미터법 서명

Metric signature

수학에서 미터법 텐서 g서명(v, p, r)기준관련하여 미터법 텐서 gab 실제 대칭적 이선형(또는 동등하게, 유한 차원 벡터 공간에서 실제 대칭적 이선형 형태로 생각되는 실제 2차 형태)의 숫자(다중성으로 계산됨)이다. 상대론적 물리학에서 v는 시간이나 가상 차원을 나타내며, 공간과 물리적 차원에 대한 p를 나타낸다. 또는 최대 양의 최대 및 null 하위 공간의 치수로 정의할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙에 의해 이 숫자는 근거의 선택에 따라 달라지지 않는다. 따라서 서명은 측정 기준을 기준 선택까지 분류한다. 서명은 종종 r= 0을 의미하는 정수(v, p) 한 쌍으로 표시되거나, 서명(1, 3, 0)(3, 1, 0)에 대해 각각 +, -, -, -, -, -) 또는 (-, +, +, +, +)와 같은 고유값 기호의 명시적인 목록으로 표시된다.[1]

서명은 vp가 모두 0이 아니면 무기한이거나 혼합된 것이며, r이 0이 아니면 퇴보한다고 한다. 리만 미터법양수 확정 서명(v, 0)을 가진 미터법이다. 로렌츠 측정기준은 시그니처(p, 1) 또는 (1, p)가 있는 측정기준이다.

(v - p)로 정의된 단일 숫자 s에 의해 주어지는 비감소 메트릭 텐서(non degenerate metric tensor)의 서명에 대한 또 다른 개념이 있는데, 여기서 vp는 위와 같으며, 이는 차원 n = v + p가 주어지거나 암묵적인 경우 위의 정의와 동등하다. 예를 들어 s = 1 - 3 = (+, -, -)의 경우 -2이고, (-, +, +, +)의 경우 해당 미러링 s = -s = +2이다.

정의

미터법 텐서의 서명은 해당 2차 형태의 서명으로 정의된다.[2] 그것은 어떤 행렬의 양수와 0의 고유값의 (v, p, r)이며, 그 대수적 승수와 함께 계산된다. 일반적으로 r = 0이 필요하며, 이는 미터법 텐서는 비감속(nonzero vector)이어야 한다는 것과 같다. 즉, 비0 벡터는 모든 벡터에 직교하지 않는다.

실베스터의 관성 법칙에 의해 숫자(v, p, r)는 기본 독립적이다.

특성.

서명 및 치수

스펙트럼 정리에 의해 실제에 걸친 대칭 n × n 행렬은 항상 대각선이 가능하며, 따라서 정확히 n개의 실제 고유값을 갖는다(대수학적 다중성으로 계산됨). 따라서 v + p = n = 딤(V)

실베스터의 관성법칙: 기본 선택의 독립성과 정형근거의 존재

실베스터의 관성 법칙에 따르면 스칼라 제품의 시그니처(실제 대칭 이선형) g는 기준 선택에 따라 달라지지 않는다. 또한 서명(v, p, r)의 모든 메트릭 g에 대해ab g = +1 for a = b = 1, ..., v, gab = -1 a = b = v + 1, ..., v + p gab = 0과 같은 기준이 존재한다. g1 g2 서명이 동일할 경우에만 등위계(V1, g1) → (V2, g2)가 존재하는 것으로 뒤따른다. 마찬가지로 서명은 두 개의 일치 행렬에 대해 동일하며 일치까지 행렬을 분류한다. 동등하게, 서명은 대칭 순위 2의 반선형 텐서 SV2 공간에 있는 일반 선형 그룹 GL(V)의 궤도에 일정하며 각 궤도를 분류한다.

지수의 기하학적 해석

숫자 v(resp. p)는 스칼라 제품 g가 양-확정성(resp)인 벡터 하위 공간의 최대 치수다. 음극) 및 r은 스칼라 제품 g래디컬 또는 스칼라 제품의 대칭 행렬 g의 nullab 하위 공간의 치수다. 따라서 비 디제너레이션 스칼라 제품은 서명(v, p, 0)을 가지며, v + p = n. 특수 사례의 이중성(v, p, 0)은 미러링에 의해 서로 변환될 수 있는 두 개의 스칼라 고유값에 해당한다.

