가속(특수 상대성)

특수 상대성(SR)에서의 가속은 뉴턴 역학에서와 같이 시간에 관한 속도의 분화에 의해 뒤따른다. 로렌츠 변환과 시간확장 때문에 시간과 거리의 개념이 더욱 복잡해지고, 이 때문에 '가속'에 대한 정의도 더욱 복잡해진다. 일반 상대성(GR)은 에너지-모멘텀 텐서(주로 질량에 의해 결정되는)에 의해 야기되는 스팩타임의 곡면성이 있을 때만 필요하기 때문에 플랫 민코프스키 스팩타임의 이론으로서의 SR은 가속도의 존재에서도 유효하다. 단, 지구나 그 근방에서 스페이스타임 곡률의 양이 특별히 높지 않기 때문에, SR은 입자 가속기의 실험과 같은 가장 실용적인 목적에 대해 유효하다.^[1]

외부 관성형 기준 프레임에서 측정된 3개의 공간 차원(3 가속도 또는 좌표 가속도)에서 일반 가속도에 대한 변환 공식을 도출할 수 있을 뿐만 아니라, 혼합 가속도계에 의해 측정된 적절한 가속도의 특별한 경우를 도출할 수 있다. 또 다른 유용한 형식주의는 로렌츠 변환에 의해 그 구성요소가 서로 다른 관성 프레임으로 연결될 수 있기 때문에 4-가속이다. 또한 가속과 힘을 연결하는 운동 방정식을 만들 수 있다. 신체의 여러 형태의 가속과 그 굴곡진 세계선에 대한 방정식은 통합에 의한 이러한 공식에서 따온 것이다. 잘 알려진 특별한 경우는 일정한 세로 방향의 적절한 가속이나 균일한 원형 운동을 위한 쌍곡선 운동이다. 결국 이러한 현상을 특수 상대성 맥락에서 가속 프레임으로 설명할 수도 있다. 자세한 내용은 적절한 기준 프레임(평평평한 시간)을 참조하십시오. 그러한 프레임에서, 일반 상대성에서 곡선 스페이스타임의 실제적이고 비균형적인 중력장과 일부 형식적인 유사성을 갖는 동종 중력장과 유사한 효과가 발생한다. 쌍곡선 모션의 경우 린들러 좌표를 사용할 수 있고, 균일한 원형 모션의 경우 Born 좌표를 사용할 수 있다.

역사적 전개와 관련해서는 맥스 폰 라우에(1911, 1921)^[2]나 볼프강 파울리(1921)의 초기 교과서에 요약된 것처럼 가속도를 포함한 상대론적 방정식은 상대성 초기에도 이미 찾아볼 수 있다.^[3] 예를 들어, 움직임과 가속 변환의 방정식 핸드릭 안톤 로렌츠의 신문 앙리 푸앵카레(1905년),(1899년, 1904)[H1][H 2]에서 개발되었다.[H 3][H4]알버트 아인슈타인은(1905년),.[H5]막스 플랑크(1906년),.[H6]과four-acceleration, 적절한 가속, 과장된 동작, 가속화되고 참조 프레임'강성, 아인슈타인은(1907년),에 의해서 분석되었다.[H 7] 헤르만 민코프스키(1907, 1908),^{[H 8][H 9]} 맥스 보른(1909),^{[H 10]} 구스타프 헤르글로츠(1909),^{[H 11][H 12]} 아놀드 소머펠트(1910),^{[H 13][H 14]} 폰 라우에(1911),^{[H 15][H 16]} 프리드리히 코틀러(1912, 1914)는 역사에 관한 섹션을 참조한다.^{[H 17]}

삼가속도

In accordance with both Newtonian mechanics and SR, three-acceleration or coordinate acceleration ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$ is the first derivative of velocity ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y$위치 $r{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \text{y}}$, ${\displaystyle \text{z}}$)의 두 번째 파생 모델 또는 조정 시간 관련$$ 위치 r = ( x , y , z ) ${\$에 대한 조정 시간$$$:$

${\displaystyle \mathbf{a}}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ d ${\displaystyle \frac{t}{}}$= ${\displaystyle d\frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u}}{dt}}}={\frac {d^{2}\mathbf$ {r$}{d^{r}}{dt^{2$

그러나 서로 다른 관성 프레임에서 측정된 세 가속도 사이의 관계에 있어 이론들의 예측은 극명하게 다르다. 뉴턴 역학에서 시간은 갈릴리식 변환에 ${\displaystyle \mathrm{따라}}$ t${\displaystyle {}^{}=}$ = t ${\displaystyle$ t$'=t}$에 의해 절대적이므로, 그로부터 파생된 3-가속도는 모든 관성 프레임에서 역시 동일하다.^[4]

${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

반대로 SR에서는 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이(가) 모두 로렌츠 변환에 따라$$ 달라지므로,$${\$displaystyle \mathbf$ {$a}$도 3회 가속하며 그 구성요소는$$ 관성 프레임에 따라 다르다. 프레임$$ 사이의 상대 속도를 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle v_{}}$ x ${\$ $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$= ${\displaystyle 1\sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$/ c ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$v}/{$1-v^{2}}:$ 로렌츠 인자로 로렌츠 변환의 형태를 띤다.

