아핀 기하학

기하학.
평면에 구면 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비아르키메데스 기하학 투사적 아핀 합성 분석 대수적 산술 디오판틴 차동 리만어 심플렉틱 이산 차동 복잡한 유한 디스크리트/컴비네이터리 디지털. 볼록하다 계산 프랙탈 발생률 비가환 기하학 비가환 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 병렬 꼭지점 일치 유사성 대칭
제로차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
2차원 비행기 지역 폴리곤 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모꼴 마름모꼴 사변형 사다리꼴 연 원형 직경 둘레 지역
입체 용량 큐브 입방체 실린더 피라미드 구
4차원/기타차원 테서랙트 하이퍼스피어
지오메트리
이름으로 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 불야이 브라마굽타 카르탄 콕서터 데카르츠 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 야에하데바 카티아야나 카이얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메시바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양후이 알-야사민 장 기하학 목록
기간별로 BCE 아흐메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1 ~ 16 진수 장 카티아야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 카이얌 알-야사민 알투시 양후이 파라메시바라 1400~1960년대 야에하데바 데카르츠 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700~1960년대 가우스 로바체프스키 불야이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
v t

수학에서, 아핀 기하학은 거리와 각도의 미터법 개념을 무시할 때 유클리드 기하학에 남는 것이다.^[1][2]

평행선의 개념은 어떤 메트릭과도 무관한 주요 특성 중 하나이기 때문에 아핀 기하학은 종종 평행선의 연구로 간주됩니다.따라서, Playfair의 공리(L 위에 L과 점 P가 없는 경우, P를 통과하는 L과 정확히 평행한 선이 하나 있음)는 아핀 기하학의 기본이다.아핀 지오메트리의 그림 비교는 아핀 변환을 사용하여 이루어집니다. 아핀 변환은 점의 정렬과 선의 병렬성을 유지하는 매핑입니다.

아핀 지오메트리는 기본적으로 동일한 ^[3]두 가지 방법으로 개발될 수 있습니다.

합성 기하학에서 아핀 공간(affine space)은 몇 가지 공리(Playfair의 공리)를 만족시키는 선들의 집합과 연관된 점들의 집합이다.

아핀 지오메트리는 선형대수에 기초해 개발될 수도 있다.이 문맥에서 아핀 공간은 변환 세트(즉, 바이젝티브 매핑), 벡터 공간(특정 필드, 일반적으로 실수)을 형성하는 변환 세트를 갖춘 점의 집합이며, 주어진 순서 있는 점 쌍에 대해 첫 번째 점을 두 번째 점으로 전송하는 고유한 변환이 존재한다.두 번역의 합계는 번역의 벡터 공간입니다.

좀 더 구체적으로 말하면, 이것은 임의의 순서쌍의 점에 벡터를 관련짓는 연산과 벡터에 의한 점의 변환을 가능하게 하는 다른 연산을 갖는 것과 같다.이 연산들은 다수의 공리를 만족시키기 위해 필요하다(특히 연속되는 두 개의 변환이 합계에 의한 변환의 효과를 갖는다는 점).벡터)임의의 점을 "원점"으로 선택함으로써 점들은 벡터와 일대일로 대응하지만, 원점에 대한 선호 선택은 없다. 따라서 아핀 공간은 원점(제로 벡터)을 "잊어버림"으로써 연관된 벡터 공간으로부터 얻은 것으로 볼 수 있다.

미터법을 잊는다는 개념은 다양체 이론에 적용될 수 있다.그것은 아핀 접속에 관한 기사에 기재되어 있다.

역사

1748년, 레온하르트 오일러는 그의 책 인트로듀티오에서 아핀이라는^[4][5] 용어를 도입했다.1827년, August Möbius는 그의 Der barycentrische Calculate (3장)에서 아핀 기하학에 대해 썼다.

펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램 이후 아핀 기하학은 유클리드 ^[6]기하학의 일반화로 인식되었다.

1918년 헤르만 바일은 그의 텍스트 공간, 시간, 물질에서 아핀 기하학을 참조했다.그는 아핀 기하학을 이용하여 수학 물리학의 발전의 초기 단계에서 벡터 덧셈과 뺄셈을^[7] 도입했다.안녕, E.T. 휘태커는 ^[8]다음과 같이 썼다.

와일의 기하학은 상세하게 밝혀진 최초의 아핀 기하학으로서 역사적으로 흥미롭다: 그것은 4차원 시공간에서 빛의 신호 세계선을 사용하는 특별한 평행 수송[...]에 기초한다.이들 월드라인 중 하나의 짧은 요소는 늘벡터라고 불릴 수 있습니다.그러면 문제의 병렬 트랜스포트는 인접 포인트의 늘벡터 위치로 어느 한 지점에서든 늘벡터를 반송합니다.

