민코프스키 공간

헤르만 민코프스키 (1864–1909)는 그의 이전 제자 알버트 아인슈타인에 의해 소개된 특수 상대성 이론이 민코프스키 시공간으로 알려진 이후 4차원 공간으로 가장 잘 이해될 수 있다는 것을 발견했다.

수학 물리학에서, 민코프스키 공간(Minkowski space)^[1]은 3차원 유클리드 공간과 시간의 조합으로, 두 사건 사이의 시공간 간격이 그것들이 기록되는 기준의 관성 프레임으로부터 독립적이다.맥스웰의 전자기 방정식을 위해 수학자 헤르만 민코프스키에 의해 처음 개발되었지만, 민코프스키 시공간 수학 구조는 특수 상대성 ^[2]이론의 가설에 의해 암시되는 것으로 나타났다.

민코프스키 공간은 아인슈타인의 특수상대성이론과 일반상대성이론과 밀접하게 연관되어 있으며 특수상대성이론이 공식화된 가장 일반적인 수학적 구조이다.유클리드 시공간에서 개별 구성요소는 길이 수축과 시간 확장에 따라 다를 수 있지만, 민코프스키 시공간에서 모든 기준 프레임은 ^{[nb 1]}사건 사이의 시공간에서 총 거리에 일치할 것이다.3차원 공간 차원과는 다르게 시간을 다루기 때문에 민코프스키 공간은 4차원 유클리드 공간과 다르다.

3차원 유클리드 공간(예를 들어, 단순히 갈릴레오 상대성 이론의 공간)에서, 등각군(정규 유클리드 거리를 보존하는 지도)은 유클리드 군이다.회전, 반사, 번역에 의해 생성됩니다.시간이 4차원으로 추가될 때, 시간에서의 변환과 갈릴레이의 부스트의 추가 변환이 추가되고, 이 모든 변환의 그룹을 갈릴레이 그룹이라고 합니다.모든 갈릴레이 변환은 3차원 유클리드 거리를 보존합니다.이 거리는 순수하게 공간적이다.시차도 별도로 보존됩니다.시공간이 뒤섞여있는 특수상대성이론의 시공간이 변화한다.

시공간은 ^{[nb 2]}문맥에 따라 ^[3]민코프스키 메트릭, 민코프스키 노름 제곱 또는 민코프스키 내부 곱으로 다양하게 불리는 무한 비퇴화 이중선형 형태를 갖추고 있다.민코프스키 내부곱은 두 사건의 좌표 차이 벡터가 ^[4]인수로 주어졌을 때 두 사건 사이의 시공간 간격을 산출하도록 정의된다.이 내적물을 갖춘 시공간 수학적 모델을 민코프스키 공간이라고 한다.민코프스키 공간에 대한 갈릴레오 군의 유사체는 (공간 유클리드 거리에 대한) 시공간 간격을 보존하는 푸앵카레 군이다.

다양체로서 갈릴레오 시공간과 민코프스키 시공간은 동일하다.그들은 어떤 추가 구조가 그들에게 정의되어 있는지에 따라 다르다.전자는 갈릴레오 변환에 의해 좌표가 관련되는 관성 프레임과 함께 유클리드 거리 함수와 시간 간격(별도)을 가지며, 후자는 푸앵카레 변환에 의해 좌표가 관련되는 관성 프레임과 함께 민코프스키 메트릭을 가진다.

역사

복소 민코프스키 시공간

앙리 푸앵카레는^[5] 1905-06년 그의 두 번째 상대성 이론 논문에서 어떻게 시간을 들여 가상의 네 번째 시공간 $좌표$ ICT가 되는지 보여주었습니다. $여기$ 서 c는 빛의 $속도$ 이고 i는 가상의 단위입니다. 로렌츠 변환은 4차원 유클리드 구의 일반적인 회전으로 시각화 될 수 있습니다.

({displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}=text{const}}).}

Poincaré는 편의상 c = $1$ 로 $설정$ 했다.두 개의 공간 단위 벡터에 의해 확장된 평면에서의 회전은 유클리드 회전으로 물리적 공간뿐만 아니라 좌표 공간에서도 나타나고 일반적인 의미로 해석됩니다.공간 단위 벡터와 시간 단위 벡터에 의해 확장된 평면에서의 "회전"은 공식적으로는 좌표 공간에서 여전히 회전하는 동안 실제 관성 좌표를 가진 물리적 시공간에서의 로렌츠 부스트입니다.유클리드 회전과의 유추는 구의 반경이 실제로는 쌍곡선 공간에서 회전을 회전으로 바꾸는 상상의 것이기 때문에 부분적인 것에 불과하다(쌍곡선 회전 참조).

