교차 폴리토프

치수 2 ~ 5의 교차 폴리톱

2차원 광장	3차원 팔면체
4차원 16 셀	5차원 5 직각

기하학에서, 교차 폴리토프,^[1] 초팔면체, ^[2]직교 또는 코큐브는 n차원 유클리드 공간에 존재하는 정다각형, 볼록형 폴리토프이다.2차원 크로스 폴리토프는 정사각형, 3차원 크로스 폴리토프는 정팔면체, 4차원 크로스 폴리토프는 16셀이다.그 면은 이전 치수의 심플렉스이며, 교차 폴리토프의 정점 도형은 이전 치수와 다른 교차 폴리토프입니다.

교차 폴리토프의 정점은 각 좌표 축을 따라 가리키는 단위 벡터로 선택할 수 있습니다. 즉, (±1, 0, 0, ..., 0)의 모든 순열입니다.교차 폴리토프는 꼭지점의 볼록한 선체입니다.n차원 교차 폴리토프는 또한 R의₁ⁿ θ-노름에서 닫힌 단위 볼(또는 일부 저자에 따르면 경계)로 정의할 수 있다.

$\displaystyle \{x\in \mathbb {R}^{n}:\x\_{1}\leq 1\}$

1차원에서 교차 폴리토프는 단순히 선분 [-1, +1]이며, 2차원에서는 정점이 {(±1, 0), (0, ±1)}인 정사각형(또는 다이아몬드)입니다.3차원에서 그것은 팔면체이며, 플라톤 고체라고 알려진 5개의 볼록한 정다면체 중 하나이다.이것은 (n-1)-정통 기저부를 가진 2각형으로 구성되는 n-정통으로 더 높은 차원으로 일반화할 수 있다.

교차 폴리토프는 하이퍼큐브의 이중 폴리토프입니다.n차원 교차 폴리토프의 1-스켈톤은 Turan 그래프 T(2n, n)이다.

4차원

4차원 교차 폴리토프는 또한 헥사코론 또는 16-셀이라는 이름으로 통한다.이것은 6개의 볼록한 정4폴리토프 중 하나입니다.이 4-폴리토프는 19세기 중반 스위스 수학자 루드비히 슐레플리에 의해 처음 설명되었습니다.

고차원

교차 폴리토프 패밀리는 콕서터에 의해 β로 표시된_n 세 개의 정규 폴리토프 패밀리 중 하나이며, 나머지 두 개는 β로_n 표시된 하이퍼큐브 패밀리와 α로 표시된_n 단순체이다.네 번째 가족, 하이퍼큐브의 무한 테셀레이션, 그는 ^[3]δ라고_n 이름 붙였다.

n차원 교차 폴리토프는 2n개의 정점과ⁿ (n - 1)차원 성분인 2개의 패싯을 가지고 있으며 모두 (n - 1)-단순입니다.꼭지점 수치는 모두 (n - 1)-교차 폴리톱입니다.교차 폴리토프의 슐레플리 기호는 {3,3,4}입니다.

n차원 교차 폴리토프의 이면각은 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ n $=$ ${\displaystyle \arccos }$θ (${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$- $){$}=\$arccos \lefts \frac {2-n}{n$$right$이다.이 값은 다음과 같습니다. θ₂ = arccos(0/2) = 90°,δ₃ = arccos / 1/3) = 109.47₄°, ar = arccos 2 2/4) = 120°,θ₅ = 아크코스θ3/5) = 126.87°, ...δ_∞ = arccos 11) = 180°

n차원 교차 폴리토프의 하이퍼볼륨은

${\displaystyle\frac{2^{n}}{n!}}.}$

반대편이 아닌 정점의 각 쌍에 대해 결합하는 가장자리가 있습니다.보다 일반적으로, 각 k + 1 직교 꼭지점 집합은 해당 꼭지점을 포함하는 고유한 k차원 성분에 해당합니다.n차원 교차 폴리토프에서 k차원 성분(수직, 모서리, 면, ..., 면)의 수는 다음과 같이 구한다(이항 계수 참조).

${\displaystyle 2^{k+1}{n\choose {k+1}}}$^[4]

교차 폴리톱을 2차원 그래프로 표시할 수 있는 많은 맞춤법이 있습니다.Petrie 폴리곤 투영은 점을 일반 2n곤 또는 그보다 낮은 차수의 일반 폴리곤으로 매핑합니다.두 번째 투영에서는 2개의 정점이 중앙에 매핑된 축을 따라 투영된 2(n-1)곤의 2평형 다각형(bipypyramid는 축 아래로 투영합니다.

