사모멘텀

특수 상대성 이론에서 4차원 운동량(운동량 에너지 또는 맘 에너지^[1])은 고전적인 3차원 운동량을 4차원 시공간으로 일반화한 것이다.운동량은 3차원의 벡터이며, 마찬가지로 4모멘텀은 시공간에서 4벡터입니다.상대론적 $에너지$ E와 $3극자$ $p x = (p y,$ $p z,$ p) = $δmv$ 를 갖는 입자의 역변수 4극자는 다음과 같다. $여기$ 서 v는 입자의 3극자이고 $θ$ 로렌츠 인자는 다음과 같다.

(\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\leftflac\frac{E}{c},p_{x},p_y},p_{z}\right).}

위의 $양$ mv는 입자의 일반 비상대론적 $운동량$ 과 m의 휴지질량이다.4모멘텀은 로렌츠 공변 벡터이기 때문에 상대론적 계산에 유용하다.이는 로렌츠 변환에서 변환하는 방법을 추적하는 것이 쉽다는 것을 의미합니다.

위의 정의는 x = $ct$ 라는 $좌표 0$ 규칙에 적용됩니다.일부 저자는 p = E/ $c$ 로² $수정$ 된⁰ 정의를 생성하는 x = $t$ $표기법$ 을⁰ 사용한다.또한 에너지의 부호(또는 선택한 메트릭 시그니처에 따라서는 3 모멘텀의 부호)가 반전되는 공변 4 $모멘텀 μ$ p를 정의할 수도 있습니다.

민코프스키 규범

4모멘텀의 민코프스키 노름 제곱을 계산하면 입자의 적정 질량의 제곱과 동일한 로렌츠 불변량( $광속$ c의 계수까지)을 얻을 수 있다.

\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu}=-{E^{2} \over c^{2}+ \mathbf {p}^{2}=-m^2}c^{2}}

어디에

\displaystyle \eta _{\mu \nu }=syslog {pmatrix}-1&0&0&0\0&0&1&0&1\end {pmatrix}

(-1,

1,

1

, 1,

1

)로 선택된 명확성에 대한 메트릭 시그니처를 가진 특수 상대성 이론의 메트릭 텐서이다.노름의 부정성은 운동량이 거대한 입자의 시대적 4벡터라는 것을 반영한다.또 다른 시그니처 선택은 특정 공식(여기서 표준과 같은)에서 부호를 뒤집습니다.이 선택은 중요하지 않지만, 일단 이루어진 후에는 일관성을 유지하기 위해 계속 유지되어야 합니다.

민코프스키 노름은 로렌츠 불변으로, 로렌츠 변환/부스트에 의해 다른 기준 프레임으로 값이 변경되지 않습니다.보다 일반적으로 2개의 4모멘타 $p$ $및$ q에 대해 p $µq$ 의 $양$ 은 불변이다.

4단과의 관계

질량이 큰 입자의 경우, 4운동량은 입자의 불변 $질량$ m에 입자의 4속도를 곱한 값으로 주어진다.

p^{\mu}=mu^{\mu}

네모난

u가 있는 곳

{\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{3}\right)=\display_{v}\left(c,v_x},v_{y},v_{z}\right})

그리고.

_{v}=syslogfrac {1}{1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}

는 로렌츠 계수(

속도

v와 관련),

c

는 빛의 속도입니다.

파생

4모멘텀의 올바른 표현에 도달하는 방법은 여러 가지가 있습니다.한 가지 방법은 먼저 $4소켓$ $u$ = dx $/ d$ 를 정의하고 p = $mu$ 를 $정의$ 하는 것입니다. 단위가 올바르고 동작이 올바른 4소켓이라는 점에 만족합니다.또 다른, 보다 만족스러운 접근법은 최소 작용의 원칙에서 시작하여 ^[2]라그랑주 프레임워크를 사용하여 에너지 표현을 포함한 4가지 모멘텀을 도출하는 것이다.아래에 자세히 설명된 관측치를 사용하여 동작 $S$ 에서 4개의 모멘텀을 정의할 수 있다. 일반적으로 일반화 $좌표 i$ q와 표준 $모멘텀 i$ ^[3]p를 갖는 닫힌 계에 대해,

{\displaystyle p_{i}=parial frac {\partial q_{i}}=parial e=-{\frac {\partial t}=c\cdot {\frac {\partial x_0}},

즉, 다음과 같다(

현재 0

메트릭 규칙에 따르면 x =

ct

,

x 1

=

x

,

x 2

=

x

, x = y,

x 3

=

z

및

x 0

=

-x 0 1

,

x 2 3

=

x 1 2

, x =

x 3

).

p_{\mu}=-{\frac {\partial x^{\mu }}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)

는 3차원 부분이 표준 운동량의 음수인 공변 4차원입니다.