Poincaré에 의해 아주 잠깐 언급되었던 이 아이디어는 민코프스키에 의해 1908년 "이동하는 ^[6]물체의 전자기 과정을 위한 기초 방정식"이라고 불리는 광범위하고 영향력 있는 독일어로 된 논문에서 매우 상세하게 설명되었습니다.민코프스키는 이 공식을 사용하여 당시 아인슈타인의 상대성 이론을 재작성했다.특히, 맥스웰 방정식을 전자기량에 대한 재정의된 벡터 변수와 결합된 4개의 $변수 (x,$ $y,$ $z$ , ict $)$ 의 대칭 방정식으로 재작성함으로써, 그는 로렌츠 변환 하에서 직접적이고 매우 단순하게 그들의 불변성을 보여줄 수 있었다.그는 또한 다른 중요한 공헌을 했고 이 맥락에서 처음으로 행렬 표기법을 사용했다.그의 개혁으로부터 그는 시간과 공간이 동등하게 다루어져야 한다고 결론지었고, 그래서 통합된 4차원 시공간 연속체에서 일어나는 사건에 대한 그의 개념이 생겨났다.

실수 민코프스키 시공간

1908년 그의 "시공간" ^[7]강의에서, 민코프스키는 4차원 실벡터 공간에서 공간과 시간의 네 변수 ( $x,$ $y,$ $z,$ $t)$ 를 좌표 형태로 나타내는 가상의 좌표 대신 실시간 좌표를 사용한 이 아이디어의 대안적 공식을 제시했다.이 공간의 점은 시공간에서의 사건에 해당합니다.이 공간에서는 각 점과 관련된 정의된 광원뿔이 존재하며 광원뿔이 아닌 이벤트는 정점과의 관계에 따라 공간적 또는 시간적 관계로 분류된다.비록 상상의 시간을 포함하는 오래된 관점이 특수 상대성 이론에도 영향을 미쳤지만, 오늘날 시공간을 바라보는 관점은 주로 이 관점이다.

민코프스키의 논문의 영어 번역에서는 아래에 정의된 민코프스키 메트릭을 선 요소라고 한다.아래의 민코프스키 내부곱은 특정 벡터의 직교성(정규성이라고 함)을 참조할 때 이름이 없는 것으로 보이며, 민코프스키 노름 제곱은 (어느 정도 수수께끼로, 아마도 이것은 번역에 의존함) "sum"으로 참조된다.

민코프스키의 주요 도구는 민코프스키 다이어그램이며, 그는 개념을 정의하고 로렌츠 변환의 특성(예: 적절한 시간과 길이 수축)을 입증하고 상대론적 역학에 대한 뉴턴 역학의 일반화에 기하학적 해석을 제공하기 위해 사용합니다.이러한 특별한 주제에 대해서는, 아래의 프레젠테이션은 주로 시공간 다양체의 시공간 간격의 불변성에 따른 수학적 구조(Minkowski 메트릭 및 시공간 대칭 그룹으로서 도출된 양 및 Poincaré 그룹)로 제한될 것이기 때문에 참조된 기사를 참조하십시오.시공간 간격의 불변성 유도가 아닌 특수 상대성 이론의 공식.이 구조는 곡선 시공간이 국소적으로 로렌츠인 것처럼 평평한 민코프스키 시공간이 여전히 도약대를 제공하는 일반 상대성 이론을 제외하고, 현재의 모든 상대성 이론의 배경 설정을 제공한다.

민코프스키는 그가 만든 이론의 근본적인 재진술을 알고 말했다.

실험물리학의 토양에서 우러나온 시공간관들, 그리고 그 안에 그들의 힘이 있다.그들은 급진적이다.앞으로 공간은 그 자체로, 시간은 그 자체로 그림자로 사라지게 되어 있으며, 둘의 일종의 결합만이 독립적인 현실을 보존할 것이다.
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민코프스키는 물리학의 중요한 발걸음을 내디뎠지만, 알버트 아인슈타인은 그 한계를 알게 되었다.

