로렌츠 변환

시리즈의 일부
시공간
특수상대성이론 일반상대성이론
시공간 개념 시공간 다양체 등가원칙 로렌츠 변환 민코프스키 공간
일반상대성이론 일반상대성이론 입문 일반 상대성 수학 아인슈타인 장 방정식
고전 중력 중력 입문 뉴턴의 만유인력의 법칙
관련 수학 4벡터 상대성 이론의 파생 시공간도 미분 지오메트리 곡선 시공간 일반 상대성 수학 시공간 토폴로지
물리 포털 카테고리
v t

물리학에서 로렌츠 변환(Lorentz transformation)은 시공간에서 좌표 프레임에서 전자에 대해 일정한 속도로 이동하는 다른 프레임으로 선형 변환하는 6개의 매개 변수 패밀리입니다.각각의 역변환은 이 속도의 음수에 의해 파라미터화된다.그 변형들은 네덜란드의 물리학자 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 지어졌다.

변환의 가장 일반적인 형태는 x방향에 한정된 속도를 나타내는$$ 실제 $상수{\displaystyle }$ v$,$ {\$displaystyle$v,}에 의해 파라미터화되며 다음과 같이 표현됩니다^[1][2].

여기서 (t, x, y, z) 및 (ttft, xtft, ytft, ztft)는 t=tft=0에서 일치하는 두 프레임의 사건 좌표입니다. 여기서 프라이밍된 프레임은 x축을 따라 속도 v와 함께 이동하며, 여기서 c는 빛의 속도이고, $\theta$ (${1\sqrt{\mathrm{}}}^{}$ - ${\sqrt{\frac{{v\mathrm{}}^{}}{}}}^{}$ ${\sqrt{\frac{{}^{}}{{}^{}}}}^{}$ ${\sqrt{\frac{{c\mathrm{}}^{}}{}}}^{}$ $\textyle$1 - ${\mathrm{textyle}}^{}$$c {v^{2}}$ {$c^{2}}}}\right)^{-1}$은 로렌츠 계수이다.속도 v가 c보다 훨씬 작을 경우 로렌츠 계수는 1과 거의 차이가 없지만 v가 c에 가까워질수록 $(\displaystyle \gamma)$는 제한 없이 커집니다.변환을 사용하려면 v 값이 c보다 작아야 합니다.

속도를 β $=$ $\frac{v}{}$c ,$${\$textstyle \syslogs$=$frac {v}{c}}$로 표현하면 변환의^[3] 등가 형식은 다음과 같습니다.

기준 프레임은 관성(등속 상대 운동)과 비관성(가속, 곡선 경로 이동, 일정한 각속도 회전 운동 등)의 두 그룹으로 나눌 수 있다."로렌츠 변환"이라는 용어는 보통 특수 상대성 이론의 맥락에서 관성 프레임 사이의 변환만을 가리킵니다.

각 기준 프레임에서 관찰자는 로컬 좌표계(일반적으로 이 컨텍스트에서는 데카르트 좌표계)를 사용하여 길이를 측정하고 시계를 사용하여 시간 간격을 측정할 수 있습니다.사건은 시간의 한 순간에, 또는 더 형식적으로 시공간 한 지점에서 일어나는 것이다.변환은 각 ^{[nb 1]}프레임의 관찰자에 의해 측정된 이벤트의 공간 및 시간 좌표를 연결합니다.

그들은 절대적인 공간과 시간을 가정하는 뉴턴 물리학의 갈릴레오 변환을 대체한다.갈릴레오 변환은 빛의 속도보다 훨씬 낮은 상대 속도에서만 좋은 근사치입니다.로렌츠 변환에는 갈릴레오 변환에는 나타나지 않는 수많은 의도하지 않은 특징이 있습니다.예를 들어, 다른 속도로 이동하는 관측자가 다른 거리, 경과 시간, 심지어 다른 이벤트의 순서를 측정할 수 있다는 사실을 반영하지만, 빛의 속도는 항상 모든 관성 기준 프레임에서 동일하다.광속의 불변성은 특수 상대성 이론의 가설 중 하나이다.

역사적으로, 변환은 Lorentz와 다른 사람들이 빛의 속도가 기준 프레임으로부터 어떻게 관찰되는지를 설명하고 전자기 법칙의 대칭을 이해하려는 시도의 결과였다.로렌츠 변환은 알버트 아인슈타인의 특수 상대성 이론과 일치하지만 먼저 도출되었다.

로렌츠 변환은 선형 변환입니다.그것은 공간의 회전을 포함할 수 있다; 회전이 없는 로렌츠 변환은 로렌츠 부스트라고 불린다.특수상대성이론의 시공간 수학적 모델인 민코프스키 공간에서 로렌츠 변환은 두 사건 사이의 시공간 간격을 보존한다.이 특성은 로렌츠 변환의 정의 특성입니다.원점에서 시공간 이벤트가 고정된 상태로 유지되는 변환만 설명합니다.그것들은 민코프스키 공간의 쌍곡선 회전으로 간주될 수 있다.변화의 번역 등이 포함된 더 일반적인 집합이 푸앵카레 대칭으로 알려져 있다.

역사

월드마 보이그트, 조지 피츠제럴드, 조셉 라모르, 헨드릭^[4] 로렌츠를 포함한 많은 물리학자들은 ^[5]1887년부터 이 방정식에 의해 암시된 물리학을 논해 왔다.1889년 초, 올리버 헤비사이드는 맥스웰의 방정식에서 전하가 발광 에테르에 대해 움직이면 구형 전하 분포를 둘러싼 전장이 구형 대칭을 갖는 것을 멈추어야 한다는 것을 보여 주었다.피츠제럴드는 헤비사이드의 왜곡 결과가 분자간 힘 이론에 적용될 수 있다고 추측했다.몇 달 후, 피츠제럴드는 1887년 마이클슨과 몰리의 에테르풍 실험의 당혹스러운 결과를 설명하기 위해 움직이는 물체가 수축하고 있다는 추측을 발표했다.1892년 로렌츠는 독립적으로 같은 생각을 좀 더 상세한 방식으로 제시하였고, 그 후 피츠제럴드-로렌츠 수축 ^[6]가설로 불렸다.그들의 설명은 1905년 ^[7]이전에 널리 알려져 있었다.

밝은 에테르 가설을 믿었던 로렌츠 (1892–1904)와 라르모르 (1897–1900)는 또한 에테르에서 움직이는 틀로 바뀔 때 맥스웰의 방정식이 변하지 않는 변형을 찾았다.그들은 피츠제럴드-로렌츠 수축 가설을 확장했고 시간 좌표도 수정해야 한다는 것을 알아냈다("현지 시간").앙리 푸앵카레는 움직이는 ^[8]프레임에서 빛의 속도가 일정하다는 가정 하에 클럭 동기화의 결과로 현지 시간(v/c의 첫 번째 순서, 빛의 속도에 대해 정규화된 두 기준 프레임의 상대 속도)을 물리적으로 해석했다.라모르는 그의 ^[9]방정식에 내재된 중요한 시간 연장 특성을 최초로 이해한 것으로 인정받고 있다.

1905년, 푸앵카레는 변환이 수학 그룹의 특성을 가지고 있다는 것을 처음으로 인식했고,^[10] 로렌츠의 이름을 따서 그것을 명명했다.같은 해 후반, 알버트 아인슈타인은 상대성 원리와 관성 기준 프레임에서 빛의 속도의 항상성의 가정 하에 로렌츠 변환을 도출하고,^[11] 기계적 에테르를 불필요하게 버림으로써 현재 특수 상대성이라고 불리는 것을 발표했다.

로렌츠 변환군의 유도

사건은 시공간에서, 또는 더 일반적으로 시공간 그 자체의 지점에서 일어나는 것이다.관성 프레임에서 이벤트는 시간 좌표 ct 및 일련의 데카르트 좌표 x, y, z에 의해 지정되며 해당 프레임 내의 공간 내 위치를 지정한다.첨자는 개별 이벤트에 레이블을 지정합니다.

