사다리 역설

Ladder paradox

사다리 역설은 특수 상대성 이론의 사고 실험이다.그것은 상대론적 속도(빛의 속도에 가까운 속도)로 수평으로 이동하는 사다리를 포함하며, 따라서 로렌츠 길이 축소를 겪습니다.사다리는 차고나 헛간의 열린 앞문과 뒷문을 통과하는 것을 상상하고 있는데, 그 길이보다 짧기 때문에 사다리가 움직이지 않으면 안에 들어갈 수 없을 것이다.정지해 있는 관찰자에게는 수축으로 인해 움직이는 사다리가 통과할 때 건물 안에 완전히 들어갈 수 있습니다.한편, 사다리와 함께 움직이는 관찰자의 관점에서 보면 사다리는 수축되지 않고, 더 작은 길이로 축소되는 것이 로렌츠 건물이다.그러므로, 사다리는 통과할 때 건물 안에 들어갈 수 없을 것이다.이것은 두 관찰자의 현실 사이에 명백한 불일치를 일으킨다.

이 명백한 역설은 절대 동시성의 잘못된 가정으로부터 비롯된다.사다리는 양쪽 끝을 동시에 차고 안에 둘 수 있으면 차고 안에 들어갈 수 있다고 합니다.상대성 이론에서 동시성은 각 관찰자에 상대적인 것으로 간주될 때 해결되며, 사다리가 차고 안에도 각각 상대적인지 여부에 대한 답이 된다.

패러독스

문제의 가장 간단한 버전은 열려 있는 앞문과 뒷문이 있는 차고와 차고에 대해 정지해 있을 때 너무 길어서 안에 들어갈 수 없는 사다리가 있는 차고입니다.이제 사다리를 높은 수평 속도로 정지된 차고로 이동합니다.그 빠른 속도 때문에 사다리는 길이 수축의 상대론적 효과를 거치며 상당히 짧아진다.그 결과, 사다리가 차고를 통과할 때, 사다리는 한동안 차고에 완전히 갇히게 된다.원한다면 짧은 시간 동안 양쪽 문을 동시에 닫아 사다리가 잘 맞는다는 것을 보여줄 수 있습니다.

지금까지는 일관성이 있습니다.명백한 역설은 우리가 상황의 균형을 고려할 때 나타난다.사다리와 함께 움직이는 관찰자가 차고의 관성 기준 프레임에서 일정한 속도로 이동하기 때문에, 이 관찰자는 또한 상대성 원리에 의해 동일한 물리 법칙이 적용되는 관성 프레임을 점유합니다.이 관점에서 보면 현재 정지해 있는 사다리와 고속으로 움직이는 차고입니다.따라서 길이가 축소된 차고입니다. 그리고 우리는 그것이 통과할 때 사다리를 완전히 수용하기에는 너무 작다는 결론을 내립니다. 사다리는 맞지 않고, 우리는 사다리 양쪽에 있는 양쪽 문을 모두 닫지 않고는 닫을 수 없습니다.이 명백한 모순이 역설이다.

그림 1: 차고와 정지해 있는 사다리의 개요
그림 2: 차고 프레임에서 사다리는 길이 수축이 이루어지므로 차고에 들어갑니다.
그림 3: 사다리 프레임에서 차고는 길이 수축이 이루어지며 사다리를 수용할 수 없을 정도로 작다.

결의안

그림 4: 차고 프레임의 시나리오: 차고를 통과하는 길이 계약 사다리
그림 5: 사다리 프레임의 시나리오: 사다리 위를 지나는 길이 계약된 차고항상 하나의 문만 닫힙니다.

명백한 역설에 대한 해결책은 동시성의 상대성에 있다: 한 관찰자가 두 개의 동시 사건으로 간주하는 것은 사실 다른 관찰자와 동시성이 아닐 수 있다(예: 사다리).우리가 차고 안에 "맞는" 사다리란 정확히 어떤 특정한 시기에 사다리의 뒷부분과 앞부분의 위치가 모두 차고 안에 있었다는 것을 의미합니다. 즉, 사다리의 앞부분과 뒷부분이 동시에 차고 안에 있었다는 것입니다.동시성은 상대적이므로 사다리가 적합한지 여부에 대해 두 관측자가 동의하지 않습니다.차고가 있는 관찰자에게 사다리의 뒷부분은 사다리의 앞부분과 동시에 차고에 있었고, 그래서 사다리가 들어맞았다; 그러나 사다리가 있는 관찰자에게 이 두 사건은 동시에 일어나지 않았고, 사다리는 맞지 않았다.