민코프스키가 유클리드 3공간을 시간을 포함한 준유클리드 4공간으로 확장함으로써 특수 상대성 이론의 기하학적 해석을 제공하던 시기에 아인슈타인은 이미 이것이 유효하지 않다는 것을 알고 있었다. 왜냐하면 그것은 중력의 현상을 배제하기 때문이다.그는 여전히 곡선 좌표와 리만 기하학의 연구와는 거리가 멀었고, 무거운 수학 기구가 수반되었다.^[8]

자세한 역사 정보는 참조 자료인 Galison(1979), Corry(1997) 및 Walter(1999)를 참조한다.

원인 구조

4개의 분리된 집합의 사건에 대한 민코프스키 시공간 세분화.광원추, 절대적인 미래, 절대적인 과거 등등.이 용어는 Sard(1970)에서 유래했다.

3차원 공간 어디에 v는 속도, y, z은 데카르트 좌표, c는 보편적인 제한 속도를 나타내는 상수입니다, t은 시간, 4차원 벡터 v=(ct, x, y, z))(ct, r)c2t2− r2의 부호에 따라 분류된다.만약c2t2한 벡터, r2, 만약c2t2<>spacelike, r2, null또는c2t2=lightliketimelike 있다. $r 2$ . 이는 $서명$ 에 따라 $v ($ v, v) 기호로도 표현할 수 있다.벡터의 분류는 구간의 불변성 때문에 로렌츠 변환(원점이 변위될 수 있기 때문에 일반적인 푸앵카레 변환은 아니다)에 의해 관련되는 모든 기준 프레임에서 동일할 것이다.

민코프스키 공간의 사건에서^{[nb 3]} 모든 늘 벡터의 집합은 그 사건의 광원뿔을 구성한다.시간 같은 $벡터$ v가 주어졌을 때, 민코프스키 다이어그램에서 직선으로 표현되는 그것과 관련된 등속도의 세계선이 있다.

시간 방향이 ^{[nb 4]}선택되면 시간 벡터와 늘 벡터를 다양한 클래스로 더 분해할 수 있습니다.타임라이크 벡터의 경우,

첫 번째 구성요소가 양의 미래 지향 시간적 벡터(그림에서 절대 미래에 위치한 벡터의 팁) 및
첫 번째 성분이 음(절대 과거)인 과거 지향 시간 벡터.

Null 벡터는 다음 세 가지 클래스로 나뉩니다.

0 벡터는 모든 기준에서 성분이 ( $0, 0,$ 0, $0)$ (표준)이다 $.$
첫 번째 성분이 양의(상부 광원뿔)인 미래 지향형 영 벡터
첫 번째 성분이 음수(하위 광원뿔)인 과거 지향 Null 벡터.

공간 벡터와 함께 총 6개의 클래스가 있습니다.

민코프스키 공간의 직교 정규 기저는 필연적으로 하나의 시간 모양 단위 벡터와 세 개의 공간 모양 단위 벡터로 구성된다.정규적이지 않은 베이스로 작업하기를 원한다면 벡터의 다른 조합을 가질 수 있다.예를 들어, Null 베이스라고 불리는 완전히 Null 벡터로 구성된 (비정규) 베이시스를 쉽게 구성할 수 있습니다.

연관된 벡터가 타임라이크, 스페이스라이크, 늘 또는 필드가 정의되어 있는 각 포인트에서 늘이라고 하는 벡터필드는 타임라이크, 스페이스라이크 또는 늘이라고 불립니다.

시간 유사 벡터의 특성

시간 유사 벡터는 빛의 속도보다 낮은 속도로 관찰자가 접근할 수 있는 사건에 대응하므로 상대성 이론에서 특별한 중요성을 갖는다.가장 관심 있는 것은 모두 정방향 또는 역방향 원추형인 시간과 같은 벡터이다.이러한 벡터는 공간형 벡터에 의해 공유되지 않는 몇 가지 특성을 가지고 있습니다.이러한 현상은 전방 및 후방 원추형 모두 볼록한 반면 공간형 영역은 볼록하지 않기 때문에 발생합니다.

스칼라 곱

두 시간 유사 $벡터 1$ u = ( $t 1, x 1$ , $y 1, z 1$ ) $및 2$ u = ( $t 2,$ $x 2,$ $y 2,$ $z 2)$ 의 스칼라 곱은 다음과 같다.

