커-뉴먼 계량

일반 상대성 이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu}}$
서론 역사 타임라인 테스트 수학 공식
기본개념 등가원리 특수 상대성 이론 월드 라인 의사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 사건의 지평선 특이점 블랙홀 시공간 시공간 도표 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형화된 중력 아인슈타인 장방정식 프리드만 측지학 Mathisson–Papapetrou–Dixon 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴 고급이론 칼루자-클라인 이론 양자중력
솔루션 슈바르츠실트(실내) 리스너-노르트스트롬 괴델 커 커-뉴먼 커-뉴먼-드 시터 카스너 레마 î트레 –톨만 타우브-넛 밀네 로버트슨-워커 오펜하이머-스나이더 pp파의 반스톡쿰 먼지 Weyl−Lewis−Papapetrou
사이언티스트 아인슈타인 로렌츠 힐베르트 푸앵카레 슈바르츠실트 디시터 리스너 노르트스트롬 웨일 에딩턴 프리드먼 밀네 츠비키 레마 î트레 오펜하이머 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 Raychaudhuri 테일러 헐스 반스토쿰 타우브 뉴먼 야우 쏜 다른이들
물리 포털 카테고리
v t

커-뉴먼 계량(Kerr-Newman metric)은 일반 상대성 이론에서 아인슈타인-맥스웰 방정식의 가장 일반적인 점근적으로 평평하고 고정된 해로, 전기적으로 대전된 회전하는 질량을 둘러싼 영역의 시공간 기하학을 설명합니다. 회전을 설명하는 것 외에도 전자기장의 필드 에너지를 고려하여 커 메트릭을 일반화합니다. 그것은 다양한 다양한 전기진공 솔루션 중 하나이며, 즉 전자기장의 필드 에너지를 설명하는 아인슈타인-맥스웰 방정식에 대한 솔루션 중 하나입니다. 이러한 솔루션에는 중력장과 관련된 전하 이외의 전하가 포함되지 않으므로 진공 솔루션이라고 합니다.

관측된 천체는 상당한 순전하를 가지고 있지 않고,^{[citation needed]} 별의 자기장이 다른 과정을 통해 발생하기 때문에 이 솔루션은 천체 물리 현상을 설명하는 데 특히 유용하지 않습니다. 현실적인 블랙홀의 모델로서, 낙하하는 중입자 물질, 빛(핵 먼지) 또는 암흑 물질에 대한 설명을 생략하고, 따라서 기껏해야 항성 질량 블랙홀과 활동적인 은하 핵에 대한 불완전한 설명을 제공합니다. 이 해결책은 이론적이고 수학적으로 흥미로운 것인데, 이는 더 많은 탐색을 위한 상당히 간단한 초석을 제공하기 때문입니다.^{[citation needed]}

커-뉴먼 해는 우주 상수가 0이 아닌 아인슈타인-맥스웰 방정식의 더 일반적인 정확한 해의 특별한 경우입니다.^[1]

역사

1963년 12월 커와 실드는 모든 아인슈타인 공간에 민코프스키 공간의 정확한 선형 섭동을 제공하는 커-실드 측정법을 발견했습니다. 1964년 초 로이 커는 이와 같은 성질을 가진 모든 아인슈타인-맥스웰 공간을 찾았습니다. 1964년 2월까지 커-실드 공간이 충전된 특별한 경우(커-뉴먼 해를 포함)가 알려졌지만, 특별한 방향이 민코프스키 공간의 측지학이 아닌 일반적인 경우는 매우 어렵다는 것이 증명되었습니다. 이 문제는 조지 데브니에게 해결을 시도하기 위해 주어졌지만 1964년 3월에 포기되었습니다. 지금쯤 에즈라 T. 뉴먼은 추측을 통해 충전된 커를 위한 해결책을 찾았습니다. 1965년 에즈라 "테드" 뉴먼은 회전하면서 전기적으로 대전된 블랙홀에 대한 아인슈타인의 필드 방정식의 축대칭 해를 발견했습니다.^[2][3] 메트릭 텐서 $g$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ν {\$displaystyle g_${\mu \n에 대한 공식$u}\!}$은(는) 커-뉴먼 메트릭(Kerr-Newman metric)이라고 합니다. 이것은 충전되지 않은 회전점 질량에 대한 커 미터법을 일반화한 것으로, 2년 전에 로이 커에 의해 발견되었습니다.^[4]

4가지 관련 솔루션은 다음 표로 요약할 수 있습니다.