공리 체계

아핀 지오메트리에 대한 몇 가지 자명한 접근법이 제시되었다.

파푸스의 법칙

아핀 기하학이 평행선을 다루면서 알렉산드리아의 파푸스가 지적한 평행선의 특성 중 하나가 ^[9][10]전제로 받아들여졌다.

• A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ $(\displaystyle$ A, $B,$ $C)$가 한 회선에 $있고{\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$,$,$가 다른 $회선$에 있다고 가정합니다.${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\backslash }^{}}$$displaystyle$ AB$'$와 $\displaystyle$ A$'B$$'$가 평행하고 $\$$displaystyle$ B$'C$가 평행한 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ C'와$$C-style${\displaystyle {}^{}}$C$'$가 평행합니다.

제안된 완전한 공리 시스템은 점을 포함하는 점, 선 및 선을 원시 개념으로 한다.

• 한 줄에 두 개의 점이 들어 있습니다.
• l 위가 아닌 임의의 라인 l 및 점 P에 대해 P를 포함하는 행은 1개뿐이며 점 L을 포함하지 않습니다.이 선은 l과 평행하다고 한다.
• 모든 선에는 두 개 이상의 점이 포함됩니다.
• 한 선에 속하지 않는 점이 최소 3개 있습니다.

H.S.M. Coxeter에 따르면:

이 다섯 가지 공리의 관심은 유클리드 기하학뿐만 아니라 민코프스키의 시간과 공간의 기하학에서도 유지되며 광대한 명제로 발전할 수 있다는 사실에 의해 강화된다. (단순한 1+1 차원의 경우, 특수 상대성 이론에는 1+3이 필요하다).유클리드 또는 밍코프스키 기하학의 확장은 직교성의 다양한 공리 ^[11]등을 추가함으로써 달성된다.

다양한 유형의 아핀 지오메트리는 회전에 대해 어떤 해석을 취할지에 대응합니다.유클리드 기하학은 회전에 대한 일반적인 개념에 해당하는 반면, 민코프스키의 기하학은 쌍곡선 회전에 해당한다.수직선에 관해서는 평면이 통상 회전할 때 수직을 유지한다.민코프스키 기하학에서, 평면이 쌍곡선 회전을 받을 때 쌍곡선 직교 선은 그 관계에 남습니다.

순서구조

평면 아핀 지오메트리의 공리적인 처리는 두 개의 추가 ^[12]공리를 추가하여 순서 기하학의 공리로부터 구축할 수 있습니다.

1. (평행의 아핀 공리) 점 A와 A를 통과하지 않는 선 r이 주어졌을 때, A를 통과하는 선은 r을 충족하지 않는다.
2. (요구사항) ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle {}^{,}}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle {}^{}}$, C${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C}$, C, $O, B', C, C, O$ B', $C{\displaystyle }$, C$,$ O$,$ $B{\displaystyle }$ $′,$ B ′, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime ,}^{}}$ B ′, B ′, B ′, B $\prime ,$ B bb, B $bb$, B bb$,$ B$$bb, B $bb$, B bb, B bb, A, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, A$,$ B, B, B,${\displaystyle A^{}b{}^{}}$ B ${\displaystyle {\{\backslash }^{}}$ \ $display$ $style$ A$'B'$ $b$ ${\displaystyle B}$ C$$ \ $displaystyle$$$B$'C$ 、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle c{}^{}}$ C ${\displaystyle {\prime }^{}}$ \ $displaystyle$ AC$$is$$ A ${\$ \ $displaystyle$ A$'C'$$a{\displaystyle {}^{}}$ a to to to B'C' $a{\displaystyle {}^{}}$ a a a a B 、 B C a C a C a C a C a a a a a a a a a a a a a a a a a a a C a C a a a a a

평행의 아핀 개념은 선상에서 등가 관계를 형성한다.여기에 제시된 순서 기하학의 공리는 실수의 구조를 내포하는 속성을 포함하므로, 이러한 특성은 실수의 장에 걸친 아핀 기하학의 공리화이다.

삼원환

최초의 비데사르게스 평면은 데이비드 힐버트가 그의 기하학 ^[13]재단에서 언급했다.몰튼 비행기는 전형적인 삽화이다.데사르게스 정리가 유효한 기하학뿐만 아니라 그러한 기하학에 대한 맥락을 제공하기 위해, 삼원환의 개념은 마셜 홀에 의해 개발되었다.

