공선 기하학

Simpellectic 기하학(Simpellectic Geometry)은 차동 기하학 및 차동 위상학(differential topology)의 한 분야로, 즉 폐쇄형 비감속형 2-폼이 장착된 가변형 다지관이다. Simplexic 기하학은 특정 고전적 시스템의 위상공간이 Simplexic 다지관의 구조를 차지하는 고전역학의 해밀턴식 공식에서 기원을 두고 있다.^[1]

위일이 소개한 '형상'이란 용어는 '복합형'의 수치다.^[2] 이전에는 '형상집단'을 '라인 복합형 집단'으로 불렀었다. "Complex" comes from the Latin com-plexus, meaning "braided together" (co- + plexus), while symplectic comes from the corresponding Greek sym-plektikos (συμπλεκτικός); in both cases the stem comes from the Indo-European root *plek-. 그 이름은 복잡하고 동정적인 구조들 사이의 깊은 연관성을 반영한다.

Darboux의 '정리'에 따르면, 공감각 다지관은 국소적으로 표준 공감각 벡터 공간과 이형성이기 때문에 지구적(위상학적) 불변성만 가지고 있다. 따라서 "형상 기하학"은 종종 "형상 위상"이라는 용어와 바꾸어 사용된다.

소개

동질 기하학은 다른 다지관인 매끄러운 고른 차원 공간에 정의된다. 이 공간에는 공간 내 2차원 물체의 크기를 측정할 수 있는 기하학적 물체, 즉 공감형 형태가 정의되어 있다. 공감 기하학에서 동정적 형태는 리만 기하학에서 미터법 텐서(metric tensor)와 유사한 역할을 한다. 미터법 텐셔가 길이와 각도를 측정하는 경우, 공감형 형태는 지향적인 영역을 측정한다.^[3]

고전역학의 연구로부터 공감 기하학이 생겨났고, 공감 구조물의 예는 한 차원에서의 물체의 운동이다. 물체의 궤적을 지정하려면 유클리드 평면 Ⅱ에서² 점(p,q)을 이루는 위치 q와 모멘텀 p가 모두 필요하다. 이 경우, 공감형식은 다음과 같다.

$\displaystyle \omega =dp\filename dq}$

그리고 평면 내 영역 S의 영역 A를 통합하여 측정하는 영역 형식이다.

${\displaystyle A=\int _{S}\omega.}$

보수적인 역동적인 시스템이 제때 진화하면서 이 지역은 불변하기 때문에 그 지역이 중요하다.^[3]

더 높은 차원의 동일성 기하학은 유사하게 정의된다. 2n차원 공통 기하학은 방향 쌍으로 구성된다.

${\displaystyle(x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots(x_{2n-1},x_{2n})}}$

2n차원 다지관과 함께 동음이의 형태로

${\displaystyle \omega =dx_{1}\filency dx_{2}+dx_{3}\cdm dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\reason dx_{2n}.}$

이 공통점 형태는 방향^[3] 쌍에 의해 형성된 각 면에 대한 V 투영 영역의 합으로 공간 내 2n차원 영역 V의 크기를 산출한다.

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +/int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

리만 기하학과 비교

공감 기하학은 리만 기하학과는 여러 가지 유사점과 차이점을 가지고 있는데, 이는 비감발성 대칭 2-텐서(metric tensor, 미터법 텐서라고 함)를 갖춘 서로 다른 다지형 기하학은 리만 기하학과는 많은 유사점을 가지고 있다. 리만인의 경우와 달리, 동시 다지관은 곡률과 같은 국부적 불변성이 없다. 이는 2n차원 복합체 다지관의 어떤 지점의 이웃이 ℝ의²ⁿ 개방된 집합에 있는 표준 복합체 구조와 이형성이 있다고 기술한 다르부스의 정리의 결과물이다. 리만 기하학과의 또 다른 차이점은 모든 다른 다양성이 복합적인 형태를 인정할 필요는 없다는 것이다; 특정한 위상학적 제약이 있다. 예를 들어, 모든 공감각 다지관은 고차원적이고 방향성이 있다. 또한, M이 폐쇄형 공감각 다지관인 경우, 제2차 Rham cohomology 그룹 H²(M)는 비경쟁형이다. 예를 들어, 이는 공감각형을 인정하는 유일한 n-sphere가 2-sphere임을 의미한다. 두 주제 사이에 그릴 수 있는 평행은 리만 기하학의 지오디컬과 동일성 기하학의 사이비홀로모르픽 곡선들 사이의 유사점이다: 지오디컬은 최단 길이(로컬적으로)의 곡선인 반면, 사이비홀로모르픽 곡선은 최소 면적의 표면이다. 두 개념은 각각의 분야에서 근본적인 역할을 한다.

예제 및 구조

모든 Kahler 다지관 또한 공감각형 다지관이다. 1970년대까지, 공감각적 전문가들은 케를러가 아닌 소형 공감각적 다지관이 존재하는지 확신하지 못했으나, 그 이후로 많은 예들이 구성되었다(첫 번째 예시는 윌리엄 서스턴 때문임). 특히 로버트 곰프씨는 모든 미세하게 제시된 집단들이 어떤 공감각적 4-매니폴드의 기본 집단으로 표시되고 있다는 것을 보여주었다.케흘러 사건과는 대조적이다.

대부분의 공감각적 다지관은 케흘러가 아니라고 말할 수 있으므로, 공감각적 형태와 호환되는 통합 가능한 복잡한 구조를 가지고 있지 않다. 그러나 미하일 그로모프는 공감각 다지관은 거의 호환되는 복잡한 구조의 풍부함을 인정하기 때문에 전환 지도가 홀로모르픽이라는 요건을 제외하고 케흘러 다지관에 대한 모든 공리를 만족시킨다는 중요한 관찰을 했다.

그로모프는 사이비홀로모픽 곡선 이론을 발전시키기 위해 유사홀로모픽 곡선 위에 거의 복잡한 구조의 존재를 이용했고,[4] 이로 인해 현재 그로모프-위튼 불변성으로 알려진 일련의 유사불변형 변이체를 포함한 다수의 공통 위상 진보가 이루어졌다. 후에, 사이비홀로모픽 곡선 기법을 사용하여 안드레아스 플로어는 플로어 호몰로지라고 알려진 공통 기하학에서 또 다른 중요한 도구를 발명했다.^[5]

참고 항목

메모들

참조

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Arnol'd, V. I. (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [First steps in symplectic topology]. Успехи математических наук (in Russian). 41 (6(252)): 3–18. doi:10.1070/RM1986v041n06ABEH004221. ISSN 0036-0279 – via Russian Mathematical Surveys, 1986, 41:6, 1-21.
• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Fomenko, A. T. (1995). Symplectic Geometry (2nd ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3. (학부 수준 소개)
• de Gosson, Maurice A. (2006). Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Weinstein, Alan (1981). "Symplectic Geometry" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 5 (1): 1–13. doi:10.1090/s0273-0979-1981-14911-9.
• Weyl, Hermann (1939). The Classical Groups. Their Invariants and Representations. 프린스턴 대학교 출판부에서 재인쇄(1997년). ISBN 0-691-05756-7 MR0000255.

외부 링크

• 위키미디어 커먼스의 감성적 기하학 관련 매체
• "Symplectic structure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]