교차 폴리토프 요소

n	βn k11	이름 그래프	그래프 2n곤	슐레플리	콕서터딘킨 도표	꼭지점	가장자리	얼굴	셀	4면	5면	6면	7면	8면	9면	10면
0	β0	포인트 0 직각	.	( )		1
1	β1	선분 일직선		{ }		2	1
2	β2 - 111	광장 2직교 비크로스		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β3 011	팔면체 3배속 트리크로스		{3,4} {31,1} 3{ }		6	12	8	1
4	β4 1개11	16 셀 4직교 테트라크로스		{3,3,4} {3,31,1} 4{ }		8	24	32	16	1
5	β5 2개11	5 직각 펜타크로스		{33,4} {3,3,31,1} 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β6 3개11	6직교 헥사크로스		{34,4} {33,31,1} 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	β7 4개11	7 직각 헵타크로스		{35,4} {34,31,1} 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β8 5개11	8 직각 옥타크로스		{36,4} {35,31,1} 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β9 6개11	9직교 에네아크로스		{37,4} {36,31,1} 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β10 7개11	10배속 데카크로스		{38,4} {37,31,1} 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	βn k11	n직교차 n크로스		{3n − 2,4} {3n − 3,31,1} n{}	... ... ...	2n 0-faces, ... ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\displaystyle {+}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k + ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{}}$)$${$displaystyle 2^{k+1}{n \choose$ k$+1}$ k-faces$$ ..., 2n (n-1)-faces

축 정렬 교차 폴리토프의 꼭지점은 모두 맨해튼 거리(L¹ 노름)에서 서로 동일한 거리에 있습니다.쿠스너의 추측에 따르면 이 2D 점 집합이 이 ^[5]거리에 대해 가능한 가장 큰 등거리 집합입니다.

일반 직교

규칙적인 복소다포체는 일반화 정다포체(또는 교차다포체), β^p
_n = {3}{₂3}...₂라고 불리는 복잡한 힐베르트 공간에서 정의될 수 있다.{4},_p 또는...실제 용액은 p = 2와 함께 존재한다. 즉²
_n, β_n = β = {3}{₂3}...₂{4}₂ = {3,3, ..,4}. p > 2의 경우 C$$ {\$displaystyle \mathbb {C} ^{n$에 존재합니다. p-일반화된 n-orthoplex에는 pn 정점이 있습니다.일반화된 직교 정족수는 규칙적인 심플렉스(실제)를 ^[6]면으로 가진다.일반화 직각은 완전한 다단계 그래프를 만들고^p
₂, β는 완전한 초당 그래프를 위해 K를 만들고_p,p^p
₃, β는 완전한 3단계 그래프를 위해 K를 만든다_p,p,p.β는^p
_n K를 생성한다_pⁿ.n의 배수를 제외한 모든 정점 쌍이 연결된 상태에서 모든 정점을 원 위에 균등하게 간격을 두고 매핑하는 직교 투영을 정의할 수 있습니다.이러한 직교 투영에서 일반 폴리곤 둘레를 페트리 폴리곤이라고 합니다.

일반화 직각

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$	2{4}2 = {4} = K2,2.	$\displaystyle \mathbb {C} ^{2}$	2{4}3 = K3,3.	2{4}4 = K4,4.	2{4}5 = K5,5.	2{4}6 = K6,6.	2{4}7 = K7,7.	2{4}8 = K8,8.
$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$	2{3}{24}2 = {3,4} = K2,2,2.	$\displaystyle \mathbb {C} ^{3}$	2{3}{24}3 = K3,3,3.	2{3}{24}4 = K4,4,4.	2{3}{24}5 = K5,5,5.	2{3}{24}6 = K6,6,6.	2{3}{24}7 = K7,7,7.	2{3}{24}8 = K8,8,8.
$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}$	2{3}2{3}2 {3,3,4} = K2,2,2,2.	$\displaystyle \mathbb {C} ^{4}$	2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3.	2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4.	2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5.	2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6.	2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7.	2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8.
$\displaystyle \mathbb {R} ^{5}$	2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,4} = K2,2,2,2,2.	$\displaystyle \mathbb {C} ^{5}$	2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3.	2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4.	2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5.	2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6.	2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7.	2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8.
$\displaystyle \mathbb {R} ^{6}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} = K2,2,2,2,2,2.	$\displaystyle \mathbb {C} ^{6}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3,3.	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4,4.	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5,5.	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6,6.	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7,7.	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8,8.

관련 폴리토프 패밀리

크로스 폴리톱은 이중 큐브와 결합하여 복합 폴리톱을 형성할 수 있습니다.

• 2차원에서 팔괘별 도형 {}을 구한다.8/2},
• 3차원에서 우리는 입방체와 8면체의 화합물을 얻는다.
• 4차원으로 우리는 정삼각과 16세포의 화합물을 얻는다.

「 」를 참조해 주세요.

• 일반 폴리토프 목록
• 교차 폴리토프의 대칭군인 초팔면체군

인용문

레퍼런스

• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover.
  • 페이지 121-122, § 7.21. 그림 7.2 참조B.
  • 페이지 296, 표 I (iii)일반 폴리토프, n차원(n55)의 3개의 일반 폴리토프

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cross polytope". MathWorld.

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E6/E7/E8/F4/G2	Hn
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	122 • 221
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	132 • 231 • 321
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	142 • 241 • 421
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	n-오각형 폴리토프
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