프리드만 방정식

Friedmann equations

프리드만 방정식은 일반 상대성 이론의 맥락에서 우주의 균질하고 등방성 모델에서 공간의 팽창을 지배하는 물리 우주론방정식입니다.그것들은 1922년 알렉산더 프리드만의해 프리드만-레미트르-로버톤-워커 측정법 대한 아인슈타인의 중력 방정식주어진 질량 밀도 θ압력 [1]p를 갖는 완벽한 유체로부터 처음 도출되었다.음의 공간 곡률 방정식은 1924년에 [2]프리드먼에 의해 제시되었다.

전제 조건

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균질하고 등방성이라는 단순화된 가정, 즉 우주론적 원리에서 출발한다; 경험적으로, 이것은 100 Mpc보다 큰 척도로 정당화된다.우주론적 원리는 우주의 지표가 반드시 그 형태여야 한다는 것을 암시한다.

여기32 ds는 (a) 평탄한 공간, (b) 일정한 양의 곡률의 구 또는 (c) 일정한 음의 곡률의 쌍곡선 공간 중 하나여야 하는 3차원 메트릭이다.이 메트릭은 FRRW(Friedmann-Lematretre-Robertson-Walker) 메트릭이라고 불립니다.아래에서 설명하는 파라미터 k는 이 세 가지 경우 각각 0, 1, -1 또는 가우스 곡률 을 취합니다.바로 이 사실 때문에 우리는 "스케일 팩터" a(t)를 현명하게 말할 수 있다.

아인슈타인의 방정식은 이제 이 규모 인자의 진화를 우주의 물질의 압력과 에너지와 연관짓는다.FLRW 메트릭에서 크리스토펠 기호를 계산한 다음 리치 텐서를 계산합니다.완벽한 유체에 대한 응력-에너지 텐서를 사용하여 아인슈타인의 장 방정식으로 대체하고, 그 결과는 아래에 설명되어 있습니다.

방정식

동질적인 등방성 우주를 모델링하기 위한 두 개의 독립적인 프리드만 방정식이 있습니다.첫 번째는 다음과 같습니다.

아인슈타인 방정식의 00 성분에서 파생되었습니다.두 번째는 다음과 같습니다.

아인슈타인 장 방정식의 추적과 함께 첫 번째 방정식에서 도출되었다−2.

a스케일 팩터, G, δ 및 c는 보편 상수입니다(G는 뉴턴의 중력 상수, δ는 치수−2 길이를 갖는 우주 상수, c는 진공 상태에서의 빛의 속도).θ와 p는 각각 부피 질량 밀도(부피 에너지 밀도가 아님)와 압력입니다.k는 특정 용액 전체에 걸쳐 일정하지만 용액마다 다를 수 있습니다.

앞의 방정식에서는 a, θ, p는 시간의 함수입니다..mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-out.우주의 어떤 시편을 넣.sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}k/a2은 공간 곡률. 그것은 공간적인 리치 곡률 텐서 스칼라 R이후의 6분의 1 같습니다.

Friedmann 모델입니다.H ≡ ≡ / / a는 허블 파라미터입니다.

프리드만 방정식에서 a(t)는 공간 슬라이스에 대해 선택한 좌표계에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.a와 k에는 동일한 물리학을 설명하는 두 가지 일반적인 선택지가 있습니다.

  • k = +1, 0 또는 -1은 우주의 모양이 닫힌 3구, 평평한(유클리드 공간) 또는 열린 3원곡면인지에 따라 달라집니다.[3]k = +1이면 a는 우주의 곡률 반지름이다.k = 0경우 a는 한 번에 임의의 양수에 고정될 수 있습니다.k = -1이면 i · a는 우주의 곡률 반지름이라고 할 수 있다.
  • a는 현재 1로 간주되는 스케일 팩터입니다.k현재 공간 곡률입니다(a = 1경우).우주의 모양초구형이고 Rt 곡률 반지름(현재0 R)이면 a = Rt/R이다0.만약 k가 양수라면 우주는 초구형입니다.k = 0이면 우주는 평평합니다.만약 k가 음수라면 우주는 쌍곡선이다.

