하이퍼큐브

투시 투영
큐브(3-큐브)	테서랙트(4입방체)

기하학에서, 하이퍼큐브는 정사각형(n = 2)과 입방체(n = 3)의 n차원 유사체이다.이것은 닫히고 콤팩트하며 볼록한 도형으로, 1-스켈튼은 공간의 각 치수로 정렬된 서로 수직이고 같은 길이의 반대 평행선 세그먼트의 그룹으로 구성됩니다.유닛 하이퍼큐브의 최대 대각선(n차원)은 n ${$ 과 ${\sqrt {n}}$ .

n차원 하이퍼큐브는 일반적으로 n-입방체 또는 n-입방체라고 불립니다.측정 폴리토프(measure polytope, 원래 Elte, 1912년)^[1]라는 용어 또한 사용되며, 특히 하이퍼큐브에 ^[2]δn 폴리토프를 라벨링하는 H. S. M. 콕서터의 연구에도 사용된다.

하이퍼큐브는 초직각(n-정교각이라고도 함)의 특수한 경우입니다.

단위 하이퍼큐브는 변의 길이가 1단위인 하이퍼큐브입니다.종종 각 좌표가 0 또는 1인 R의ⁿ 두 점이ⁿ 모서리(또는 꼭지점)인 하이퍼큐브를 단위 하이퍼큐브라고 합니다.

건설

점으로부터 정삼각형을 작성하는 방법을 나타내는 그림.

점부터 정삼각형을 만드는 방법을 보여주는 애니메이션입니다.

하이퍼큐브는 도형의 치수 수를 늘려 정의할 수 있습니다.

0 – 점은 차원 0의 하이퍼큐브입니다.

1 – 이 점을 1 단위 길이로 이동하면 1차원의 단위 하이퍼 큐브인 라인 세그먼트가 스위프됩니다.

2 – 이 선분의 길이를 수직 방향으로 이동하면 2차원 정사각형을 쓸어냅니다.

3 – 정사각형을 평면에 수직인 방향으로 1단위 길이로 이동하면 3차원 입방체가 생성됩니다.

4 – 큐브를 4차원으로 한 단위 길이로 이동하면 4차원 단위 하이퍼 큐브(단위 테서랙트)가 생성됩니다.

이것은 임의의 수의 차원으로 일반화할 수 있습니다.볼륨을 쓸어내는 이 과정은 수학적으로 민코프스키 합으로 공식화할 수 있습니다. d차원 하이퍼큐브는 d개의 서로 수직인 단위 길이 선분의 민코프스키 합이며, 따라서 조노토프의 한 예입니다.

하이퍼큐브의 1-스켈튼은 하이퍼큐브 그래프입니다.

정점 좌표

회전 진동체의 투영.

$치수$ n ${displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 단위 하이퍼큐브는 n ${$ $displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 데카르트 좌표가 각각0({ $displaystyle$ 0 $0$ $1$ $또는$ 1({ $displaystyle$ 1)인 $모든$ 점의 볼록 선체입니다. 이 하이퍼큐브는 n ${displaystyle$ $[0,1]^n}$ 의 $[0,1]^{n}$ 데카르트 $[0,1]^{n}$ 곱이기도 합니다. $ystyle$ n $}$ 개의 $n$ 단위 간격 $[0,1]$ [ $]{displaystyle [0,1$ 복사본. 주변 공간의 원점을 중심으로 한 다른 단위 하이퍼큐브는 변환에 의해 이 단위에서 얻을 수 있습니다.그것은 데카르트 좌표의 벡터가 다음과 같은 점들의 볼록 선체이다.

