합성 기하학

합성 기하학(가명 기하학 또는 심지어 순수한 기하학이라고도 함)은 좌표나 공식을 사용하지 않고 기하학을 연구하는 학문이다. 그것은 결론을 도출하고 문제를 해결하기 위해 자명적인 방법과 그것들과 직접 관련된 도구, 즉 나침반과 직선 에지에 의존한다.

좌표법 도입 후에야 이 기하학적 접근법을 다른 접근법과 구별하기 위해 "합성 기하학"이라는 용어를 도입할 이유가 있었다. 기하학에 대한 다른 접근법은 분석적 기하학 및 대수적 기하학으로 구체화되며, 여기서 기하학적 결과를 얻기 위해 분석과 대수적 기법을 사용한다.

펠릭스 클라인에 따르면

합성 기하학은 공식에 의지하지 않고 이와 같은 수치를 연구하는 반면, 분석 기하학은 적절한 좌표계를 채택한 후에 기록될 수 있는 공식들을 일관되게 사용한다.^[1]

원소에서 유클리드(Eucleid)가 제시한 기하학은 합성법 사용의 전형적인 예다. 그것은 기하학적 문제의 해결로 아이작 뉴턴이 선호하는 방법이었다.^[2]

합성 방법은 19세기에 기하학자들이 투영 기하학과 비유클리드 기하학의 기초를 확립하는 데 있어서 좌표법을 거부했을 때 가장 두드러졌다. 예를 들어, 지오미터 Jakob Steiner (1796년– 1863년)는 분석 기하학을 싫어했고, 항상 합성 방법을 선호했다.^[3]

논리합성

논리합성의 과정은 어떤 자의적이지만 확실한 출발점에서 시작된다. 이 출발점은 원시 개념이나 원시 개념과 이러한 원시적 개념에 대한 공리의 도입이다.

• 원시적인 것이 가장 기본적인 생각이다. 전형적으로 그것들은 물건과 관계를 모두 포함한다. 기하학에서, 물체는 점, 선, 평면과 같은 사물인 반면, 근본적인 관계는 한 물체가 다른 물체와 만나거나 결합하는 발생의 그것이다. 용어 자체는 정의되지 않았다. 힐버트는 한 때, 점, 선, 비행기 대신 테이블, 의자, 맥주 머그잔에 대해 말하는 것이 나을지도 모른다고 말했는데,^[4] 요점은 원초적인 용어는 빈 자리 표시자일 뿐 본질적인 특성이 없다는 것이다.
• 공리는 이러한 원시성에 대한 진술이다. 예를 들어, 어떤 두 지점도 하나의 선(즉, 어떤 두 지점의 경우, 두 점을 모두 통과하는 선)으로 함께 사건한다. 공리는 사실로 가정되며, 입증되지 않는다. 그것들은 원형이 가지고 있는 성질을 명시하기 때문에 기하학적 개념의 구성 요소들이다.

주어진 공리 집합에서, 합성은 신중하게 구성된 논리적인 논리로 진행된다. 중요한 결과가 엄격하게 증명되면 그것은 하나의 정리가 된다.

공리 집합의 속성

둘 이상의 일관된 집합을 선택할 수 있기 때문에 기하학에 대해 설정된 고정 공리는 없다. 그러한 각 집합은 다른 기하학적 구조를 야기할 수 있는 반면, 동일한 기하학적 구조를 제공하는 다른 집합의 예도 있다. 이 많은 가능성으로, 단수에서 "지오메트리"를 말하는 것은 더 이상 적절하지 않다.

역사적으로 유클리드 평행이 다른 공리와는 무관한 것으로 밝혀졌다. 단순히 그것을 폐기하는 것은 절대 기하학을 주는 반면 부정하는 것은 쌍곡 기하학을 낳는다. 다른 일관된 공리 집합은 투사형, 타원형, 구형 또는 아핀 형상과 같은 다른 기하학적 형상을 산출할 수 있다.