첫 번째 방정식을 사용하여, 두 번째 방정식은 다음과 같이 다시 표현될 수 있다.

는 δ를 제거하고 질량 에너지 보존을 나타낸다.

이러한 방정식은 때때로 치환함으로써 단순화된다.

제공 내용:

두 번째 방정식의 단순화된 형식은 이 변환에서 변하지 않습니다.

방정식의 다른 부분(특히 질량 밀도, 진공 에너지 또는 공간 곡률)이 시간에 따라 달라지는 경우 허블 매개변수가 시간에 따라 변경될 수 있습니다.현재 허블 파라미터를 평가하면 허블의 법칙의 비례 상수인 허블의 상수가 산출됩니다.주어진 상태 방정식을 가진 유체에 적용되는 Friedmann 방정식은 유체 밀도의 함수로서 우주의 시간 진화와 기하학을 산출합니다.

일부 우주론자들은 이 두 방정식 중 두 번째 방정식을 프리드만 가속도 방정식이라고 부르고 첫 번째 방정식에 대해서만 프리드만 방정식이라는 용어를 남겨둡니다.

밀도 파라미터

밀도 파라미터 δ는 Friedmann 우주의 임계밀도 δ에 대한 실제(또는 관측) 밀도 δc 비율로 정의된다.실제 밀도와 임계 밀도의 관계는 우주의 전체적인 기하학적 구조를 결정한다; 그것들이 같을 때, 우주의 기하학적 구조는 평평하다.우주 상수 항을 포함하지 않은 초기 모델에서 임계 밀도는 처음에는 팽창하는 우주와 수축하는 우주 사이의 분수령으로 정의되었습니다.

현재까지 임계 밀도는 입방 미터 당 약 5개의 원자(단원자 수소)로 추정되며, 반면 우주의 일반 물질의 평균 밀도는 입방 [4][5]미터 당 0.2–0.25 원자로 여겨진다.

우주의 에너지 밀도 구성 요소에 대한 추정 상대 분포입니다.암흑 에너지가 전체 에너지(74%)를 지배하고 암흑 물질(22%)이 질량의 대부분을 차지한다.나머지 중입자 물질(4%) 중 10분의 1만 콤팩트하다.2015년 2월 플랑크 우주론 탐사선 주도의 유럽 연구팀은 이 값을 일반 물질 4.9%, 암흑 물질 25.9%, 암흑 에너지 69.1%로 정제하는 새로운 데이터를 발표했다.

더 큰 밀도는 미확인 암흑 물질로부터 온다; 보통 물질과 암흑 물질 모두 우주의 수축에 기여한다.하지만, 가장 큰 부분은 우주 상수 항을 설명하는 소위 암흑 에너지로부터 옵니다.총 밀도는 임계 밀도(정확히 측정 오차까지)와 동일하지만, 암흑 에너지는 우주의 수축으로 이어지지 않고 오히려 우주의 팽창을 가속화할 수 있습니다.그러므로 우주는 영원히 [6]팽창할 것이다.

임계 밀도에 대한 식은 δ를 0으로 가정하고(모든 기본 프리드만 우주와 마찬가지로) 정규화된 공간 곡률 k를 0으로 설정함으로써 구한다.치환을 Friedmann 방정식의 첫 번째에 적용하면 다음과 같이 됩니다.

(여기서 h = H0/(100km/s/Mpc).H = 67.4 km/s/Mpc경우o, 즉 h = 0.674, θc = 8.5×10−27 kg/m3).

밀도 파라미터(다른 우주론 모델을 비교하는 데 유용함)는 다음과 같이 정의됩니다.