\displaystyle \left(\pm {1}{2},\pm {frac {1}{2},\cdots,\pm {frac {1}{2}}\right!\!.}

여기서 기호 $\pm$ 은 $\pm$ 각 좌표가 1 $또는$ $-1/2$ $[-1/2,1/2]^{n}$ $displaystyle -1/2)$ $1/2$ 을 $1/2$ 의미합니다.이 유닛의 하이퍼큐브는 데카르트 $[-1/2,1/2]^{n}$ 곱 $[-1/2,1/2]^{n}$ [- $/2,$ $[-1/2,1/2]^{n}$ / ${displaystyle$ [-1 $/$ 2 $, 1/2]^{n$ displaystyle edge $}$ 이기도 $합니다$ . $laystyle$ 1과 $1$ n ${displaystyle$ n $}$ $1$ 볼륨 1 ${displaystyle$ 1 $1$ 입니다.

$좌표$ $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ ± $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ θ $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ ± $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ { $displaystyle(\pm$ 1 $,\cdots,\pm$ 1)} 또는 데카르트 곱 $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ [-1, $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ 1 $[-1,1]^{n}$ $[-1,1]^{n}$ [- $1,$ 1 $]^{$ n $[-1,1]^{n}$ }} { $displaystyle [$ 1, $[-1,1]^{n}$ ] { $1$ ] {1}} {{n $}}$ {{displaystyle}}} {n $n$ }}}의 볼록한 점의 볼록한 선으로 얻을 수 있다.rdinates.가장자리 길이는 2 $($ 스타일 2)이고 $2$ $(디스플레이$ $스타일$ n $)$ 차원 볼륨은 $($ 2 $^{n$ 입니다.

얼굴

모든 하이퍼큐브는 그 경계에 포함된 낮은 차원의 하이퍼큐브를 그 면으로 받아들인다. $n$ 의 하이퍼 $n$ 큐브에는 $2n개의$ 또는 $n-1$ 의 면( $displaystyle n-1$ 이 $2n$ 됩니다.a ( $1 {\$ $displaystyle$ 1) 라인 $1$ 세그먼트에는 $2개의$ 엔드 포인트가 $2$ $있으며$ , ( $2$ {\ $displaystyle$ 2 $}$ - 차원 $2$ ) 정사각형에는 $4개$ 의 $4$ 변 또는 e가 $.$ dges; $3차원$ $큐브는$ 6개의 정사각형 $6$ 을 $가지며$ , $4차원$ 큐브는 $8개의$ 3차원 $8$ 큐브를 면으로 $.$ $치수$ n({ $displaystyle$ n}) $2^{n}$ 의 $n$ 하이퍼큐브의 정점 $2^{n}$ 는 2n $(예$ 를 들어, $({displaystyle$ 3)-차원 $3$ 큐브에는 $2^{3}=8$ 의 3 $=8$ ({ $displaystyle 2$ ^{3}=8 $}$ 개의 정점이 $2^{3}=8$ ).

$n$ 의\ $displaystyle$ n $}$ -큐브의 $n$ 경계에 포함되는 $m개$ 의 \ $displaystyle$ m의 치수 $m$ 하이퍼큐브(여기서는 $m개$ 의 \ $displaystyle$ m $}$ -큐브 $m$ )의 수는 다음과 같습니다.

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

m ,

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

=

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

n -

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

(

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

m

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

) {

displaystyle

E _ {

m

, n } =

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

^ { n - m } {

n

\

choose

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

m

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

^[3]} 。

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

서

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

m

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

)

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

n !

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

! (

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

-

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

( n - m )

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

!

}{m!,(n-m)!

}}

및

n !{

displaystyle

n!}은

n!

n

{displaystyle

n

n

의

계수를 나타냅니다.

