비쿼터니온

추상대수학에서 비쿼터니언은 $w + xi + yj$ +zk이며, $여기$ 서 $w, x,$ $y$ ,z는 복소수 또는 그 $변형$ 이며, { $1, i, j,k$ }의 원소는 4쿼터니언 군과 같이 곱하여 그 계수와 함께 이동한다.복소수 및 그 변화에 대응하는 비쿼터리온에는 세 가지 유형이 있습니다.

계수가 복소수인 경우의 사분위수입니다.
계수가 분할 복소수인 경우 분할 제곱수입니다.
계수가 이중 숫자인 경우 이중 사분위수입니다.

이 기사는 1844년 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 명명된 평범한 2쿼터들에 관한 것이다. (1844 & 1850 페이지 388^[1] 참조).이 사분오열들의 주요한 지지자들 중 일부는 알렉산더 맥팔레인, 아서 W. 콘웨이, 루드윅 실버스타인, 그리고 코넬리우스 랭조스를 포함한다.아래와 같이 비쿼터니언의 단위 준구체는 특수상대성이론의 기초인 로렌츠군을 나타낸다.

비쿼터리온의 대수는 텐서 곱 $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ H \ $displaystyle \mathbb {C}$ \ $otimes \mathbb {H}$ } (실수를 계승함)로 간주할 수 있다. 여기서 C $또는$ C ${\$ 는 $\mathbb {C}$ 복소수의 장이고 $H$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $(\displaystyle \mathbbb {H$ })는 $\mathbb {H}$ 다음과 같다 $.$ 다시 말해, 사분위기는 사분위기의 복잡화일 뿐이다.복소수로 볼 때, 비쿼터니언은 2 × $2$ 복소 $행렬 2$ M $(C)$ 의 대수와 동형이다.이들은 또한시공간 ^[3]^{: 386}대수의 $짝수$ $부분 03$ $Cθ 0 1,3$ $(R$ ) = $Cθ 2 (C)$ = $Cθ 1,2 (R),$ ^[2]^{: 112, 113} 파울리 $대수 3,0$ Cθ $(R)$ ^[2]^{: 112}^[3]^{: 404} = Cθ(R)를 $포함$ 하는 여러 클리포드 대수는 시공간 대수의 짝수 부분 Cθ $(R)$ = $Cθ 0 3,1 (R)$

정의.

{ $1,$ $i,$ $j,$ $k}$ 를 (실수) 사분수 H의 $기저$ 로 하고 u, $v,$ $w,$ $x$ 를 복소수라고 $하자$ $.$

{{displaystyle q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k}}

사분위기다.^[4]^{: 639}사분위수에서 마이너스 1의 제곱근을 구별하기 위해^[4]^{: 730}^[5] 해밀턴과 아서 W. 콘웨이는 사분위수 그룹의 $i$ 와 혼동을 피하기 위해 스칼라 필드 C에서 마이너스 1의 제곱근을 h로 나타내는 관례를 사용했다.4분위 그룹과의 스칼라 필드의 교환성은 다음과 같이 가정합니다.

h\mathbf {i} h,\h\mathbf {j} h,\h\mathbf {k} h,\h\mathbf {k} h.

해밀턴은 실제 $사분위수$ H에 사용되는 개념을 확장하기 위해 쌍방향자, 쌍방향자, 역방향자, 쌍방향자라는 용어를 도입했다.

해밀턴의 사분위기에 대한 첫 번째 설명은 1853년 그의 사분위기에 대한 강의에서 나왔다.1866년 윌리엄 에드윈 해밀턴(로완의 아들)과 1899년 찰스 재스퍼 졸리(Charles Jasper Jolly)에 의한 쿼터니언의 원소판은 실제 쿼터니언에 유리하게 4쿼터니언의 범위를 줄였다.

성분별 덧셈 및 4분위기에 따른 곱셈 연산을 고려할 때, 이 집합은 복소수 C에 대한 4차원 대수를 형성한다.비쿼터니온의 대수는 연관성이 있지만 가환성은 아니다.비쿼터니온은 단위 또는 제로 제수입니다.비쿼터니온의 대수는 구성 대수를 형성하며 이중 복소수로부터 구성될 수 있다.②의 구성대수는 아래와 같다.

링 이론에서의 위치

선형 표현

매트릭스 곱에 주의해 주세요.