이 용어는 원래 우주의 공간 기하학을 결정하기 위한 수단으로 사용되었습니다. 여기서 θc 공간 기하학이 평탄한 임계 밀도입니다(또는 유클리드).진공 에너지 밀도가 0이라고 가정할 때, 만약 δ가 통일보다 크면, 우주의 우주 구간은 닫히고, 결국 우주는 팽창을 멈추고 붕괴할 것이다.만약 δ가 통일보다 작으면, 그것들은 열려있고, 우주는 영원히 팽창한다.그러나 공간 곡률 및 진공 에너지 항을 δ에 대한 보다 일반적인 표현에 포함시킬 수도 있습니다. 이 경우 이 밀도 파라미터는 정확히 통일성과 동일합니다.그런 다음 보통 첨자로 지정되는 여러 성분을 측정하는 문제가 됩니다.δCDM 모델에 따르면 δ에는 바리온, 차가운 암흑물질, 암흑에너지로 인한 중요한 성분이 있다.WMAP 우주선은 우주의 공간 기하학적 구조를 거의 평평하게 측정했다.이것은 우주가 공간 곡률 매개변수 k가 0인 모형으로 잘 근사될 수 있다는 것을 의미한다; 그러나 이것은 반드시 우주가 무한하다는 것을 의미하는 것은 아니다: 그것은 단지 우주가 우리가 보는 부분보다 훨씬 더 크다는 것일 수 있다. (마치, 지구가 네덜란드 숫자의 척도로 대략 평평하다는 사실)지구가 평평하다는 것을 의미하는 것이 아니라 네덜란드보다 훨씬 크다는 것을 의미할 뿐이다.)

첫 번째 Friedmann 방정식은 종종 밀도 매개변수의 현재 값의 관점에서 보입니다[7].

여기서 δ0,R 현재의 방사선 밀도(a = 1일 때), δ0,M 현재의 물질(암흑+바리오닉) 밀도, δ0,k = 1 - δ0 현재의 "표준 곡률 밀도", δ0,Λ 현재의 우주 상수 또는 진공 밀도이다.

유용한 솔루션

프리드만 방정식은 상태 방정식을 가진 완벽한 유체의 존재 하에서 정확히 풀 수 있다.

여기서 p는 압력이고 θ는 콤보링 프레임 내 유체의 질량 밀도이며 w는 일정하다.

공간적으로 평평한 경우(k = 0) 스케일 팩터에 대한 해는 다음과 같습니다.

여기0 a는 초기 조건 선택에 의해 고정되는 통합 상수입니다.w로 표시된 이 솔루션 패밀리는 우주론에서 매우 중요합니다.예를 들어, w = 0은 질량 밀도와 관련하여 압력이 무시할 수 있는 물질 중심의 우주를 나타냅니다.일반적인 해법으로 보면 물질 지배적인 우주에서는 스케일 팩터가 다음과 같이 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.

( ) 3\ a ) \ t^ { \ } } 물질 주도형

또 다른 중요한 예는 방사능이 지배적인 우주의 경우, 즉 w = 1/3인 경우이다.이로 인해

( ) \ a ) \ t^ { \ {{2} } 우위

용액은 w = -1에 해당하는 우주 상수의 지배에는 유효하지 않습니다.이 경우 에너지 밀도는 일정하고 스케일 팩터는 기하급수적으로 증가합니다.

k의 다른 값에 대한 해답은 다음 URL에서 찾을 수 있습니다.Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics". Retrieved 24 February 2022.

혼합물

물질이 각각 이러한 상태 방정식을 갖는 둘 이상의 비상호작용 유체의 혼합물일 경우,

이러한 각 유체 f에 대해 개별적으로 유지되어야 한다.각각의 경우,

우리가 얻을 수 있는 것은

예를 들어, 이러한 용어의 선형 조합을 구성할 수 있습니다.

여기서 A는 a = 1일 때 "원자" 밀도(표준 물질, w = 0)이고, B는 a = 1일방사선의 밀도(w = 1/3), C는 "암흑 에너지" 밀도(w = -1)이다.다음으로 이것을 대체한다.