예를 들어 $,$ $4$ 의 { $style$ 4 $}$ - $n=4$ ( $n=4$ $=$ 4 { $displaystyle n=$ 4 $n=4$ )의 경계에는 $8개$ 의 { $displaystyle$ 3 $3$ } - 큐브( $),$ $24개$ 의 { $displaystyle$ 24 $8$ $2$ $}$ $개$ 의 정사각형( $2개)$ - 큐브(2개),32개의 $32$ $($ 1개) 및 $16개$ $({$ $displaystyle$ 1개 $1$ )가 $8$ 됩니다. $displaystyle$ 16 $}$ 개의 $16$ 꼭지점 $($ { $displaystyle$ 0 $}$ - displaystyle $0$ 이 동일성은 간단한 조합 인수로 증명할 수 있습니다.하이퍼큐브의 $(\$ $displaystyle$ ${\tbinom {n}{m}}$ 2 $^{$ $n})$ 개의 $2^{n}$ 정점에 대해 해당 정점에 입사하는 $m개$ 의 $m$ ${\tbinom {n}{m}}$ 모서리 $m$ 을 선택하는 방법이 $.$ 각 컬렉션은 고려된 정점에 입사하는 $\displaystyle$ m차원 면 $m$ 중 하나를 정의합니다.하이퍼큐브의 모든 정점에 대해 이렇게 하면, 하이퍼큐브의 m $(\displaystyle$ m $)$ $m$ 면 각각은 정점이 그만큼 많기 $2^{m}$ 에 $2^{m}$ $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ (\ $displaystyle 2^{$ m $2^{m}$ }) $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ $2^{m}$ 되며, $(\$ 2 $^{n}{n})$ 을 $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ 이 수로 $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ 합니다.

하이퍼큐브의 패싯 수를 $(n-1)$ 하여 $(n-1)$ ( $(n-1)$ - 1 ) $(n-1)$ (n-1 $)$ ( $displaystyle (n-1$ )) ( $displaystyle 2n)$ ( $(n-1)$ ( $display$ style $(n-1$ )) ( $display$ style (n-1 $)$ (display $(n-1)$ $style 2ns-dis$ $)$ ( $2ns^{n-1}$ $)$ (n-1)) (discube)의 $2ns^{n-1}$ $(n-1)$ ( $n$ ) (discube)의 $2n$ $2ns^{n-1}$ $2n$ - discube) (n $)$ (n $2ns^{n-1}$ ( $2n$ ) ( $discube$ )의 2n)을 계산할 수 있습니다. $playstyle$ s $}$ 는 $s$ 하이퍼큐브의 가장자리 길이입니다.

이러한 숫자는 선형 반복 관계에 의해서도 생성될 수 있습니다.

Em, nx2Em, n− 1+E0,0=1{\displaystyle E_{0,0}=1}, Em, nx0{\displaystyle E_{m,n}=0}과 Em− 1, n− 1{\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}, n<>m{\displaystyle n<입니다 나이}, n<0{\displaystyle n<0}, 또는 m<0{\displaystyle m&l.t;0}.

예를 들어, 정사각형을 4개의 정점으로 확장하면 정점당 하나의 선분(가장자리)이 추가됩니다.정육면체를 형성하기 위해 반대쪽 정사각형을 추가하면 $E_{1,3}=12$ 1, $E_{1,3}=12$ $=$ $E_{1,3}=12$ ${{displaystyle E_{1,$ 3}= $12}$ 개의 $E_{1,3}=12$ 라인 세그먼트가 $E_{1,3}=12$ 됩니다.

E_{m,n}

E m

E_{m,n}

{\

displaystyle E_{m,n

}/

{\

displaystyle

m

}

- n

m

{\

displaystyle

n

}

하이퍼큐브의 치수면(OEIS 시퀀스 A038207)

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n입방체	이름	슐레플리 콕서터	꼭지점 제로 페이스	엣지 단면	얼굴 양면 인쇄	감방 삼면체	4면체	5면체	육면체	칠면체	8면체	9면체	10면체
0	0 큐브	포인트 모논	( )	1
1	1큐브	선분 디온^[4]	{}	2	1
2	2큐브	광장 사각형	{4}	4	4	1
3	3큐브	큐브 육면체	{4,3}	8	12	6	1
4	4큐브	테서랙트 옥타코론	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5큐브	펜터액트 12월 5일 토프	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6큐브	육진법 도데카-6-토페	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7큐브	헵터랙트 테트라데카-7-토프	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8큐브	옥터랙트 헥사데카-8-토페	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9큐브	엔너락트 옥타데카-9-토페	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10 큐브	디커락트 이코사-10-토페	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

그래프

여기서 선분부터 16-입방체까지의 스큐 직교 투영에 의해 n-입방체를 정규 2n-고날 폴리곤 내에 투영할 수 있다.