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

-

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

h

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

) (

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

-

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

)

=

(

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}

){

displaystyle { pmatrix }h&0\h&-end {pmatrix}{\cisco

{pmatrix

}0&1&0\end

{pmatrix

pmatrix}

h는 가상 단위이기 때문에 이 세 배열 각각은 항등 행렬의 음수와 같은 제곱을 가집니다.이 행렬 곱을 i j = k로 해석하면 사분위수와 동형인 행렬의 부분군을 얻을 수 있다.그 결과,

(\displaystyle {pmatrix}u+w+hx\w+hx&u-end{pmatrix})

는 비사분위수 q = u 1 + v i + w j + x k 를 나타냅니다.임의의 2×2 복소행렬에 대하여 행렬링 M(2,C)이 비사분위환과 동형상이^[6] 되도록 하기 위한 복소값 u, v, w 및 x가 존재한다.

서브알제브라

실수 $R$ 의 스칼라 장에 걸친 비사분위 대수를 고려하면, 집합은

\displaystyle \{\mathbf {1},h,\mathbf {i},h\mathbf {j},h\mathbf {j},\mathbf {k},h\mathbf {k} \}

기저를 형성하기 때문에 대수는 8차원을 갖는다.hi, $hj$ $및$ hk $요소$ 의 제곱은 모두 양의 1입니다(예: ( $hi) 2$ = $hi 22$ = (- $1$ )(- $1) =$ + $1).$

에 의해 주어지는 아대칭

\displaystyle \{x+y(h\mathbf {i}):x,y\in \mathbb {R} \}

는 단위 쌍곡선 위에 구축된 대수 구조를 가진 분할 복소수 평면에 대해 링이 동형이다. $hj$ 와 hk 요소도 이러한 하위 대수를 결정합니다.

더 나아가,

\displaystyle \{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}

는 정삼각형과 동형입니다.

코쿼터니언이라고 불리는 세 번째 아대칭은 $hj$ 와 hk에 의해 생성됩니다. $즉$ , ( $hj)(r$ )= (- $1) i$ 이며 $,$ 이 원소의 제곱은 $-1$ 이다.이 요소들은 정사각형의 이면체 그룹을 생성합니다.따라서 $기본$ 이{ $1,$ $i$ , $hj,$ hk}인 선형 부분 공간은 곱셈 하에서 닫히고, 제곱 대수를 이룬다.

양자역학 및 스피너 대수의 맥락에서, M $(C) 표현$ 으로₂ 볼 때, $비쿼터리온$ hi, $hj$ $및$ hk(또는 이들의 음수)를 파울리 행렬이라고 한다.

대수적 성질

이 사분위수에는 두 가지 용어가 있습니다.

이중 공역 또는 비스칼라 빼기 바이벡터는 $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ $=$ w - $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ i - $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ - $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ k $,$ {\ $displaystyle$ q^{*}= $w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\,}$ 입니다 $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ .
비쿼터니온 $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ 의 복소수 활용 $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ w = w $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ + x $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ i + y $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ + z $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ k $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ （ \ $style$ q ^ { \ $star$ } = $w^$ { \ star } + $x ^$ { \ star } \ $mathbf$ { i } + y $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$ } + $z$ ^ { \ $star$ } { \ star } $mathbf }$ { \ $star$ } { \ mathbf $}$ { mathb f }

$z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ 서 z $z^{\star }=a-bh$ $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ - b $z^{\star }=a-bh$ {\ $displaystyle$ z $^{\star$ }= $a$ - $z^{\star }=a-bh$ 1일 때 z $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ a + $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ , $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ b $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ R , $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ - $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ . $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$ { $display$ z $= a$ + $display, b$ \ $in$ \ $mathbbb {$ R } , \ $display h^{$ 2} = - $mathbf$ {1}

$(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ q ) $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ 、 $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ ( $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ q ) $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ （ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ ( $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ ） $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ （ q ） $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$ . { $displaystyle$ ( $pq$ )^{*} = $p^{*}$ {*} , \ display ( $pq$ )^{\ star } \ star } $^{\ star$ } } {\ $star$ } 、

$qq^{*}=0$ q $=$ $qq^{*}=0$ { $displaystyle$ q^{*}= $0}$ 이면 $qq^{*}=0$ q는 0 제수가 됩니다. $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ 않으면 $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ q ∗ $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ - $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ ${\$ 이 $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ 복소수 위에 정의됩니다. $qq^{*}=q^{*}q$ $qq^{*}=q^{*}q$ $qq^{*}=q^{*}q$ = $qq^{*}=q^{*}q$ q q q ${\$ q $=$ q ^ {*} $q$ }를 $qq^{*}=q^{*}q$ 쉽게 검증할 수 있다.이를 통해 다음과 같이 역수를 정의할 수 있습니다.