${\displaystyle {\begin{array}{c c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\z&=\t&=\cHB _{v}\left('t+'){c^{2}}x'\right)\ended{aigned}\end{array}}}}}$

(1a)

또는 임의의 $속도{\displaystyle \mathbf{}}$v${\displaystyle }$= (${\displaystyle v_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{v}{}_{}{y}_{}}$ , ${\displaystyle \text{v}{}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$)$${\$displaystyle \mathbf {v} =\왼쪽(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$의 크기 ${\displaystyle v\mathbf{}}$= v = ${\displaystyle \mathbf {v$^[5]

${\displaystyle {\r\cdot v}{c}{c}{\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \좌측[{\frac(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}}{v^{2}}\{v^{1}-1\right)\t'+t'+t'+t'+t'\t&=\red_{v}\frac(t'){{v}\mathbf{r'\cdot v}}{c^{2}}}\riged}}}\end{array}}$

(1b)

3-가속성의 변형을 알아내기 위해서는 로런츠 $변환$의 $공간좌표{\displaystyle \mathbf{}}$ r ${\$$\mathbf$ ${$$r}$과$($와) t ${\displaystyle t}$과$($와) t ${\$과${\displaystyle {}^{}}$와)의 변형을 구별해야 한다.$u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) $u{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ $′$ {\$displaystyle \mathbf$ {u$}$ 사이의 리-트리거(속도 측정 공식이라고도 함)가$$$$ 뒤따르며,$$결국 t {\$displaysty$ $t}$과($와{\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyt}$ 사이의 3각 변환에 대한 또 다른 차별화$aystyle \mathbf {a}$과(와) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) 그 뒤를$$ 잇는다. (1a)부터 시작하여, 이 절차는 가속도가 속도에 평행(x방향) 또는 수직(y-, z-방향)인 변환을 제공한다.^{[6][7][8][9][H 4][H 15]}

${\displaystyle{\begin{배열}{cc}{\begin{정렬}a_{)}^{\prime}&, ={\frac{a_{)}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)^{3}}}\\a_{y}^{\prime}&, ={\frac{a_{y}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)^{2}}}+{\frac{a_{)}{\frac{u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)^{3}}}\\a_{z}^{년.총리}&={\frac{a_{z}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)^{2}}}+{\frac{a_{)}{\frac{u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)^{3}}}\end{정렬}}&{\begin{정렬}a_{)}&, ={\frac{a_{)}^{\prime}}{\gamma_{v}(1+{\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&, ={\frac{a_{y}^{\prime}}.{\gamma_{v}^ᆫ\left(1+{\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac{a_{)}^{\prime}{\frac{u_{y}^{\prime}v}{c^{2}}}}{\gamma_{v}(1+{\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&, ={\frac{a_{z}^{\prime}}{\gamma_{v}(1+{\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac{a_{)}^{\prime}{\frac{u_{z}^{\prime}v}{c^{2}}}.}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\premy }{c^{2}}}\오른쪽)^{3}}}\end{aigned}\end{array}}}}}}}}}}}$

(1c)

또는 (1)b부터 시작하는 이 절차는 속도 및 가속도의 임의 방향의 일반적인 경우에 대한 결과를 제공한다.^[10][11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _ᆮ^ᆯ\left(1-{\frac{\mathbf{v\cdot 너}}{{2}}}\right c^)^{3}}}+{\frac{\mathbf{(a\cdot v)u}}{c^{2}\gamma _ᆳ^ᆴ\left(1-{\frac{\mathbf{v\cdot 너}}{{2}}}\right c^)^{3}}}\\\mathbf{를}&={\frac{\mathbf{}의}{\gamma_{v}(1+{\frac{\mathbf{v\cdot 너}'}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac{\mathbf{(va'\cdot)v}\left(\gamma. _{v}-1\오른쪽)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}}$

(1d)

즉, 상대 $속도{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$을(를) $가진{\displaystyle }$ 관성 프레임 S {\$displaystyle$ S$}$과(와) $S{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ S$}$이(가$)$ $있는{\displaystyle \mathbf{}}$ 경우$,$ $순간$ 속도 u {\displaystyle$\mathbf$$${$u}$을(가) $가진$ 개체의 가속도가 ${\$d)가 {}인 경우 측정된 반면, $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle S'$에서 동일한$$ 물체는 $가속도$가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$인 반면, $순간{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 속도 u$\$ {\$displaystyle \mathbf$ {$u}$인 반면$,$ 이러한 가속 변환은 가속 오베의 결과 속도를 보장한다.ct는 결코 빛의 속도에 도달하거나 뛰어넘을 수 없다.

4가속도

If four-vectors are used instead of three-vectors, namely ${\displaystyle \mathbf {R} }$ as four-position and ${\displaystyle \mathbf {U} }$ as four-velocity, then the four-acceleration ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},$$\ A_{y},\ A_{z}\오른쪽)=\왼쪽(A_{t},\\\mathbf {A} _{r}\$mathbf {\$tau$$}}$은(^[12][13][14]는) 좌표 시간 대신$$ 적절한 시간 $\tau {\displaystyle }$ ${\$에 대한 분화를 통해 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}}$