행렬

n × n ID 매트릭스의 서명은 (n, 0, 0)이다. 대각 행렬의 서명은 주 대각선에 있는 양수, 음수, 영수의 수입니다.

다음 행렬은 둘 다 동일한 서명(1, 1, 0)을 가지고 있으므로 실베스터의 관성 법칙 때문에 일치한다.

스칼라 제품

에 정의된 표준 스칼라 제품은 n차원 서명(v, p, r)을 가지고 있으며 여기서 v + p = n, 순위 r = 0이다.

물리학에서 Minkowski 공간은 v = 1과 p = 3 base가 있는 spacetime 매니폴드 4}}}이며, 매트릭스에 의해 정의된 스칼라 제품이 있다.

서명 ,)- 을(를) 가지고 있으며 공간 절약형 또는 공간 유사형이라고 알려져 있으며 행렬과 함께 가상 또는 시간 유사형이라고 알려져 있는 미러링 서명(,을(를)을(를) 가지고 있다.

서명 계산 방법

행렬의 시그니처를 계산하는 몇 가지 방법이 있다.

  • 비분수 대칭 n × n 행렬의 경우 대각선으로 표시하고(또는 모든 고유값을 찾음) 양과 음의 기호 수를 세십시오.
  • 대칭 행렬의 경우, 특성 다항식은 어떤 경우에는 데카르트의 기호 규칙에 의해 기호가 완전히 결정될 수 있는 모든 진짜 뿌리를 가질 것이다.
  • 라그랑주의 알고리즘은 직교 기준을 계산하는 방법을 제공하며, 따라서 대각 행렬의 조합물(같은 시그니처를 가진 대각 행렬의 서명은 대각선에 있는 양, 음, 영 원소의 수입니다.
  • 자코비의 기준에 따르면 대칭 행렬은 주요 미성년자의 결정요인이 모두 양성이면 양성이 확실하다.

물리학에서의 서명

수학에서, 리만 다지관의 일반적인 관례는 양수-확정 미터 텐서(대각화 후, 대각선의 원소가 모두 양수라는 의미)를 사용하는 것이다.

이론 물리학에서 스페이스타임은 사이비-리만 다양체에 의해 모델링된다. 서명은 특수상대성이 정의한 의미에서 스페이스타임에 얼마나 많은 시간 유사 문자 또는 공간 유사 문자가 있는지 카운트한다. 입자물리학에 사용되는 메트릭은 시간 유사 하위 공간에 고유값을 가지며, 그 미러링 고유값은 공간 유사 하위 공간에 있다. 민코프스키 측정 기준의 특정한 경우,

= c - d - d - d 2}2}-^{2

the metric signature is or (+, −, −, −) if its eigenvalue is defined in the time direction, or or (−, +, +, +) if the eigenvalue is defined in the three spatial directions x, y and z. (Sometimes the opposite sign convention is used, but 여기에 제시된 것으로 적절한 시간을 직접 측정한다.)

서명변경

모든 곳에서 측정지표가 규칙적인 경우 측정지표의 서명은 일정하다. 그러나 일부 하이퍼퍼페이스에서 변질되거나 불연속적인 메트릭을 허용하는 경우 이러한 표면에서 메트릭의 서명이 변경될 수 있다.[3] 그러한 시그니처 변화 측정기준은 우주론양자 중력에 응용될 수 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 롤랜드, 토드 "매트릭스 시그니처." From MathWorld--Eric W에 의해 만들어진 Wolfram Web Resource. 와이스슈타인 http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
  2. ^ Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2002) [1939]. The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. 2 (4th ed.). Butterworth–Heinemann. pp. 245–246. ISBN 0-7506-2768-9.
  3. ^ Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). "Gravity and signature change". General Relativity and Gravitation. 29 (5): 591–597. arXiv:gr-qc/9610063. Bibcode:1997GReGr..29..591D. doi:10.1023/A:1018895302693. S2CID 7617543.