갈릴레오 변환

물리학에서, 갈릴레오 변환은 뉴턴 물리학 구조 내에서 일정한 상대 운동에 의해서만 다른 두 기준 프레임의 좌표 사이를 변환하는 데 사용됩니다.이러한 변환은 공간적 회전과 시공간적 변환과 함께 불균일한 갈릴레이 그룹을 형성합니다(아래 전체로 가정).시공간에서의 번역이 없다면 집단은 균일한 갈릴레오 집단이 된다.갈릴레이 그룹은 시공간 4차원에 작용하는 갈릴레이 상대성 이론의 운동 그룹이며, 갈릴레이 기하학을 형성합니다.이것이 패시브 트랜스포메이션의 관점입니다.특수 상대성 이론에서 균질 및 비균질 갈릴레이 변환은 각각 로렌츠 변환과 푸앵카레 변환으로 대체된다. 반대로 푸앵카레 변환의 고전적 한계 c → θ에서의 군 수축은 갈릴레이 변환을 생성한다.

아래의 방정식은 뉴턴식 프레임워크에서만 물리적으로 유효하며, 빛의 속도에 근접하는 속도로 서로 상대적으로 움직이는 좌표계에는 적용되지 않습니다.

갈릴레오는 균일 운동에 대한 그의 ^[1]설명에서 이러한 개념을 공식화했다.이 주제는 그가 지구 표면 근처의 중력 가속도에 대한 수치를 측정하면서 경사로를 굴러 내려가는 공의 움직임에 대한 그의 설명에 의해 동기 부여되었다.

번역.

비록 그 변환들이 갈릴레오의 이름을 따서 지어졌지만, 그들의 정의 영역을 제공하는 것은 아이작 뉴턴에 의해 구상된 절대적인 시간과 공간이다.본질적으로, 갈릴레이 변환은 벡터로서 속도의 덧셈과 뺄셈의 직관적인 개념을 구현합니다.

로 두 좌표계 S와 S′,가 일정 상대 운동(속도 v)에 대한 공통된 x와 x′방향으로 측정한 표기법 아래의 좌표와 단일 임의의 행사의(x′, y′, z′, t′)(x, y, z, t)사이의 갈릴레이 변환에서 그들의 공간적 기원은 시간 검토 작성되며 이와 같이 관계를 t′=0:[설명한다.2][3][4][5]

${\displaystyle x'=x-param}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

$(\displaystyle t'=t).}$

마지막 방정식은 상수의 추가까지 모든 갈릴레오 변환에 대해 유지되며, 다른 관측자의 상대 운동과는 무관한 보편적인 시간의 가정을 나타낸다.

선형대수의 언어에서 이 변환은 전단매핑으로 간주되며 벡터에 작용하는 행렬로 설명된다.X축에 평행한 움직임의 경우 변환은 다음 두 가지 구성 요소에서만 작동합니다.

${\displaystyle {pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}=pmatrix}1&-v\0&1\end{pmatrix}{\displaystyle{pmatrix}x\t\end{pmatrix}}$

행렬 표현은 갈릴레오 변환에 엄격히 필요한 것은 아니지만, 특수 상대성 이론에서 변환 방법과 직접 비교할 수 있는 수단을 제공한다.

갈릴레오 변환

갈릴레이 대칭은 회전, 번역, ^[6]시공간 균일한 움직임의 구성으로서 독특하게 쓰여질 수 있다.x는 3차원 공간의 한 점을 나타내고 t는 1차원 시간의 한 점을 나타내도록 하자.시공간에서의 일반점은 순서쌍(x, t)에 의해 주어진다.

속도 v를 갖는 균일한 운동은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle(\mathbf {x},t)\mapsto(\mathbf {x} +t\mathbf {v},t}),$

여기서 v † R³. 번역은 다음과 같습니다.

$\displaystyle(\mathbf {x},t)\mapsto(\mathbf {x} +\mathbf {a},t+s),}$

여기서³ is R과 s where R과 s r R.

$\displaystyle(\mathbf {x},t)\mapsto(R\mathbf {x},t},}$

여기서 R : R³ → R은³ 직교 ^[6]변환입니다.

리 군으로서, 갈릴레오 변환 그룹은 ^[6]차원 10을 가집니다.

갈릴레오군

두 개의 갈릴레오 변환 G(R, v, a, s)와 G(R', v a, a s, s))는 세 번째 갈릴레오 변환을 형성한다.

G(R, v, a, s) g G(R, v, a, s) = G(R' R, R' v + v's + v's, s' + s's.