아인슈타인의 두 번째 상대성 가정(c의 불변성)에서 다음과 같이 나옵니다.

$${{displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\colon {text{{1}-{1}}$$

(D1)

광신호로 연결된 이벤트에 대한 모든 관성 프레임에서 사용됩니다.왼쪽의 양을 a₁ = (t₁, x₁, y₁, z₁)와 a₂ = (t₂, x₂, y₂, z₂) 사이의 시공간 간격이라고 합니다.광신호에 의해 반드시 분리되지 않는 두 사건 사이의 간격은 사실상 불변하다. 즉, 공간의 균질성과 등방성을 사용하여 보여지는 것과 같이 다른 관성 프레임에서 관찰자의 상대 운동 상태와 무관하다.따라서 추구하는 변환은 다음과 같은 특성을 가져야 한다.

$${{displaystyle {argined}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^2}-(z_{2}-z_{1})^2}-{2}\[6pt]={1}&c^2}(2)_{1}-{2}-(t)\end { aligned}}$$

(D2)

여기서 (ct, x, y, z)는 한 프레임에서 이벤트를 정의하는 데 사용되는 시공간 좌표이고 (ctθ, xθ, yθ, zθ)는 다른 프레임의 좌표입니다.우선, 이벤트 a₁, a에₂ 임의의 4 태플의 숫자 b를 더하면, (D2)가 만족하는 것을 관측한다.이러한 변환은 시공간 번역이라고 불리며 여기서 더 이상 다루지 않습니다.다음으로 단순한 문제의 근원을 보존하는 선형 솔루션이 일반적인 문제도 해결한다는 것을 알 수 있습니다.

$${{displaystyle {text{aligned}&c^{2}-x^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\c^{2}_{1}-y}-{2}t}$$

(D3)

(왼쪽 공식을 만족시키는 해는 오른쪽 공식을 만족시키기도 한다. 편파 항등식 참조).단순한 문제에 대한 해답을 찾는 것은 다양한 ^{[nb 2]}표식의 쌍선형 형태를 보존하는 고전적인 그룹의 이론을 찾아보는 문제일 뿐이다.(D3)의 첫 번째 방정식은 다음과 같이 보다 간결하게 작성할 수 있습니다.

$$\displaystyle (a,a)=(a',a')\cdot a=a'\cdot a',$$

(D4)

여기서 (··)는 (D3)의 오른쪽 공식에 의해 노출된 R 위의⁴ 표식(1, 3)의 쌍선형 형태를 말한다.오른쪽에 정의된 대체 표기법은 상대론적 점곱이라고 합니다.이 쌍선형 형태를 가진 R로⁴ 수학적으로 보이는 시공간을 민코프스키 공간 M이라고 한다.따라서 로렌츠 변환은 O(1, 3)군, 로렌츠군, 또는 다른 메트릭 시그니처를 선호하는 경우에는 O(3, 1)군(^{[nb 3]}로렌츠군이라고도 함)의 원소입니다.다음 중 하나가 있습니다.

$$\displaystyle (a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\display \Lambda \in \mathrm {O}(1,3),\display a,a'\in M,}$$

(D5)

(δ의 선형성과 형태의 이중 선형성에 의해) (D2)가 충족됨을 암시하는 이중 선형 형태(D3)의 정밀 보존이다.로렌츠 그룹의 원소는 회전, 부스트, 혼합입니다.시공간 변환을 포함하면 불균일한 로렌츠 군 또는 푸앵카레 군을 얻을 수 있다.

일반론

프라이밍된 시공간 좌표와 프라이밍되지 않은 시공간 좌표 사이의 관계는 로렌츠 변환이며, 한 프레임의 각 좌표는 다른 프레임의 모든 좌표에 대한 선형 함수이며, 역함수는 역변환입니다.프레임이 서로 상대적으로 이동하는 방법 및 프레임이 서로 상대적인 공간에서의 방향에 따라 방향, 속도 및 방향을 설명하는 다른 파라미터가 변환 방정식에 들어갑니다.

일정한(균일한) 속도로 공간 좌표 축의 회전 없이 상대 운동을 설명하는 변환을 부스트라고 하며 프레임 간의 상대 속도가 변환의 매개 변수입니다.로렌츠 변환의 또 다른 기본 유형은 공간 좌표에서의 회전이며, 부스트와 같은 부스트는 상대적인 움직임이 없기 때문에 관성 변환이며, 프레임은 단순히 기울어져 있고(그리고 연속적으로 회전하지 않음), 이 경우 회전을 정의하는 양이 변환의 매개 변수이다(예: 축-각도 재구성).esentation, 또는 오일러 각도 등).회전과 부스트의 조합은 원점을 원점으로 다시 변환하는 균질 변환입니다.

전체 로렌츠 군 O(3, 1)는 또한 회전도 부스트도 아닌 원점을 통과하는 평면에서의 반사인 특수 변환을 포함합니다.이들 중 두 가지를 꼽을 수 있다. 즉, 모든 사건의 공간 좌표가 부호로 반전되는 공간 반전과 각 사건의 시간 좌표가 부호로 반전되는 시간 반전이 그것이다.

부스트는 시공간에서의 단순한 변위와 결합되어서는 안 된다. 이 경우, 좌표계는 단순히 이동되고 상대적인 움직임은 없다.그러나, 이것들은 시공간 간격 불변성을 남기 때문에 특수 상대성이론에 의해 강제된 대칭으로도 계산된다.부스트와 부스트의 조합, 그리고 시공간에서의 시프트는 비균질 로렌츠 변환으로, 비균질 로렌츠 그룹이라고도 불리는 푸앵카레 그룹의 요소입니다.

로렌츠 부스트의 물리적 공식화

좌표 변환

프레임 F의 "정지" 옵서버는 좌표가 t, x, y, z인 이벤트를 정의합니다.다른 프레임 F f은 F에 대해 속도 v relative로 이동하며, 이 "이동" 프레임 F defines 내의 관찰자는 좌표 t,, x,, y,, z′를 이용하여 이벤트를 정의한다.

각 프레임의 좌표축은 평행(x축과 x축은 평행, y축과 y축은 평행, z축과 z축은 평행)이며, 서로 수직인 채로 있으며, 상대운동은 일치하는 xx축을 따라 있습니다.t = tµ = 0일 때 두 좌표계의 원점은 동일합니다. (x, y, z) = (xθ, yθ, zθ) = (0, 0, 0)즉, 이 이벤트에서는 시간과 위치가 일치합니다.이 모든 것이 유지되면 좌표계는 표준 구성 또는 동기화된 것으로 간주됩니다.

F의 옵서버가 이벤트 t, x, y, z를 기록할 경우 F'의 옵서버는 같은 이벤트를 좌표로^[13] 기록합니다.

여기서 v는 x방향 프레임 간의 상대 속도, c는 빛의 속도,

(소문자 감마)는 로렌츠 인자입니다.

여기서 v는 변환 파라미터이며, 주어진 부스트에 대해서는 상수이지만 연속적인 범위의 값을 취할 수 있습니다.여기서 사용하는 설정에서 양의 상대속도 v > 0은 xxxx축의 정방향에 따른 움직임이고, 0 상대속도 v = 0은 상대운동이 없는 반면, 음의 상대속도 v < 0은 xxxxxx축의 정방향에 따른 상대운동이다.상대 속도 v의 크기는 c와 같거나 초과할 수 없기 때문에 -c < v < c 미만 속도만 허용된다.대응하는 범위는 1 ' ' ' < ' 입니다.

v가 이 제한을 벗어나면 변환이 정의되지 않습니다.빛의 속도(v = c)에서 θ는 무한하고 빛보다 빠른(v > c) θ는 복소수이며, 각각은 변환을 비물리적으로 만든다.공간 및 시간 좌표는 측정 가능한 수량이며 숫자는 실수여야 합니다.