(2a)

where ${\displaystyle \mathbf {a} }$ is the object's three-acceleration and ${\displaystyle \mathbf {u} }$ its momentary three-velocity of magnitude ${\displaystyle \mathbf {u} =u}$ with the corresponding Lorentz factor ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c$$^{2$ 공간 부분만 고려하며, 속도가 x $방향$으로${\displaystyle }$u = ${\displaystyle u_{}}$ = u =$$u = {\$displaystyle u=u_{x}}$에 의해 지시되고$$ 속도에 평행(x 방향) 또는 직각(y-, z-방향)만 고려되면, 표현은 다음과 같이 감소한다.^[15][16]

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\\gamma ^{2}, 오른쪽)}$

앞에서 설명한 3회 가속과는 달리 4회 가속을 위한 새로운 변환을 도출할 필요는 없다. 왜냐하면 모든 4개 벡터와 마찬가지로 $상대{\displaystyle \mathbf{}}$ 속도 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\mathbf {A}$과 $A{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\${$A}$의 구성 요소는 연결로 되어$$ 있기 때문이다.(1a, 1b)와 유사한 로렌츠 변환에 의해 테드된다. Another property of four-vectors is the invariance of the inner product ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$ or its magnitude ${\displaystyle \mathbf {A} ={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$, which gives in this case:^[16][13][17]

${\displaystyle \mathbf {A} ' = \mathbf {A} ={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$.

(2b)

적정가속

극소수의 작은 기간에는 항상 하나의 관성 프레임이 존재하는데, 관성 프레임은 순간적으로 가속된 본체와 동일한 속도를 가지며 로렌츠 변환이 유지된다. ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 프레임에서$$ 해당하는 3 가속도 a $0{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$= ${\displaystyle ({\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$ y ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle \text{z}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$) ${\$은 가속도계에 의해 직접 측정할 수 있으며 적절한 가속도^{[18][H 14]} 또는 정지 가속도라고 불린다.^{[19][H 12]} The relation of ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ in a momentary inertial frame ${\displaystyle S'}$ and ${\displaystyle \mathbf {a} }$ measured in an external inertial frame ${\displaystyle S}$ follows from (1c, 1d) with ${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$, ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$, ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ and ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$. So in terms of (1c), when the velocity is directed in the x-direction by ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$ and when only accelerations parallel (x-direation) 또는 속도에 대한 수직(y-, z-방향)이 고려되며, 다음과 같다.^{[12][19][18][H 1][H 2][H 14][H 12]}

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}{\begin{정렬}a_{)}^{0}&, ={\frac{a_{)}}{\left(1-{\frac{{2}}u^{{2}}c^}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&, ={\frac{a_{y}}{1-{\frac{{u^ 2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&, ={\frac{a_{z}}{1-{\frac{{u^ 2}}{c^{2}}}}}\end{정렬}}&{\begin{정렬}a_{)}&, =a_ᆾ^ᆿ\left(1-{\frac{{2}}u^{{2}}c^}\right)^{3/2}\\a_{y}&.앰프, =a_{y}^{0}\left(1-{)프락{u^{2}}:{c^{2}}\\오른쪽)\\a_{z}&, =a_ᆬ^ᆭ\left(1-{\frac{{2}}u^{{2}}c^}\right)\end{정렬}}&{\text{또는}}&{\begin{정렬}\mathbf{를}^{0}&, =\mathbf{를}\left(\gamma ^{3},\\gamma ^{2},\\gamma ^{2}\right)\\\mathbf{를}&=\mathbf{\mathbf{}}^ᆶ\left({\frac{1}{\gamma ^{3}}},\{\frac{1}{\gamma ^{2}}},\{\frac{1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{정렬}}\e.nd{배열}}}$

(3a)

크기 ${\displaystyle u\mathbf{}}$ = u ${\displaystyle \mathbf$$${$u}$}의 임의 방향에 대해 (1d) 일반화$:$^[20][21][17]

${\displaystyle {\regated}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} +{{{0}\mathbf {a} \cdot \mathbf {u}}{u^{2}}}\{u^\1\오른쪽]\\\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

4가속도의 규모와도 밀접한 관계가 있다. As it is invariant, it can be determined in the momentary inertial frame ${\displaystyle S'}$, in which ${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$ and by ${\displaystyle dt'/d\tau =1}$ it follows ${\displaysty$$le^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\premy }=0}$^{[19][12][22][H 16]}:

$displaystyle$$\mathbf {A}$$\mathbf {a} ^{0}\right.$$^{2}}}= \mathbf {a}$^{$0}$ $\}$ .

(3b)

따라서 4가속도의 크기는 적절한 가속도의 크기에 해당한다. 이것을 (2b)와 결합하면, $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle S$$'$의 $0{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$ $\$$mathbf {a} ^0}$과(와^[13][17]) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 {\$displaystyle$ \$mathbf {a}$ 사이의 연결을 결정하는 대체 방법이 주어진다$$.

${\displaystyle \mathbf {a} ^{0} = \mathbf {A} ={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

여기서 (3a)는 속도가 x 방향으로 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$에 의해 지시되고$$ 속도에 평행(x 방향) 또는 직각(y-, z-방향)인 가속만 고려될 때 다시 나타난다.