시간의 함수로 해결합니다.

상세파생

솔루션을 보다 명확하게 하기 위해 첫 번째 프리드먼 방정식에서 완전한 관계를 도출할 수 있습니다.

와 함께

통합에 변수 a'와 t'를 사용하도록 재배치 및 변경

각 구성요소가 지배하는 우주의 시간에 대한 스케일 팩터의 의존성에 대한 해결책을 찾을 수 있습니다.또한 각각의 경우 에너지 밀도의 지배적인 소스가 약 1이라고 가정하는 것과 동일한 δ0,k ≤ 0이라고 가정했다.

물질 지배 우주의 경우, 여기서 δ0,M0,M δ0,Rδ0,Λ 1 1:

이것은 전술2/3 회복한다.

방사선이 지배하는 우주의 경우, 여기서 δ0,R0,R δ0,M δ0,Λ 및 δ δ 1:

δ 지배 우주는 δ0,Λ0,Λ δ δ0,Rδ0,M δ δ 1과 마찬가지로 통합의 경계를 t에서i t로, 마찬가지i a에서 a로 변경합니다.

시간에 관한 두 번째 도함수가 0이 아닌 양의 도함수, 즉 우주의 가속 팽창을 암시하여 δΛ 암흑 에너지의 후보가 되기 때문에 δ 지배적인 우주 해법이 특히 관심을 끌고 있습니다.

여기i 구조 a > 0에서 가정은 δ0,Λ 1 1이었고0, H는 양성으로 측정되었기 때문에 가속도가 0보다 커야 했습니다.

리스케일 프리드만 방정식

세트

여기0 a0 H는 스케일 팩터와 현재 허블 매개변수를 별도로 나타냅니다.그러면 우리는

어디에

어떤 형태의 유효 퍼텐셜eff U(),)에 대해서도 이를 생성하는 상태 p = p())의 방정식이 존재한다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 프리드먼, A(1922년)."Über Krümmung 데 Raumes 죽".ZPhys.(독일어로). 10(1):377–386.Bibcode:1922ZPhy...10..377F. doi:10.1007/BF01332580.S2CID 125190902.(영어 번역:프리드먼, A(1999년)."곡률 공간에".일반 상대성과 중력. 31(12):1991–2000.Bibcode:1999년GReGr..31.1991F. doi:10.1023/A:1026751225741.S2CID 122950995.).이 논문의 러시아어 원고는 에렌페스트 아카이브에 보존되어 있다.
  2. ^ 프리드만, A(1924년)."Über Möglichkeit einer 세계. mit konstanter negativer Krümmung 데 Raumes 다이".ZPhys.(독일어로). 21(1):326–332.Bibcode:1924ZPhy...21..326F. doi:10.1007/BF01328280.S2CID 120551579.(영어 번역:프리드만, A(1999년)."는 세계의 끝없는 네거티브 곡률 공간의 가능성에".일반 상대성과 중력. 31(12):2001–2008.Bibcode:1999년GReGr..31.2001F.doi:10.1023/A:1026755309811.S2CID 123512351.)
  3. ^ 레이 디베르노, 아인슈타인의 상대성 소개, ISBN 0-19-859686-3.
  4. ^ Rees, M. Just Six Numbers, (2000) 오리온 북스, 런던, 페이지 81, 페이지 82[clarification needed]
  5. ^ "Universe 101". NASA. Retrieved September 9, 2015. The actual density of atoms is equivalent to roughly 1 proton per 4 cubic meters.
  6. ^ How the Universe Works 3. Vol. End of the Universe. Discovery Channel. 2014.
  7. ^ Nemiroff, Robert J.; Patla, Bijunath (2008). "Adventures in Friedmann cosmology: A detailed expansion of the cosmological Friedmann equations". American Journal of Physics. 76 (3): 265–276. arXiv:astro-ph/0703739. Bibcode:2008AmJPh..76..265N. doi:10.1119/1.2830536. S2CID 51782808.

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