활성 변환으로서 F'의 관찰자는 변환의 -v 때문에 xx'축의 음의 방향으로 "부스트"되는 이벤트의 좌표를 알아차립니다.이것은 좌표계 F'가 xx'축의 양의 방향으로 상승한 것과 동등한 효과를 가지지만, 이벤트는 변경되지 않고 다른 좌표계인 수동 변환으로 표현됩니다.

역관계(t, x, y, z, t set, x of, y,, z))는 원래의 방정식 집합을 대수적으로 풀어서 구할 수 있다.더 효율적인 방법은 물리적 원리를 사용하는 것입니다.여기서 F'는 "정지" 프레임이고 F'는 "이동" 프레임입니다.상대성 원리에 따르면 특권 기준 프레임은 존재하지 않으므로 F'에서 F'로의 변환은 F'에서 F'로의 변환과 완전히 동일한 형태를 취해야 합니다.유일한 차이는 F가 F†에 대해 속도 -v와 함께 이동한다는 것이다(즉, 상대 속도는 같은 크기를 가지지만 방향이 반대이다.따라서 F'에 있는 관찰자가 사건 tθ, xθ, yθ, zθ를 주목하면 F에 있는 관찰자는 좌표를 사용하여 동일한 사건을 주목한다.

remains의 값은 변경되지 않습니다.이 "꼼수"는 단순히 상대 속도 방향을 반전시키면서 크기를 유지하고 프라이밍 변수와 프라이밍 변수를 교환하는 것으로, 항상 모든 방향의 상승의 역변환을 찾는 데 적용됩니다.

때때로 v 대신 β = v/c(β 베타)를 사용하는 것이 더 편리할 수 있습니다.

변형에서 대칭성을 훨씬 더 명확하게 보여줍니다.v의 허용 범위와 β의 정의에서 -1 < β < 1을 따른다.β와 β의 사용은 문헌 전반에 걸쳐 표준적이다.

로렌츠 변환은 쌍곡선 함수를 사용하여 3D 공간에서의 원형 회전과 유사한 방식으로 도출될 수도 있습니다.x 방향의 부스트의 경우 결과는 다음과 같습니다.

여기서 θ(제타)는 rapidity라고 불리는 파라미터입니다(many, ,, ,, ,, ,, ξ, ξ 등 많은 다른 기호가 사용됩니다).데카르트 xy, yz 및 zx 평면에서 3d 공간의 공간 좌표 회전과 매우 유사하다는 점을 고려할 때, 로렌츠 부스트는 4d 민코프스키 공간의 xt, yt 및 zt 데카르트 시간 평면에서 시공간 좌표의 쌍곡선 회전으로 생각할 수 있다.파라미터 θ는 쌍곡선 회전각으로 원형 회전의 통상각과 유사합니다.이 변환은 민코프스키 다이어그램으로 설명할 수 있습니다.

쌍곡선 함수는 합계가 아니라 시공간 간격의 시간과 공간 좌표의 차이에서 발생합니다.쌍곡선 함수의 기하학적 유의성은 변환에서 x = 0 또는 ct = 0을 취함으로써 시각화할 수 있습니다.결과의 제곱과 뺄셈을 통해 일정한 좌표값의 쌍곡선 곡선을 도출할 수 있지만 항등식에 따라 곡선을 매개변수로 지정할 수 있다.

반대로 ct축과 x축은 다양한 좌표와 상수 θ에 대해 구성할 수 있습니다.정의

는 일정 속도 값과 시공간에서의 ct축 기울기 사이의 링크를 제공합니다.결과적으로 이 두 쌍곡선 공식은 로렌츠 인자와 일치하는 항등식이다.

상대속도와 속도의 관점에서 로렌츠 변환을 비교하거나 위의 공식을 사용하여 β, β 및 β 사이의 연결은 다음과 같습니다.

역 쌍곡선 탄젠트를 취하는 것은 속도를 준다.

-1 < β < 1이므로, β와 β의 관계에서 양의 속도 δ > 0은 xxθ축의 정방향에 따른 움직임이며, 0은 상대운동이 없고, 음의 속도 δ < 0은 xxθ축의 정방향에 따른 상대운동이다.

역변환은 좌표 프레임을 전환하기 위해 프라이밍된 양과 프라이밍되지 않은 양을 교환하고, 상대속도를 부정하는 것과 같기 때문에 속도 θ → -digm을 부정함으로써 얻을 수 있다.그러므로,

역변환은 xθ = 0 및 ctθ = 0인 경우를 고려하여 비슷하게 시각화할 수 있습니다.

지금까지 로렌츠 변환은 하나의 사건에 적용되었다.두 이벤트가 있는 경우, 두 이벤트 사이에 공간적 분리 및 시간 간격이 있습니다.공간과 시간 좌표의 두 값을 선택할 수 있다는 것은 로렌츠 변환의 선형성에 따른 것으로, 로렌츠 변환을 각각에 적용한 후 차이의 로렌츠 변환을 얻기 위해 뺄 수 있다.

역관계로

여기서 δ(표준 델타)는 양의 차이를 나타냅니다. 예를 들어 x 좌표의 두 값에 대해 δx = x₂ - x₁ 등입니다.

공간적 점이나 시간적 요소가 아닌 차이에 대한 이러한 변환은 다음과 같은 여러 가지 이유로 유용합니다.

• 계산과 실험에서 측정되거나 관심 있는 두 지점 또는 시간 간격 사이의 길이(예: 이동 차량의 길이 또는 한 장소에서 다른 장소로 이동하는 데 걸리는 시간)이다.
• 속도의 변환은 그 차이를 무한히 작게 만들고 방정식을 분할함으로써 쉽게 도출할 수 있으며 가속도의 변환을 위해 과정을 반복할 수 있다.
• 만약 좌표계들은 결코 일치하는(표준 단위 구성에 있지 않은 즉,), 그리고 두 전문가들은 행사 t0, x0, y0, F에서 z0과 t0′, x0′, F′그 근원으로, 그리고 그들의 좌표와 이 기원, 예를 들사이의spacetime 좌표 차이 차이점이 있다. 그 행사를 사용할 수 있Δx)x − x0, Δx′에 y0′, z0′에 동의할 수 있다.)x′ − x0§ 등

물리적 영향

로렌츠 변환의 중요한 요구사항은 빛의 속도의 불변성, 즉 빛의 유도에 사용되고 변환 자체에 포함되어 있는 사실이다.F에서 x 방향을 따르는 빛의 펄스에 대한 방정식이 x = ct이면, Fθ에서 로렌츠 변환은 임의의 -c < v < c에 대해 xθ = ctθ를 나타내며, 그 반대도 마찬가지입니다.

상대 속도가 빛의 속도보다 훨씬 낮은 경우, 로렌츠 변환은 갈릴레오 변환으로 감소합니다.

통신 원칙에 따라때때로 비상대론적 물리학은 ^[14]"원거리에서의 즉각적인 작용"의 물리학이라고 한다.

직관에 반하지만 올바른 세 가지 전환 예측은 다음과 같습니다.

동시성의 상대성 이론

F에서 x 축을 따라 두 개의 사건이 동시에 발생한다고 가정합니다(δt = 0). 그러나 0이 아닌 변위 δx로 구분됩니다.그리고 F에서 ${\displaystyle {}^{}}$ t $=$ ${\displaystyle -\frac{}{}}$ - ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ c ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ t'=\$delta {-v,\Delta$ x$}{c^{$2$\}\}\}\}\}$라는 것을 알 수 있으므로 움직이는 관찰자에 따르면 이벤트는 더 이상 동시에 일어나지 않는다.

시간 연장

F에 정지된 시계가 있다고 가정해 봅시다.이 프레임의 같은 포인트에서 시간 간격이 측정되어 δx = 0일 경우 변환은 이 간격을 F로 δt = δT로 지정합니다.반대로 F'에 정지된 클럭이 있다고 가정합니다.이 프레임의 같은 포인트에서 간격이 측정되어 δx = 0일 경우 변환은 이 간격을 F 단위로 δt = δt로 지정합니다.어느 쪽이든 각 관측자는 움직이는 클럭의 틱 사이의 시간 간격을 자신의 클럭의 틱 사이의 시간 간격보다 계수 θ만큼 길게 측정합니다.