가속 및 힘

일정한 질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) 가정할 때$,$ $3-포스{\displaystyle \mathbf{}}$ f$${\$displaystyle \mathbf {F}$의 함수로서$$ 4-포스 $F{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$displaystyle$\mathbf${F} {$F}$의 $함수$인 4-가속력 F $displaysty$ \$mathbf$ {$A}$과 관련이 있다$$$.$^[23][24]

${\displaystyle \mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)}$

(4a)

속도 임의방향에 대한 3-힘과 3-가속과의 관계는 다음과^[25][26][23] 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(4b)

속도가 x 방향으로 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$에 의해 방향을 설정하고 속도에 평행(x 방향) 또는 수직(y-, z-방향) 가속만 고려하는^{[27][26][23][H 2][H 6]} 경우

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}{\begin{정렬}f_{)}&, ={\frac{ma_{)}}{\left(1-{\frac{{2}}u^{{2}}c^}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&, ={\frac{ma_{y}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&, ={\frac{ma_{z}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}\end{정렬}}&{\begin{정렬}a_{)}&, ={\frac{f_{)}}{m}}\left(1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}\righ.t=^{3/2}\\a_{y}&^{\fRac{f_{y}}{m}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&, ={\frac{f_{z}}{m}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}\end{정렬}}&{\text{또는}}&{\begin{정렬}\mathbf{f}&=m\mathbf{를}\left(\gamma ^{3},\ \gamma,\ \gamma \right)\\\mathbf{를}&={\frac{\mathbf{f}}{m}}\left({\frac{1}{\gamma ^{3}}},\{\frac{1}{\gamma}},\{\frac{1.}{\gamma}}\right)\end{aigned}}\end{array}}$

(4c)

따라서 질량을 3-힘과 3-가속 비율로 정의하는 뉴턴의 정의는 SR에서 불리하다. 왜냐하면 그러한 질량은 속도와 방향에 모두 의존하기 때문이다. 결과적으로, 오래된 교과서에 사용된 다음과 같은 질량 정의는 더 이상 사용되지 않는다.^{[27][28][H 2]}

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {\Vert }_{}}$= ${\displaystyle f\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$= m ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ $\$ 3 {\$displaystyle m_${\Vert$}={\frac {f_{$x}}}}{$a_{x}}}}}=m\감마 ^3}}$은(는) "종도 질량"으로$$,

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {\perp }_{}}$= f ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$= ${\displaystyle f\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$z = ${\displaystyle m}$ = m$${\$displaystyle m_${\perp$}={\frac {f_{y}}{a_{$z}}}={\$frac {f_}}{z}}}}}=m\$m\$cs }}}}}}}}$을(") "max mass"로$$ 한다.

3-가속과 3-힘 사이의 관계(4b)도 운동^{[29][25][H 2][H 6]} 방정식을 통해 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$

(4d)

여기서 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 3각형이다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 $f{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) F $f{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$${\$$displaystyle$ {\$displaystyle S'$의 f {\$displaystyle$ ${\displaystyle {\backslash }^{}}$$mathbf {f} '}$ 사이에 해당하는 3강도의 변환($$프레임 사이의 상대 속도가 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle v_{}}$ = v=v = v$=$v_$$${x})$ccelerations parallel (x-direction) or perpendicular (y-, z-direction) to the velocity are considered) follows by substitution of the relevant transformation formulas for ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle m\gamma }$, ${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$, 또는 로렌츠가 4-힘의 구성요소를 변환하여 다음과 같은 결과를 얻는다.^{[29][30][24][H 3][H 15]}

${\displaystyle{\begin{배열}{cc}{\begin{정렬}f_{)}^{\prime}&, ={\frac{f_{)}-{\frac{v}{c^{2}}}(\mathbf{f}\cdot{너}\mathbf)}{1-{\frac{u_{)}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime}&, ={\frac{f_{y}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)}}\\f_{z}^{\prime}&, ={\frac{f_{z}}{\gamma_{v}(1-{\frac{u_{x}v}{{2}}}\right c^)}}\end{권투 선수 muhammedali는.gned}}&,{\begIn{정렬}f_{)}&, ={\frac{f_{)}^{\prime}+{\frac{v}{c^{2}}}(\mathbf{f}^{}\prime\cdot \mathbf{너}^{\prime})}{1+{\frac{u_{)}^{\prime}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&, ={\frac{f_{y}^{\prime}}{\gamma_{v}(1+{\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&, ={\frac{f_{z}^{\prime}}{\gamma_{v}\left(1+{\frac{u_{)}^{\prime}v}{c^{2}}}\right.)}}\end{alig네드}\end{array}}}$

(4e)

또는 $크기{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$= ${\displaystyle v}$ = v {\$displaystyle \mathbf$ {$u$의 임의 방향과$$v {\$displaystyle \mathbf$ {$v$$}$의 v ${\displaystyle \mathbf {v}$ $=$} $:$^[31][32]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{f}'&, ={\frac{{\frac{\mathbf{f}}{\gamma_{v}}}-\left\{(\mathbf{f\cdot 너}){\frac{{2v^}}{c^{2}}}-(\mathbf{f\cdot v})\left(1-{\frac{1}{\gamma_{v}}}\right)\right\}{\frac{\mathbf{v}}{v^{2}}}}{1-{\frac{\mathbf{v\cdot u}}{c^{2}}}}}\\\mathbf{f}&={\frac{{\frac{\mathbf{f}의}{\gamma_{v}}}+\.left\{()mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

(4f)