관찰.

처음에는 $자유도$ 가 1개인 시스템을 고려합니다.해밀턴의 원리를 사용하여 작용으로부터 운동 방정식을 도출할 때, 사람들은 (일반적으로) 작용의 변화를 위한 중간 단계에서 찾는다.

(\displaystyle \displaystyle S=\왼쪽).\left[{\frac {\partial L}{\delta q}}\right_{t_{2}}+\int_{t_{1}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{frac} {\fright}

그러면 다양한 경로가 $δq (t 1)$ = $δq (t 2)$ = $0$ 을 만족한다는 가정 하에 라그랑주 방정식이 동시에 뒤따른다.운동방정식이 알려진 경우(또는 단순히 충족된 것으로 가정할 경우) $요구사항 δq 2 ($ t) = $0$ 을 놓을 수 있다. 이 경우 경로는 운동방정식을 충족하는 것으로 가정되며 작용은 적분 상한 $δq (t 2)$ 의₂ 함수이지만 t는 여전히 고정된다.위의 방정식은 S = $S (q)$ 가 $되고$ , $δq (t 2)$ = $δq$ 를 정의하며, 더 많은 자유도를 허용한다.

\displaystyle \sum S=\sum _{i}{\frac L}{\partial {dot {q}_{i}}\sum q_{i}=\sum _{i}\sum p_{i}\sum q_{i}.}

그것을 관찰하면

\sum S=\sum _{i}{\frac {\partial {q}_{i}}\displaystyle q_{i}

결론짓다

(\displaystyle p_{i}=syslogfrac{\partial q_{i}})}

유사한 방법으로 끝점을 고정하되 $t$ = 변동하지 않도록 $합니다 2$ .이번에는 시스템이 "임의 속도" 또는 "더 적거나 적은 에너지"로 구성 공간을 이동할 수 있도록 허용되며, 필드 방정식은 여전히 적분에 대해 유지되고 변동이 수행될 수 있지만 대신 관찰됩니다.

{\displaystyle\frac{dS}{dt}}=L}

미적분학의 기본정리에 의해.위의 식을 사용하여 표준 모멘타에 대해 계산하십시오.

{frac {dS} {dt} = flac {\partial t} + \sum _{i} {\frac {\partial S} {\dot {q} {\dot} = partial t} + \ sum _ ip } { dot }

현재 사용 중

H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}_{i}-L,

여기

서 H는 해밀턴이며, 이 경우 E =

H

이므로

다음

과 같이 된다.

(\displaystyle E=H=-{\frac S}{\partial t}).}

그런데, p에 H= H(q, p, t)을 사용하여).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sf.상기 등식에 Rac.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂S/∂q은 Hamilton–Jacobi 방정식을 산출한다.이 맥락에서 $S$ 는 해밀턴의 주요 함수라고 불린다.

S가 실행하는 $액션$

{\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}},

여기

서 L은 자유입자에 대한 상대론적 라그랑지안이다.여기서부터

이런 세부사항을 얼버무리고

동작의 변형은 다음과 같습니다.

(\displaystyle \displaystyle S=-mc\int \display ds)

" $ds$ "를 계산하려면 먼저 " $ds 2$ = $2ds$ "ds 및

\displaystyle \mu ds^{2}=\display \eta _{\mu }display^{\mu }display^{\mu }=\eta _{\mu }\left(\displaystyle \mu }\displaystyle \nu {\nu }\right)\display ={\mu }\nu }display } = {\left } } left left } left } = } }

그렇게

\displaystyle \mu ds=\eta _{\mu \nu }\frac {\frac {\nu }}{ds}=\eta _{\mu \nu }d\frac {\frac {\nu }}{\frac x^{\nu }}{ds}}}

또는

\displaystyle \mu ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\frac x^{\mu }}{d\frac }{\frac {\nu }}{cd\flac }}}d\frac,

그래서

\displaystyle \mu\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\frac x^{\mu }}{d\frac }{\frac }{d\nu }}}{d\frac =-mu\int \eta _{\frac x}}{\frac }} {\frac } {\nu }}

그건 그냥

\displaystyle S=\left [-mu_{\mu}\right]_{t_{1}+m\int_{t_{2}}\display x^{\mu}{\frac {du_{\mu}}{ds}}