이 접근법에서 아핀 평면은 삼원환에서 가져온 순서쌍으로 구성됩니다.평면은 평행한 두 변을 가진 평행한 원근법의 두 삼각형이 세 번째 변도 평행해야 할 때 "소수 아핀 데사르게 특성"을 갖는다고 한다.이 특성이 삼원환에 의해 정의된 아핀 평면에 유지되면 ^[14]평면에서 점 쌍으로 정의된 "벡터" 사이에 등가 관계가 있습니다.또한 벡터는 덧셈 하에서 아벨 군을 형성합니다. 삼원링은 선형이며 오른쪽 분포도를 만족합니다.

(a + b) c = ac + bc.

아핀 변환

기하학적으로 아핀 변환(애피니티)은 공선성을 유지합니다.따라서 평행선을 평행선으로 변환하고 평행선을 따라 거리의 비율을 유지합니다.

우리는 아핀 군에서 불변하는 기하학적 결과를 아핀 이론으로 식별한다(Felix Klein의 Erlangen 프로그램에서 이것은 아핀 기하학에 대한 대칭 변환의 기본 그룹이다).벡터 공간 V에서 일반 선형 군 GL(V)을 고려합니다.V의 벡터 V에 의한 변환도 허용해야 하기 때문에 아핀 그룹 전체가 아닙니다(이러한 변환은 V의 임의의 w를 w + v에 매핑합니다).아핀 그룹은 일반 선형 그룹과 변환에 의해 생성되며, 실제로는 반직접 곱 $V{\displaystyle g\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$L (${\displaystyle V}$) \ $displaystyle$ V$\rtimes \mathrm {GL}(V)$입니다$.($여기서 V는 곱 Semidirect에 대한 GL(V)의 정의 표현을 사용합니다.

예를 들어, 각 정점을 연결하는 선의 일치에 대한 삼각형의 평면 기하학에서 반대쪽의 중간점(중심점 또는 중심점)에 대한 정리는 아핀 불변으로서의 중간점과 중심점의 개념에 의존한다.다른 예로는 체바와 메넬라오스의 이론이 있다.

아핀 불변량도 계산에 도움이 될 수 있습니다.예를 들어 삼각형의 면적을 2등분하는 선은 삼각형의 내부에 엔벨로프를 형성한다.봉투 면적과 삼각형 면적의 비율은 불변하므로 단위 이등변 직각 삼각형과 같은 단순한 경우만 $계산$하면 ${\displaystyle \frac{\mathrm{3개}}{}}$의 ${\displaystyle 4_{}}$ 로그 e ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$) - ${\displaystyle \frac{1}{}}$,$$\ $display$style { $tfrac${$3$} { $4$} \ $log$_ { $e$} ( $2$) - { \ $tfrac$ { 1$$} i$}$ 。또는 2% 미만이어야 합니다.

삼각형의 면적에 대한 베이스 곱하기 높이의 절반 또는 피라미드 부피의 3분의 1과 같은 익숙한 공식도 마찬가지로 아핀 불변량입니다.후자는 일반적인 경우보다 명확하지 않지만 면(영역 1)과 면(높이 1/2)으로 이루어진 단위 입방체의 1/6에 대해서는 쉽게 알 수 있다.따라서 정점이 베이스의 중심 바로 위에 있지 않은 경사진 피라미드, 그리고 베이스가 정사각형 대신 평행사변형을 가진 피라미드에도 해당됩니다.이 공식은 (수렴에 충분히 주의를 기울여서) 무한히 많은 평행사변형을 허용함으로써 원뿔을 포함하여 밑면을 평행사변형으로 해부할 수 있는 피라미드로 더욱 일반화된다.같은 접근방식으로 4차원 피라미드는 4D 하이퍼볼륨이 평행한 베이스볼륨의 4분의 1에 해당하는 높이를 곱한 것을 알 수 있으며, 고차원의 경우에도 마찬가지입니다.

운동학

아핀 변환의 두 가지 유형은 고전과 현대 운동학에서 모두 사용됩니다.속도 v는 길이와 방향을 사용하여 설명되며, 여기서 길이는 무한으로 추정됩니다.갈릴레오나 뉴턴학으로 불리는 이 다양한 운동학은 절대 시공간 좌표를 사용한다.축이 각각 있는 평면의 전단 매핑은 정지 ^[15]기준 프레임에서 속도 v에 따라 이동하는 관찰자의 좌표 변화를 나타낸다.

