반스톡툼 더스트

일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
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물리 포털 카테고리
v t

일반 상대성 이론에서, 반 스톡텀 먼지는 원통형 대칭 축을 중심으로 회전하는 먼지에 의해 중력장이 생성되는 아인슈타인 장 방정식의 정확한 해이다.먼지의 밀도가 이 축으로부터의 거리에 따라 증가하기 때문에, 해법은 다소 인위적이지만, 일반 상대성 이론에서 가장 단순한 해법 중 하나로서 교육학적으로 중요한 예로 여겨진다.

이 용액은 1924년 Cornelius Lanczos에 의한 훨씬 이전의 발견과는 독립적으로 1937년에 그것을 재발견한 Willem Jacob van Stockum의 이름을 따서 명명되었다.현재 이 솔루션을 Lanczos-van Stockum 분진이라고 부르는 것이 좋습니다.

파생

이 솔루션을 얻는 한 가지 방법은 유체가 단단한 회전을 보이는 원통형 대칭의 완벽한 유체 솔루션을 찾는 것입니다.즉, 우리는 유체 입자의 세계선이 0이 아니라 팽창과 전단이 사라지는 시간적 합치를 형성할 것을 요구한다(사실 먼지 입자는 힘을 느끼지 않기 때문에 시간적 합성으로 판명되지만, 미리 이것을 가정할 필요는 없다).

이 요구에 대응하는 간단한 Ansatz는$$r\$displaystyle$r의 $두{\displaystyle }$ 가지 미결정 함수를 포함하는 다음 프레임필드로 표시됩니다.

${\displaystyle {vec {e}=\display_{t},\vec {e}=f(r),\display_{z},\vec {e}=f(r),\display_{r},\display_{vec {e}=f(r},\display_{vec {e},\vec {e})_{{0},\c {vac}$

오해를 피하기 위해 우리는 듀얼 코프레임을 가져가는 것을 강조해야 한다.

${\displaystyle ^{0}=dt+h(r)r,d\varphi,\display ^{1}{f(r)}},dz,\display ^{2}=displayfrac {1},dr,\dr;\display ^{3}=rdvarphi}$

는 동일한 두 가지 미결정 함수의 관점에서 메트릭 텐서를 제공합니다.

$\displaystyle g=-\displays ^{0}\times ^{1}+\displays ^{2}\times ^{3}\times ^{3}\times\displays ^{1}+\times$

곱셈으로 얻을 수 있는 것

$\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r,dt,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2},d\varphi^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{f(r)^2}}}}}$

$\displaystyle -\infty < t,z < \infty , \ ; 0 < r < \infty , \ ; \pi < \ varphi }$

우리는 두 가지 미결정 함수의 관점에서 이 프레임에 대한 아인슈타인 텐서를 계산하고, 그 결과가 유체 입자의 월드 라인에 접하는 모든 위치에서 시간 $단위{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 벡터 ${\displaystyle e_{\mathrm{}}}$ $→$ 0$(\$style {$e}}_{$0$$})인 완벽한 유체 솔루션에 적합한 형태를 갖기를 요구한다.즉, 우리는 다음과 같은 것을 요구한다.

${\displaystyle G^{\hat {m}}{\hat {n}}=8\pi \operatorname {diag}(1,0,0)+8\pi p\operatorname {diag}(0,1,1)$

이것이 조건을 제시합니다.

${\displaystyle f^{\prime \prime } = frac {(f^{\prime}}{f}} {r} {\frac {f^{\prime}}} {r} {\frac {2h} + {\prime} {r} = {r} {r} {f} {f} {f} {frac}$

f$${\$displaystyle$ f$}$와 h$${\$displaystyle$ h$}$에 대한 해결은 van Stockum 솔루션을 정의하는 원하는 프레임을 제공합니다.

$({displaystyle {vec {e}}=\display_{t},\vec {e}}=\exp(a^{2}r^{2}/2)/2),\display_{z},\vec {e2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)/2),\display_{c}, _exp(a^{c},\vec{{c},\c},\vec{c},$

이 프레임은 r> { $displaystyle$ r > $0$}에서만 정의됩니다.

특성.