길이 수축

F에 길이 δx의 막대가 x축을 따라 정렬되어 있다고 가정합니다.FΩ에서는 봉은 속도 -v로 이동하기 때문에 반대쪽 끝에서 2회(δθ = 0) 동시 측정하여 길이를 측정하여야 한다.이러한 조건 하에서 역 로렌츠 변환은 δx = δLamentz를 나타낸다.F에서는 두 측정이 더 이상 동시에 수행되지 않지만, 로드가 F에 정지되어 있기 때문에 문제가 되지 않습니다.따라서 각 관찰자는 이동봉의 끝점 사이의 거리를 자신의 프레임 내에서 정지해 있는 동일봉의 끝점보다 1/θ만큼 짧게 측정한다.길이 수축은 길이와 관련된 기하학적 양에 영향을 미치므로 움직이는 관찰자의 관점에서 영역과 볼륨도 운동 방향에 따라 축소되는 것처럼 보입니다.

벡터 변환

벡터를 사용하면 위치와 속도를 임의의 방향으로 콤팩트하게 표현할 수 있습니다.어떤 방향으로든 단일 부스트는 c와 같거나 초과할 수 없는 크기 v = v의 전체 상대 속도 벡터 v에 의존하므로 0 µ v < c가 된다.

상대적인 움직임의 방향에 평행한 시간과 좌표만 변화하고 수직인 좌표는 변화하지 않습니다.이를 염두에 두고 F로 측정한 공간 위치 벡터 r과 F로 측정한 r을 각각 수직(θ) 및 v에 대한 평행(θ) 성분으로 분할합니다.

그 변혁은·는 도트 제품입니다.로렌츠 계수 θ는 상대 속도의 크기에만 의존하기 때문에 모든 방향의 부스트에 대한 정의를 유지합니다.일부 저자들은 진도 0 ≤ β < 1의 β = v/c라는 정의를 사용한다.

단위 벡터 n = v/v = β/β를 상대 운동 방향으로 도입하면 상대 속도는 v = vn이며 벡터 투영과 제거는 각각 다음과 같다.

결과를 축적함으로써 완전한 변혁을 실현할 수 있습니다.

투영 및 거부는 r†에도 적용됩니다.역변환의 경우 r과 rθ를 교환하여 관측된 좌표를 전환하고 상대속도 v → -v(또는 단순히 단위벡터 n → -n)를 부정하여 다음을 구한다.

단위 벡터는 단일 부스트에 대한 방정식을 단순화할 수 있는 장점이 있으며, 편리할 때 v 또는 β 중 하나를 복구할 수 있으며, β 및 β를 대체하여 속도 매개변수화를 즉시 얻을 수 있습니다.여러 번 부스트 할 때는 불편합니다.

상대 속도와 속도^[15] 사이의 벡터 관계는 다음과 같습니다.

그리고 "유도 벡터"는 다음과 같이 정의될 수 있다.각각은, 상황에 따라서는 편리한 약어로서 기능합니다.δ의 크기는 0 δ β < 1 범위와 일치하는 0 δ δ < δ δ < δ , 0 0로 제한되는 신속도 스칼라의 절대값이다.

속도 변환

좌표 속도 및 로렌츠 인자 정의:

${\displaystyle \mathbf {u} = specfrac {d\mathbf {r} {dt}},\spec \mathbf {u} {dt'}}},\spec \mathbf {v} = specfrac {{\mathbf} {d1} {dc} {df} {d} {df}$

벡터 변환의 좌표와 시간의 차분을 취하여 방정식을 나눈다,

${\displaystyle \mathbf {u}' = scdfrac {1-{\frac {v} \cdot \mathbf {u} {c^{2}} } \left [ {\frac _ {\mathbf {v}} } - \ mathbfrac {1}$

속도 u와 uθ는 어떤 거대한 물체의 속도이다.세 번째 관성 프레임(예를 들어 F f′)에 대해서도 사용할 수 있으며, 이 경우 일정해야 합니다.어느 하나의 엔티티를 X로 나타냅니다.그 후 X는 F에 대한 속도 u 또는 F에 대한 속도 u relative와 동등하게 이동하며, F moves는 F에 대한 속도 v와 함께 이동한다.역변환도 비슷한 방법으로 얻을 수 있고, 위치좌표 교환 u와 u,와 마찬가지로 v를 -v로 바꿀 수 있다.

속도 변환은 별의 수차, 피조 실험, 상대론적 도플러 효과 등에 유용하다.

가속도의 로렌츠 변환은 속도 벡터의 차분을 취하여 시간 차분으로 나누면 비슷하게 얻을 수 있습니다.

기타 수량의 변환

일반적으로, 4개의 양 A와 Z = (Z_y, Z_z, Z)와_x 로렌츠 부스트 대응물 Aδ 및 Zδ = (Zδ,_x Zδ,_yz Zδ)가 주어졌을 때, 형태의 관계는 다음과 같다.

시공간 좌표의 변환과 유사한 로렌츠 변환 하에서 변환되는 양을 의미한다.

Z(및 Z))를 v에 수직이고 평행한 성분으로 분해하는 것은 위치 벡터와 정확히 동일하며, 관측량을 전환하기 위해 역변환(교환(A, Z) 및 (A, Z))을 구하고, n - - n 치환에 의해 상대운동의 방향을 반전시키는 과정도 마찬가지이다.

수량(A, Z)은 집합적으로 4개의 벡터를 구성합니다. 여기서 A는 "시간적 성분"이고 Z는 "공간적 성분"입니다.A 및 Z의 예는 다음과 같습니다.

4벡터	A	Z
포지션 4벡터	시간(c 곱하기), ct	위치 벡터, r
사모멘텀	에너지(c로 나누기), E/c	모멘텀(p)
사파 벡터	각주파수(c로 계산), µ/c	파동 벡터, k
4회전	(이름 없음), st	스핀, s
사류	전하 밀도(c 곱하기), µc	전류 밀도(j)
전자파 4전위	전위(c로 나눈 값), µ/c	자기 벡터 퍼텐셜 A

소정의 물체(예를 들어 입자, 유체, 필드, 재료)에 대해 A 또는 Z가 전하 밀도, 질량 밀도, 스핀 등의 물체에 고유한 특성에 대응하면 그 물체의 나머지 프레임에서 그 특성을 고정할 수 있다.그런 다음 로렌츠 변환은 일정한 속도로 물체에 대해 움직이는 프레임의 해당 특성을 제공합니다.이것은 비상대론적 물리학에서 당연하게 여겨지는 몇 가지 개념을 깨트린다.예를 들어, 물체의 에너지 E는 비상대론적 역학에서는 스칼라이지만 상대론적 역학에서는 그렇지 않다. 로렌츠 변환에서는 에너지가 변화하기 때문이다. 그 값은 다양한 관성 프레임에 따라 다르다.물체의 나머지 프레임에서는 정지 에너지와 제로 운동량을 가지고 있습니다.부푼 프레임에서는 에너지가 다르고 모멘텀이 있는 것처럼 보입니다.마찬가지로, 비상대론적 양자역학에서 입자의 스핀은 상수 벡터이지만, 상대론적 양자역학에서 스핀 s는 상대적인 운동에 의존한다.입자의 나머지 프레임에서 스핀 의사벡터는 타임라이크량_t s가 0인 통상적인 비상대론적 스핀이 되도록 고정할 수 있지만, 부스트 옵서버는 타임라이크 성분이 0이 아닌 성분과 변경된 ^[16]스핀을 인식한다.