모든 갈릴레오 변환의 집합 Gal(3)은 군 연산으로서 구성을 갖는 군을 형성한다.

그룹은 때때로 t가 실재하고 x µ³ R이 공간에서의 위치인 벡터로서 시공간 이벤트(x, t, 1)를 갖는 매트릭스 그룹으로 표현된다.액션은 에 의해^[7] 주어집니다.

${\displaystyle {begin {pmatrix} {\begin {pmatrix} x \ t \ 1 \ begin { pmatrix } = begin { pmatrix } Rx + v + a \ t + s \ 1 \ end { pmatrix }$

여기서 s는 실재하고 v, x, θ R과³ R과 R은 회전 행렬이다.변환의 구성은 행렬 곱셈을 통해 이루어집니다.직교 변환의 연결된 구성요소 그룹으로 자신을 제한하는지 여부를 논의할 때 주의해야 합니다.

Gal(3)은 부분군을 명명했습니다.ID 컴포넌트는 SGal(3)로 표시됩니다.

m은 파라미터 v, R, s, a로 변환행렬을 나타냅니다.

• $displaystyle \{m:$$R=I_{3}\}$개의$$ 이방성 변환.
• ${\displaystyle \{m}$ : s ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$, {\$displaystyle \{m:s=0\}$ 등시$$ 변환.
• ${\displaystyle \{m}$ : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ,$${\$displaystyle \{m:s=0,v=0\}$ 공간적$$ 유클리드 변환.
• ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle m}$ : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle a}$ $=$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ,$${ $displaystyle G_{1$}=\{$m:s=0,a=0\}$ 은$$ 균일하게 특수 변환/동질 변환이며, 유클리드 변환과 동형입니다.
• ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle m}$ : v ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}(}$ （ ${\displaystyle R{\mathbf{}}^{\mathrm{}}}$,${\displaystyle }$+$$) , { $displaystyle G_${2$}=\{m$:v$=0,R=I_{$3}\$cong$ \left$(\mathbf {R}^{4}+\right),$ 시공간 변환의 원점 이동$$.
• ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle m}$ : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0s\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$)$$, { $displaystyle$ G _ {3} = \ {$m$ : s$= 0$ , a$= 0$ , v =$$0 \ } \ $cong$\ $mathrm { SO$ } ( $3$)회전$$ (기준 프레임 참조).
• ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle m}$ : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$} ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$3${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$)$$, { $displaystyle G_{4$}=\{$m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong$ \left$(\mathbf {R}^{3}\right)$ ${\displaystyle 프레임{\mathbf{}}^{}}$ 균등화.

파라미터 s, v, R은 10차원 범위입니다.변환은 s, v, R, a에 연속적으로 의존하기 때문에 Gal(3)은 위상군이라고도 불리는 연속군이다.

Gal(3)의 구조는 부분군의 재구성을 통해 이해할 수 있습니다.그룹의 반직접 제품 조합(${\displaystyle b}$B \ $displaystyle$A \ r$times$B$$)이 필요합니다.

1. ${\displaystyle {G2\mathrm{}}_{}s\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle \mathrm{Ga}}$ l${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$ )$${ $displaystyle G_{2}$ \ $triangleleleft$\$mathrm${ Sgal} (3$)$（ G는₂ 정규 서브그룹)
2. $\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglefteq G_{1}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. $\displaystyle \mathrm {SGal}(3)\cong \mathbf {R}^{4}\r회(\mathbf {R}^{3}\rtimes \mathrm {SO}(3)).}$

그룹 수축의 원점

갈릴레오 군의 Lie 대수는 H_i, P_i, C 및 L_ij(대칭 텐서)에 의해 확장되며, 변환 관계에 따라 다음과 같다.

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

$\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

$\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

$\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta_{ik}L_{jl}-\delta_{il}L_{jk}-\delta_{jk}L_{il}+\delta_{jl}L_{ik}}$

$\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta_{jk}P_{i}}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}}}$

$\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i},\!}$

$\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H는 시간 변환의 발생기_i(해밀턴), P는 번역의 발생기(모멘텀 연산자_i), C는 무회전 갈릴레오 변환의 발생기(갈릴리언 부스트),^[8] L은_ij 회전의 발생기(각운동량 연산자)를 나타냅니다.

이 리 대수는 한계 c → θ에서 푸앵카레 그룹의 대수의 특별한 고전적 한계로 보인다.엄밀히 말하면, 갈릴레이 그룹은 푸앵카레 그룹의 유명한 군 수축이다(1,4)^[9]는 드 시터 그룹 SO(1,4)의 군 수축이다.형식적으로, 후자의 추진력과 부스트의 발전기의 이름을 다음과 같이 변경한다.

