점(기하학)

고전적인 유클리드 기하학에서 점은 공간의 정확한 위치를 모델링하는 원시적인 개념이며 길이, 너비 또는 ^[1]두께가 없습니다.현대 수학에서 점은 일반적으로 공간이라고 불리는 어떤 집합의 요소를 가리킵니다.

원시적인 개념이라는 것은 점이 이전에 정의된 객체의 관점에서 정의될 수 없다는 것을 의미합니다.즉, 점은 "두 개의 다른 점을 통과하는 선이 정확히 한 개 있다"와 같은 공리라고 불리는 일부 성질에 의해서만 정의됩니다.

유클리드 기하학의 점

유클리드 기하학의 틀 안에서 고려되는 점들은 가장 기본적인 물체 중 하나입니다.유클리드는 원래 이 점을 "부분이 ^[2]없는 것"으로 정의했습니다.2차원 유클리드 평면에서 점은 순서쌍( $x$ , $y$ )의 숫자로 표시되며, 여기서 첫 번째 숫자는 관례적으로 수평을 나타내고 종종 $x$ 로 표시되며, 두 번째 숫자는 관례적으로 수직을 나타내며 종종 $y$ 로 표시됩니다.이 아이디어는 3차원 유클리드 공간으로 쉽게 일반화되며, 여기서 점은 깊이를 나타내는 추가적인 세 번째 숫자를 가진 순서 삼중항( $x$ , $y$ , $z$ )으로 표시되고 종종 $z$ 로 표시됩니다.추가 일반화는 n개 항의 $순서$ 투플렛으로 표시되며, $여기$ 서₁₂_n n은점이 ^[3]위치한 공간의 차원입니다 $.$

유클리드 기하학 내의 많은 구성 요소는 특정 공리에 부합하는 점들의 무한한 집합으로 구성됩니다.이것은 보통 점들의 집합으로 표현됩니다. 예를 들어, 선은 형태의 점들의 무한한 집합입니다.

L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n}) a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace,

여기

서₁

c

부터_n c,

d

는

상수

이고 n은 공간의 차원입니다.평면, 선분 및 기타 관련 ^[4]개념을 정의하는 유사한 구성이 있습니다.단일 점으로만 구성된 선분을 축퇴 ^{[citation needed]}선분이라고 합니다.

유클리드는 점과 점과 관련된 구조를 정의하는 것 외에도 점에 대한 핵심적인 아이디어를 가정하였는데, 어떤 두 점도 ^[5]직선으로 연결될 수 있다는 것입니다.이것은 유클리드 기하학의 현대적 확장 하에서 쉽게 확인될 수 있으며, 그 도입 시 지속적인 결과를 가져 당시 알려진 거의 모든 기하학적 개념의 구축을 가능하게 했습니다.그러나 유클리드의 점에 대한 가정은 완전하지도 않고 확정적이지도 않았으며, 그는 종종 선 위의 점들의 순서나 특정한 점들의 존재와 같은 그의 공리로부터 직접적으로 따르지 않는 점들에 대한 사실들을 가정했습니다.그럼에도 불구하고, 시스템의 현대적 확장은 ^{[citation needed]}이러한 가정을 제거하는 역할을 합니다.

점의 치수

수학에는 차원에 대한 몇 가지 동등하지 않은 정의가 있습니다.모든 일반적인 정의에서 점은 0차원입니다.

벡터공간차원

벡터 공간의 차원은 선형으로 독립된 부분 집합의 최대 크기입니다.단일 점(영벡터 0이어야 함)으로 구성된 벡터 공간에는 선형 독립 부분 집합이 없습니다.영벡터 자체는 선형 독립적이지 않은데, 이는 영벡터를 0으로 만드는 비논리적인 선형 조합이 있기 때문입니다: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ ≥ $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ = $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ {\ $displaystyle$ 1 $\cdot \mathbf {0}$ =\ $mathbf {0}$ $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$