예를 들어 궤도각운동량 L은 시간적인 양이 없고 전계 E나 자기장 B도 위와 같이 모든 양이 불변하는 것은 아니다.각운동량의 정의는 L = r × p이며, 부스트 프레임에서 변경된 각운동량은 L = r µ × p µ이다.좌표 및 운동량의 변환을 사용하여 이 정의를 적용하면 각 운동량의 변환이 이루어집니다.L은 부스트와 관련된 또 다른 벡터량 N = (E/c²)r - tp로 변환됩니다. 자세한 내용은 상대론적 각운동량을 참조하십시오.E 및 B 필드의 경우 벡터 대수를 사용하여 직접 변환을 얻을 수 없습니다.로렌츠 힘은 이러한 필드의 정의이며, F 에서는 F = q (E + v × B)이고, F 에서는 F = q (E µ + v µ × B µ)이다.전자장의 단위를 나타내는 효율적인 방법으로 전자장 변환을 도출하는 방법은 아래에 주어진 텐서 대수를 사용합니다.

수학 공식화

전체적으로 이탤릭체로 된 굵은 글씨가 아닌 대문자는 4×4 행렬이고, 굵은 글씨는 3×3 행렬입니다.

균질 로렌츠 군

열 벡터의 좌표와 민코프스키 메트릭 θ를 정사각형 행렬로 쓰기

시공간 간격은 형식을 취합니다(상부 T는 전치).로런츠 변환 하에서는 불변이다.여기서 δ는 파라미터에 의존할 수 있는 정사각형 매트릭스입니다.

이 글에서 모든 로렌츠 변환의 집합은 L$${\$displaystyle${\$mathcal {L$로 $표기$됩니다. 이 집합은 행렬 곱셈과 함께 그룹을 형성하며, 이 문맥에서 로렌츠 군이라고 합니다.또, 상기 식 X·X는 시공간상의 2차 형식의 시그니처(3,1)이며, 이 2차 형식의 불변량을 남기는 변환군은 Lie군인 무한 직교군 O(3,1)이다.즉, 로렌츠기는 O(3,1)이다.이 기사에서 제시된 바와 같이, 언급된 모든 Lie 그룹은 매트릭스 Lie 그룹입니다.이 맥락에서 구성의 연산은 행렬 곱셈에 해당한다.

시공간 간격의 불변성으로부터 그것은 뒤따른다.

그리고 이 행렬 방정식은 시공간 구간의 불변성을 보장하기 위해 로렌츠 변환에 대한 일반적인 조건을 포함하고 있다.곱셈^{[nb 4]} 규칙을 사용하여 방정식의 행렬식을 취하면 다음과 같은 결과가 즉시 나타납니다.

민코프스키 메트릭을 블록 행렬로 쓰고 로렌츠 변환을 가장 일반적인 형태로 쓰면

블록 행렬 곱셈을 수행하면 상대론적 불변성을 보장하기 위해 δ, a, b, M에 대한 일반 조건을 얻을 수 있다.모든 조건에서 직접 추출할 수 있는 정보는 많지 않지만 결과 중 하나는bb는^T 항상0 이므로 다음과 같이 됩니다.

δ는 시간 좌표를 곱하고 이것이 시간 대칭에 영향을 미치기 때문에 음의 부등식은 예상치 못한 것일 수 있습니다.양의 등식이 유지되면 δ가 로렌츠 인자입니다.

행렬식 및 부등식은 로렌츠 변환을 분류하는 네 가지 방법을 제공합니다(간단함을 나타내는 LT).모든 특정 LT는 하나의 결정적 기호와 하나의 부등식만을 가지고 있다.이러한 분류 집합의 교차점("및"을 의미하는 n자형 기호")에 의해 주어진 가능한 모든 쌍을 포함하는 4개의 집합이 있습니다.

교차로, »	안티크로너스(또는 비정통) LT ${\displaystyle {L}^{\down 화살표}=\{\Lambda \,:,\Gamma \leq -1\}$	직교 LT ${\displaystyle {L}^{\uparrow}=\{\Lambda\,:,\Gamma\geq 1\}$
적절한 LT ${\displaystyle\mathcal {L}}_{+}=\\람다 \,\det(\Lambda )=+1\}$	적절한 반왕성 LT ${{displaystyle {L}_{+}^{\downarrow}={{L}_{+}\cap {mathcal {L}^{\downarrow}}}$	적절한 직교 LT ${\displaystyle {L}_{+}^{\uparrow}={lcap {L}_{+}\cap {mathcal {L}^{\uparrow}}}$
부적절한 LT ${\displaystyle {L}_{-}={\Lambda \,:,\det(\Lambda)=-1\}$	부적절한 반왕좌 LT ${{displaystyle {L}_{-}^{\downarrow}={{-}\cap {mathcal {L}^{\downarrow}}$	부적절한 직교 LT ${\displaystyle {L}_{-}^{\uparrow}={lcap {L}_{-}\cap {mathcal {L}^{\uparrow}}}$

여기서 "+"와 "-"는 결정자 부호를 나타내며, θ의 경우 "↑"와 θ의 경우 "↓"는 부등식을 나타냅니다.

전체 로렌츠 그룹은 4개의 분리된 집합의 결합("또는"을 뜻하는 u자형 기호")으로 분할됩니다.

그룹의 부분군은 그룹의 동일한 연산(여기서는 행렬 곱셈)에서 닫아야 합니다.즉, 특정 집합에서 2개의 로렌츠 변환 δ, L에 대하여 복합 로렌츠 변환 δL, Lδ는 δ, L과 같은 집합이어야 한다.이것은 항상 그런 것은 아니다: 두 개의 반왕좌 로렌츠 변환의 구성은 직교적이며, 두 개의 부적절한 로렌츠 변환의 구성은 적절하다.$즉{\displaystyle {\mathcal{},}_{}^{}}$ L + $↑$ {\$displaystyle {L}_{+}^{\uparrow$${\displaystyle {}_{}}L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$+ {\$displaystyle$ ${$$L}_$ $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ $↑$ {\$displaystyle$ {$L}^{\uparrow$ ${\displaystyle L_{\mathrm{}}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{\mathcal{}}}$ + $↓$ Displaystyle {\$mathcal$}입니다${\displaystyle {.}_{}^{}}$$${\$mathcal {L}}_{-}^{\downarrow}}$ $모든$ 집합이 하위 그룹을 형성하며, 적절한 직교 변환 없이 부적절하거나 반직교 변환이 $포함$된 $집합{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$($예:$ L + $↓$ {displaystyle$$${$L}_{+}^{\$downarrow$${\displaystyle {\}\}\}\},}_{}^{}}$ L -$$ ${\downstyle {\mathcal$ {L_}^{\downar$}^{\$down})^{{{\$down$}^{\down}^{\$down$})입니다$.$({$displaystyle {L}}_{-}^{\uparrow$는 하위 그룹을 형성하지 않습니다$.$

적절한 변환

Lorentz 공변량 4-벡터를 $결과{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$\}$의 한 관성 프레임에서 측정하고 다른 관성 프레임에서 동일한 측정(방향 및 원점이 동일)을 통해 $결과{\displaystyle {}^{}}$ X $†$ {\$displaystyle$ X$\text{'}\}$를 얻을 경우 두 결과는 다음과 같이 관련됩니다.

${\displaystyle 여기}$서 부스트 $매트릭스{\displaystyle }$ B${\displaystyle (}$v ) {$style$ B$(\mathbf {v})}$는 프라이밍되지 않은 프레임과 프라이밍되지 않은 프레임 사이의 로렌츠 변환을 $나타내고{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$는 프라이밍되지 않은 프레임에서 볼 수 있는 프라이밍된 프레임의 속도를 나타냅니다.행렬은^[17] 다음과 같습니다.