$q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ - $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ { $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ ∗∗ $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ - $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ { $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ { $displaystyle q$ $^$ { - \ $mathbf {$ } = $q$ $^$ { * } \ $lbrace q^$ { * } \ $rbrace$ ^ { - \ $mathbf$ { $}$ } （ $q$ $qq^{*}\neq 0.$ $}}}$ $qq^{*}\neq 0.$ $qq^{*}\neq 0.$ $qq^{*}\neq 0.$

로렌츠 변환과의 관계

이제 선형 하위^[7] 공간을 고려합니다.

{\displaystyle M=\lbrace q^{*}=q^{\star}\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {j})+z(h\mathbf {k})\mathbbf {k}\in \mathbbrrace {k}\brACE.

$M$ 은 곱에서 닫히지 않으므로 하위 대수가 아닙니다 $.$ 예를 들어 $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ i $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ )( $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ j ) $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ j $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ - $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ M $.\style$ ( h \ $mathbf$ { i $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ } ) $= h^{2}\$ mathbf ${ij}$ =-\ $mathbf {k}$ \ $in$ $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ m .

제안:q가 $M$ 일 $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ - $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ - $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ 2 - $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ 2 $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ . { $display$ q ^ { * } = $t^$ { $2}$ - $x^$ { $2}$ - $y^{2$ } - $z^{$ }. $}$

실증: 정의에 따르면

{displaystyle {narged}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +zh\mathbf {k}) (t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {k}\x})\end { aligned}

정의: $비쿼터니온$ g가 $gg^{*}=\mathbf {1} .$ $=$ 1을 $gg^{*}=\mathbf {1} .$ 시키도록 하자 $.$ {{ $displaystyle$ gg $^{*}=\mathbf$ { $1} .}$ 그러면 $gg^{*}=\mathbf {1} .$ g와 $관련$ 된 로렌츠 변환은 다음과 같이 주어진다.

T(q)=g^{*}qg^{\star}

제안:q가 $M$ 에 $있는$ $경우$ T $($ q)도 M에 $있습니다$ .

증명 $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ( $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ g $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ) $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ( $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ) $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ∗ g $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ( $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ) $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ ( $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ $g$ ) $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$ . { $displaystyle$ ( $g$ ^ { * * } $qg$ ^{ \ star } $^*$ { g } = { $g$ } （ g ）

제안: $\display T(q)(T(q)^{*}=q^{*}$

증명: 먼저 $gg *$ = $1$ 은 4개의 복잡한 성분의 제곱합이 1이라는 것을 의미합니다.그러면 이 성분들의 복소 공역들의 제곱합도 1이 됩니다. $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ g $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ ) $=$ $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ . { $displaystyle g$ ^{\star $}(g$ ^{\ $star$ })^{*}=\ $mathbf$ {1} . $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ } 이 $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ 됩니다.

\displaystyle (g^{*}qg^{\star})(g^{*}qg^{*}qg{\star})(g^{\star})^{*}q^{*}g={*}qq^{*}g={*}g=qq^{*}}}g=qqqq^{*}.}

관련 용어

비쿼터니온은 수리물리학의 시작부터 선형대수의 고정관념이었기 때문에, 비쿼터니온 대수에 의해 설명되거나 표현되는 일련의 개념들이 있다. $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ G $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ { $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ : $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ } $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ 1 $}$ { $displaystyle$ G $G\cap M.$ $=$ \ $lbrace$ g: $g$ $G\cap H$ ^{*} = $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ 1 \ $rbrace }$ 는 $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ $G\cap M.$ $G\cap M.$ $}$ H } H } $G\cap M.$ } \ $displaystyle$ G $\cap$ H $G\cap H$ } } $G\cap M.$ = 1 \ $g=g^{\star }$ } } } } } } } } } } $g=g^{\star }$ $g=g^{\star }$ } } } } } } } } } } } } } } } } } } $T(q)=g^{-1}qg$ T ( $T(q)=g^{-1}qg$ ) $g^{*}=g^{-1}.$ $T(q)=g^{-1}qg$ $g^{*}=g^{-1}.$ - $T(q)=g^{-1}qg$ g ( g $=$ g - $g^{*}=g^{-1}.$ $qg$ $)$ 이래 $g^{*}=g^{-1}.$ $.$ {\ $style$ g^{*}= $g^{-1}}$ $이러한$ 변환은 4분의 1 곱셈에 의한 회전이며, 그 집합은 SO(3) $\cong G\cap H.$ $G display$ h $\cong G\cap H.$ 이다 $.$ p를 형성할 수 있습니다.