\displaystyle S=\left[-mu_{\mu }\right]_{t_{1}+m\int_{t_{2}}\display x^{\frac {dsu_{\mu}}\dsu_{\mu}\mu

여기서 두 번째 단계는 위의 관측치에서와 같이 $필드 μ$ 방정식 $du$ / $ds$ = 0, ( $126x μ) t 1$ = $0$ 및 ( $126x μ) t 2 θθx$ 를^μ 사용합니다.이제 마지막 세 가지 식을 비교하고

{\displaystyle p^{\mu}=-\frac ^{\frac S}{\partial x_{\mu}}=m\leftfrac {c}{\fracrt {1-{\frac {v^{2}}{\frac}{\frac}}}, {\frac}.

norm 22

-mc, 그리고 상대론적 에너지로 유명한 결과를 얻으면

$E=mc^{2}}{\displayrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{r}c^{2}$

$여기$ 서_r m은 이제 유행하지 않는 상대론적 질량이다.운동량과 에너지 표현들을 직접 비교함으로써 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {p} = E{\frac {mathbf {v}}{c^{2}}},$

질량이 없는 입자에도 견딜 수 있습니다.에너지와 3모멘텀에 대한 표현들을 제곱하고 그것들을 연관시키면 에너지와 모멘텀의 관계를 얻을 수 있다.

${E^{2}} {c^{2}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}c^{2}.$

대체

p_{\mu}\왼쪽 화살표 -{\frac {\partial x^{\mu }}

노름에 대한 방정식에서 상대론적 해밀턴-제이코비 ^[4]방정식을 제공한다.

$\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\frac {\frac S}{\partial x^{\nu }}=-m^{2}c^{2}.}$

라그랑지안으로부터 직접 결과를 도출하는 것도 가능하다.정의상^[5]

\displaystyle \mathbf {p} & = partial \mathbf {v} } = \ left l \over l \ over \ dot {x}, { \ language L \over \ dot { y}, { \ dot {z}}, {\ langu L \over \ m} = right flangupport l \ frack { m}E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} - L=mcfrac {mc^{2}} {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}},\end{aligned}}}}

폐쇄형(시간 독립형) 라그랑지안 시스템의 표준 운동량과 에너지에 대한 표준 공식을 구성합니다.이 접근방식에서는 에너지와 모멘텀이 4벡터의 일부라는 것이 명확하지 않습니다.

에너지와 3모멘텀은 라그랑지안 프레임워크의 고립된 시스템에 대해 별도로 보존된 양이다.따라서 사모멘텀도 보존됩니다.자세한 것은, 이하를 참조해 주세요.

보다 보행자적인 접근법에는 전기역학에서 ^[6]예상되는 동작이 포함된다.이 접근법에서 시작점은 입자의 나머지 프레임에서 로렌츠 힘의 법칙과 뉴턴의 제2법칙을 적용하는 것입니다.전하의 불변성을 포함한 전자기장 텐서의 변환 특성은 실험실 프레임으로 변환하는 데 사용되며, 결과 표현식(다시 로렌츠 힘 법칙)은 뉴턴의 제2법칙의 정신으로 해석되어 상대론적 3운동량에 대한 올바른 표현으로 이어진다.단점은 물론 그 결과가 전하를 불문하고 모든 입자에 적용되는지, 그리고 완전한 4 벡터를 만들어내지 못한다는 것입니다.

또한 전자기기를 피하고 잘 훈련된 물리학자들이 당구공을 던지고 속도 가산 공식에 대한 지식을 활용하고 ^[7]^[8]운동량을 보존하는 것과 관련된 잘 조정된 사고 실험을 사용할 수 있다.이것 역시 3벡터 부분만 제공한다.

사모멘텀의 보존

위와 같이 세 가지 보존 법칙이 있습니다(독립되어 있지 않습니다.마지막 두 가지는 첫 번째 법칙을 의미하며, 그 반대도 마찬가지입니다).

$4-모멘텀$ p(공변량 또는 반변량)는 보존됩니다.
총 $에너지$ E = $pc$ 가⁰ 절약됩니다.
3공간 $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ $=$ ( $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ , $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ p $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ , $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ p 3) $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ \ $mathbf$ {p} $=\left(p^{1},p^{2},p^{3$ }\right $))$ 는 $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ 보존됩니다(기존의 비유전적 $m\mathbf {v}$ $m\mathbf {v}$ v $m\mathbf {v}$ { $displaystyle$ m\ $mathbf$ { $v}}$ 와 혼동하지 마십시오).