페트리 폴리곤 맞춤법 투영법
선분	광장	큐브	테서랙트
5큐브	6큐브	7큐브	8큐브
9큐브	10 큐브	11입방체	12 큐브
13 큐브	14입방체	15큐브	16큐브

폴리토프의 관련 패밀리

하이퍼큐브는 임의의 수의 차원으로 표현되는 몇 안 되는 일반 폴리토프 계열 중 하나입니다.

하이퍼큐브(오프셋) 패밀리는 Coxeter에 의해 θ로_n 라벨이 지정된 세 개의 정규 폴리토프 패밀리 중 하나입니다.다른 두 가지는 하이퍼큐브 이중족, 교차 폴리토피(β)로_n, 표시된 것과 α로 표시된 단순체는 α로 표시됩니다_n.네 번째 가족, 하이퍼큐브의 무한 테셀레이션, 그는 δ라고_n 이름 붙였다.

반규칙적이고 균일한 폴리토프의 또 다른 관련 패밀리는 데미하이퍼큐브이며, 이는 대체 정점이 삭제되고 간격에 심플렉스 패싯이 추가된 하이퍼큐브(hγ_n)로 구성되어 있다.

n-포화합물은 이중(교차 폴리토프)과 결합하여 복합 폴리토프를 형성할 수 있습니다.

2차원에서 팔괘별 그림 {8/2}을 구한다.
3차원에서 우리는 입방체와 8면체의 화합물을 얻는다.
4차원으로 우리는 정삼각과 16세포의 화합물을 얻는다.

(n-1)-심플과의 관계

n-하이퍼큐브의 모서리 그래프는 (n-1)-심플렉스의 면 격자의 Hasse 다이어그램과 동일하다.이는 서로 반대되는 두 정점이 각각 (n-1)-심플렉스 자체와 늘 폴리토프에 대응하도록 n-하이퍼큐브의 방향을 지정함으로써 알 수 있다.꼭대기 정점에 연결된 각 정점은 (n-1)-심플렉스의 면(n-2면) 중 하나에 고유하게 매핑되고, 이들 정점에 연결된 각 정점은 심플렉스의 n-3면 중 하나에 매핑되며, 아래쪽 정점에 연결된 정점은 심플렉스의 정점에 매핑됩니다.

일반 폴리토프에 적용되는 면 격자 열거 알고리즘이 계산적으로 더 비싸기 때문에 이 관계는 (n-1)-단순의 면 격자를 효율적으로 생성하기 위해 사용될 수 있다.

규칙적인 복소 폴리토페는 일반화 하이퍼큐브라고 불리는 복잡한 힐버트 공간에서 정의할 수 있습니다. θ^p
_n = {₂4}{₂3}...{3},₂ 또는...실제 솔루션은 p = 2와_n 함께²
_n 존재합니다. 즉, = = = {₂4}{₂3}...{3} ₂= {4,3,..,3}.p > 2의 경우 $\mathbb {C} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {C}^{n$ 에 존재합니다.패싯은 일반화(n-1)-입방체이며, 정점 도형은 정칙 심플렉스이다.