G $G\cap M$ M $display$ （ \ $style$ G \ $cap$ M $G\cap M$ ）을 $G\cap M$ $G\cap M$ 하려면 , 2 사분면에 몇개의 서브 대수 구조를 표시할 필요가 있습니다.r은 실사분위 $아대수$ H에서 마이너스 1의 제곱근 구체의 요소를 나타내도록 $하자$ . $그런$ 다음 $2$ (hr)= + $1$ 이며, $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ { $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ + $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ : x , $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ r R $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ } { $displaystyle D_$ {r}=\ $lbrace$ z $=x+yr:x,y\in \mathbb$ {R} \ $rrace }$ 에 $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ 주어진 2원소 평면은 분할된 평면이다.일반적인 복소 평면이 단위 원을 갖는 것과 마찬가지로 $,$ $D_{r}$ r\ $displaystyle D_{r}$ 는 $D_{r}$ 다음과 같은 단위 쌍곡선을 가진다.

\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\sinh(a),\cisco a\in R.}

단위 원이 요소 중 하나를 통해 곱하여 회전하는 것처럼 쌍곡선은 exp $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ( $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ) exp $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ( $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ) $=$ exp $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ( a $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ + $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ) $).\displaystyle \exp$ ( $a$ + $bhr )=\exp$ ( $a$ + bhr )hr ( hr ) hr ) hr exp exp exp exp $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ exp exp exp exp $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp 、} 따라서 $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ 쌍곡선 위의 이러한 대수 연산자를 쌍곡선 버스터라고 합니다 $.$ $C$ 의 단위 원과 D의 $단위 r$ 쌍곡선은 단일 모수 그룹의 예입니다. $H$ 에서 1을 뺀 모든 $제곱근$ r에 대해 G $G\cap D_{r}.$ $G\cap D_{r}.$ r $G\cap D_{r}.$ .\ $displaystyle$ G\ $cap$ D_ ${$ }에 의해 주어진 2분위 내에 1개의 파라미터 그룹이 있습니다. $}$

사분위수의 공간은 8공간에서 유클리드 측정법을 통해 자연 위상을 가진다.이 토폴로지에 관해 $G$ 는 토폴로지 그룹입니다.또한 분석 구조를 가지고 있어 6 파라미터의 Lie 군이다. $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ A $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ { $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ : q $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ - $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ } { $displaystyle$ A → $\lbrace$ q:q^{*} $=-q$ \rbrace $}$ 의 서브스페이스를 고려합니다.그러면 지수 $\exp :A\to G$ : A $\exp :A\to G$ \ $displaystyle \$ : $A\to$ G는 G $\exp :A\to G$ to $G\cap H$ \ $display$ $style$ $G\cap H$ G \ $cap$ $G\cap H$ H \ h $G\cap H$ 벡터를 G $G\cap M.$ M으로 $.\$ $display$ G \ cap M $G\cap M.$ . 정류자를 $G\cap M.$ 장착하면 $A$ 는 $G$ 의 Lie 대수를 형성합니다.따라서 이 6차원 공간에 대한 연구는 라이 이론의 일반적인 개념을 소개하는 역할을 한다.행렬 표현으로 볼 때, $G$ 는 M $(C)$ 에서₂ 특수 선형군 SL(2,C)이라고 불린다.