위상차원

위상 $공간$ X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 위상 차원은 n의 최소값으로 정의되며,X ${\$ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 모든 유한 열린 ${\mathcal {A}}$ ${\$ {\ $mathcal {A}}$ 은 ${\mathcal {A}}$ $($ 는) n+1개 이상의 요소에 점이 포함되지 않는 {\ $displaystyle$ ${\$ mathcal { $A}}을$ 를) ${\mathcal {A}}$ 하는 X {\displaystyle {\ $mathcal$ {B ${\mathcal {B}}$ }}의 $유한$ 열린 ${\mathcal {B}}$ B ${\mathcal {B}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {B $}}$ 를 허용합니다.만약 그러한 최소 n이 존재하지 않는다면, 공간은 무한 피복 차원이라고 합니다.

공간의 열린 덮개마다 단일 열린 집합으로 구성된 정교화가 있기 때문에 점은 피복 치수에 대해 0차원입니다.

하우스도르프 차원

X를 미터법의 공간이라 합니다.S ⊂ X 및 d ∈ [0, ∞]일 때, S의 d차원 하우스도르프 함량은 공 $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ { B (xi, $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ ) : $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ ∈ $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ $}$ {\ $displaystyle$ \{ $B(x_{i$ }, $r_{i})$ $i\in$ I $\}$ 를 만족시키는 각 i ∈ I에 대해 r > 0으로 S를 덮음

\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .

X의 하우스도르프 차원은 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H}(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

임의로 작은 반지름의 단일 공으로 덮일 수 있기 때문에 점은 하우스도르프 차원 0을 갖습니다.

점 없는 지오메트리

점의 개념은 일반적으로 주류 기하학 및 위상수학에서 기본적인 것으로 간주되지만, 비가환 기하학 및 무의미한 위상수학과 같은 일부 시스템이 있습니다."무점" 또는 "무점" 공간은 집합이 아니라 집합에서 잘 알려진 함수 공간처럼 보이는 어떤 구조(각각 대수적 또는 논리적)를 통해 정의됩니다: 연속 함수의 대수 또는 집합의 대수.더 정확하게, 이러한 구조는 "이 시점에서 값을 취하라"는 연산이 ^[6]정의되지 않을 수 있는 방식으로 잘 알려진 함수 공간을 일반화합니다.또 다른 전통은 A. N. 화이트헤드의 몇몇 책에서 지역의 개념이 포함 또는 연결의 ^[7]개념과 함께 원시적인 것으로 간주되는 것에서 시작됩니다.

점 질량과 디랙 델타 함수

물리학이나 수학에서는 질량이나 전하가 0이 아닌 점을 생각하는 것이 유용합니다.디랙 델타 함수(Dirac delta function) 또는 π 함수는 (비공식적으로) 실수선에서 0을 제외한 모든 곳에서 0이 되는 일반화된 함수이며,^[8] 실수선 전체에서 1의 적분을 갖습니다.델타 함수는 때때로 원점에서 무한히 높고 무한히 얇은 스파이크로 간주되며, 스파이크 아래의 전체 면적이 1이고, 물리적으로 이상화된 점 질량 또는 ^[9]점 전하를 나타냅니다.이론물리학자 폴 디랙에 의해 소개되었습니다.신호 처리의 맥락에서 이를 단위 임펄스 기호(^[10]또는 함수)라고 합니다.그것의 이산 아날로그는 일반적으로 유한 도메인에서 정의되고 0과 1의 값을 가지는 크로네커 델타 함수입니다.

참고 항목

메모들

^ 오머(1969), 페이지 34-37.
^ 히스(1956), 153쪽.
^ 실버맨 (1969), p. 7.
^ 드 라구나 (1922).
^ 히스(1956), 페이지 154.
^ Gerla (1985). sfnp 오류: 대상 없음: CITEREFGerla1985 (도움말)
^ 화이트헤드 (1919, 1920, 1929).
^ Dirac(1958), p. 58, 보다 구체적으로 §15 참조.δ 함수 ; Gelfand & Shilov (1964), pp. 1-5, §§ 1.1, 1.3 참조; Schwartz (1950), p. 3.
^ Arfken & Weber (2005), 페이지 84.
^ 브레이스웰 (1986), 5장.