이를 명확하게 볼 수 있는 방법은 차고의 프레임에 있는 문이 사다리가 완전히 안에 있는 짧은 시간 동안 닫혀 있는 것을 고려하는 것입니다.이제 이러한 이벤트를 사다리 프레임에서 살펴봅니다.첫 번째 이벤트는 차고 출구 문으로 접근하는 사다리 앞입니다.문이 닫혔다가 다시 열리고 사다리 앞이 통과합니다.나중에 사다리의 뒷부분이 출입문을 통과하고 출입문은 닫혔다가 열린다.동시성은 상대적이기 때문에 두 개의 문을 동시에 닫을 필요가 없었고, 사다리는 차고 안에 들어갈 필요가 없었다는 것을 알 수 있습니다.

이 상황은 아래의 민코프스키 다이어그램으로 더 자세히 설명할 수 있습니다.그 도표는 차고의 받침대에 있다.수직 연청색 띠는 차고지를 시공간으로, 연청색 띠는 사다리를 시공간으로 나타냅니다.x축과 t축은 각각 차고공간과 시간축이며 x축과 t축은 각각 사다리공간과 시간축입니다.

차고 프레임에서는 임의의 특정 시간에서의 사다리가 빨간색 띠에서 x축에 평행한 수평 점 세트로 표현된다.예를 들어, 파란색 굵은 선분은 차고를 나타내는 파란색 띠 안에 있으며, 차고 안에 완전히 있는 경우 사다리를 나타냅니다.단, 사다리 프레임에서는 동시 이벤트 세트가 x'축에 평행한 선상에 놓여 있기 때문에 임의의 특정 시간에 사다리는 빨간색 띠가 있는 선의 단면으로 표현된다.예를 들어 굵은 빨간색 선분이 있습니다.이러한 선분들은 파란색 띠 안에 완전히 놓여 있지 않습니다. 즉, 사다리가 차고 안에 완전히 놓여 있지 않습니다.

그림 6: 사다리 역설의 민코프스키 다이어그램.차고는 밝은 파란색으로 표시되고 사다리는 밝은 빨간색으로 표시됩니다.이 다이어그램은 차고의 나머지 프레임에 있으며 x와 t는 각각 차고 공간과 시간 축입니다.사다리 프레임은 사다리 맨 앞에 앉아 있는 사람을 위한 것으로, x and과 t being는 각각 사다리 공간과 시간 축이다.파란색과 빨간색 선 AB와 AC는 각각 차고와 사다리의 기준 프레임에서 전면 끝이 차고 출구 문과 만나는 시점을 나타냅니다.이벤트 D는 차고 입구에 도달하는 사다리의 뒷부분입니다.

차고의 사다리를 닫다

그림 7: 긴 계약 차고에 장착하기 위해 가속 상태에서 수축하는 사다리

좀 더 복잡한 버전의 역설에서는, 일단 사다리가 차고 안에 완전히 들어오면 물리적으로 그 사다리를 가둘 수 있습니다.예를 들어 출구 문을 닫은 후 다시 열지 않음으로써 이 작업을 수행할 수 있습니다.차고의 틀에서는 출구 문이 움직이지 않는다고 가정하고 사다리가 부딪히면 즉시 [1][2]멈춘다고 합니다.이때 현관문도 닫혀 있기 때문에 차고에 사다리가 붙어 있습니다.상대 속도가 0이기 때문에 길이가 줄어들지 않고 차고보다 길어지므로 구부러지거나 스냅되거나 폭발해야 합니다.

다시, 퍼즐은 사다리의 틀에서 상황을 고려하는 것에서 나온다.위의 분석에서, 그 자체의 프레임은 사다리가 항상 차고보다 길었다.그럼 어떻게 문을 닫고 안에 가둬놨지?