\displaystyle \eta (u_{1},u_{2}=u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{1}-z_{2}z_{2}.}

스칼라 제품의 장점:중요한 특성은 비슷하게 지시된 두 시간 벡터의 스칼라 곱이 항상 양의 값이라는 것입니다.이것은 아래의 거꾸로 된 코시-슈바르츠 부등식에서 알 수 있다.따라서 두 벡터의 스칼라 곱이 0이면 적어도 이들 중 하나는 공간적이어야 합니다.두 개의 공간 유사 벡터의 스칼라 곱은 직교 공간 구성요소를 가진 두 개의 공간 유사 벡터의 곱과 다른 부호 또는 동일한 부호의 시간을 고려함으로써 볼 수 있는 양수 또는 음수일 수 있다.

시간 유사 벡터의 양의 속성을 사용하면 비슷하게 지시된 시간 유사 벡터의 양의 계수를 가진 선형 합이 시간 유사하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다(볼록함 때문에 합이 광원추 내에 남는다).

노름과 역코시 부등식

시간 유사 $벡터$ u = ( $ct,$ $x,$ $y,$ $z)$ 의 노름은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \left \ u \ right \ = scrt { eta ( u , u ) } = scrt { c ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }

역전된 코시 부등식은 두 ^[9]광원추의 볼록함의 또 다른 결과이다.두 개의 뚜렷하게 유사한 방향의 $시간 1$ 벡터 $u$ 와₂ u에 대해 이 부등식은 다음과 같다.

\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\u_{1}\right\left\u_{2}\right\}

대수적으로 말하면, '대수적으로'는

c^{2}t_{1}t_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-{2}-z_{2}>{\sigrt {\left(c^{2}t_{1}-x_{1}^{2}-{1}^{2}-{1}_{2}_{1}_{2}-^{2}_{2}-{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}}}}_{2}}}}_{2}}}_{2}}}}

이를 통해 스칼라 제품의 양성 특성을 알 수 있다.

역삼각 부등식

두 개의 유사한 방향의 시간 $벡터$ $u$ 와 w에 대하여, 부등식은^[10] 다음과 같다.

\displaystyle \left\u+w\right\geq \left\u\right\+\left\w\right\,}

여기서 벡터가 선형에 의존할 때 등식이 유지됩니다.

증명은 역코시 ^[11]부등식을 갖는 대수적 정의를 사용한다.

\displaystyle \left\u+w\right\^{2}=\left(u,w\right)+\left\w\right\^{2}\geq \left\u\right\^{2}+2\left\u\right\u\left\left\w\right\{2}=\left\left\left\left\left\left\left\u\left\u\w\w\w\right\right\right\left\left\left\w\right\right

결과는 이제 양쪽의 제곱근을 취함으로써 나타납니다.

아래에서는 시공간이 관성 프레임에 대응하는 좌표계를 부여한다고 가정한다.이는 벡터 공간으로 모델링된 시공간을 참조하기 위해 필요한 원점을 제공합니다.이것은 시공간에서 중심적인 사건(central original)이 존재해야 한다는 점에서 실제로 신체적으로 동기 부여가 되지 않는다.아핀 공간이라는 더 적은 구조로도 벗어날 수 있지만, 이것은 불필요하게 논의를 복잡하게 만들 것이며 현대 입문 문헌에서 평탄한 시공간이 수학적으로 어떻게 다뤄지는지를 반영하지 못할 것이다.

개괄적으로 민코프스키 공간은 시공간에서 접선공간에 비퇴화 대칭 쌍선형 형태를 갖춘 4차원 실벡터 공간이다. 여기서는 단순히 민코프스키 내적물이라고 하며, 메트릭 시그니처 $(+$ -) 또는 $(+$ + $+)$ 를가진다.각 사건의 접선 공간은 시공간과 동일한 차원의 벡터 $공간$ 이다.

구면상의 점

x

의 접선 공간을 그림으로 표현한 것입니다.이 벡터 공간은 R 자체의

부분 3

공간이라고 생각할 수 있다.그 안에 있는 벡터를 기하학적 접선 벡터라고 합니다.같은 원리에 의해 평탄한 시공간 중 한 점에서의 접선공간은 우연히 모든 시공간이 되는 시공간 서브공간으로 생각할 수 있다.