참고문헌

Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Mathematical Methods For Physicists International Student Edition (6th ed.). Academic Press.
Bracewell, Ronald N. (1986). The Fourier transform and its applications (3rd ed.). New York: McGraw-Hill Series. ISBN 0-07-007015-6.
Clarke, Bowman (1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61–75.
de Laguna, T. (1922). "Point, line and surface as sets of solids,". The Journal of Philosophy. 19 (17): 449–461. doi:10.2307/2939504. JSTOR 2939504.
Dirac, Paul (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press.
Gelfand, Israel; Shilov, Georgiy (1964). Generalized Functions: Properties and Operations. Vol. 1. Academic Press. ISBN 0-12-279501-6.
Gerla, G (1995). "Pointless Geometries" (PDF). In Buekenhout, F.; Kantor, W (eds.). Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations. North-Holland. p. 1015–1031.
Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Vol. 1 (2nd ed.). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2.
Ohmer, Merlin M. (1969). Elementary Geometry for Teachers. Reading: Addison-Wesley. OCLC 00218666.
Schwartz, Laurent (1950). Théorie des distributions (in French). Vol. 1.
Silverman, Richard A. (1969). Modern Calculus and Analytic Geometry. Macmillan.
Whitehead, A. N. (1919). An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge: University Press.
Whitehead, A. N. (1920). The Concept of Nature. Cambridge: University Press.Whitehead, A. N. (1920). The Concept of Nature. Cambridge: University Press.2004년 페이퍼백, 프로메테우스 북스.1919년 트리니티 칼리지에서 진행된 타너 강연.
Whitehead, A. N (1929). Process and Reality: An Essay in Cosmology. Free Press.

외부 링크

"Point". PlanetMath.
Weisstein, Eric W. "Point". MathWorld.

[FOOTNOTEOhmer196934&ndash;37-1] 오머(1969), 페이지 34-37.

[FOOTNOTEHeath1956153-2] 히스(1956), 153쪽.

[FOOTNOTESilverman19697-3] 실버맨 (1969), p. 7.

[FOOTNOTEde_Laguna1922-4] 드 라구나 (1922).

[FOOTNOTEHeath1956154-5] 히스(1956), 페이지 154.

[FOOTNOTEGerla1985-6] Gerla (1985). sfnp 오류: 대상 없음: CITEREFGerla1985 (도움말)

[7] 화이트헤드 (1919, 1920, 1929).

[FOOTNOTEDirac195858More_specifically,_see_§15._The_δ_functionGelfandShilov19641–5See_§§1.1,_1.3Schwartz19503-8] Dirac(1958), p. 58, 보다 구체적으로 §15 참조.δ 함수 ; Gelfand & Shilov (1964), pp. 1-5, §§ 1.1, 1.3 참조; Schwartz (1950), p. 3.

[FOOTNOTEArfkenWeber200584-9] Arfken & Weber (2005), 페이지 84.

[FOOTNOTEBracewell1986Chapter_5-10] 브레이스웰 (1986), 5장.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v t 치수
차원공간	벡터공간 유클리드 공간 아핀 공간 사영공간 프리 모듈 다지관 대수다양성 시공간
기타차원	크룰 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
다지형 및 모양	초평면 초표면 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 초구 크로스 폴리토프 심플렉스 하이퍼피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 n차원의
참고 항목	초공간 코디멘션
카테고리

v t 위상
필드	일반(포인트 세트) 대수학 콤비나토리아 연속체 미분 기하학적 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합론 디지털.
주요개념	오픈세트 / 클로즈세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법의 일률적인 호모토피 호모토피 그룹 기본군 심플리컴플렉스 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 차분공간 코보디즘
메트릭 및 속성	오일러 특성 베티수 권수 체른수 방향성
주요결과	바나흐 고정점 정리 드 람 코호몰로지 도메인 불변성 푸앵카레 추측 티초노프의 정리 유리존의 보조정리
카테고리 수학 포털 위키북 위키다양성 토픽 개괄적인 대수적인 기하학적 간행물

Search