적절한 가속 및 적절한 힘

혼합 스프링 밸런스로 측정한 순간 관성 프레임에서$$ 힘 $f{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) 적절한 힘이라고 할 수 있다.^[33][34] It follows from (4e, 4f) by setting ${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$ and ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ as well as ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ and ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$. 따라서 (4e)에서는 ${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$ x = ${\displaystyle v_{}}$ = v =$$v x {\$displaystyle u=u_{$x}=$v=v$=v_{x$}}}}}}$과(와) 평행 또는 직각(y-, z-방향)만 고려한다$$.^[35][33][34]

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}{\begin{정렬}f_{)}^{0}&, =f_{)}\\f_{y}^{0}&, ={\frac{f_{y}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&, ={\frac{f_{z}}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}\end{정렬}}&{\begin{정렬}f_{)}&, =f_{)}^{0}\\f_{y}&, =f_{y}^{0}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&, =f_{z}^{0}{\sqrt{1-{년.frac{u^{2}}{c^{2}}}}}\end{ligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

(5a)

크기 ${\displaystyle u\mathbf{}}$ =${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf$$${$u}$}의$$ 임의 방향에 대해 (4f) 일반화$:$^[35][36]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Since in momentary inertial frames one has four-force ${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$ and four-acceleration ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$, equation (4a) produces the Newtonian relation ${\displaystyle {\mathbf{f}}^0=m{\mathbf{a}}^0}$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a}$$^0},$ 따라서 (3a, 4c, 5a)를 요약할^[37] 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\mathbf ^{3}}\\ \required}\\required}}$

(5b)

그에 의해 횡단 질량 $⊥{\$의 역사적 정의에 나타난 명백한 모순을 설명할$$ 수 있다.^[38] 아인슈타인(1905)은 3 가속도와 적절한 힘의 관계를 설명했다^{[H 5]}.

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$,

로렌츠(1899년, 1904년)와 플랑크(1906년)는 3가속과 3가속과의^{[H 2]} 관계를 기술하였다.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {\perp }_{}}$ ${\displaystyle {\text{L}\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \frac{f_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ y${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$= f ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{z_{}}{}}$ = z = m${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\gamma }$ ${\displaystyle m_{\perp \mathrm {Lorentz}}}={\frac {f_{y}}{$a_${z}}}}={a_{z}}}}=mgamma$ $\}.$

곡선 세계선

운동 방정식의 통합에 의해 순간 관성 프레임의 순서에 해당하는 가속체의 곡선 세계선을 얻는다(여기서,"커브드"라는 표현은 일반 상대성의"커브드"스페이스타임과 혼동해서는 안 되는 민코프스키 다이어그램의 세계선의 형태와 관련이 있다). 이와 관련하여, 클록 체계의 이른바 클록 가설을 고려해야 한다.^[39][40] 시계의 적절한 시간은 가속도와 무관하며, 즉 외부 관성 프레임에서 볼 수 있는 이러한 시계의 시간 확장은 그 프레임에 대한 상대 속도에만 의존한다. 현재 적절한 가속을 위해 등식(3a)의 통합에 의해 곡선 월드 라인의 두 가지 간단한 사례가 제공된다.

a) 쌍곡 운동: ${\displaystyle {일정}_{}^{}}$한 세로 방향의 적절한 가속도 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$^3$}$x$$)는 월드 라인으로^{[12][18][19][25][41][42][H 10][H 15]} 이어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&, t(\tau)={\frac{c}{\alpha}}\sinh{\frac{\alpha)}{c}},\quad x(\tau)={\frac{{2c^}}{\alpha}}\left(\cosh{\frac{\alpha \tau}{c}}-1\right),\quady=0,\quad z=0,\\&, \tau(t)={\frac{c}{\alpha}}\ln \left({\sqrt{1+\left({\frac{\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac{\alpha지}{c}}\right),\quad x(t)={\frac{c^.{2}}{\alpha }}\left \sqrt {1+\left\fract\{c}\오른쪽)^{2}}-1\오른쪽)\end{aigned}}}$

(6a)

월드 라인은 쌍곡 방정식 ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ $4{\displaystyle {}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}{\alpha \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$+ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$/ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\$ c$^{4}/\alpha ^{2}=\좌측(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2$}}에 해당하며$,$ 여기서 쌍곡선이라는 이름이 파생된다. 이러한 방정식은 트윈 패러독스나 벨의 우주선 패러독스의 다양한 시나리오를 계산하거나, 일정한 가속도를 이용한 우주여행과 관련하여 자주 사용된다.

b) y ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} b$$(3a)는 구심 가속으로 볼 수 있으며,^[13] 균일하게^[43][44] 회전하는 신체의 월드라인으로 이어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

(6b)

where ${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$ is the tangential speed, ${\displaystyle r}$ is the orbital radius, ${\displaystyle \Omega _{0}}$ is the angular velocity as a function of coordinate time, and ${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$ as the proper angular velocity.

곡선 세계선의 분류는 3중 곡선의 미분 기하학을 이용하여 얻을 수 있으며, 이는 시간 간격 Frenet-Serret 공식으로 표현할 수 있다.^[45] 특히 쌍곡 운동과 균일한 원형의 운동은 일정한 곡선미와 비틀림을 가진 운동의 특수한 경우로서,^[46] Born 강직성의 조건을 만족시키는 것을 알 수 있다.^{[H 11][H 17]} 가속 중에 극소수적으로 분리된 세계선 또는 지점 사이의 간격이 일정하게 유지되는 경우 신체를 Born strid라고 부른다.