목성의 달이 늦게 나타나는 것으로 처음 알려진 유한 광속은 현대 운동학을 필요로 한다.이 방법에는 속도 대신 속도가 포함되며 이전에 사용한 전단 매핑을 스퀴즈 매핑으로 대체한다.이 아핀 기하학은 1912년에 ^[16][17]특수 상대성 이론을 표현하기 위해 합성적으로 개발되었다.1984년, 그라시엘라 버먼과 노미즈 카츠미가 "로렌츠 ^[18]기하학의 삼각법"이라는 기사에서 "로렌츠 벡터 공간² L과 관련된 아핀 평면"을 기술하였다.

아핀 공간

아핀 지오메트리는 필드 K에 걸쳐 조정된 소정의 치수 n의 아핀 공간의 지오메트리로 볼 수 있다.또한 (2차원에서는) 합성 유한 기하학에서 개발된 것처럼 좌표화된 아핀 공간의 조합적 일반화가 있다.투영기하학에서 아핀공간은 투영공간에서 무한대의 하이퍼플레인 보완을 의미한다.아핀 공간은 계수가 1인 선형 조합(예: 2x - y, x - y + z, (x + y + z)/3, ix + (1 - i)y 등)으로 연산이 제한된 벡터 공간으로 볼 수도 있습니다.

합성적으로 아핀 평면은 점과 선(또는 고차원에서는 하이퍼 평면) 사이의 관계 측면에서 정의된 2차원 아핀 기하학이다.아핀(및 투영) 지오메트리를 좌표를 사용하는 대신 점과 선(또는 초평면)의 구성으로 정의하면 좌표 필드가 없는 예를 볼 수 있습니다.주요 속성은 이러한 모든 예가 2차원을 가지고 있다는 것이다.차원 2(유한 아핀 평면)의 유한한 예는 무한 아핀 공간, 군 이론 및 조합론에서의 구성에 대한 연구에서 가치가 있다.

구성 접근법보다 덜 일반적이지만, 논의된 다른 접근법은 대칭과 관련된 기하학 부분을 밝히는 데 매우 성공적이었다.

투영도

전통적인 기하학에서 아핀 기하학은 유클리드 기하학과 사영 기하학 사이의 연구로 간주된다.한편, 아핀 지오메트리는 일치성이 생략된 유클리드 지오메트리다.다른 한편,^[19] 아핀 지오메트리는 무한대의 점을 나타내기 위해 특정 선 또는 평면을 지정함으로써 투영 지오메트리에서 얻을 수 있다.아핀 지오메트리에서는 메트릭 구조가 없지만 평행 공식이 유지됩니다.아핀 기하학은 수직선이 정의될 때 유클리드 구조의 기초를 제공하거나 쌍곡 직교성의 ^[20]개념을 통해 민코프스키 기하학의 기초를 제공한다.이 관점에서 아핀 변환은 무한대의 점을 가진 유한점을 허용하지 않는 투영 변환이며, 아핀 변환 기하학은 아핀 변환 그룹의 작용을 통한 기하학적 특성에 대한 연구이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비유클리드 기하학

레퍼런스

추가 정보

• Emil Artin (1957) 기하학 대수학, 제2장: 인터넷 아카이브를 통한 "Affine and Projection Geometry"
• V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) 모스크바 교육부 아핀과 투영 기하학의 아이디어와 방법(러시아어).
• M. K. Bennett(1995) Affine and Projection Geometry, John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8.
• H. S. M. 콕서터(1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21:5 ~ 14, 1954년 4월 26일 월요일 Scripta Mathematica 친구 모임 포럼에 앞서 강연.
• 고급 관점에서 본 Felix Klein(1939) 초등 수학: 기하학, E.R. Hedrick과 C에 의해 번역되었습니다.A. Noble, 페이지 70-86, Macmillan Company.
• 브루스 E.Meserve(1955) 기하학의 기본 개념, 5장 아핀 기하학, 페이지 150-84, Adison-Wesley.
• Peter Scherk & Rolf Lingenberg(1975) 평면 아핀 기하학의 기초, 수학 박람회 #20, 토론토 대학 출판부.
• 완다 슈밀레프(1984) 아핀에서 유클리드 기하학으로: 자명한 접근법, D. 라이델, ISBN 90-277-1243-3.
• 오스왈드 베블렌(1918) 투영 기하학, 제2권, 제3장: 비행기 안의 아핀 그룹, 페이지 70~118, 긴앤컴퍼니.

외부 링크

• 런던 대학의 피터 캐머런의 투영 기하학과 어핀 기하학.
• Jean H. Gallier(2001).컴퓨터 과학과 엔지니어링을 위한 기하학적 방법과 응용, 제2장: "아핀 기하학의 기초" (PDF), 응용 수학 #38의 스프링거 텍스트, 펜실베니아 대학의 온라인 장.