여기서 상대성 이론의 일반적인 특징에 주목할 필요가 있다: 우리는 차고 뼈대를 고려함으로써 실제로 차고 안에 사다리를 가둔다는 것을 추론했다.따라서 이것은 어떤 프레임에서도 해당되어야 합니다. 사다리가 한 프레임에서 스냅되는 것은 불가능하지만 다른 프레임에서는 스냅되지 않습니다.사다리의 틀에서 우리는 사다리가 어떻게 갇히게 되었는지에 대한 설명이 있어야 한다는 것을 안다; 우리는 간단히 그 설명을 찾아야 한다.

그 이유는 차고의 프레임에서는 사다리의 모든 부분이 동시에 0으로 감속하지만, 동시성은 상대적이기 때문에 사다리 프레임의 해당 감속은 동시적이지 않다는 것이다.대신 사다리의 각 부분은 앞쪽에서 뒤로 순차적으로 [1][3]감속하며, 마침내 사다리의 뒤쪽이 감속하고, 그때쯤에는 이미 차고 안에 있습니다.

길이 수축과 시간 확장이 모두 로렌츠 변환에 의해 제어되기 때문에, 사다리 역설은 쌍둥이 중 한 쌍이 지구를 떠나 일정 기간 동안 속도로 이동하다가 지구로 돌아오는 쌍둥이 역설의 물리적 상관관계로 볼 수 있다.헛간 안에 갇힌 사다리의 경우와 같이, 어느 기준 프레임도 특권이 없는 경우, 각각은 상대적인 움직임만 보이고 있다.-어떻게 젊은 사람이 이동 중인 쌍둥이일 수 있는가(단축한 사람이 아니라 사다리인 것처럼)?두 경우 모두 현상을 구별하는 것은 가속-감속이다: 시간적(또는 사다리-바른의 경우 물리적) 관성 프레임으로 돌아가는 감속력을 겪는 것은 지구가 아니라 쌍둥이이다.

그림 8: 차고 프레임에서 동시에 사다리가 전체 길이에서 정지된 경우의 민코프스키 다이어그램.이 경우 차고 프레임은 사다리를 AB로 인식하지만 사다리 프레임은 사다리를 AC로 인식합니다.사다리 뒤쪽이 D 지점에서 차고로 들어갈 때, 사다리 앞쪽 끝의 가속 효과를 아직 느끼지 못했습니다.이 때, 사다리 뒤에 정지해 있는 사람에 의하면, 사다리의 앞쪽은 E점이 되고, 사다리를 DE로 본다.사다리 프레임의 이 길이는 감속 전 사다리의 나머지 길이인 CA와 동일하지 않은 것으로 보인다.

사다리의 역설과 힘의 전달

그림 1: 차고 뒷벽과의 충격으로 사다리가 정지된 경우의 민코프스키 다이어그램.영향은 이벤트 A입니다.충돌 시 차고 프레임은 사다리를 AB로 인식하지만 사다리 프레임은 사다리를 AC로 인식합니다.사다리는 차고 밖으로 이동하지 않기 때문에 사다리의 앞쪽 끝은 E 지점을 통해 바로 위로 올라갑니다.사다리의 뒤쪽은 충격의 영향을 느낄 때까지 시공간에서 궤적을 바꾸지 않을 것이다.충격의 효과는 빛의 속도보다 빠르지 않게 A에서 바깥쪽으로 전파될 수 있으므로 사다리 뒤쪽은 두 프레임의 차고 안에 사다리가 잘 있는 F 지점 또는 그 이후까지 충격의 영향을 느끼지 못할 것이다.그림이 사다리 프레임에 그려질 때 빛의 속도는 같지만 사다리가 길기 때문에 힘이 백엔드에 도달하는 데 시간이 더 오래 걸립니다.이렇게 하면 사다리 뒤쪽이 차고 내부로 이동하는 데 충분한 시간이 걸립니다.