우리 프레임에 대한 아인슈타인 텐서를 계산하면 압력이 실제로 사라진다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 먼지 용액이 있습니다.먼지의 질량 밀도는

$({displaystyle \mu = flac {a^{2}}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2}})}$

다행히 $대칭축{\displaystyle }$ r ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ r =$0$}$$에서는 유한하지만, 가능한 천체물리학적 응용을 심각하게 제한하는 특징인 반지름에 따라 밀도가 증가합니다.

킬링 방정식을 푸는 것은 이 시공간이 킬링 벡터 필드의 3차원 아벨리안 라이 대수를 허용한다는 것을 보여줍니다.

${\displaystyle {\vec {xi }}_{1}=\vec {t},\vec {xi }_{2}=\vec {xi }_{3}=\vec _{\phi }}}$

여기서 $\delta {\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$ $($style {\$display {xi$}}$_$${1})$은 0이 아닌 소용돌이를 가지므로 먼지 입자의 세계선을 따라 변환 중인 정지 시공간 불변량과 원통형 대칭 및 축을 중심으로 한 회전 축을 따라 변환 중인 시공간 불변량이 있습니다.

Gödel 먼지 용액과 달리 van Stockum 먼지에서는 먼지 입자가 기하학적으로 구별되는 축을 중심으로 회전합니다.

약속한 대로, 시간적 지오데식 $일치{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle e_{\mathrm{}}}$ $→$ 0$({displaystyle {e}}_{$0$$})의 확장 및 전단은 사라지지만, 소용돌이 벡터는

${\displaystyle {\vec {Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}_{1}$

이것은 우리의 공동 도표에서 먼지 입자의 세계선이 수직선으로 나타나지만, 실제로는 먼지 입자가 대칭 축을 중심으로 소용돌이치면서 서로 뒤틀리고 있다는 것을 의미합니다.즉, 작은 먼지덩어리의 진화를 따라가면 자기 축을 중심으로 회전하지만$($r ${\displaystyle =}$ $0$(\$displaystyle$ r $=$ $0{\displaystyle }$)$$ 전단 또는 팽창하지 않으며, 후자의 특성은 강성 회전이 의미하는 바를 정의합니다.축 자체에서 소용돌이 벡터의 크기는 $단순히{\displaystyle }$ $\displaystyle$a가 됩니다$.$

조력 텐서는

${\displaystyle E_{\hat {m}}{\hat {n}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag}(0,1,1)}$

이는 먼지 입자를 타고 있는 관측자들이 회전면에서 등방성 조력장력을 경험한다는 것을 보여준다.자기 중력 텐서는

$\displaystyle B_{\hat {m}}{\hat {n}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\hat}0&1&0&0&0&0\end{n}}\right]$

명백한 역설

대칭 축에 앉은 먼지 입자를 타고 있는 관찰자가 양의 반지름 좌표를 가진 먼지 입자를 내다보는 사고 실험을 생각해 보자.그는 그들이 회전하는 것을 보나요, 아닌가요?

null 지오데식스의 상위 배열은 하위 배열로 변환하는 것만으로 얻을 수 있으며, 세 개의 월드 라인은 모두 수직(시간 변환 시 불변)이기 때문에 대답은 "아니오"인 것처럼 보일 수 있습니다.그러나 위에 주어진 프레임이 관성 프레임인 반면, 공변 미분을 계산하는 것은

$\displaystyle \vec {e}_{0}{\vec {e}}_{1},\;\vec {e}}_{0}}{\vec {e2},\;\vec {e}}}_{0}}_{\vec {e}}}_{3}}$

첫 번째 것만이 똑같이 사라진다는 것을 보여줍니다.즉, 나머지 공간 벡터는 e ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$ $({displaystyle${$}}_{1$})($$즉, 이 시공간 원통 대칭 축과 평행한 축)에서 회전합니다.

따라서 비핀 관성 프레임을 얻으려면 다음과 같이 원래 프레임을 회전시켜야 합니다.

${\displaystyle {vec {f}_{0}=vec {e}_{0},\;{\vec {f1}=vec {f}_{2}=\cos(\vec {e}_{2}+sin(\ta)\vec {e},{c}_{{1}}}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle t}$q (${\displaystyle r}$) {$displaystyle \theta$=$tq(r)}$ 여기서$$ q는 r의 새로운 미결정 함수이다. 공변 도함수가 사라지도록 요구 사항을 연결하면, 우리는 얻는다.