이러한 직교 투영에서 나타나는 일반 폴리곤 둘레를 페트리 폴리곤이라고 합니다.일반화 정사각형(n = 2)은 가장자리가 빨간색과 파란색 번갈아 나타나는 색상 p-color로 표시되고, 높은 n-color는 검은색 윤곽 p-color로 그려진다.

p-generalized n-cube의 m-face 요소의 수는 p $p^{n-m}{n \choose m}$ - $p^{n-m}{n \choose m}$ ( n $p^{n-m}{n \choose m}$ $){$ $display$ p $^{n-m}{n \choose$ m $p^{n-m}{n \choose m}$ 입니다.이것은ⁿ p개의 정점과 pn 패싯입니다.^[5]

일반 하이퍼큐브

	p=2		p=3	p=4	p=5	p=6	p=7	p=8
$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$	γ² ₂ = {4} = 꼭지점 4개	$\displaystyle \mathbb {C} ^{2}$	γ³ ₂ = 꼭지점 9개	γ⁴ ₂ = 꼭지점 16개	γ⁵ ₂ = 꼭지점 25개	γ⁶ ₂ = 꼭지점 36개	γ⁷ ₂ = 49개의 꼭지점	γ⁸ ₂ = 꼭지점 64개
$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$	γ² ₃ = {4,3} = 꼭지점 8개	$\displaystyle \mathbb {C} ^{3}$	γ³ ₃ = 꼭지점 27개	γ⁴ ₃ = 꼭지점 64개	γ⁵ ₃ = 125개의 꼭지점	γ⁶ ₃ = 216개의 꼭지점	γ⁷ ₃ = 꼭지점 343개	γ⁸ ₃ = 꼭지점 512개의 꼭지점
$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}$	γ² ₄ = {4,3,3} = 꼭지점 16개	$\displaystyle \mathbb {C} ^{4}$	γ³ ₄ = 81개의 꼭지점	γ⁴ ₄ = 256개의 꼭지점	γ⁵ ₄ = 625개의 꼭지점	γ⁶ ₄ = 1296개의 꼭지점	γ⁷ ₄ = 2401 정점	γ⁸ ₄ = 4096개의 꼭지점
$\displaystyle \mathbb {R} ^{5}$	γ² ₅ = {4,3,3,3} = 32개의 꼭지점	$\displaystyle \mathbb {C} ^{5}$	γ³ ₅ = 243개의 꼭지점	γ⁴ ₅ = 1024개의 꼭지점	γ⁵ ₅ = 3125개의 꼭지점	γ⁶ ₅ = 7776개의 꼭지점	γ⁷ ₅ = 16,807 정점	γ⁸ ₅ = 32,768개의 꼭지점
$\displaystyle \mathbb {R} ^{6}$	γ² ₆ = {4,3,3,3,3} = 꼭지점 64개	$\displaystyle \mathbb {C} ^{6}$	γ³ ₆ = 729개의 꼭지점	γ⁴ ₆ = 4096개의 꼭지점	γ⁵ ₆ = 꼭지점 15,625개	γ⁶ ₆ = 46,656 정점	γ⁷ ₆ = 꼭지점 117,649개	γ⁸ ₆ = 262,162개의 꼭지점
$\displaystyle \mathbb {R} ^{7}$	γ² ₇ = {4,3,3,3,3} = 128개의 꼭지점	$\displaystyle \mathbb {C} ^{7}$	γ³ ₇ = 2187 정점	γ⁴ ₇ = 꼭지점 16,384개	γ⁵ ₇ = 78,125 정점	γ⁶ ₇ = 꼭지점 279,936개	γ⁷ ₇ = 823,543개의 꼭지점	γ⁸ ₇ = 꼭지점 2,097,162개
$\displaystyle \mathbb {R} ^{8}$	γ² ₈ = {4,3,3,3,3,3} = 256개의 꼭지점	$\displaystyle \mathbb {C} ^{8}$	γ³ ₈ = 꼭지점 6561개의 꼭지점	γ⁴ ₈ = 65,536개의 꼭지점	γ⁵ ₈ = 390,625개의 꼭지점	γ⁶ ₈ = 꼭지점 1,679,616개	γ⁷ ₈ = 5,764,801개의 꼭지점	γ⁸ ₈ = 16,12,216 꼭지점