뒷문(사다리 밖으로 나가는 문)이 영구적으로 닫혀 있고 열리지 않으면 어떻게 합니까?문이 너무 단단해서 충돌할 때 사다리가 문을 통과하지 않기 때문에 멈춰야 한다고 가정합니다.그리고 위에서 설명한 시나리오와 같이 차고의 기준 프레임에서 사다리가 완전히 차고에 있는 순간(즉, 사다리의 뒷면이 앞문 안쪽에 있음)이 후문과 충돌하여 정지합니다.그러나 사다리의 기준틀로 보면 사다리가 차고에 들어갈 수 없을 정도로 크기 때문에 뒷문에 부딪혀 멈출 때까지 사다리의 뒷면은 아직 현관문까지 닿지 않았다.이것은 역설처럼 보인다.문제는 사다리의 뒷부분이 정문을 가로지르느냐 마느냐는 것이다.

어려움은 대부분 사다리가 단단하다는 가정(즉, 동일한 형태를 유지한다)에서 발생한다.사다리는 일상생활에서 딱딱해 보인다.그러나 완전히 강성이 되려면 무한 속도로 힘을 전달할 수 있어야 합니다(즉, 한쪽 끝을 누르면 다른 한쪽 끝이 즉시 반응해야 합니다. 그렇지 않으면 사다리가 변형됩니다).이것은 정보가 빛의 속도보다 더 빨리 이동할 수 없다는 특수 상대성 이론과 모순된다.그래서 물체는 특수상대성이론 하에서는 완전히 단단할 수 없다.

이 경우 사다리의 앞부분이 뒷문과 충돌할 때까지 사다리의 뒷부분이 아직 그것을 알지 못하기 때문에 계속 전진한다(그리고 사다리가 "압축"된다).차고의 프레임과 사다리의 관성 프레임 양쪽에서 적어도 사다리의 후면이 충돌의 광원추에 들어가는 지점(즉, 충돌 지점에서 빛의 속도로 후방으로 이동하는 힘이 도달하는 지점)까지 후방 단부가 계속 이동한다.이 시점에서 사다리는 원래 계약된 길이보다 짧기 때문에 뒷부분은 차고 안쪽에 있습니다.두 기준 프레임의 계산 결과, 이것이 사실임을 알 수 있습니다.

힘이 사다리 뒤에 도달한 후 발생하는 일(그림의 "녹색" 구역)은 지정되지 않았습니다.물리학에 따라, 사다리는 부러질 수도 있고, 또는 충분히 탄성이 있다면, 원래 길이로 구부러졌다가 다시 팽창할 수도 있다.충분히 빠른 속도에서는, 어떠한 사실적인 물질도 격렬하게 플라즈마로 폭발할 것이다.

격자의 변화에 빠진 남자

격자에 떨어지는 남자(분할된 막대기로 표현)

이 역설의 초기 버전은 원래 볼프강[1] 린들러에 의해 제안되고 해결되었으며 막대기로 대표되는 빠른 걸음의 남자가 [4]벽난로에 떨어지는 것을 포함합니다.하향 가속이 동시에 로드 내의 각 지점에 균등하게 적용되기 전에 로드가 기준 그레이트 프레임의 그레이트 위에 완전히 있다고 가정한다.

그레이트의 관점에서 보면, 로드는 길이 수축해 그레이트에 끼워진다.그러나 로드의 관점에서 보면 길이 수축이 이루어지는 그레이트이며, 이 그레이트에서는 로드가 너무 길어서 떨어질 수 없는 것처럼 보입니다.

그레이트 기준 프레임에서 동시에 발생하는 로드의 하향 가속도는 로드의 기준 프레임에서 동시에 발생하는 것이 아닙니다.로드의 기준범위에서는 우선 로드의 앞부분을 아래로 가속하고(그림의 셀3에 표시), 시간이 지남에 따라 로드의 아래쪽으로 가속하는 로드가 많아져 최종적으로 로드의 뒷부분이 아래로 가속된다.이로 인해 로드의 기준 프레임에서 로드가 구부러집니다.이 굽힘은 로드의 레스트 프레임에서 발생하므로 로드에 응력이 발생하는 실제 로드의 물리적 왜곡입니다.

로드의 이러한 비강성 거동이 명백해지려면 로드 자체와 그레이트 모두 통과 시간을 측정할 수 있는 스케일이어야 한다.