가속 참조 프레임

관성 프레임 대신에, 이러한 가속된 움직임과 곡선의 월드라인도 가속 또는 곡선 좌표를 사용하여 설명할 수 있다. 그렇게 확립된 적절한 기준 프레임은 페르미 좌표와 밀접하게 관련되어 있다.^[47][48] 예를 들어, 고압적으로 가속된 기준 프레임의 좌표를 린들러 좌표라고 부르거나, 균일하게 회전하는 기준 프레임의 좌표를 회전 원통 좌표(또는 때로는 Born 좌표)라고 부르기도 한다. 동등성 원리에 따르면, 이러한 가속 프레임에서 발생하는 효과는 동질적이고 가공적인 중력장에서의 효과와 유사하다. 이러한 방식으로 SR에서 가속 프레임의 고용은 중요한 수학 관계를 생성하며, 이는 (추가적으로 발전했을 때) 일반 상대성에서 곡선 스페이스타임의 관점에서 실제 비균형 중력장에 대한 설명에 근본적인 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

역사

자세한 내용은 폰 라우에,^[2] 파울리,^[3] 밀러,^[49] 자하르,^[50] 구르굴혼,^[48] 특수 상대성 역사의 역사적 근원을 참조한다.

1899:

헨드릭 Lorentz[H1] 가속도, 세력과 대중을 위해 입자 S0{\displaystyle S_{0}}(고정된 aether에)의 휴식 정전 시스템 사이의,과 시스템을 S은 그것으로 번역을 첨가하여 w. 신흥{S\displaystyle}정확한(특정한 인자 ϵ까지{\displaystyle \epsilon})관계 도출ith${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$을(를) 로렌츠 계수로:

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$ for ${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$ by (5a);

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\epsilon }}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$ for ${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$ by (3a);

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\epsilon }}}$, ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$, ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$ for ${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$, thus longitudinal and transverse mass by (4c);

로렌츠는 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$의 값을 결정할 수단이 없다고 설명했다$.$ 만일 $ϵ{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$을 설정했다면 그의 표현은 정확한 상대론적 형태를 가졌을 것이다$.$

1904:

Lorentz[H 2]더 상세한 방법으로, 즉 입자들의 특성 시스템으로 가서 휴식에 관한 새로운 보조 변수 내가{나는\displaystyle}1/ϵ{1/\epsilon\displaystyle}는 Σ′{\displaystyle \Sigma의}과 움직이는 시스템Σ{\displaystyle \Sigma}, 이전 관계를 도출하였다. compa따라서 1899년에 빨간색으로 표시됨:

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$ for ${\displaystyle \mathbf {f} }$ as a function of ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$ by (5a);

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ for ${\displaystyle m\mathbf {a} }$ as a function of ${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$ by (5b);

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ for ${\displaystyle \mathbf {a} }$ as a function of ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ by(3a);

${\displaystyle m}$ (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( k ${\displaystyle {}^{}}$ l${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$, k ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle m}$ (${\displaystyle }$′ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ) m (${\displaystyle }${ ′ ) ${\displaystyle$ m$(\Sigma )=\좌측(k^{3$}l$,\ cl,\l\\\\l\\\$l\\\$sigma ')}.$

이번에는 로렌츠가 $l{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle l=1$}을$($를) 보여줄 수 있는데$,$ 이 방법으로 그의 공식은 정확한 상대론적 형태를 가정한다. 그는 또한 운동 방정식을 공식화했다.

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$ with ${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

which corresponds to (4d) with ${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$, with ${\displaystyle l=1}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf$${p}$}${\displaystyle }$, $w{\displaystyle \mathfrak{}}$ = ${\displaystyle u\mathbf{}}$ ${\displaystyle {w}=\mathbf {u$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle$ k$=\gamma$ $\},$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle }$($6$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$^{2$}R$= m ${\$displaystysty $e^{2}/(6\pi c^{$2}R$)=$m)=m)=m). 게다가, 그는 이러한 공식들은 전기적으로 충전된 입자의 힘과 질량을 보유할 뿐만 아니라, 에테르를 통한 지구의 움직임이 감지할 수 없는 상태를 유지하도록 다른 과정에서도 보유해야 한다고 주장했다.

1905:

앙리 푸앵카레는^{[H 3]} 3강(4e)의 변신을 소개했다.

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

with ${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$, and ${\displaystyle k}$ as the Lorentz factor, ${\displaystyle \rho }$ the charge density. Or in modern notation: ${\displaystyle \epsilon =v}$, ${\displaystyle \xi =u_{x}}$, ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$, and ${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$. As Lorentz, he $l{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle l=1$}을$($를) 설정하십시오$.$

1905:

알버트 아인슈타인은^{[H 5]} 그의 특별한 상대성 이론에 기초하여 운동 방정식을 도출했는데, 이것은 기계적인 에테르 작용 없이 동등하게 유효한 관성 프레임 사이의 관계를 나타낸다. 아인슈타인은 순간 관성 프레임 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에서 운동 방정식이$$ 뉴턴 형식을 유지한다고 결론지었다.

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$.

This corresponds to ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$, because ${\displaystyle \mu =m}$ and ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\ta$$u ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$ and ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$. By transformation into a relatively moving system ${\displaystyle K}$ he obtained the equations for the electrical and 이 프레임에서 관찰된 자기 구성 요소:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\$$frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$.