실제로는 접선 공간에 신경 쓸 필요가 없습니다.민코프스키 공간의 벡터 공간 특성은 민코프스키 공간 자체의 벡터(점, 사건)와 함께 점(사건)에서 접선 공간의 벡터의 표준 식별을 가능하게 한다.예를 들어,Lee(2003년, 발의안 3.8항) 또는 Lee(2012년, 발의안 3.13)입니다.이러한 식별은 수학에서 일상적으로 행해진다.그것들은 데카르트 좌표로^[12] 다음과 같이 공식적으로 표현될 수 있다.

{narged}\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)\ &\left arrow \ left.x^{0}\mathbf {e}_{0}\오른쪽_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e}_{1}\오른쪽_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e}_{2}\오른쪽_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e}_{3}\right_{p}\&\left오른쪽 화살표\left.x^{0}\mathbf {e}_{0}\오른쪽_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e}_{1}\오른쪽_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e}_{2}\오른쪽_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e}_{3}\right_{q}\end{aligned}

합니다.

(\displaystyle\왼쪽).\mathbf {e} _{\mu }\오른쪽 _{p}=\left.{{frac}{\frac x^{\mu}}\오른쪽 {p}{\text{}}_{p}=\leftmathbf {e}_{p}_{p}=\frac\f{fright}1\\\\0\end{f}\text}\text{e}}}.}

$여기$ 서 $p$ 와 q는 두 가지 이벤트 중 하나이며, 두 번째 기본 벡터 식별은 병렬 전송이라고 합니다.첫 번째 식별은 공간 자체의 벡터가 있는 임의의 점에서 접선 공간의 벡터의 표준 식별입니다.접선 공간에서 기준 벡터가 1차 미분 연산자로 나타나는 것은 이러한 식별 때문입니다.이것은 기하학적 접선 벡터가 매끄러운 함수 집합에서 방향 미분 연산자와 일대일 방식으로 연관될 수 있다는 관찰에 의해 동기 부여된다.이것은 R에 $반드시 n$ 포함되어 있지 않은 다지관의 탄젠트 벡터의 정의로 승격된다.일반 n-튜플도 사용할 수 있으므로 접선 벡터의 정의만 가능한 것은 아닙니다.

탄젠트 벡터를 일반 벡터로 정의

$p점$ 에서의 접선 벡터는 여기서 로렌츠 프레임의 데카르트 좌표에 특화된 4 $\times1$ 열 $벡터$ $v$ 로 정의될 수 있으며, $로렌츠$ 변환 δ에 의해 관련된 각 로렌츠 프레임에 관련된 4×1 열 벡터 v가 v → $δ$ 에 $따라$ 어떤 프레임에 관련된 $벡터$ v로 정의될 수 있다. $이것$ 은^μ 좌표 x가 변환되는 것과 같은 방법입니다.명시적으로

\displaystyle {\mu}x'^{\mu}&=lambda ^{\nu }x^{\nu},\v'^{\mu }&=lambda ^{\mu }_{\nu }v ^{\nu }.\end { aligned}}

이 정의는 표준 동형사상에 따라 위에서 주어진 정의와 동등하다.

어떤 목적을 위해 $p$ 에서 변위 벡터를 갖는 p $지점$ 에서 탄젠트 벡터를 식별하는 것이 바람직하며, 이는 물론 기본적으로 동일한 표준 ^[13]식별에 의해 허용된다.수학적 설정에서 위에 언급된 벡터의 식별은 이에 대응하여 Misner, Thorne & Wheeler(1973년)의 보다 물리적이고 명확한 기하학적 설정에서 찾을 수 있다.소재의 어느 부분을 읽느냐에 따라 다양한 수준의 정교함(및 엄격함)을 제공합니다.

" " " "

메트릭 시그니처는 Minkowski 내부 곱이 공간(space like to specific, defined down)과 시간 기반 벡터(timeellike)를 인수로 지정했을 때 어떤 부호가 생성되는지를 나타냅니다.이론적으로는 중요하지 않지만 실제로 필요한 내부 일관성과 편리성을 위한 선택에 대한 추가 논의는 아래 히드박스로 미루고 있습니다.