바 앤 링 패러독스

왼쪽 다이어그램은 중심이 일치할 때 링의 나머지 프레임에 있는 막대 및 링을 나타냅니다.바는 로렌츠 수축되며 링이 정지되어 있고 수축되지 않은 상태에서 위쪽으로 이동합니다.오른쪽 다이어그램은 동시에 막대의 나머지 프레임에 있는 상황을 보여 줍니다.이제 로런츠 링은 막대에 대해 수축 및 회전되고 막대는 수축되지 않습니다.다시, 링은 바 위에 닿지 않고 지나갑니다.

관성 프레임만을 포함하는 로드와 그레이트 패러독스보다 매우 유사하지만 단순한 문제는 "바와 링" 패러독스이다(Feraro 2007).막대기와 격자의 역설은 복잡하다: 한 순간 남자가 수평으로 걷고 있고, 한 순간 그가 아래로 떨어지고 있기 때문에 비관성 기준 프레임을 포함한다; 그리고 그것은 막대기가 하나의 기준 프레임에서 구부러지고 다른 기준 프레임에서 곧게 구부러지기 때문에 남자(또는 분할된 막대)의 물리적 변형을 포함한다.이러한 문제의 측면은 "파라독스"의 본질을 모호하게 하는 경향이 있는 로드의 강성과 관련된 합병증을 유발합니다."막대와 고리" 역설은 이러한 복잡함에서 자유롭다: 고리의 직경보다 약간 더 긴 막대가 긴 축을 수평으로 하여 위로 그리고 오른쪽으로 이동하고 고리의 평면 또한 수평이다.바의 움직임이 어느 시점에서 바의 중심이 링의 중심과 일치할 경우, 바의 움직임의 전방 구성요소에 의해 로런츠 수축되어 링을 통과합니다.바의 나머지 프레임에서 문제가 고려되면 역설적인 현상이 발생합니다.고리는 이제 아래로 왼쪽으로 이동하며 수평 길이를 따라 로렌츠 수축되지만 바는 전혀 수축되지 않습니다.막대가 링을 어떻게 통과해?

역설의 해결은 동시성의 상대성에 있다(페라로 2007).물리적 물체의 길이는 신체의 양 끝에서 동시에 발생하는 두 사건 사이의 거리로 정의되며, 동시성은 상대적이므로 이 길이도 마찬가지입니다.이 길이의 변동은 로렌츠 수축일 뿐이다.마찬가지로 물리적 각도는 3개의 동시 이벤트에 의해 형성된 각도로 정의되며, 이 각도도 상대량이 됩니다.상기 패러독스에서는 로드와 링의 평면은 링의 레스트 프레임에서는 평행하지만, 로드의 레스트 프레임에서는 평행하지 않다.수축되지 않은 로드는 로드가 통과할 수 있을 만큼 로드에 대해 링 평면이 회전하기 때문에 로런츠 수축 링을 통과합니다.

수학적인 용어로, 로렌츠 변환은 공간 회전을 수반하지 않는 "적절한" 로렌츠 변환의 곱으로 분리될 수 있다.막대 및 링 역설의 수학적 분해능은 두 개의 적절한 로렌츠 변환(수평 및 수직)의 곱이 적절하지 않고 오히려 공간 회전 성분을 포함하는 로렌츠 변환을 생성할 수 있다는 사실에 기초한다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ a b c Rindler, Wolfgang (1961). "Length Contraction Paradox". American Journal of Physics. 29 (6): 365–366. Bibcode:1961AmJPh..29..365R. doi:10.1119/1.1937789.
  2. ^ Rindler는 동시 가속을 경험하는 로드를 설명합니다.
  3. ^ Rindler는 순차 가속 중인 로드를 설명합니다.
  4. ^ Edwin F. Taylor; John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. New York: W. H. Freeman. pp. 116. ISBN 0-7167-2327-1.

레퍼런스

추가 정보

  • 에드윈 F.Taylor and John Archibald Wheeler, 시공간 물리학 (제2판) (Freeman, NY, 1992년)
- 다양한 명백한 SR 패러독스와 그 해결책에 대해 논의한다.

외부 링크

Wikimedia Commons에는 Ladder 패러독스와 관련된 미디어가 있습니다.
  • 존 드 필리스의 특수 상대성 애니메이션.이 인터액티브 애니메이션 기차와 터널의 역설은 폴(열차)과 헛간(터널)의 역설과 유사합니다.