$여기$서 v $=$ $v\sqrt{{}_{}^{}}$ $\sqrt{{}_{}^{}}$2 + $\sqrt{{}_{}^{}}$ $\sqrt{y_{\mathrm{}}^{}}$ + $\sqrt{v_{}^{}}$ $\sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}$2 {{$textstyle$ v$= vsqrt$ {$v_{x}^{2$}+$v_{y}^2}}$는 속도의 $크기$이며 $=$ - $\frac{\sqrt{\frac{{}^{}}{{}^{}}}}{}$ $\frac{\sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}{}$ c$$2 {$textstyle \trac {$1}{\$tx} {\frac2}}$ {$frac2$}} {frac2}}:이 공식은 측정된 수량의 좌표가 프라이밍되지 않은 프레임에서 프라이밍된 프레임으로 어떻게 변화하는지 설명하므로 수동 변환을 나타냅니다.활성 변환은 B${\displaystyle (}$ -${\displaystyle v\mathbf{}}$) { $displaystyle$ B$(-\mathbf {v}$ $)$에 의해 $제공$됩니다.

프레임 F is가 프레임 F is에 대한 속도 u로 승압되고, 다른 프레임 F′가 F,에 대한 속도 v velocity로 승압되는 경우 개별 승압은 다음과 같다.

그리고 두 부스트의 구성은 Fθ와 F의 좌표를 연결한다.연속적인 변환은 왼쪽에 작용합니다.u와 v가 동일 직선(상대운동의 동일 라인을 따라 역평행 또는 역평행)인 경우 부스트 행렬은 다음과 같이 이동합니다. B(v)B(u) = B(u)B(v)이 복합 변환은 또 다른 부스트인 B(w)가 됩니다.여기서 w는 u 및 v와 동일선상에 있습니다.

u와 v가 공선적이지 않고 다른 방향일 경우 상황은 상당히 복잡해집니다.서로 다른 방향의 로렌츠 부스트는 이동하지 않습니다.B(v)B(u)와 B(u)B(v)는 동일하지 않습니다.또한 이러한 구성들은 단일 부스트가 아니지만 각각 시공간 간격을 유지하는 로렌츠 변환입니다.두 로렌츠 부스트의 구성은 R(ρ)B(w) 또는 B(w)R(ρ)의 형태로 공간 좌표에 대한 회전이 뒤따르거나 선행되는 부스트와 동일한 것으로 밝혀졌다.w와 w는 복합 속도이며, θ와 θ는 회전 매개변수(축-각도 변수, 오일러 각도 등)입니다.블록 매트릭스 형태의 회전은 단순합니다.

여기서 R(θ)는 3D 회전 행렬로, 3D 벡터는 한 가지 의미에서 회전하거나(활성 변환), 좌표 프레임은 반대 의미로 회전합니다(수동 변환).w와 ((또는 w와 ))를 원래의 부스트 파라미터 u와 v에 연결하는 것은 간단하지 않습니다.부스트의 구성에서 R 매트릭스는 위그너 회전이라고 불리며 토마스 세차운동을 일으킨다.이 문서들은 w, w, w, ρ의 식을 포함하여 합성 변환 행렬에 대한 명시적인 공식을 제공한다.

본 기사에서는 ρ에 대해 축-각도 표현을 사용한다.회전은 단위 벡터 e 방향의 축을 중심으로 각도 θ(오른쪽 규칙에 따라 시계 반대 방향으로 양의 시계 반대 방향으로 음의 시계 방향으로의 회전)를 통과합니다."축-각도 벡터"

유용한 줄임말 역할을 할 것입니다.

공간 회전 자체도 로렌츠 변환이며 시공간 간격은 변하지 않습니다.부스트와 마찬가지로 서로 다른 축에 대한 연속적인 회전은 이동하지 않습니다.부스트와 달리, 두 번의 회전 구성은 한 번의 회전과 동일합니다.부스트 행렬과 회전 행렬 사이의 다른 유사점과 차이점은 다음과 같습니다.

• 역수: B(⁻¹v) = B(-v) (반대 방향의 운동) 및 R(⁻¹반대 방향의 운동) (반대 방향의 운동)
• 상대적인 움직임/변환 없음: B(0) = R(0) = I
• 단위 결정식: det(B) = det(R) = +1.이 속성을 통해 적절한 변환이 이루어집니다.
• 행렬 대칭: B는 대칭(전치)인 반면, R은 비대칭이지만 직교(직각은 역^T, R = R⁻¹)입니다.

가장 일반적인 로렌츠 변환 δ(v, δ)는 부스트와 회전을 함께 포함하며 비대칭 행렬입니다.특수한 경우로서 δ(0, δ) = R(θ) 및 δ(v, 0) = B(v)이다.일반적인 로렌츠 변환의 명시적 형식은 기록하기가 번거로우므로 여기서는 설명하지 않습니다.그럼에도 불구하고, 변환 행렬에 대한 닫힌 형식 표현식은 그룹 이론 인수를 사용하여 아래에 제시될 것이다.δ( boosts, )) 및 B(ζ)로 표기하는 부스트에 신속도 매개변수를 사용하는 것이 보다 용이해진다.

더 리 그룹⁺ SO(3,1)

일련의 변환

(플러스 부호는 시간적 차원의⁺ 방향을 보존한다는 것을 나타낸다.)

단순성을 위해 x 방향의 극소 로렌츠 부스트를 살펴봅니다(다른 방향의 부스트 또는 축에 대한 회전은 동일한 절차를 따릅니다).무한 부스트는 동일성에서 약간 벗어난 부스트이며, 부스트 매트릭스의 테일러 확장에 의해 약 δ = 0의 1차까지 얻어진다.

여기서 고차 항은 θ가 작기 때문에 무시할 수 있으며_x, B는 단순히 x 방향의 부스트 행렬입니다.행렬의 도함수는 (동일한 변수에 대한 항목들의) 도함수 행렬이며, 도함수는 먼저 발견된 후 θ = 0에서 평가된다.

현재 K는 이 결과에_x 의해 정의된다(그 중요성은 잠시 후에 설명된다).무한히 작은 스텝의 한계에서 행렬 지수 형태의 유한 부스트 변환을 얻는다.

여기서 지수의 한계 정의가 사용되었습니다(지수 함수의 특성화 참조).보다^{[nb 5]} 일반적으로

축-각도 벡터 θ와 속도 벡터 θ는 (이 특정 표현에서) 그룹 매개변수를 구성하는 6개의 연속 변수이며, 그룹의 생성자는_x K = (K_yz, K, K)와_x J = (J_yz, J, J)이며, 각각 명시적^{[nb 6]} 형태를 가진 행렬의 벡터이다.

부스트 발생기의 마이너스 부호는 관습적이지만, 위의 K와 유사한_x 방식으로 모두 정의된다.물리적으로 로렌츠 그룹의 발생기는 시공간에서 중요한 대칭에 대응합니다.J는 각운동량에 대응하는 회전발생기이고 K는 시공간에서 시스템의 움직임에 대응하는 부스트발생기입니다.그룹 내 C(0) = I인 평활곡선 C(t)의 도함수는 t = 0으로 평가되며, 해당 그룹 파라미터에 대한 일부 그룹 파라미터 t에 의존하며, 이는 대응하는 그룹 발생기 G의 정의로서 기능하며, 이는 동일성에서 벗어난 극소 변환을 반영한다.매끄러운 곡선은 항상 지수로 간주할 수 있다. 지수는 항상 모든 t에 대해 t → exp(tG)를 통해 G를 부드럽게 그룹에 매핑하기 때문이다. 이 곡선은 t = 0에서 미분될 때 G를 다시 산출한다.

Taylor 시리즈의 지수를 확장하면

이는 이전 섹션에서 설명한 것처럼 부스트 및 회전 행렬을 콤팩트하게 재현합니다.

일반적인 로렌츠 변환은 부스트와 회전의 산물이라고 언급되어 있다.극히 미미한 수준에서 제품

는 선형항만 필요하기 때문에 가환적입니다((θ·J)(··K) 및 (··K)(··J) 등의 제품은 고차항으로 간주되며 무시할 수 있습니다).이전과 같이 한계를 취하면 지수 형태의 유한 변환으로 이어집니다.