This corresponds to (4c) with ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$, because ${\displaystyle \mu =m}$ and ${\displaystyle (\frac{d^{2}x}{d{t}^2},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$ and ${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+$${\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$ and ${\displaystyle \beta =\gamma }$. Consequently, Einstein determined the longitudinal and transverse mass, even though he related it to the force ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$$$ 혼합 스프링 밸런스로 측정한 순간 정지 프레임과 시스템 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 3 가속도 $\mathbf {a$$\}:$^[38]

${\displaystyle {\begin{array}{c c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{{d^{2}z}{dt^{2}}:}&=\epsilon \beta \left(Z+{v}{V}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

This corresponds to (5b) with ${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$.

1905:

Poincaré는^{[H 4]} 3 가속도(1c)의 변형을 소개한다.

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}{dt}{\frac {\\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$ as well as ${\displaystyle k=\gamma }$ and ${\displaystyle \epsilon =v}$ and ${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$.

더욱이 그는 다음과 같은 형태로 사력을 소개했다.

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}:{1}$

where ${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$ and ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$ and ${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$.

1906:

맥스 플랑크는^{[H 6]} 운동 방정식을 도출했다.

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

와 함께

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\do$$t {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$ and ${\displaystyle e{\mathfrak{E}}_x+\frac{e}{c}\left(\dot{y}{\mathfrak{H}}_z-\dot{z}{\mathfrak{H}}_y\right)=X\text{etc.}}$${\displaystyle e{\mathfrak{E}_{x}+{\frac {e}{c}\좌측({\dot{y}-{z}-{z}}{\mathfrak{H}_{y}\오른쪽)=X\{\텍스트{etc.$$}}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\{{\frac {m{\dot{x}}{\sqrt{1-{\frac{2}}:{c^{2}}:}}}}}\x\텍스트{etc}}}}}$

방정식은 (4d)와 일치한다.

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$, with ${\d$$isplaystyle X=f_{x}}$ and ${\displaystyle q=v}$ and ${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$, in agreement with those given by Lorentz (1904).

1907:

아인슈타인은^{[H 7]} 균일하게 가속된 기준 프레임을 분석하여 코틀러-뫼를러-린들러 좌표에서 주어진 것과 유사한 좌표 의존 시간 확장과 빛의 속도에 대한 공식을 얻었다.

1907:

헤르만 민코프스키^{[H 9]}(Hermann Minkowski)는 (이동력이라고 부르는) 4력과 4가속력 사이의 관계를 정의했다.

${\displaystyle m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}}$

$해당{\displaystyle }$ m${\displaystyle A\mathbf{}}$ = ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\$ m$\mathbf {A}$ =\$mathbf {F$

1908:

Minkowski는^{[H 8]} $적절한$ 시간에 관한 두 번째 파생상품 x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x,y,z,t}$을 "가속 벡터"(4-가속)로 나타낸다. He showed, that its magnitude at an arbitrary point ${\displaystyle P}$ of the worldline is ${\displaystyle c^{2}/\varrho }$, where ${\displaystyle \varrho }$ is the magnitude of a vector directed from the center of the corresponding "curvature hyperbola" (German: Krümmungshyperbel) to ${\displaystyle P}$$$.

1909:

Max Born은^{[H 10]} 민코프스키의 가속 벡터의 일정한 크기를 가진 운동을 "하이퍼볼릭 운동"(독일어: 하이퍼벨베웨궁(Hyperbelbeweung)))은 엄격하게 가속된 운동에 대한 연구 과정에서 다음과 같이 말했다. He set ${\displaystyle p=dx/d\tau }$ (now called proper velocity) and ${\displaystyle q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}}$ as Lorentz factor and ${\displaystyle \tau }$ as proper time, with the transformation equations

${\displaystyle x}$= -${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \xi ,}$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta ,}$ z =${\displaystyle \zeta ,}$ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle p\frac{}{}}$ c ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle x=-q\xi,\displayy y=\eta,\dism z=\jeta,\dism$ t$={\frac {p^{c^}}}}}\xi$

which corresponds to (6a) with ${\displaystyle \xi =c^{2}/\alpha }$ and ${\displaystyle p=c\sinh(\alpha \tau /c)}$. Eliminating ${\displaystyle p}$ Born derived the hyperbolic equation ${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}}$, and defined t$b{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ /$\$ {\$displaystyle b=c^{2$}/\xi $}.$ 그는 또한 그의 변환이 "초고속 가속 참조 시스템"(독일어: hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem)으로 변환하는 데 사용될 수 있음을 주목했다$.$

1909:

구스타프 헤르글로츠는^{[H 11]} 보른의 조사를 균일 회전을 포함해 동작이 경직되게 가속된 모든 가능한 사례에까지 확대한다.

1910:

아놀드 소머펠트^{[H 13]}(Arnold Sommerfeld)는 쌍곡 운동을 위한$$ Born의 공식을 $가상{\displaystyle }$ 시간 변수로 l${\displaystyle }$= i ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle l=ict},$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$을 가상 각도로$$ 보다 간결한 형태로 가져왔다.

$\displaystyle x=r=r\cos \varphi ,\barpi y=y',\barpi z=z',\barpi l=r=sin \varphi }$

그는 $r{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle r,y,z}$이(가) 가변적이고$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 일정할$$ 때, 그것들은 쌍곡선 운동으로 충전된 신체의 세계선을 설명한다고 언급했다. 그러나 $r{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r,y,z}$이(가) 일정하고$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 가변적인 경우$$, 이는 정지 프레임으로의 변환을 나타낸다.