연속성과 "중간성"의 공리 또한 선택사항이다. 예를 들어, 분리형 기하학은 그것들을 폐기하거나 수정함으로써 생성될 수 있다.

클라인의 에를랑겐 프로그램에 이어, 주어진 기하학의 본질은 개발의 스타일이라기보다는 대칭성과 명제의 내용 사이의 연결고리로 볼 수 있다.

역사

19세기 가우스, 볼야이, 로바체프스키, 리만에 의한 비유클리드 기하학의 동시 발견이 수학자들이 유클리드에게 근본적인 가정에 의문을 품게 할 때까지 유클리드 본래의 치료법은 2천년이 넘도록 문제 삼지 않았다.^[5]

초기 프랑스 분석가 중 한 명은 다음과 같이 합성 기하학을 요약했다.

유클리드 원소는 합성법으로 처리된다. 이 저자는 공리를 내세우고 요건을 형성한 후, 그 앞에 놓인 명제를 계승적으로 뒷받침하는 명제들을 확립하여, 항상 단순에서 복합적인 것으로, 합성의 본질적인 특징인 복합적인 것으로 진행되었다.^[6]

합성 기하학의 전성기는 19세기였다고 볼 수 있는데, 당시 야콥 스타이너와 같은 일부 기하학자들이 좌표와 미적분학에 기초한 분석법을 무시하여 순전히 투사 기하학의 합성 발전에 유리하게 되었다. 예를 들어, 발생 공리에서 출발하는 투영 평면의 치료는 사실 차원 3의 벡터 공간에서 시작하여 발견되는 것보다 더 넓은 이론(모델이 더 많은)이다. 투영 기하학은 사실 어떤 기하학의 가장 단순하고 우아한 합성표현을 가지고 있다.^{[citation needed]}

그의 얼랑겐 프로그램에서 펠릭스 클라인은 합성법과 분석법 사이의 긴장을 다음과 같이 낮추었다.

현대 기하학의 합성법과 분석법의 정반대점에 관한 연구:

현대 합성과 현대 분석 기하학의 구별은 주체와 추론 방법 모두 점차적으로 양쪽 모두에서 유사한 형태를 취했기 때문에 더 이상 본질적인 것으로 간주되어서는 안 된다. 따라서 우리는 두 가지 공통 명칭으로 본문에서 투영 기하학이라는 용어를 선택한다. 합성 방법은 공간 인식과 더 관련이 있고 따라서 최초의 단순한 전개에 희귀한 매력을 부여하지만, 그럼에도 불구하고 공간 인식의 영역은 분석적 방법에 닫히지 않으며, 분석적 기하학의 공식은 기하학적 관계의 정확하고 간결한 표현으로 간주될 수 있다. 반면에, 잘 짜여진 분석의 독창적인 연구에 대한 이점은 과소평가되어서는 안 된다. 즉, 생각의 사전에 그것의 움직임으로 인한 이점이기도 하다. 그러나 수학적 과목이 직관적으로 명백해지기 전에는 소진된 것으로 간주되어서는 안 되며, 분석의 보조에 의해 이루어지는 진전은 매우 중요하기는 하지만 첫 번째 단계일 뿐이라고 항상 주장해야 한다.^[7]

유클리드 기하학에 대한 밀접한 자명적 연구는 람베르트 4각형과 사케리 4각형의 건설을 이끌었다. 이들 구조물은 유클리드 평행 공리가 부정되는 비유클리드 기하학의 분야를 도입했다. 가우스, 볼랴이, 로바체프스키 등은 독립적으로 구성된 쌍곡 기하학으로, 평행선은 분리에 따라 평행도의 각도가 있다. 이 연구는 뫼비우스 변환에 의해 동작이 주어지는 푸앵카레 디스크 모델을 통해 널리 접근할 수 있게 되었다. 마찬가지로 가우스의 제자 리만도 리만 기하학을 만들었는데, 이 중 타원 기하학이 특별한 경우다.