	비회전(J = 0)	회전(J ≠ 0)
충전되지 않음(Q = 0)	슈바르츠실트	커
충전됨(Q ≠ 0)	리스너-노르트스트롬	커-뉴먼

여기서 Q는 신체의 전하를 나타내고 J는 스핀 각운동량을 나타냅니다.

솔루션 개요

뉴먼의 결과는 4차원의 전자기장이 있는 상태에서 아인슈타인 방정식의 가장 단순한 정지, 축대칭, 점근적으로 평평한 솔루션을 나타냅니다. 이것은 때때로 아인슈타인 방정식의 "전기 진공" 풀이라고 불립니다.

모든 커-뉴먼 소스는 회전축이 자기 축과 정렬되어 있습니다.^[5] 따라서 커-뉴먼 소스는 회전축과 자기 모멘트 사이에 상당한 각도가 있는 일반적으로 관측되는 천체와 다릅니다.^[6] 구체적으로, 태양이나 태양계의 어떤 행성도 스핀 축과 정렬된 자기장을 가지고 있지 않습니다. 따라서 커 솔루션은 태양과 행성의 중력장을 설명하지만 자기장은 다른 과정으로 발생합니다.

커-뉴먼 퍼텐셜이 고전적인 전자의 모델로 간주된다면, 그것은 자기 쌍극자 모멘트뿐만 아니라 전기 사중극자 모멘트와 같은 다른 다중극자 모멘트를 가진 전자를 예측합니다.^[7] 전자 4중극자 모멘트는 아직 실험적으로 발견되지 않았습니다. 0으로 보입니다.^[7]

G = 0 극한에서 전자기장은 무한히 많은 고리 안에 있는 대전된 회전 원반의 전자기장입니다. 이 디스크의 총 자기장 에너지는 무한하므로 이 G = 0 한계는 무한 자기 에너지의 문제를 해결하지 못합니다.

대전되지 않은 회전 질량에 대한 커 메트릭과 마찬가지로 커-뉴먼 내부 솔루션은 수학적으로 존재하지만 낙하하는 물질로 인한 질량 팽창으로 인해 코시 지평선의 안정성 문제로 인해 물리적으로 현실적인 회전 블랙홀의 실제 메트릭을 대표하지 않을 수 있습니다. 그것은 커 미터법의 일반화를 나타내지만, 현실적인 블랙홀이 상당한 양의 전하를 가질 것이라고 예상하지 않기 때문에 천체 물리학적 목적에서는 그다지 중요하지 않다고 여겨집니다. (그것들은 양의 전하를 가질 것으로 예상되지만, 양성자가 전자보다 훨씬 더 큰 운동량을 가지고 있기 때문에,) 따라서 정전기적 반발력을 극복하고 지평선을 가로지르는 운동량에 의해 운반될 가능성이 더 높습니다.

커-뉴먼 메트릭은 결합된 전하량과 각운동량이 충분히 작을 때에만 사건의 지평선을 갖는 블랙홀을 정의합니다.^[9]

${\displaystyle J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

전자의 각운동량 J와 전하 Q(기하학적 단위로 적합하게 지정됨)는 둘 다 질량 M을 초과합니다. 이 경우 메트릭은 이벤트 지평선이 없으므로 블랙홀 전자 같은 것은 있을 수 없습니다. 즉, 맨눈의 회전 고리 특이점만 있을 뿐입니다.^[10] 이러한 메트릭은 링의 우주 검열 가설 위반과 링 바로 근처에서 인과 관계를 위반하는 폐쇄 시간과 같은 곡선의 출현과 같이 물리적이지 않아 보이는 몇 가지 특성을 가지고 있습니다.^[11]