지수와의 관계

다른 양의 정수승으로 상승한 임의의 양의 정수는 제3의 정수를 산출하며, 이 제3의 정수는 지수에 대응하는 다수의 차원이 있는 n개의 큐브에 대응하는 특정 유형의 도형수이다.예를 들어 지수 2는 제곱수 또는 "완벽한 제곱수"를 생성하며, 이를 밑변의 길이가 대응하는 정사각형 모양으로 배열할 수 있다.마찬가지로 지수 3은 밑변의 길이가 있는 입방체 모양으로 배열할 수 있는 정수인 완벽한 입방체를 생성합니다.그 결과, 숫자를 2 또는 3으로 올리는 행위를 일반적으로 "제곱"과 "큐빙"이라고 합니다.그러나 고차 하이퍼큐브의 이름은 고차 파워에서는 일반적으로 사용되지 않는 것으로 보입니다.

「」도 .

컴퓨터 아키텍처의 하이퍼큐브 상호접속 네트워크
하이퍼큐브의 대칭군인 초팔면체군
십자가 처형(콜퍼스 하이퍼큐버스) (유명한 예술품)

^ Elte, E. L. (1912). "IV, Five dimensional semiregular polytope". The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: University of Groningen. ISBN 141817968X.
^ 콕서터 1973, 페이지 122–123, § 7.2 그림 7.2C 참조.
^ 콕서터 1973, 페이지 122, § 7·25.
^ Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018 페이지 224.
^ 를 클릭합니다Coxeter, H. S. M. (1974), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328.

레퍼런스

Bowen, J. P. (April 1982). "Hypercube". Practical Computing. 5 (4): 97–99. Archived from the original on 2008-06-30. Retrieved June 30, 2008.
Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 유지: 위치(링크) 페이지 296, 표 I (ii) :일반 폴리토프, n차원 3개의 일반 폴리토프(n 5 5)
힐, FrederickJ., 제럴드 R.피터슨(1974년).교환 이론과 논리적 설계에 대한 입문:.SecondEdition.뉴욕:JohnWiley도&Sons.아이 에스비엔 0-471-39882-9.그 점에"하이퍼 큐브"의 개념은 하이퍼 큐브의 vertices 그렇게 레이블과 함께 vertices 다음 하이퍼 큐브를distance-1 코드(그레이 코드)두가지 차원에 포함된 비치도 또는 카르노 도표를 형성할 것을 보여 주는 수단으로 소개됩니다-장 7.1"Cubical 표현에서 상속됨 함수의".

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hypercube". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs". MathWorld.
www.4d-screen.de (4D – 7D-Cube 회전)
엔리케 젤레니 하이퍼큐브 회전, 울프람 시연 프로젝트.
입체 애니메이션 하이퍼큐브
Rudy Rucker와 Farideh Dormishian의 Hypercube 다운로드
A001787 n차원 하이퍼큐브 내의 에지 수.OEIS에서

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

[1] Elte, E. L. (1912). "IV, Five dimensional semiregular polytope". The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: University of Groningen. ISBN 141817968X.

[FOOTNOTECoxeter1973122–123§7.2_see_illustration_Fig_7.2<small>C</small>-2] 콕서터 1973, 페이지 122–123, § 7.2 그림 7.2C 참조.

[FOOTNOTECoxeter1973122§7·25-3] 콕서터 1973, 페이지 122, § 7·25.

[4] Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018 페이지 224.

[5] 를 클릭합니다Coxeter, H. S. M. (1974), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328.

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v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리토프 및 모양	하이퍼플레인 하이퍼서페이스 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 하이퍼스피어 교차 폴리토프 심플렉스 고피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 아홉개 n차원
「」를 참조해 주세요.	하이퍼스페이스
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