입자 시스템의 불변 질량은 입자 중심 프레임의 운동 에너지와 입자 사이의 힘에 의한 위치 에너지가 불변 질량에 기여하기 때문에 입자의 정지 질량의 합보다 클 수 있습니다.예를 들어 4모멘타(5GeV/c, 4GeV/c, 0, 0)와 (5GeV/c, -4GeV/c, 0, 0)의 2개의 입자는 각각 (나머지)질량 3GeV/c를² 가지지만 총질량(계질량²)은 10GeV/c이다.만약 이 입자들이 충돌하여 달라붙는다면, 복합 물체의 질량은 10 GeV/c가² 될 것입니다.

불변질량 보존에 대한 입자물리학의 실용적 적용 중 하나는 무거운 입자의 붕괴에서 생성된 두 딸 입자의 $4모멘타 A C$ $p$ 와_B p를 결합하여 무거운 입자의 질량을 구하는 것이다.4원자를 $보존$ 하면_A^μ p = $p B μ$ + $p$ 가_C^μ 되고, 무거운 $입자$ 의 질량 $M$ 은_C $-P C$ = $P 22$ = Mc가 되며, 딸 입자의 에너지와 3원자를 측정하면 M과 $같아야$ 하는 2원자의 불변 질량을 재구성할 수 있다.이 기법은 예를 들어 고에너지 입자 충돌기에서 Z-보손에 대한 실험 탐색에 사용된다. 여기서 Z-보손은 전자-양전자 또는 뮤온-안티뮤온 쌍의 불변 질량 스펙트럼에서 범프로 나타난다.

물체의 질량이 변하지 않으면 그 4모멘텀과 대응하는 $4가속 μ$ A의 민코프스키 내적은 0이 된다.4가속도는 4모멘텀을 입자의 질량으로 나눈 적절한 시간 미분에 비례합니다.

p^{\mu }A_{\mu }p^{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\frac}}{\frac {p^{\nu}}}{mac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{mu}{mu}{mu}{frac}}{\frac}{\frac}{\nu}}{\frac}

전자기 전위가 존재하는 경우의 표준 운동량

$하전$ 입자 q의 경우, 전자파 4전위에 의해 주어진 전자장 내에서 이동:

A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x}).A_{y}, A_{z}\right)

여기서

δ

는 스칼라 전위,

A

= (

A x, A y

,

A z)

벡터 전위, (게이지-전위제가 아닌) 표준 운동량

4차원

P의 성분은 다음과 같다.

P^{\mu}=p^{\mu}+qA^{\mu}

이것은, 차례로, 상대론적 양자 역학에서, 정전위에서의 하전 입자의 위치 에너지와 자기장 내에서 움직이는 하전 입자에 대한 로렌츠 힘이 콤팩트하게 통합될 수 있도록 합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Taylor, Edwin; Wheeler, John (1992). Spacetime physics introduction to special relativity. New York: W. H. Freeman and Company. p. 191. ISBN 978-0-7167-2327-1.
^ Landau & Lifshitz 2002, 페이지 25-29 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFLandauLifshitz 2002 (도움말)
^ Landau & Lifshitz 1975, 139페이지
^ Landau & Lifshitz 1975, 30페이지
^ Landau & Lifshitz 1975, 15-16페이지
^ Sard 1970, 섹션 3.1
^ Sard 1970, 섹션 3.2
^ 루이스 & 톨먼 1909 Wikisource 버전

Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2nd ed.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated from Russian by J. B. Sykes and J. S. Bell. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2000). The classical theory of fields. 4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.
Lewis, G. N.; Tolman, R. C. (1909). "The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics". Phil. Mag. 6. 18 (106): 510–523. doi:10.1080/14786441008636725. Wikisource 버전

[1] Taylor, Edwin; Wheeler, John (1992). Spacetime physics introduction to special relativity. New York: W. H. Freeman and Company. p. 191. ISBN 978-0-7167-2327-1.

[2] Landau & Lifshitz 2002, 페이지 25-29 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFLandauLifshitz 2002 (도움말)

[3] Landau & Lifshitz 1975, 139페이지

[4] Landau & Lifshitz 1975, 30페이지

[5] Landau & Lifshitz 1975, 15-16페이지

[6] Sard 1970, 섹션 3.1

[7] Sard 1970, 섹션 3.2

[8] 루이스 & 톨먼 1909 Wikisource 버전

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