러시아 이론가 알렉산더 부린스키(Alexander Burinski)의 2009년 논문은 이스라엘(1970)^[12]과 로페즈(Lopez)(1984)의 이전 모델의 일반화로 전자를 고려했으며,^[13] 이는 상대론적으로 회전하는 원반 형태로 커-뉴먼 해의 근원을 얻었습니다. 로페즈의 절단은 커-뉴먼 메트릭을 $$ = ${\displaystyle {re}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 2}$M {\display r = r_{e} = e^{2}/2M}에서 컷오프로 정규화하여 특이점을 " bubble"라고 하는 평평한 정규 시공간으로 대체했습니다. 로페즈 거품이 힉스 대칭 깨짐 메커니즘과 유사한 상전이에 해당한다고 가정했을 때, 부린스키는 전자 모델의 초전도 코어를 정규화함으로써 중력에 의해 생성된 고리 특이점이 형성되며, 초대칭 란다우-긴츠부르크 상전이 필드 모델에 의해 설명되어야 한다는 것을 보여주었습니다.

Burinsky의 중간 작업을 생략함으로써, 우리는 최근의 새로운 제안에 도달했습니다: 이스라엘과 Lopez에 의해 잘린 KN 솔루션의 네거티브 시트를 양전자 시트로 간주하는 것입니다.^[15]

이 수정은 KN 솔루션을 QED 모델과 통합하고 벡터 전위의 프레임 드래그로 형성된 윌슨 라인의 중요한 역할을 보여줍니다.

결과적으로, 수정된 KN 솔루션은 전자-양전자 진공의 추가적인 에너지 기여로 인해 발생하는 커의 중력과 강한 상호작용을 획득하고 콤프턴 크기의 커-뉴먼 상대론적 원형 끈을 생성합니다.

제한적인 경우

커-뉴먼 메트릭은 제한된 경우 일반 상대성 이론에서 다른 정확한 솔루션으로 감소하는 것으로 볼 수 있습니다. 이를 통해 다음과 같은 효과를 얻을 수 있습니다.

• 전하 Q에 대한 커 메트릭은 0이 됩니다.
• Rissner-Nordström 메트릭은 각운동량 J(또는 a = )입니다. J/M)이 0으로 이동합니다.
• 전하 Q와 각운동량 J(또는 a)가 모두 0이 되기 때문에 슈바르츠실트 메트릭은 0이 됩니다.
• 질량 M, 전하 Q, 회전 파라미터 a가 모두 0일 경우 민코프스키 공간. 또는 중력을 제거하고자 할 경우, 질량과 전하를 0으로 취하지 않고 중력 상수 G가 0이면 민코프스키 공간이 발생합니다. 이 경우 전기장과 자기장은 단순히 대전된 자기 쌍극자의 장보다 복잡합니다. 무중력 한계는 사소한 것이 아닙니다.

미터법

커-뉴먼 메트릭은 질량 M, 전하 Q 및 각운동량 J를 가진 회전하는 하전 블랙홀의 시공간 기하학을 설명합니다. 이 메트릭의 공식은 선택된 좌표 또는 좌표 조건에 따라 달라집니다. 아래 두 가지 형태가 제공됩니다. 보이어-린드퀴스트 좌표, 커-실드 좌표. 중력 측정법만으로는 아인슈타인 필드 방정식의 해법을 결정하기에 충분하지 않습니다. 전자기 응력 텐서도 주어져야 합니다. 두 가지 모두 각 섹션에 제공됩니다.

보이어-린드퀴스트 좌표

이 메트릭을 표현하는 한 가지 방법은 보이어-린드퀴스트 좌표라고도 ^[16]불리는 특정 구면 좌표 집합에 선 요소를 적는 것입니다.