$\displaystyle \theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)}$

새로운 프레임은 공동 좌표 차트에서는 회전하고 있는 것처럼 보이지만 실제로는 자이로스트화 되어 있습니다.특히, 그림에서 녹색 세계선을 가진 관찰자는 아마도 고정되지 않는 먼지 입자를 타고 있을 것이기 때문에(그렇지 않으면 스핀 스핀 힘은 먼지의 역학에서 명백할 것이다), 그는 실제로 가까운 방사상으로 분리된 먼지 입자가 각 속도 a로 자신의 위치를 시계 방향으로 회전하는 것을 관찰한다.이것은 첫 번째 프레임의 이전 파생에서 발견된 파라미터의 물리적 의미를 설명합니다.

(유아용 메모: 경고 독자는 어느 프레임필드도 축에 제대로 정의되어 있지 않다는 사실을 무시한 것을 알 수 있습니다.단, 온축 옵서버의 프레임을 적절한 단측 제한으로 정의할 수 있습니다.이것은 불연속 프레임필드를 제공하지만 이 섹션에서 설명하는 사고실험을 진행하기 위해서는 온축 옵서버의 월드라인을 따라 프레임을 정의하기만 하면 됩니다.)

위의 그림에서 Null Geodics Spiral이 안쪽으로 들어간다는 점에 주목할 필요가 있습니다.즉, 축상 관찰자는 다른 먼지 입자를 시간적 지연이 있는 위치에서 볼 수 있습니다. 물론 이는 우리가 예상한 것과 같습니다.이 차트에서 null 지오데식스가 "굴곡"으로 보인다는 사실은 물론 먼지 입자의 세계선이 수직 좌표선으로 나타나는 공동 좌표의 인공물이다.

진정한 역설

Van Stockum 분진의 일반적인 사건에 대한 광원뿔을 그려서 (우리의 공동 원통형 차트에서) 모양이 반지름 좌표에 따라 어떻게 달라지는지 알아보겠습니다.

그림과^[which?] 같이 r ${\displaystyle ={}^{}}$ - $({$ r$=a^{-1$에서 원추는 $좌표평면{\displaystyle }$ t${\displaystyle ={t\mathrm{}}_{}}$ 0$({$ t$=t_{0$에 접하며 닫힌 늘곡선(빨간색 원)을 구한다.이것은 null 지오데식(geodic)이 아닙니다.

바깥쪽으로 갈수록 더 큰 반경을 가진 수평 원이 닫힌 시간 곡선임을 알 수 있습니다.이러한 CTC의 역설적인 성질은 반 스토쿰에 의해 처음 지적되었다: 닫힌 시간 곡선을 형성하는 세계선이 분명히 그들의 과거를 다시 방문하거나 영향을 미칠 수 있다.설상가상으로, 그러한 관찰자가 세 번째 생전에 가속을 멈추기로 결정하는 것을 막을 수 있는 것은 아무것도 없다. 이는 그에게 여러 전기를 줄 것이다.

이러한 닫힌 시간적 곡선은 시간적 측지학이 아니기 때문에 역설적인 관측자는 이러한 효과를 경험하기 위해 가속해야 한다.실제로, 우리가 예상한 대로, 이러한 시간적 원들이 임계 $실린더{\displaystyle }$ r ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$- $({$ r$=a^{-1$에 있는 늘 원에 가까워짐에 따라 필요한 가속도가 분산됩니다.

닫힌 시간 모양의 곡선은 일반 상대성 이론의 다른 많은 정확한 해법에 존재하는 것으로 밝혀졌고, 그들의 공통적인 모습은 이 이론에 대한 가장 골치 아픈 이론적인 반대 중 하나이다.그러나, 그러한 반대에 근거해 일반 상대성 이론의 사용을 거부하는 물리학자들은 거의 없다; 오히려 대부분의 물리학자들은 많은 천체물리학적 상황에서 이 이론의 상대적 단순성과 잘 확립된 신뢰성 때문에, 일반 상대성 이론을 사용하는 것이 언제나 타당하다는 실용적인 태도를 취한다.갈릴레이의 운동학이 상대론적 운동학에 의해 "초과"되었다는 것을 잘 알고 있음에도 불구하고, 이것은 많은 물리학자들이 뉴턴 역학을 매일 사용한다는 사실과 다르지 않다.

「 」를 참조해 주세요.

• 먼지 용액
• 괴델 분진 용액

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