유사 리만 다양체

Pseudo-Riemannian manifold

미분 기하학에서, 반-리만 다양체라고도 불리는 의사-리만 [1][2]다양체는 모든 곳에 비퇴화적메트릭 텐서를 가진 미분 가능한 다양체이다.이것은 양의 정의의 요건이 완화되는 리만 다양체의 일반화이다.

의사-리만 다양체의 모든 접선 공간은 의사-유클리드 벡터 공간이다.

일반 상대성 이론에서 사용되는 특별한 경우는 시공간을 모델링하기 위한 4차원 로렌츠 다양체로, 여기서 탄젠트 벡터는 시간적 벡터, 벡터 및 공간적 벡터로 분류될 수 있습니다.

서론

다지관

미분 기하학에서, 미분 다양체는 유클리드 공간과 국소적으로 유사한 공간이다.n차원 유클리드 공간에서는 어떤 점이라도 n개의 실수에 의해 지정될 수 있다.이것을 점의 좌표라고 합니다.

n차원 미분 다양체는 n차원 유클리드 공간의 일반화이다.다지관에서는 로컬에서만 좌표를 정의할 수 있습니다.이것은 좌표 패치를 정의함으로써 달성된다: n차원 유클리드 공간에 매핑될 수 있는 다지관의 하위 집합.

자세한 내용은 매니폴드, 미분 가능 매니폴드, 좌표 패치참조하십시오.

접선 공간 및 미터법 텐서

n) 차원 미분 매니폴드M(\ M 각 점(\ p 관련된 접선 공간(\p}이것은 요소들이 점를 통과하는 곡선의 등가 클래스라고 생각할 수 있는 n차원 벡터 공간입니다.

메트릭 텐서는 다지관의 각 접선 공간에 있는 접선 벡터 쌍에 실수를 할당하는 비퇴화 평활 대칭 쌍선형 입니다.gg로 텐서를 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

맵은 대칭이고 쌍선형입니다 , Z T M { X T_{ M { pp { M}의 접선 벡터라면 과 같습니다.

임의의 에 대해 R a을(를)

g g 축퇴되지 않은 은 모든 Y {\ { g ) 0)과 같이 ()이 아닌 displaystyleM이 존재하지 않음을 합니다.

메트릭 시그니처

n차원 실다양체상의 메트릭 텐서 g가 주어졌을 때, 직교 베이스의 각 벡터에 적용되는 메트릭 텐서와 관련된 2차 형식 q(x) = g(x, x)는 n개의 실값을 생성한다.실베스터의 관성의 법칙에 따르면, 이러한 방식으로 생성되는 각 양, 음 및 0 값의 수는 직교 기준의 선택과는 무관하게 미터법 텐서의 불변수이다.메트릭 텐서의 시그니처(p, q, r)는 같은 순서로 이러한 수치를 나타냅니다.비퇴화 메트릭 텐서는 r = 0이며, 시그니처는 (p, q)로 표시될 수 있다.여기 p + q = n이다.

정의.

유사 리만 매니폴드 ,) { , ) }는 어디에서나 축퇴되지 않고 매끄러운 대칭 메트릭 g { g를 갖춘 미분 가능M { M입니다.

이러한 메트릭을 의사 리만 메트릭이라고 합니다.벡터 필드에 적용하면 다지관의 임의의 지점에서 발생하는 스칼라 필드 값은 양수, 음수 또는 0이 될 수 있습니다.

의사 리만 메트릭의 시그니처는 (p, q)입니다.여기서 p와 q는 모두 음이 아닙니다.연속성과 함께 비퇴행성 조건은 p와 q가 매니폴드 전체에서 변경되지 않은 상태로 유지된다는 을 의미합니다(연결되어 있다고 가정).

로렌츠 다양체

로렌츠 다양체는 메트릭의 시그니처가 (1, (-1)(n-1 발생) 또는 (등가적으로 (-1, 1(n-1 발생))인 의사 리만 다양체의 중요한 특수한 경우이다.이러한 메트릭을 로렌츠 메트릭이라고 합니다.그것들은 네덜란드의 물리학자 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 지어졌다.

물리 분야에서의 응용

리만 다양체 다음으로, 로렌츠 다양체는 의사 리만 다양체의 가장 중요한 하위 클래스를 형성합니다.그것들은 일반 상대성 이론의 적용에 중요하다.

일반상대성이론의 주요 전제는 시공간이 시그니처의 4차원 로렌츠 다양체(-1,1,1,1) 또는 동등하게 (1,-1,-1,-1)로 모델링될 수 있다는 것이다.양의 정의 메트릭을 가진 리만 다양체와 달리, 무한 서명은 탄젠트 벡터를 시간적, 공적 또는 공간적 서명으로 분류할 수 있다.(p, 1) 또는 (1, q)의 시그니처를 가지는 다지관은, 국소적으로(그리고 전체적으로) 시간 지향성이 있습니다(원인 구조 참조).

유사 리만 다양체의 특성

유클리드 {\^{ 모델 리만 다양체로 생각할 수 있듯이, 민코프스키 메트릭이 평평한 민코프스키 R -, \{R} ^{})은 모델 로렌츠 다양체이다.마찬가지로, 의사 리만 다양체의 시그니처 모델 공간(p,q)는 R ,q \q} 입니다.

리만 기하학의 몇 가지 기본 이론들은 의사 리만 사례로 일반화 될 수 있다.특히, 리만 기하학의 기본 정리는 의사 리만 다양체에도 해당된다.이것은 연관된 곡률 텐서와 함께 유사 리만 다양체의 리바이스-시비타 연결을 말할 수 있게 해준다.반면에, 리만 기하학에는 일반화된 경우에 맞지 않는 많은 이론들이 있다.예를 들어, 모든 매끄러운 다양체가 주어진 시그니처의 의사 리만 메트릭을 허용한다는 것은 사실이 아닙니다. 특정한 위상 장애물이 있습니다.또한 서브매니폴드가 항상 의사 리만 다양체의 구조를 계승하는 것은 아닙니다.예를 들어, 메트릭 텐서는 같은 곡선에서 0이 됩니다.클리프톤-폴 토러스(Clifton-Pohl torus)는 콤팩트하지만 완전하지 않은 유사 리만 다양체의 예를 제공하며, 홉프-리노우 정리가 리만 [3]다양체에 허용하지 않는 특성들의 조합이다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 벤앤터커(1987), 페이지 172.
  2. ^ 비숍 & 골드버그(1968), 페이지 208
  3. ^ 오닐(1983), 페이지 193.

레퍼런스

  • Benn, I.M.; Tucker, R.W. (1987), An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (First published 1987 ed.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
  • Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
  • Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
  • O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, vol. 103, Academic Press, ISBN 9780080570570
  • 를 클릭합니다Vrănceanu, G.; Roşca, R. (1976), Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

외부 링크