평행(기하학)

기하학에서 평행선은 어떤 점에서도 교차하지 않는 공면 무한 직선입니다.평행 평면은 결코 만나지 않는 동일한 3차원 공간에 있는 평면입니다.평행 곡선은 서로 맞닿지 않거나 교차하지 않고 고정된 최소 거리를 유지하는 곡선입니다.3차원 유클리드 공간에서는 점을 공유하지 않는 선과 평면도 평행하다고 합니다.그러나 공면이 아닌 두 개의 선을 스큐 선이라고 합니다.

평행선은 유클리드의 평행선 가설의 주제입니다.^[1]평행성은 주로 아핀 기하학의 속성이며 유클리드 기하학은 이러한 유형의 기하학의 특별한 예입니다.쌍곡 기하학과 같은 일부 다른 기하학에서는 선이 병렬이라고 하는 유사한 속성을 가질 수 있습니다.

기호.

병렬 기호는 ∥ ${\displaystyle \paralle }$입니다$.$ 예를 $들어$ ${\displaystyle \mathrm{AB}}$ ∥ ${\displaystyle \mathrm{CD}}${\$displaystyle AB\paralle CD}$는 선 AB가 선 CD에 병렬임을 나타냅니다.

유니코드 문자 집합에서 "평행"과 "비평행" 기호는 각각 U+2225(∥)와 U+2226(∦)의 코드 포인트를 가집니다.또한 U+22D5(⋕)는 "동등하고 평행한" 관계를 나타냅니다.

전기 공학(병렬 연산자)의 이진 함수에도 동일한 기호가 사용됩니다.이는 노름(예: ‖ ${\displaystyle x}$ ‖ ${\displaystyle \x$\})을 나타내는 이중 수직선 괄호 U+216(‖) 및 논리 연산자( 몇 개의 프로그래밍 언어로 구성되어 있습니다.

유클리드 평행선

한 평면에 두 줄

평행성 조건

유클리드 공간에서 평행 직선 l과 m이 주어졌을 때, 다음 성질들은 동치입니다.

1. m 선 위의 모든 점은 l 선(등거리 선)과 정확히 동일한(최소) 거리에 있습니다.
2. 선 m은 선 l과 같은 평면에 있지만 l과 교차하지는 않습니다(선이 어느 방향으로든 무한대로 확장된다는 것을 기억하십시오).
3. 선 m과 l이 모두 같은 평면에서 세 번째 직선(횡단)으로 교차될 때, 횡단과 교집합하는 해당 각도는 일치합니다.

이들은 동등한 성질이기 때문에 유클리드 공간에서 평행선의 정의로 둘 수 있지만 첫 번째와 세 번째 성질은 측정을 수반하므로 두 번째 성질보다 "더 복잡하다".따라서 두 번째 속성은 유클리드 기하학에서 평행선의 정의 속성으로 선택되는 속성입니다.^[5]다른 성질들은 유클리드의 평행 공준의 결과입니다.

역사

평행선의 정의는 유클리드의 원소 제1권에서 정의 23과 같이 나타난다.^[6]대안적인 정의는 종종 평행선 추론을 증명하기 위한 시도의 일환으로 다른 그리스인들에 의해 논의되었습니다.프로클로스는 평행선의 정의를 등거리 선으로 포시도니우스에게 돌리며, 비슷한 맥락에서 게미누스를 인용합니다.심플리키우스는 철학자 아가니스에 의한 수정과 더불어 포시도니우스의 정의에 대해서도 언급하고 있습니다.^[6]

19세기 말, 영국에서 유클리드의 요소들은 여전히 중등학교에서 표준 교과서였습니다.기하학의 전통적인 취급은 투영기하학과 비유클리드 기하학의 새로운 발전에 의해 변화하도록 압박을 받고 있었기 때문에, 이 시기에 기하학 교수를 위한 몇 가지 새로운 교과서가 쓰여졌습니다.이러한 개혁 텍스트들 사이의 주요한 차이는, 그들 자신과 유클리드 사이의, 평행선에 대한 처리입니다.^[7]이러한 개혁 문서들은 그들의 비평가들과 그들 중 한 명인 찰스 도그슨(일명: Charles Dodgson)이 없는 것은 아니었습니다.Lewis Carroll)은 연극, 유클리드와 그의 현대 라이벌을 썼는데, 여기서 이 글들은 비난을 받고 있습니다.^[8]