그 반대도 사실이지만, 유한한 일반 로렌츠 변환을 그러한 인자로 분해하는 것은 중요하지 않다.특히,

발전기가 통행을 하지 않기 때문입니다.부스트와 회전의 관점에서 일반 로렌츠 변환의 요인을 찾는 방법에 대한 설명은(일반적으로 생성기 J와 K의 관점에서 이해할 수 있는 식을 생성하지 않음) Wigner 회전을 참조하십시오.한편, 분해가 생성제 측면에서 주어지고 생성제 측면에서 제품을 찾으려면 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 적용된다.

리 대수 so(3,1)

로렌츠 발생기는 더 많은 로렌츠 발생기를 얻기 위해 함께 더하거나 실수에 곱할 수 있습니다.즉, 모든 로렌츠 발생기의 집합은

행렬에 숫자를 곱하는 연산과 함께,^{[nb 7]} 실수에 벡터 공간을 형성한다.발전기_x J, J_y, J_z, K_x, K_yz, K는 V의 기본 집합을 형성하고 축각 및 속도 벡터의 성분인 θ_x, θ_y, θ_z, θ, θ_x, θ_y, θ는_z ^{[nb 8]}이에 대한 로렌츠 발생기의 좌표이다.

로렌츠 생성기의 세 가지 정류 관계는 다음과 같다.

여기서 괄호 [A, B] = AB - BA는 정류자이며, 다른 관계는 x, y, z 성분의 주기적 순열(즉, x를 y로, y를 z로, z를 x로, 반복)을 취함으로써 찾을 수 있습니다.

이러한 변환 관계와 생성자의 벡터 공간은 Lie 대수${\displaystyle \mathfrak{so}}$ ( 3,$)$의 정의를 충족합니다({displaystyle ${mathfrak {so}}(3,1$ 요약하면, Lie 대수는 숫자 필드 위의 벡터 공간 V로 정의되며, 이 문맥에서 Lie 대수는 2진법 연산 [ ](이 문맥에서 Lie 대괄호라고 함)로 정의됩니다.벡터 공간, 쌍선형성, 대안화, 야코비 동일성의 공리를 만족시키는 벡터 공간.여기서 연산 [, ]은 이러한 모든 공리를 만족시키는 정류자이고, 벡터 공간은 앞에서 주어진 대로 로렌츠 발생기 V의 집합이며, 필드는 실수의 집합이다.

수학과 물리학에서 사용되는 연결 용어:군 생성기는 Lie 대수의 모든 요소입니다.군 파라미터는 어떤 기준에서 Lie 대수의 임의의 요소를 나타내는 좌표 벡터의 성분이다.기본은 일반적인 벡터 공간 의미에서 리 대수의 기본이 되는 생성기 집합이다.

리 대수에서 리 군으로의 지수 지도

는 Lie 대수의 원점인 작은 네이버와 Lie 그룹의 ID 요소의 네이버 간에 일대일 대응 관계를 제공합니다.로렌츠 그룹의 경우 지수 맵은 단지 행렬 지수 맵입니다.전체적으로 지수 맵은 일대일이 아니지만 로렌츠 그룹의 경우에는 (온토) 주관적입니다.따라서 항등식의 접속성분 중 임의의 군요소는 리 대수의 원소의 지수로서 표현될 수 있다.

부적절한 변환

로렌츠 변환에는 패리티 반전도 포함됩니다.

모든 공간 좌표만 부정하고 시간 역전은 이러한 변환은 시공간 간격을 불변하게 유지하므로 시간 좌표만 부정합니다.여기 3D 아이덴티티 매트릭스가 있습니다.둘 다 대칭이고, 서로 다른 역수이며(수학과 참조), 각각 결정식 -1을 가지고 있다.후자의 속성으로 인해 부적절한 변환이 이루어집니다.

δ가 적절한 직교 로렌츠 변환이면 Tδ는 부적절한 반크로너스, Pδ는 부적절한 직교, TPδ = PTδ는 적절한 반크로너스이다.

불균일 로렌츠 군

다른 두 개의 시공간 대칭은 설명되지 않았다.시공간 간격이 불변하기 위해, 좌표 변환이 다음 형태인 것이 필요하고 충분하다는 것을 보여줄^[18] 수 있다.

여기서 C는 시간과 공간의 변환을 포함하는 상수 열입니다.C 0 0이면 불균일한 로렌츠 변환 또는 푸앵카레 ^[19][20]변환입니다.C = 0이면 균질 로렌츠 변환입니다.Poincaré 변환은 이 기사에서 더 이상 다루지 않습니다.

텐서 공식

반변 벡터

좌표의 일반 행렬 변환을 행렬 방정식으로 쓰기

는 4차원 시공간에서 임의의 차수의 텐서 또는 스피너와 같이 4차원 시공간으로 표현할 수 없는 다른 물리적 양의 변환을 정의할 수 있습니다.대응하는 텐서 지수 표기법에서, 위의 행렬식은 다음과 같다.

여기서 하한 및 상한 지수는 각각 ^[21]공변 성분과 반변 성분에 레이블을 지정하고 합산 규칙이 적용됩니다.시간 구성요소의 경우 값 0, 공간 구성요소의 경우 값 1, 2, 3을 취하는 그리스 지수를 사용하는 것은 표준 관례이며, 라틴 지수는 공간 구성요소의 경우 값 1, 2, 3을 사용한다(란다우와 Lifshitz의 경우 반대).첫 번째 인덱스(왼쪽에서 오른쪽으로 읽기)는 행 인덱스에 대한 행렬 표기법에 해당합니다.두 번째 색인은 열 색인에 해당합니다.

변환 행렬은 단순한 4차원 시공간 좌표가 아니라 모든 4벡터에 대해 보편적입니다.A가 임의의 4벡터일 경우, 텐서 지수 표기법에서

또는 글을 쓸 수도 있습니다.

여기서 primed 지수는 primed 프레임에서 A의 지수를 나타낸다.일반적인 n-component 객체의 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다.여기서 δ는 모든 δ에 대한 n×n 행렬인 로렌츠 그룹의 적절한 표현이다.이 경우 지수를 시공간 지수(로렌츠 지수라고도 함)로 생각하면 안 되며, 1부터 n까지 실행된다. 예를 들어 X가 비스피노라면 지수를 디락 지수라고 한다.

공변 벡터

공변량 지수가 있는 벡터 수량도 있습니다.이들은 일반적으로 지수를 낮추는 연산을 통해 역변동 지수를 가진 해당 개체에서 얻는다.

여기서 θ는 메트릭 텐서입니다.(링크된 글은 지수를 올리고 내리는 연산이 실제로 수학적으로 무엇인지에 대한 자세한 정보를 제공합니다.)이 변환의 역수는 다음과 같습니다.여기서 행렬로 볼 때 θ는^μν θ의_μν 역수이다.공교롭게도^μν_μν = 。이를 지수 상승이라고 합니다.공변 벡터_μ A를 변환하려면 먼저 지수를 올린 다음 반변수 4-벡터와 동일한 규칙에 따라 변환한 다음 마지막으로 지수를 낮춥니다.

그렇지만

즉, 역로렌츠 변환의 (μ, θ) 성분이다.하나는 (표기의 문제로) 정의한다.

그리고 이 표기법에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

이제 미묘하게.의 오른쪽에 있는 암묵적인 요약은

는⁻¹ 행렬의 행 인덱스에서 동작하고 있습니다.따라서 행렬의 관점에서 이 변환은 열 벡터_μ A에 작용하는 δ의 역전치라고 생각되어야 한다.즉, 순수 매트릭스 표기법으로는

이것은 정확히 공변 벡터(열 행렬로 생각됨)가 로렌츠 그룹의 표준 표현의 이중 표현에 따라 변환된다는 것을 의미합니다.이 개념은 일반적인 표현으로 일반화되며, 단순히 with를 π(λ)로 대체합니다.

텐서

A와 B가 벡터 공간 U와 V 위의 선형 연산자일 경우, U와 V의 텐서 곱에 선형^[22] 연산자 A b B를 정의할 수 있다.

이를 통해 u와 v가 V의 4벡터일 경우 u v v tv₂ TV v V v V는 다음과 같이 변환됨을 즉시 알 수 있습니다.