특수상대성 이론의 많은 개념은 설계되어 있는 사분위 구조를 통해 설명된다.부분 $공간$ M은 Minkowski 공간에 해당하며, 4개의 좌표는 휴식 기준 프레임에서 사건의 시간과 공간 위치를 제공한다.모든 쌍곡선 $versor$ exp $(ahr)$ 는 속도 $c$ $tanh$ 방향 r의 $속도$ 에 대응합니다. $여기$ 서 c는 빛의 속도입니다. $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ 속도의 기준 관성 프레임은 g $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ = exp $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ ( - $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ .5 a $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ ) $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ ${\$ \ $display style$ g $^{\star$ } = \ $exp$ 0 $.5ahr$ = $g^{*}$ then $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ then $T(\exp(ahr))=1.$ $then$ $T(\exp(ahr))=1.$ （ 0 . 5ahr） 로 $주어진$ 로렌츠 $부스트$ T를 $T(\exp(ahr))=1.$ 하여 휴지 프레임으로 만들 수 있다. 즉 $T(\exp(ahr))=1.$ $T(\exp(ahr))=1.$ 는 $T(\exp(ahr))=1.$ 이다. $G\cap M,$ 루미날 모션의 속도 범위를 나타내는 $G\cap M,$ M (\ $displaystyle G\cap$ M $)$ 은 $G \cap M,$ 물리적으로 중요합니다.이 "속도 공간"을 쌍곡선 기하학의 쌍곡선 모델과 연관짓는 상당한 연구가 있었다.특수 상대성 이론에서는 쌍곡선 버스터의 쌍곡선 각도 매개변수를 속도라고 합니다.따라서 우리는 비쿼터니온 $그룹$ G가 로렌츠 그룹에 대한 군 표현을 제공하는 것을 볼 수 있다.

스피너 이론의 도입 후, 특히 볼프강 파울리와 엘리 카르탕의 손에 의해 로렌츠 그룹의 비쿼터니온 표현은 대체되었다.새로운 방법은 세트의 베이스 벡터에 기초했다.

\displaystyle \{q\:\q^{*}=0\} left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\w^{2}+x^{2}+z^{2}=0\right\}

복잡한 광원뿔이라고 합니다.위의 로렌츠 그룹의 표현은 물리학자들이 4벡터라고 부르는 것과 일치한다.4 벡터를 넘어 입자 물리학의 표준 모델에는 스칼라로 알려진 다른 로렌츠 표현과 전자기장 텐서와 관련된 $(1,$ 0 $)$ θ( $0,$ 1) 표현도 포함됩니다.게다가 입자물리학은 왼손 및 오른손 바일 스피너, 마요라나 스피너 및 디락 스피너로 알려진 SL(2, $C) 표현$ (또는 로렌츠 그룹의 투영 표현)을 사용합니다.이들 7개의 표현 각각은 비쿼터니언 ^[8]내의 불변 서브스페이스로 구성될 수 있는 것으로 알려져 있다.

구성대수로서

W.R.이긴 하지만.해밀턴은 19세기에 비쿼터니언을 도입하였고, 한 분야에 걸친 대수학의 특별한 유형으로서 수학 구조의 묘사는 20세기에 이루어졌다: 비쿼터니언은 Adrian Albert가 복소수에서 실수 사분위수를 생성한 것과 같은 방식으로 이중복소수에서 생성될 수 있다.d Cayley-Dickson 건설.이 구조에서 이중 복소수(w,z)는 켤레(w,z)* =(w,–z)를 가진다.

비쿼터니온은 쌍으로 이루어진 복소수(a, b)이며, 여기서 두 번째 비쿼터니온(c, d)을 가진 제품은

(\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}

a $a=(u,v),b=(w,z),$ ( $a=(u,v),b=(w,z),$ , $a=(u,v),b=(w,z),$ ) , $a=(u,v),b=(w,z),$ $a=(u,v),b=(w,z),$ ( $a=(u,v),b=(w,z),$ , $a=(u,v),b=(w,z),$ ) $a=(u,v),b=(w,z),$ , {{ $displaystyle$ a = ( $u , v$ , $b$ $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ ( $w$ , $z$ ) }인 $a=(u,v),b=(w,z),$ $a=(u,v),b=(w,z),$ , 쌍공역 $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ , $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ ) $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ ( $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ , $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ - $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ ) . $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$ { $displaystyle ( a$ , b )^*} = ( $a,$ b ) . $}$

(a,b)*를 보통 복소수의 4벡터로 쓸 때,

{{displaystyle(u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}

사분위수는 사분위 대수의 한 예를 형성하고 규범을 가지고 있다.

N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.