또 다른 예는 루드비히 임마누엘 마그누스가 발전시킨 반전 기하학에 관한 것으로, 정신적으로 합성된 것으로 간주될 수 있다. 상호 작용의 밀접하게 연관된 조작은 평면의 분석을 표현한다.

Karl von Staudt는 조합성, 덧셈과 곱셈의 연관성과 같은 대수적 공리는 사실 기하학적 구성에서 선의 발생의 결과라는 것을 보여주었다. David Hilbert는 Desarges 구성이 특별한 역할을 했다는 것을 보여주었다^[8]. 추가 작업은 루스 무팡과 그녀의 제자들에 의해 이루어졌다. 그 개념들은 발생 기하학의 동기 부여자들 중 하나이다.

평행선을 일차 선으로 취할 때 합성은 아핀 지오메트리를 생성한다. 유클리드 기하학은 어핀 기하학과 미터법 기하학 둘 다이지만, 일반적으로 어핀 공간에는 미터법이 누락될 수 있다. 따라서 주어진 추가적인 유연성은 부속 기하학의 역사에서 논의된 바와 같이 부속 기하학을 스페이스타임 연구에 적합하게 만든다.

1955년 허버트 부세만과 폴 J. 켈리는 합성 기하학에 대한 향수를 불러일으키는 음을 냈다.

마지못해 하는 말이지만, 기하학자들은 합성 기하학의 아름다움이 신세대에 대한 매력을 잃었다는 것을 인정해야 한다. 그 이유는 분명한데, 얼마 전까지만 해도 합성 기하학이 공리로부터 엄격히 추리가 진행된 유일한 분야였던 반면, 수학적으로 관심이 있는 많은 사람들에게 매우 근본적인 이 호소력은 현재 다른 많은 분야에서 만들어지고 있다.^[9]

그 분석적 기하학은 큰 손실 없이 대체될 수 없다.^[10]

예를 들어, 대학 공부는 이제 그 주제가 첫 번째 원리로부터 발전되고, 명제는 기초적인 교정법으로 추론되는 선형대수학, 위상학, 그래프 이론을 포함한다.

오늘날의 기하학 학생은 유클리드 이외의 공리를 가지고 있다: 힐베르트의 공리와 타르스키의 공리를 보라.

Ernst Kötter는 1901년에 "Monge에서 Staudt (1847년)까지의 합성 기하학의 발전"에 관한 (독일어) 보고서를 발간했다.^[11]

합성 형상을 사용한 교정쇄

기하학적 이론의 합성 증거는 보조 구성물(도움선 등)과 측면이나 각도의 동일성, 삼각형의 유사성 및 합성과 같은 개념을 이용한다. 그러한 증거의 예는 나비 정리, 앵글 이등분 정리, 아폴로니우스의 정리, 영국 국기 정리, 세바의 정리, 이등심 정리, 기하학적 평균 정리, 헤론의 공식, 이소셀레스 삼각정리, 코사인의 법칙, 그리고 여기에 연계된 다른 것들에서 찾아볼 수 있다.

계산 합성 기하학

연산 기하학과 연계하여 연산 합성 기하학이 성립되어, 예를 들면, 매트로이드 이론과 밀접한 연관을 가지고 있다. 합성 미분 기하학은 상이한 다지관 이론의 기초에 토포스 이론을 적용한 것이다.

참고 항목

• 기하학의 기초
• 입사 기하학
• 합성미분 기하학

메모들

참조

• Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Halsted, G. B. (1896) 인터넷 아카이브를 통한 초기 합성 기하학
• Halsted, George Bruce (1906) 합성 투영 기하학, 인터넷 아카이브(Internet Archive)를 통해.
• 힐버트 & 콘 보센, 기하학과 상상력.
• Klein, Felix (1948), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint/Geometry, New York: Dover
• Mlodinow, Leonard (2001), Euclid's Window/The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, New York: The Free Press, ISBN 0-684-86523-8
• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "The Case for the Irreducibility of Geometry to Algebra", Philosophia Mathematica, 29 (4), doi:10.1093/philmat/nkab022