두 번째 단계는 텐서 곱의 이중선성을 사용하고 마지막 단계는 성분 형태에 2-텐서를 정의하거나 텐서 u µ v의 이름을 바꾼다.

이러한 관측은 더 많은 인자에 대해 명확한 방법으로 일반화되며, 벡터 공간 V 위의 일반 텐서는 기저 벡터와 기저 코벡터의 계수(성분!) 곱하기 텐서 곱의 합으로 기록될 수 있다는 사실을 이용하여 임의의 텐서량 T에 대해 변환 법칙에 도달한다.에^[23] 의해 주어집니다.

여기서 λ는_χ′^ψ 위에서 정의되어 있습니다.이 형식은 일반적으로 열 벡터로 동작하는 단일 행렬(δ(δ))을 가진 위에 제시된 일반적인 n-성분 객체의 형태로 축소할 수 있다.전자장 텐서 등 후자의 형태가 선호되는 경우가 있다.

전자장 변환

로렌츠 변환은 자기장 B와 전기장 E가 단순히 같은 힘의 다른 측면, 즉 전하와 ^[24]관측자 사이의 상대적인 움직임의 결과물인 전자기력이라는 것을 설명하기 위해서도 사용될 수 있다.전자기장이 상대론적 효과를 보인다는 사실은 간단한 사고실험을 ^[25]통해 명확해진다.

• 관찰자는 프레임 F 내의 정지 상태의 전하를 측정한다.관찰자는 정적 전계를 감지합니다.이 프레임은 전하가 정지하고 있기 때문에 전류가 흐르지 않기 때문에 관찰자는 자기장을 관찰하지 않는다.
• 프레임 F' 내의 다른 옵서버는 F 및 전하와 상대적인 속도v로 이동합니다.이 관찰자는 전하가 정지 프레임에서 속도 -v로 이동하기 때문에 다른 전기장을 봅니다.전하의 움직임은 전류에 해당하므로 프레임 F'의 관찰자도 자기장을 볼 수 있습니다.

전기장과 자기장은 시공간과는 다르지만 상대론적 각운동량 및 부스트 벡터와 정확히 같은 방식으로 변환됩니다.

전자기장 강도 텐서는 다음과 같이 주어진다.

SI 단위로 표시됩니다.상대성 이론에서 가우스 단위계는 SI 단위보다 선호된다. SI 단위 선택이 주인 텍스트에서도 전자장 E와 자기유도 B가 동일한 단위를 가지기 때문에 전자장 텐서의 외관을 보다 ^[26]자연스럽게 보이기 때문이다.x 방향의 로렌츠 부스트를 고려합니다.에^[27] 의해 주어집니다. 여기서 필드 텐서는 아래 조작에서 가장 쉽게 참조할 수 있도록 나란히 표시됩니다.

일반변환법칙(T3)은

자기장의 경우 다음과 같이 구한다.

전계 결과의 경우

β = (β, 0, 0)을 사용한다.이러한 결과는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

메트릭 시그니처와는 무관합니다.SI단위의 경우 .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{E→ .mw-parser-output 하세요.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}E⁄c.Misner, Thorne & Wheeler(1973)는 이 마지막 형식을 텐서식으로 표현되는 기하학적 뷰와 반대로 3+1 뷰라고 한다.3+1 보기로는 달성하기 어려운 결과를 쉽게 얻을 수 있다는 점을 강점으로 삼는다.로렌츠 변환 특성이 잘 정의된 개체(사실 매끄러운 좌표 변환에서)만이 기하학적 개체입니다.기하학적 관점에서 전자기장은 시공간의 상호의존적이지만 분리된 두 개의 3벡터장이 아닌 시공간의 6차원 기하학적 물체이다.필드 E(단독) 및 B(단독)에는 제대로 정의된 로렌츠 변환 속성이 없습니다.수학적 기초는 즉시 산출되는 방정식(T1)과 (T2)입니다.프라이밍된 텐서와 프라이밍되지 않은 텐서는 시공간에서 동일한 사건을 가리킵니다.따라서 시공간 의존성을 갖는 완전 방정식은

길이수축은 전하밀도θ 및 전류밀도J에 영향을 미치며, 시간확장은 전하흐름속도(전류)에 영향을 미치기 때문에 부스트하에서는 전하 및 전류분포가 관련변환되어야 한다.시공간과 에너지 모멘텀의 4벡터와 똑같이 변형이 일어나는 것으로 밝혀졌습니다.

아니면, 더 단순한 기하학적 관점에서,

전하 밀도는 4 벡터의 시간 성분으로 변환됩니다.회전 스칼라입니다.전류 밀도는 3벡터입니다.

맥스웰 방정식은 로렌츠 변환 하에서 불변합니다.

스피너

식(T1)은 비스피노 표현을 포함한 로렌츠 그룹의 표현에 대해 수정되지 않은 상태로 유지됩니다.(T2)에서는 단순히 δ의 모든 발생을 bispinor 표현 δ(δ)로 치환한다.

예를 들어, 위의 방정식은 두 개의 자유 전자를 설명하는 Fock 공간 상태의 변환일 수 있습니다.

일반 필드의 변환

양자장 이론에서의 일반적인 비상호작용 다중 입자 상태(폭 공간 상태)는 규칙에^[28] 따라 변환된다.

$${\displaystyle{\begin{정렬}&.U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1}, p_{2}\sigma _{2}n_{2}, \cdots}\\={}&, e^ᆳ\left[(\Lambda p_{1})^{\mu}+(\Lambda p_{2})^{\mu}+\cdots \right]}{\sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots}{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots}}}\left(\sum _{\sigma_{1}'\sigma _{2}'\cdots}D_{\sigma_{1}'\sigma_{1.}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda,p_{1}\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})\left[W(\Lambda,p_{2}\right]\cdots \right]\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}}$$

(1)

여기서 W(Ω, p)는 위그너 회전이고^(j) D는 SO(3)의 (2j + 1)차원 표현이다.

「 」를 참조해 주세요.

각주

메모들

레퍼런스

웹 사이트

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1996), A History of Special Relativity
• Brown, Harvey R. (2003), Michelson, FitzGerald and Lorentz: the Origins of Relativity Revisited

페이퍼

책들

추가 정보

• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001), "First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887" (PDF), Chinese Journal of Physics, 39 (3): 211–230, Bibcode:2001ChJPh..39..211E, archived from the original (PDF) on 2011-07-16
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004), Classical dynamics of particles and systems (5th ed.), Belmont, [CA.]: Brooks/Cole, pp. 546–579, ISBN 978-0-534-40896-1
• Voigt, Woldemar (1887), "Über das Doppler'sche princip", Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, 2: 41–51

외부 링크

• 는 로렌츠 변환 도출.이 웹 페이지 그룹 속성에 역점을 두고는 로런츠 변환의 더 상세한 어원을 포함하고 있다.
• 패러독스 특수 상대성이 웹 페이지에서 문제는, 어느 그래픽의 다음 페이지에 제시되는데, 해결 방법은 로렌츠 변환을 제시합니다.
• 상대성을 장에서 온라인 교재에서 –.
• Warp특수 상대성 시뮬레이터.컴퓨터 프로그램 모든 물체에 로렌츠 변환을 보여 주고.
• 유튜브에 애니메이션 클립이 로렌츠 변환을 시각화.
• YouTube의 MinutePhysics 비디오에서 기계식 Minkowski 다이어그램으로 로렌츠 변환을 설명하고 시각화합니다.
• 가상 민코프스키 다이어그램과 함께 로렌츠 변환을 보여주는 데스모스(그래핑)의 대화형 그래프
• 점과 하이퍼볼라로 로렌츠 변환을 보여주는 데스모스의 인터랙티브
• 존 드 필리스의 로렌츠 프레임 애니메이션.갈릴레오 및 로렌츠 프레임의 온라인 플래시 애니메이션, 다양한 패러독스, 전자파 현상 등