2개의 비쿼터리온 p, q는 $N(pq)=N(p)N(q)$ ( $N(pq)=N(p)N(q)$ ) $=$ $N(pq)=N(p)N(q)$ ( $N(pq)=N(p)N(q)$ $N(pq)=N(p)N(q)$ q $)$ { $display$ style N $(pq$ )= N(p $) N(q)}$ 을 $N(pq)=N(p)N(q)$ $N(pq)=N(p)N(q)$ 하므로 비쿼터리온이 조성 대수를 형성한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 왕립 아일랜드 아카데미의 진행 1844년 11월(NA) 및 1850 페이지 388 구글 북스 [1]
^ ^a ^b D. J. H. 갈링(2011) Clifford Algebras: 소개, 케임브리지 대학 출판부.
^ ^a ^b Francis and Kosowsky (2005) 기하학 대수학에서의 스피너의 구성.물리학연보, 317, 384-409.기사 링크
^ ^a ^b William Rowan Hamilton (1853) 제669조 사분원에 대한 강의이 역사 수학 교재는 코넬 대학에서 온라인으로 구할 수 있다
^ 해밀턴 (1899) 사분원소, 제2판, 289쪽
^ Leonard Dickson(1914) 선형 대수학, §13 "복소 사분수와 모계 대수의 등가성", 13페이지, HathiTrust를 통해
^ Lanczos, Cornelius (1949), The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, pp. 304–312 방정식 94.16(305페이지)을 참조하십시오.다음 대수는 Lanczos와 비교된다. 단, 그는 사분위 결합을 나타내기 위해 ~를 사용하고 복소 결합을 나타내기 위해 *를 사용한다.
^ 퓨리 2012

레퍼런스

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를 클릭합니다Conway, Arthur W. (1911), "On the application of quaternions to some recent developments in electrical theory", Proceedings of the Royal Irish Academy, 29A: 1–9.
Furey, C. (2012). "Unified Theory of Ideals". Phys. Rev. D. 86 (2): 025024. arXiv:1002.1497. Bibcode:2012PhRvD..86b5024F. doi:10.1103/PhysRevD.86.025024. S2CID 118458623.
해밀턴(1866) 더블린 쿼터니언 대학 출판부의 요소.고인의 아들 윌리엄 에드윈 해밀턴에 의해 편집되었다.
해밀턴(1899) 4분기의 원소 제1권, (1901) 제2권.Charles Jasper Jolly 편집, Longmans, Green & Co. 발행
Kravchenco, Bladislav(2003), Applied Quaternionic Analysis, Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
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[1] 왕립 아일랜드 아카데미의 진행 1844년 11월(NA) 및 1850 페이지 388 구글 북스 [1]

[Garling-2] D. J. H. 갈링(2011) Clifford Algebras: 소개, 케임브리지 대학 출판부.

[FrancisKosowsky-3] Francis and Kosowsky (2005) 기하학 대수학에서의 스피너의 구성.물리학연보, 317, 384-409.기사 링크

[ham53-4] William Rowan Hamilton (1853) 제669조 사분원에 대한 강의이 역사 수학 교재는 코넬 대학에서 온라인으로 구할 수 있다

[5] 해밀턴 (1899) 사분원소, 제2판, 289쪽

[6] Leonard Dickson(1914) 선형 대수학, §13 "복소 사분수와 모계 대수의 등가성", 13페이지, HathiTrust를 통해

[7] Lanczos, Cornelius (1949), The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, pp. 304–312 방정식 94.16(305페이지)을 참조하십시오.다음 대수는 Lanczos와 비교된다. 단, 그는 사분위 결합을 나타내기 위해 ~를 사용하고 복소 결합을 나타내기 위해 *를 사용한다.

[8] 퓨리 2012

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v t 번호 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ \ $displaystyle \mathbb {N$ ) $\mathbb {Z}$ ( $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z$ ) 유리수( $\$ 구성 가능한 수 $\mathbb {A}$ 숫자( A $\$ ) 기간 계산 가능한 수 산술적 수 이론적으로 정의할 수 있는 수 가우스 정수
합성 대수	나눗셈 대수:실수( $\$ 복소수( $\mathbb {C}$ $\$ ) 4분위 ( $\mathbb {H}$ $\$ ) 옥토니언( $\$
분열되다 종류들	$(\$ 이상 $):$ 분할복소수 스플릿 쿼터 분할 옥토네이션 $(\$ 이상 $):$ 바이콤플렉스 번호 비쿼터니온 바이오크토니온
기타 하이퍼컴플렉스	이중 번호 이중 사분위수 이중 복소수 쌍곡선 사분위수 Sedenions ( $\mathbb {S}$ { \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { S $}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티플렉스 번호 기하학 대수 물리 공간의 대수 시공간 대수
기타 타입	기수 확장 자연수 무리수 퍼지 수 초실수 리바이 시비타 필드 초현실적 수 초월수 서수 p-adic 번호(p-adic 솔레노이드) 초자연수 초실수
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