 10. Reprinted in 2008. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. MR 0867684. Zbl 0613.53001.
  35. ^ a b Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007). String theory and M-theory. A modern introduction. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511816086. ISBN 978-0-521-86069-7. MR 2285203. Zbl 1123.81001.
  36. ^ a b Green, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (2012). Superstring theory. Vol. 2. Loop amplitudes, anomalies and phenomenology (25th anniversary edition of 1987 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139248570. ISBN 978-1-107-02913-2. MR 3155202. Zbl 1245.53003.
  37. ^ Hübsch, Tristan (1992). Calabi–Yau manifolds. A bestiary for physicists. River Edge, NJ: World Scientific. Bibcode:1992cymb.book.....H. doi:10.1142/1410. ISBN 981-02-0662-3. MR 1177829. Zbl 0771.53002.
  38. ^ a b Aspinwall, Paul S.; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael R.; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory W.; Segal, Graeme; Szendrői, Balázs; Wilson, P. M. H. (2009). Dirichlet branes and mirror symmetry. Clay Mathematics Monographs. Vol. 4. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute. ISBN 978-0-8218-3848-8. MR 2567952. Zbl 1188.14026.
  39. ^ Gross, Mark; Wilson, P. M. H. (2000). "Large complex structure limits of K3 surfaces". Journal of Differential Geometry. 55 (3): 475–546. arXiv:math/0008018. Bibcode:2000math......8018G. doi:10.4310/jdg/1090341262. MR 1863732. Zbl 1027.32021.
  40. ^ a b c d Colding, Tobias Holck; Minicozzi, William P., II (2011). A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 121. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/121. ISBN 978-0-8218-5323-8. MR 2780140. Zbl 1242.53007.
  41. ^ Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine, Jr. (1983). "Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds". Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. 58: 83–196. doi:10.1007/BF02953774. MR 0720933. S2CID 123212001. Zbl 0538.53047.
  42. ^ Jost, Jürgen (1991). Two-dimensional geometric variational problems. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 0-471-92839-9. MR 1100926. Zbl 0729.49001. (Erratum: [1])
  43. ^ Lin, Fanghua; Wang, Changyou (2008). The analysis of harmonic maps and their heat flows. Hackensack, NJ: World Scientific. doi:10.1142/9789812779533. ISBN 978-981-277-952-6. MR 2431658. Zbl 1203.58004.
  44. ^ a b Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General relativity and the Einstein equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001. ISBN 978-0-19-923072-3. MR 2473363. Zbl 1157.83002.
  45. ^ Huisken, Gerhard (1987). "The volume preserving mean curvature flow". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1987 (382): 35–48. doi:10.1515/crll.1987.382.35. MR 0921165. S2CID 118368038. Zbl 0621.53007.
  46. ^ a b c d e f g h Li, Peter (2012). Geometric analysis. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 134. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139105798. ISBN 978-1-107-02064-1. MR 2962229. Zbl 1246.53002.
  47. ^ Pigola, Stefano; Rigoli, Marco; Setti, Alberto G. (2005). "Maximum principles on Riemannian manifolds and applications". Memoirs of the American Mathematical Society. 174 (822). doi:10.1090/memo/0822. ISBN 978-0-8218-3639-2. MR 2116555. Zbl 1075.58017.
  48. ^ a b Pigola, Stefano; Rigoli, Marco; Setti, Alberto G. (2008). Vanishing and finiteness results in geometric analysis. A generalization of the Bochner technique. Progress in Mathematics. Vol. 266. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-7643-8642-9. ISBN 978-3-7643-8641-2. MR 2401291. Zbl 1150.53001.
  49. ^ Graham, C. Robin; Lee, John M. (1991). "Einstein metrics with prescribed conformal infinity on the ball". Advances in Mathematics. 87 (2): 186–225. doi:10.1016/0001-8708(91)90071-E. MR 1112625. Zbl 0765.53034.
  50. ^ a b c d Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 77. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/077. ISBN 9780821842317. MR 2274812. Zbl 1118.53001.