P₀ / H / c

K_i 、 C_i 、

여기서 c는 빛의 속도(또는 그 무한함수)이며, 한계 c → θ의 정류관계(변환상수)는 전자의 관계를 갖는다.시간 변환 및 회전 발생자를 특정합니다.또한 군 불변량_mn L L과^mn_i P P도ⁱ 유의하십시오.

매트릭스 형식에서 d = 3에 대해 정규 표현을 고려할 수 있다(GL(5; R)의 경우, Poincaré 그룹을 우회하여 단일 그룹 수축에 의해 도출될 수 있음).

$\displaystyle iH=\left({\begin{array}{cc}{\0&0&0&0}\0&0&0&0\0&0&1\0&0&0&0&0&1\0&0&0&0&0&1\end{array}}\qad}오른쪽)$ ${\displaystyle i440vec {a}\cdot {vec {P}=\left({\begin {array}{ccc}0&0&0&a_{1}\0&0&0&0&0&a_{2}\0&0&0&0&0&a_{3}\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0$ ${\displaystyle i440vec {v}\cdot {C}=\left({\begin {array}{cc}0&0&0&v_{1}&0\0&0&0&0&0&0&0&0&v_{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0$ ${\displaystyle i\theta _{i}\ilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{cc}0&\theta_{3}&-\theta_{2}&0\\\theta_{1}&0\theta_{2}&0&0\ta_{1}&0&0\theta_{1}&0&\ta_{1}&0&0&0\ta_{\ta_{1}&0&0&0&0&0&gthta_\ta_{\ta_{ta_{ta_\ta_{ta$

다음으로 극소수 그룹 요소는

$\displaystyle G(R, {\vec {v}}, {\vec {a}},s)=1\!1_{5}+\leftfront{array}{ccc}0&\theta_{3}&\theta_{1}&a_{1}\\\-\theta_{1}&\{1}&\\-\theta_{1}&{1}&\\ta_{1}&\ta_{1}&\\\ta_{1}&\ta_{1}&\ta_{1}&\ta_{1}&\ta_{1}&\ta_{1}_{1}_{1}_{1}_{1}_{1}_{1}~.}$

갈릴레이 그룹의 중심 확장

하나:소위 Bargmann 대수학 나는{\displaystyle[C'_{나는},P'_{j}]=iM\delta_{ij}}j[C나는 ′, Pj′]=나는 Mδ지만 M중심에 있는 것과 같은 다른 모든 ope과 즉 출근 길이 부과한 갈릴레오 그룹의 리 대수 H′, P′i, C′나는, L′ij 교환원과 M에 의해 지방의 중심 확대 consider[10] 수 있다.rators.

요약하면, 이 대수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle [H',P'_{i}}=0,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}}=0,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij}}H']=0,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}}=0,\!}$

$\displaystyle [ L ' _ { ij , L ' _ { kl } = i [ \ delta _ { ik }L'_{jl}-\delta_{il}L'_{jk}-\delta_{jk}L'_{il}+\delta_{jl}L'_{ik}',\!}$

$\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta_{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}],\!}$

$\displaystyle [ L ' _ { ij , C ' _ { k } = i [ \ delta _ { i } - \ delta _ { i } C ' _ { i } , \ ! }$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i},\!}$

그리고 마지막으로

$\ displaystyle [ C ' _ { i , P ' _ { j } = iM \ delta _ { ij } ~ . }$

새로운 $파라미터{\displaystyle }$ M$(\displaystyle$ M$)$이 표시됩니다.이를 통해 활성화되는 이 확장 및 투영 표현은 그룹 코호몰로지에 의해 결정됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 갈릴레오 불변성
• 갈릴레이 군 표현론
• 갈릴레이 공변 텐서 공식
• 푸앵카레 군
• 로렌츠 군
• 라그랑지안과 오일러의 좌표

메모들

레퍼런스

• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2 ed.). Springer-Verlag. p. 6. ISBN 0-387-96890-3.
• Bargmann, V. (1954). "On Unitary Ray Representations of Continuous Groups". Annals of Mathematics. 2. 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831.
• Copernicus, Nicolaus; Kepler, Johannes; Galilei, Galileo; Newton, Isaac; Einstein, Albert (2002). Hawking, Stephen (ed.). On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Philadelphia, London: Running Press. pp. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4.
• Galilei, Galileo (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (in Italian). Leiden: Elsevier. pp. 191–196.
• Galileo, Galilei (1638E). Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences [Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze]. Translated to English 1914 by Henry Crew and Alfonso de Salvio.
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