초기 개혁 교과서 중 하나는 제임스 모리스 윌슨의 1868년 초등 기하학입니다.^[9]윌슨은 그의 평행선에 대한 정의를 방향에 대한 원시적인 개념에 기초했습니다.빌헬름 킬링(Wilhelm Killing^[10])에 따르면 이 아이디어는 라이프니츠(Leibniz)^[11]까지 거슬러 올라갈 수 있습니다.윌슨은 원시적이기 때문에 방향을 정의하지 않고 "서로 만나는 두 직선은 서로 다른 방향을 가지고 있고, 그들의 방향의 차이는 그들 사이의 각도입니다."라는 용어를 그의 여섯 번째 정의와 같은 다른 정의에서 사용합니다.Wilson (1868, p. 2) 정의 15에서 그는 이렇게 평행선을 소개합니다. "같은 방향을 가지지만 같은 직선의 일부가 아닌 직선을 평행선이라고 합니다."Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan은 이 텍스트를 검토하고 주로 이 정의와 평행선에 대한 것을 증명하기 위해 Wilson이 사용한 방법에 기초하여 실패라고 선언했습니다.도그슨은 또한 그의 연극의 많은 부분(제2막, 제6장 § 1)을 윌슨의 병적 치료를 비난하는데 바칩니다.윌슨은 그의 글의 세 번째 판과 그보다 높은 판에서 이 개념을 편집했습니다.^[12]

평행선의 정의를 대체하기 위해 다른 개혁가들이 제안한 다른 속성들은 훨씬 더 나아지지 않았습니다.Dodgson에 의해 지적된 것처럼, 주요한 문제는 이런 식으로 그것들을 사용하려면 시스템에 추가적인 공리가 추가되어야 한다는 것입니다.프란시스 커스버트슨이 1874년 저서 유클리드 기하학에서 설명한 포시도니우스의 등거리 선의 정의는 직선의 한 쪽에 일정한 주어진 거리에서 발견되는 점들이 직선을 형성하기 위해 보여져야 한다는 문제를 겪고 있습니다.이것은 증명할 수 없으며 참이라고 가정해야 합니다.^[13]W. D. 쿨리가 그의 1860년 저서 기하학의 요소에서 사용한 가로 속성에 의해 형성되는 대응하는 각도는 한 가로가 일치하는 대응하는 각도에서 한 쌍의 선과 만난다면 모든 가로가 그렇게 해야 한다는 사실에 대한 증명을 요구합니다.다시 말하지만, 이 진술을 정당화하기 위해서는 새로운 공리가 필요합니다.

시공

위의 세 가지 속성은 평행선의 세 가지 다른^[14] 구성 방법으로 이어집니다.

• 

  속성 1: line m은 line까지의 거리가 모든 곳에 동일합니다.

• 

  속성 2: x의 l과 교차하는 a를 통해 임의의 선을 취합니다. 점 x를 무한대로 이동합니다.

• 

  속성 3: m과 l은 모두 90°로 교차하는 a를 통해 가로선을 공유합니다.

두 평행선 사이의 거리

유클리드 평면의 평행선은 등거리이기 때문에 두 평행선 사이에는 고유한 거리가 있습니다.수직이 아닌 수평이 아닌 두 평행선의 방정식을 고려하면,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

두 선 사이의 거리는 평행선에 수직으로 공통으로 놓여 있는 두 점(각 선에 하나씩)을 찾고 두 선 사이의 거리를 계산함으로써 구할 수 있습니다.선의 기울기가 m이므로 공통 수직은 기울기 -1/m이고 식 y = -x/m인 선을 공통 수직으로 사용할 수 있습니다.선형 시스템을 해결

${\displaystyle {\begin{case}y=mx+b_{1}\y=-x/m\end{case}}$

그리고.

${\displaystyle {\begin{case}y=mx+b_{2}\y=-x/m\end{case}}$

점들의 좌표를 얻기 위해서입니다.선형 시스템에 대한 해결책은 포인트입니다.

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\=\left ({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

그리고.

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\=\left ({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

이러한 공식은 평행선이 수평(즉, m = 0)이더라도 여전히 정확한 점 좌표를 제공합니다.점들 사이의 거리는

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}={\sqrt {\left ({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}\right)^{2}+\left ({\frac {b_{2}-b_{1}}\right)^{m^{2}},}$

로 축소됩니다.

${\displaystyle d={\frac {b_{2}-b_{1}}{\sqrt {m^{2}+1}}\",}$

선이 선의 방정식의 일반적인 형태로 주어졌을 때(수평선과 수직선이 포함됨)

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

그들의 거리는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle d={\frac {c_{2}-c_{1}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

3차원 공간의 두 줄

교차하지 않는 동일한 3차원 공간에 있는 두 개의 선이 평행할 필요는 없습니다.공통 평면에 있는 경우에만 평행선이라고 하고, 그렇지 않은 경우에는 스큐 선이라고 합니다.

점 P에서 점 l까지의 거리가 점 m의 위치와 무관한 경우에만 3차원 공간에서 두 개의 구별되는 선 l과 m은 평행합니다.이것은 절대로 스큐 라인을 의미하지 않습니다.

선과 비행기

3차원 공간에 있는 선 m과 평면 q는 교차하지 않는 경우에만 평행합니다.

마찬가지로, 선형 m의 점 P에서 평면 q의 가장 가까운 점까지의 거리가 선형 m의 위치와 독립적인 경우에만 평행합니다.

두개의 비행기

평행선이 동일한 평면에 위치해야 하는 것과 마찬가지로, 평행선은 동일한 3차원 공간에 위치해야 하며 공통점이 없습니다.