  51. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). The Ricci flow: techniques and applications. Part III. Geometric-analytic aspects. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 163. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/163. ISBN 978-0-8218-4661-2. MR 2604955. Zbl 1216.53057.
  52. ^ Lübke, Martin; Teleman, Andrei (1995). The Kobayashi–Hitchin correspondence. River Edge, NJ: World Scientific. doi:10.1142/2660. ISBN 981-02-2168-1. MR 1370660. Zbl 0849.32020.
  53. ^ "2019 Oswald Veblen Prize in Geometry". Notices of the American Mathematical Society. 66 (4): 610–612. April 2019.
  54. ^ 마르키스, 페르난도 C; 네브스, 안드레민맥스 이론과 윌모어 추측.수학의 앤. (2) 179 (2014), 번호 2, 683–782.
  55. ^ Giusti, Enrico (1984). Minimal surfaces and functions of bounded variation. Monographs in Mathematics. Vol. 80. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9486-0. ISBN 0-8176-3153-4. MR 0775682. Zbl 0545.49018.
  56. ^ Colding, Tobias Holck; Minicozzi, William P., II. (2012). "Generic mean curvature flow I: generic singularities". Annals of Mathematics. Second Series. 175 (2): 755–833. doi:10.4007/annals.2012.175.2.7. MR 2993752. Zbl 1239.53084.
  57. ^ Chen, Bang-yen (2019). Geometry of submanifolds (Corrected reprint of 1973 original ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-83278-4. MR 0353212. Zbl 1458.53001.
  58. ^ 하트만, 필립, 니렌버그, 루이스.Jacobian이 기호를 바꾸지 않는 구면 이미지 지도에.아머. J.수학 81번(1959년), 901–920번.
  59. ^ Chavel, Isaac (2001). Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 145. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80267-9. MR 1849187. Zbl 0988.51019.
  60. ^ a b c d Trudinger, Neil S.; Wang, Xu-Jia (2008). "The Monge–Ampère equation and its geometric applications". In Ji, Lizhen; Li, Peter; Schoen, Richard; Simon, Leon (eds.). Handbook of geometric analysis. No. 1. Advanced Lectures in Mathematics. Vol. 7. Somerville, MA: International Press. pp. 467–524. ISBN 978-1-57146-130-8. MR 2483373. S2CID 37616041. Zbl 1156.35033.
  61. ^ Caffarelli, L.; Nirenberg, L.; Spruck, J. (1984). "The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations. I. Monge–Ampère equation". Communications on Pure and Applied Mathematics. 37 (3): 369–402. doi:10.1002/cpa.3160370306. MR 0739925. Zbl 0598.35047. (Erratum: doi:10.1002/cpa.3160400508)
  62. ^ a b Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Classics in Mathematics (Revised second edition of the 1977 original ed.). Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. MR 1814364. Zbl 1042.35002.
  63. ^ Li, An-Min; Simon, Udo; Zhao, Guosong; Hu, Zejun (2015). Global affine differential geometry of hypersurfaces. De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 11 (Second revised and extended edition of 1993 original ed.). Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110268898. ISBN 978-3-11-026667-2. MR 3382197. Zbl 1330.53002.
  64. ^ a b Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999). Mirror symmetry and algebraic geometry. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 68. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/068. ISBN 0-8218-1059-6. MR 1677117. Zbl 0951.14026.
  65. ^ a b Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric (2003). Mirror symmetry. Clay Mathematics Monographs. Vol. 1. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute. ISBN 0-8218-2955-6. MR 2003030. Zbl 1044.14018.
  66. ^ Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). Comparison theorems in Riemannian geometry (Revised reprint of 1975 original ed.). Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. doi:10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. MR 2394158. Zbl 1142.53003.
  67. ^ Klingenberg, Wilhelm P. A. (1995). Riemannian geometry. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 1 (Second edition of 1982 original ed.). Berlin: Walter de Gruyter & Co. doi:10.1515/9783110905120. ISBN 3-11-014593-6. MR 1330918. Zbl 0911.53022.