1911:

Sommerfeld는^{[H 14]} "property acceleration"(독일어: Eigenbeschleunigung) for the quantity ${\displaystyle {\dot {v}}_{0}}$ in ${\displaystyle {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}}$, which corresponds to (3a), as the acceleration in the momentary inertial frame.

1911:

헤르글로츠는^{[H 12]} 명시적으로 "휴식 가속"이라는 표현을 사용했다(독일어: 적절한 가속 대신 Ruhbeschleunigung). He wrote it in the form ${\displaystyle \gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}}$ and ${\displaystyle \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}}$ which corresponds to (3a), where ${\displaystyle \beta }$ is the Lorentz factor and ${\displaystyle \gamma _{l}^$${0}$ 또는$$ $or{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\$\ \$_{t}^{0}}}}}$는 정지$$ 가속도의 세로 및 가로 구성 요소다.

1911:

Max von Laue는^{[H 15]} 그의 모노그래프 "Das Relativitethtsprinzip"의 첫 번째 판에서 도출했다. 속도 추가의 분화에 의한 3 가속의 변환

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{\dot{q}}}_{)}&, =\left({\frac{c{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak{q}}_{x}^{\prime}}}\right)^{3}{\mathfrak{\dot{q}}}_{)}^{\prime},&,{\mathfrak{\dot{q}}}_{y}&, =\left({\frac{c{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak{q}}_{x}^{\prime}}}\right)^{2}\left({\mathfrak{\dot{q}}}_{)}^{\prim.e}-{\frac{v{\mathfrak{q}_{y}^{\premy}}{\mathfrak {\dot{q}}}^{x}^{x}}}}}}}{c^{c^{}+v{\mathfrak {q}^{x}^{\premrimeed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(1c) 및 푸앵카레(1905/6)와 동일하다. 이로부터 그는 정지 가속도의 변환(3a와 동일)을 도출했고, 결국 (6a)에 해당하는 쌍곡선 운동에 대한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},}$

이리하여

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{u\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle c{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ / b 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle \eta ,}$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle$ x$^{2}-c^{$2}=$x^{2}=x^{$2}=$u^{$2}={2$}=c^{4}/b^{2$},\$c^ y=\eta,\jeta },$}, }, }

가상 각도$with{\displaystyle }$ {\$displaystyle \varphi }$을(를) 갖는 쌍곡 참조 시스템으로의 변환$:$

${\displaystyle {\begin{array}{c c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}$$R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\ended}}\array$ .

3강 변혁을 다음과 같이 쓰기도 했다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{K}}_{)}&, ={\frac{{\mathfrak{K}}_{)}^{\prime}+{\frac{v}{c^{2}}}({\mathfrak{q'K의}})}{1+{\frac{v{\mathfrak{q}}_{)}^{\prime}}{c^{2}}}}},&,{\mathfrak{K}}_{y}&, ={\mathfrak{K}}_{y}^{\prime}{\frac{\sqrt{1-\beta ^{2}}}{1+{\frac{v{\mathfrak{q}}_{)}^{\prime}}{c^{2}}}}},&,{\mathfrak{K}}_{z.}&){\mathfrak{K}}}}{{z}^{\prime{1-\frac{1-\preme^{2}}:{1+{v{\frac{\mathfrak{q}}^{x}}}}{c^{2}}}},\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(4e) 및 푸앵카레(1905)와 동등하다.

1912–1914:

프리드리히 코틀러는^{[H 17]} 맥스웰 방정식의 일반적인 공분산을 얻어, 4차원 Frenet-Serret 공식을 사용해 헤르글로츠(1909)가 준 Born 뻣뻣한 동작을 분석하였다. 그는 또한 쌍곡선 운동과 균일한 원형 운동을 위한 적절한 기준 프레임을 얻었다.

1913:

폰 라우에(Von Laue^{[H 16]})는 책의 제2판에서 민코프스키의 가속 벡터에 의한 3가속 변환을 대신하여 "4가속"(독일어: Viererbeschleunigung)에 의해 정의되며, $Y{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ Y ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\tau }{}}$ ${\dot{}={\frac {dY}{d\tau }}}$에 $의해$ 정의되며, Y ${\displaysty$ Y$}$은(는) 4-vlocity로 지정된다$$. 그는 4가속도의 크기가 ${\displaystyle 0^{\mathrm{}}}$0$${\$displaystyle {\dot {\mathfrak{q}}^{0}}}$에 해당하는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \stackrel{}{Y}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle 1^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle c{\stackrel{}{\mathfrak{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ 0 ${\$dot $style$ {\$dot{Y}}={\frac {1}{c}}{\dot {\mathfrak{q}}^{0$

(3b)에 해당한다. 이후, 그는 휴식 가속과 쌍곡선 운동, 쌍곡선 기준 프레임의 변환에 대해 1911년과 동일한 공식을 도출했다.

참조

참고 문헌 목록

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역사 논문

외부 링크

• 산술 페이지: 아인슈타인의 전기 역학, 가속 이동, 타고난 강성, 가속 및 관성의 횡단 질량, 균일하게 가속되는 전하 방사?
• 물리학 FAQ: 특수 상대성에서의 가속, 상대성 로켓