평면 q의 한 점 P에서 평면 r의 가장 가까운 점까지의 거리가 평면 q의 P 위치와 독립적인 경우에만 두 개의 다른 평면 q와 r이 평행합니다.두 평면이 동일한 3차원 공간에 있지 않다면 이는 결코 유지되지 않을 것입니다.

비유클리드 기하학에서

이 절에서는 출처를 언급하지 않습니다. 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 부분을 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 밝혀지지 않은 자료에 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다. 출처 찾기: "평행" 기하학 – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2017년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

비유클리드 기하학에서는 직선보다 측지선에 대해 이야기하는 것이 더 일반적입니다.측지선은 주어진 기하학에서 두 점 사이의 최단 경로입니다.물리학에서는 입자에 힘이 가해지지 않으면 입자가 따라가는 경로로 해석할 수 있습니다.비유클리드 기하학에서 위에 언급된 세 가지 유클리드 속성은 동등하지 않으며 측정을 포함하지 않기 때문에 비유클리드 기하학에서 두 번째 속성(선 m은 l과 같은 평면에 있지만 l과 교차하지 않음)만 유용합니다.일반적인 기하학에서 위의 세 가지 속성은 각각 동일한 수직을 공유하는 등거리 곡선, 평행 측지선 및 측지선의 세 가지 다른 유형의 곡선을 제공합니다.

쌍곡기하학

유클리드 기하학에서는 두 측지선이 교차하거나 평행할 수 있지만 쌍곡 기하학에서는 세 가지 가능성이 있습니다.같은 평면에 속하는 측지선 두 개는 다음과 같습니다.

1. 교차하는 것, 평면상의 공통점에서 교차하는 경우,
2. 평행, 평면에서 교차하지 않고 무한대(ideal점)에서 공통 한계점으로 수렴하는 경우 또는
3. 무한대에서 공통 한계점이 없는 경우 초평행.

문헌에서 초평행 측지선은 종종 교차하지 않는 것으로 불립니다.무한대에서 교차하는 측지선을 한계 평행선이라고 합니다.

온라인이 아닌 점 a를 통한 그림과 같이 l의 각 방향 이상적인 점에 대해 하나씩 두 개의 제한 평행선이 있습니다.이들은 선 l과 교차하는 선과 선 l에 매우 평행한 선을 구분합니다.

초평행선은 하나의 공통 수직(초평행 정리)을 가지며, 이 공통 수직의 양쪽에서 발산합니다.

구면 또는 타원 형상

구면기하학에서 모든 측지학은 위대한 원입니다.거대 원은 구를 같은 반구 두 개로 나누고 모든 거대 원은 서로 교차합니다.따라서 모든 측지선이 교차하기 때문에 주어진 측지선에 평행 측지선이 없습니다.구의 등거리 곡선을 지구의 위도 선과 유사한 위도 평행선이라고 합니다.위도의 평행선은 구의 중심을 지나는 평면과 평행한 구와 구의 교집합에 의해 생성될 수 있습니다.

반사형 변이체

l, m, n이 세 개의 구별되는 선이라면, $l{\displaystyle }$∥ ${\displaystyle m}$ ∥ ${\displaystyle \text{m}}$ ⟹ ${\displaystyle n}$ ∥ n ∧ $.$ {\$displaystyle l\parallem\\land \$m$\parallel$ n$\\\n은 \l\parallel n$을 의미합니다$.}$

이 경우 평행성은 경과적 관계입니다.그러나 l = n인 경우, 중첩된 선들은 유클리드 기하학에서 평행한 것으로 간주되지 않습니다.평행선 사이의 이항 관계는 분명히 대칭 관계입니다.유클리드의 신조에 따르면, 평행성은 반사적인 관계가 아니므로 동등성 관계가 되지 못합니다.그럼에도 불구하고, 아핀 기하학에서 평행선 연필은 평행도가 등가 관계인 선 집합에서 등가 클래스로 간주됩니다.^[15][16][17]

이를 위해 에밀 아르틴(Emil Artin, 1957)은 두 개의 선이 공통점이 전부이거나 전혀 없는 경우 평행선이라는 정의를 채택했습니다.^[18]그런 다음 선은 자신과 평행하므로 반사적 및 전이적 특성이 이러한 유형의 평행성에 속하므로 선 집합에서 등가 관계를 만듭니다.사고 기하학 연구에서 이와 같은 평행성 변형은 아핀 평면에서 사용됩니다.

참고 항목

• 클리포드 평행선
• 공선성
• 동시행
• 제한 병렬
• 평행곡선
• 초평행 정리

메모들

참고문헌

• Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.), New York: Dover Publications

(3 vol.): ISBN 0-486-60088-2(vol. 1), ISBN 0-486-60089-0(vol. 2), ISBN 0-486-60090-4(vol. 3).히스의 권위 있는 번역과 방대한 역사적 연구 및 본문 전반에 걸친 상세한 해설.

• Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st ed.), London: Macmillan and Co.
• Wylie, C. R. Jr. (1964), Foundations of Geometry, McGraw–Hill

추가열람

• Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert : Présentation, traduction et commentaires, Paris: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

외부 링크