  68. ^ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 319. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. MR 1744486. Zbl 0988.53001.
  69. ^ a b Chavel, Isaac (1984). Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics. Vol. 115. Orlando, FL: Academic Press. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. MR 0768584. Zbl 0551.53001.
  70. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). The Ricci flow: techniques and applications. Part II. Analytic aspects. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 144. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/144. ISBN 9780821844298. MR 2365237. Zbl 1157.53035.
  71. ^ Chavel, Isaac (2006). Riemannian geometry. A modern introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 98 (Second edition of 1993 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616822. ISBN 978-0-521-61954-7. MR 2229062. Zbl 1099.53001.
  72. ^ Lieb, Elliott H.; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (Second edition of 1997 original ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/014. hdl:2027.42/149371. ISBN 0-8218-2783-9. MR 1817225. Zbl 0966.26002.
  73. ^ Jost, Jürgen (2017). Riemannian geometry and geometric analysis. Universitext (Seventh edition of 1995 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR 3726907. Zbl 1380.53001.
  74. ^ Chen, Mu-Fa (2005). Eigenvalues, inequalities, and ergodic theory. Probability and its Applications. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/b138904. ISBN 1-85233-868-7. MR 2105651. Zbl 1079.60005.
  75. ^ Wang, Feng-Yu (2005). Functional inequalities, Markov semigroups and spectral theory. Beijing/New York: Science Press. doi:10.1016/B978-0-08-044942-5.50022-7. ISBN 978-0-08-044942-5.
  76. ^ "Mathematics People: Clay Research Awards Presented" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 64 (6): 595–604. June 2017.
  77. ^ Floater, Michael S.; Hormann, Kai (2005). "Surface parameterization: a tutorial and survey". In Dodgson, Neil A.; Floater, Michael S.; Sabin, Malcolm A. (eds.). Advances in multiresolution for geometric modelling. Papers from the workshop (MINGLE 2003) held in Cambridge, September 9–11, 2003. Mathematics and Visualization. Berlin: Springer. pp. 157–186. doi:10.1007/3-540-26808-1_9. ISBN 3-540-21462-3. MR 2112350. S2CID 9922896. Zbl 1065.65030.
  78. ^ a b Chung, Fan R. K. (1997). Spectral graph theory. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 92. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/092. ISBN 0-8218-0315-8. MR 1421568. Zbl 0867.05046.
  79. ^ Qiu, Huaijun; Hancock, Edwin R. (2007). "Clustering and embedding using commute times". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 29 (11): 1873–1890. doi:10.1109/TPAMI.2007.1103. PMID 17848771. S2CID 1043277.
  80. ^ Smola, Alexander J.; Kondor, Risi (2003). "Kernels and regularization on graphs". In Schölkopf, Bernhard; Warmuth, Manfred K. (eds.). Learning theory and kernel machines. 16th annual conference on learning theory and 7th kernel workshop, Washington, DC, USA, August 24-27, 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2777. pp. 144–158. doi:10.1007/978-3-540-45167-9_12. ISBN 978-3-540-40720-1. S2CID 7326173. Zbl 1274.68351.
  81. ^ Jost, Jürgen; Liu, Shiping (2014). "Ollivier's Ricci curvature, local clustering and curvature–dimension inequalities on graphs". Discrete & Computational Geometry. 51 (2): 300–322. doi:10.1007/s00454-013-9558-1. MR 3164168. Zbl 1294.05061.
  82. ^ "John J. Carty Award for the Advancement of Science". United States National Academy of Sciences. Archived from the original on 2010-12-29. Retrieved Jan 1, 2009.
  83. ^ "...미립 기하학에서 비선형 기법의 발달로 몇 가지 미해결 문제의 해결이 되었기 때문이지요."
  84. ^ 말카 플라이셔, 명망 있는 늑대상 수상자 발표
  85. ^ 마르셀 그로스만, 제15차 마르셀 그로스만 회의

외부 링크