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

좌표(r, θ, ϕ)가 표준 구면 좌표계이고 길이 척도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

간결함을 위해 도입되었습니다. 여기서_s 질량이 큰 물체의 슈바르츠실트 반지름이 있는데, 이 반지름은 질량이 M만큼 큰 물체입니다.

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}},}$

여기서 G는 중력 상수이고 r은_Q 질량의 전하 Q에 해당하는 길이 척도입니다.

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

여기서 ε는 진공 유전율입니다.

보이어-린드퀴스트 형태의 전자기장 텐서

보이어-린드퀴스트 좌표의 전자기력 퍼텐셜은^[17][18]

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

맥스웰 텐서는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu} = g^{\mu \ sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

크리스토펠 기호들과 결합하여 운동의 2차 방정식은 다음과 같이 유도될 수 있습니다.

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

여기서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$는 테스트 입자의 질량당 전하입니다.

커-실드 좌표

커-뉴먼 메트릭은 1965년 커와 실드가 제안한 특정 데카르트 좌표 집합을 사용하여 커-실드 형태로 표현할 수 있습니다. 메트릭은 다음과 같습니다.^[19][20][21]

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu}+fk_{\mu}k_{\nu}\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1입니다.\!}$

k는 단위 벡터임을 주목하십시오. 여기서 M은 방사물체의 일정 질량, Q는 방사물체의 일정한 전하, η은 민코프스키 메트릭, = J/M은 방사물체의 일정한 회전 파라미터입니다. $벡터$ a → ${\$$displaystyle$ ${\vec {a}}$이(가) 양의 z축, 즉 a → z ^ {\displaystyle {\vec {a}} = a{\hat {z}}을 따라 향한다고 이해됩니다. 수량 r은 반지름이 아니라 다음과 같이 암묵적으로 정의됩니다.

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}$

양 r은 통상적인 반지름 R이 됨을 주목하십시오.

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

회전 파라미터 a가 0에 접근할 때. 이러한 형태의 솔루션에서는 빛의 속도가 통일성(c = 1)이 되도록 단위를 선택합니다. 아인슈타인-맥스웰 방정식의 완전한 해를 제공하기 위해 커-뉴먼 해는 미터 텐서에 대한 공식뿐만 아니라 전자기 퍼텐셜에 대한 공식도 포함합니다.^[19][22]

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

소스로부터 먼 거리(R ≫ a)에서, 이 방정식들은 다음과 같이 Rissner-Nordström 메트릭으로 감소합니다.

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

Kerr-Newman 메트릭의 Kerr-Schild 형태에서 메트릭 텐서의 행렬식은 모든 곳에서 음수와 같습니다. 심지어 소스 근처에서도 마찬가지입니다.^[1]

커-실드 형태의 전자기장

전자기장 세기 텐서를 얻기 위해 4-포텐셜을 미분함으로써 일반적인 방법으로 전기장과 자기장을 얻을 수 있습니다. 3차원 벡터 표기법으로 전환하는 것이 편리할 것입니다.

${\displaystyle A_{\mu} =\left (-\phi,A_{x}}A_{y},A_{z}\right)\,}$

정전기장과 자기장은 다음과 같이 벡터 퍼텐셜과 스칼라 퍼텐셜로부터 유도됩니다.

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla}}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

커-실드 형태의 4 퍼텐셜에 대해 커-뉴먼 공식을 사용하면 질량이 0이 되는 극한에서 필드에 대해 다음과 같은 간결한 복소 공식을 얻을 수 있습니다.^[23]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla}}\오메가 \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

이 마지막 방정식의 수량 오메가$($Omega$$ω${\$displaystyle$$\Omega })는 반지름 벡터가 가상의 양으로 이동한 것을 제외하고는 쿨롱 전위와 유사합니다. 이 복잡한 잠재력은 일찍이 19세기에 프랑스 수학자 폴 에밀 아펠에 의해 논의되었습니다.^[24]

환원 불가능한 질량

전기장 에너지와 회전 에너지를 포함하는 총 질량 등가 M과 환원 불가능한 질량 M은_irr 다음과^[25][26] 같이 연관됩니다.

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

그것은 뒤집어서 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

중성 및 정적 몸체를 전기적으로 충전 및/또는 회전시키기 위해서는 시스템에 에너지가 가해져야 합니다. 질량-에너지 등가성 때문에 이 에너지도 질량 등가이므로 M은 항상 M보다_irr 높습니다. 예를 들어 블랙홀의 회전 에너지를 펜로즈 과정을 통해 추출하면 남은 질량-에너지는 항상 M보다_irr 크거나 같게 유지됩니다.^[27][28]

중요표면

$1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{gr}}_{}}$ ${\$ 1$/g_{rr}}$을 0으로$$ 설정하고 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$을(를) 해결하면 내부 및 외부 이벤트 지평선이 생성되며$$, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표에 있습니다.

${\displaystyle r_{\text}H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

$이{\displaystyle {}_{}}$ 단계를 ${\displaystyle {\mathrm{gt}}_{}}$ ${\$로 반복하면 내부와 외부의 에르고스피어를 얻을$$ 수 있습니다.

${\displaystyle r_{\text}E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

운동방정식

간결성을 위해 G ${\displaystyle$ G$\},$ M ${\displaystyle$ M$\},$ $c$ ${\displaystyle$ c$}$ 및 4$$π ϵ 0 {\$displaystyle$4\pi \epsilon_{0}에 대해 정규화된 비차원화된 양을 추가로 사용합니다. where ${\displaystyle a}$ reduces to ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ and ${\displaystyle Q}$ to ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$, and the equations of motion for a test particle of charge ${\displaystyle q}$ become^[29][30]

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}{\Delta \rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta }}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}}$

총 에너지는$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E},$ 축 방향 각운동량은$$ ${\displaystyle {Lz}_{}}$ ${\$입니다. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ C$}$는 카터 상수입니다.

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

여기서 $p$ θ $$= θ ˙ ρ 2 {\displaystyle p_{\theta} = {\dot {\theta}}\\rho ^{2}}는 시험입자의 각운동량의 폴로이드 성분이며, δ {\displaystyle \delta }는 궤도 경사각입니다.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

그리고.

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

${\displaystyle {입자}^{}}$에 대한 μ ${\displaystyle 2}$$$= 0 {\$displaystyle$ \mu $^{2}$ = 0} 및 μ 2 = 1 {\displaystyle \mu ^{2} = 1}도 보존된 양입니다.

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi}}}$

프레임 드래그 유도 각속도입니다. χ$${\$displaystyle$\chi} 단축형은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

$좌표$ 도함수 ${\displaystyle \text{r}}$˙${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ θ ˙, ϕ ˙ ${\displaystyle${\$dot$ {r$}}, {\dot${\$theta}},$ {\dot {\phi}}와$로컬$ $3-속도$ v$${\displaystyle v} 사이의 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

방사형의 경우,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

폴로디얼의 경우,

${\displaystyle v^{\phi }={\frac {{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)}{{\bar {R}}\ \Sigma }}}$

축과

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z})\ \Omega)^{2}-\Delta \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega)^{2}}}$

총 국소 속도에 대하여, 여기서.

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

는 자이레이션의 축방향 반경(국부 둘레를 2 π으로 나눈 값)이며,

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi}{\Delta \\rho ^{2}}}$

중력 시간 팽창 성분 중성입자에 대한 국소 방사상 탈출 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma^{2}-1}}{\varsigma}}$

참고문헌

서지학

• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. pp. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

외부 링크

• Adamo, Tim; Newman, Ezra (2014). "Kerr–Newman metric". Scholarpedia. 9 (10): 31791. arXiv:1410.6626. Bibcode:2014SchpJ...931791N. doi:10.4249/scholarpedia.31791. 에즈라 T가 공저한. 뉴먼 본인이
• 쉽게 만든 SR, 11장: 대전되고 회전하는 블랙홀과 그 열역학