시그니처

일반적으로 몇 가지 예외를 제외하고 수학자들과 일반 상대론자들은 양의 부호 $(-$ + $+)$ 를 내는 우주와 같은 벡터를 선호하는 반면, 입자 물리학자들은 양의 부호 $(+$ - - $)$ 를 내는 시간 같은 벡터를 선호하는 경향이 있다.스티븐 와인버그, 란다우, 리프시츠 $($ 각각 $(-$ + + $+)$ 및 $(+$ - - - $)$ 등 물리학의 여러 분야를 다루는 저자는 주제에 관계없이 하나의 선택을 고수합니다.전자의 법칙에 대한 논쟁은 비유클리드적 $한계$ c $\to$ responding에 해당하는 유클리드 사례의 "일관성"을 포함한다. 후자의 논쟁은 입자 물리학에서 흔히 볼 수 있는 마이너스 부호가 사라진다는 것을 포함한다.그러나 다른 작가들, 특히 도입문서의 작가들, 예를 들어 Kleppner & Kolenkow(1978)은 서명을 전혀 선택하지 않고 대신 시간 좌표(시간 자체가 아님)가 상상이 되도록 시공간을 조정하는 것을 선택한다.이것은 메트릭 텐서의 명시적인 도입의 필요성을 제거하며(입문 과정에서는 추가 부담으로 보일 수 있음), 아래에 설명해야 할 공변 벡터 및 반변 벡터(또는 상승 및 하강 지수)에 대해 걱정할 필요가 없다.대신 내부 곱은 $R$ 의³ $도트$ 곱을 R × C로 $직접 3$ 확장함으로써 영향을 받는다.이는 특수상대성이론의 평평한 시공간에서 작동하지만 일반상대성이론의 곡선 시공간에서는 작동하지 않는다. Misner, Thorne & Wheeler(1973, Box 2.1, Farewell to ICT)를 참조한다 $(-$ + + $+).$ MTW는 또한 이 측정법의 진정한 무한성과 로런츠 부스트의 진정한 본질을 숨기고 있다고 주장하는데, 이것은 회전이 아니다.또한 특수 상대성의 평탄한 공간(예: 전자기장)에서도 즉시 사용할 수 있고 기하학적 설명과 계산에 유용한 미분 기하학의 도구 사용을 불필요하게 복잡하게 만든다.

용어.

이중선형 형태와 수학적으로 연관된 것은 민코프스키 ^{[nb 5]}메트릭이라고 불리는 시공간에서 각각의 점에서 타입( $0,2)$ 의 텐서이다.민코프스키 메트릭, 쌍선형 형태 및 민코프스키 내적은 모두 동일한 객체이며, 두 개의 (반변) 벡터를 받아들여 실수를 반환하는 쌍선형 함수이다.좌표에서 이것은 쌍선형 형태를 나타내는 4 $\times4 행렬$ 이다.

비교를 위해 일반상대성이론에서 로렌츠 $다양체$ L은 마찬가지로 $L$ 의 각 점 $p$ 에서의 접선공간 $TL상의 p$ 비퇴행성 대칭 쌍선형 형태인 메트릭 $텐서$ g를 갖춘다.좌표에서는 시공간 위치에 따라 4 $\times4$ 행렬로 나타낼 수 있다.따라서 민코프스키 공간은 로렌츠 다양체의 비교적 단순한 특수한 경우이다.그것의 미터법 텐서는 $M$ 의 모든 점에서 동일한 대칭 행렬의 좌표에 있고, 그것의 인수는, 위에서, 시공간 그 자체에서 벡터로 받아들여질 수 있다.

더 많은 용어를 도입하면 (더 많은 구조가 아닌) 민코프스키 공간은 따라서 총 $차원$ n = $4$ 와 $부호 ($ 3, 1 $)$ 또는 ( $1,$ 3)를 갖는 유사 유클리드 공간이다.민코프스키 공간의 요소를 사건이라고 한다.민코프스키 공간은 선택한 시그니처를 강조하기 위해 종종 R $또는 1,3$ R로 $표시$ 되거나^3,1 $M$ 으로 표시됩니다.이것은 아마도 의사-리만 다양체의 가장 간단한 예시일 것이다.

다음으로, 수학적으로 메트릭은 추상적인 4차원 실벡터 $공간$ V({ $displaystyle$ V $V$ 상의 쌍선형 형태이다. 즉,

\displaystyle \eta:V\times V\오른쪽 화살표\mathbb {R}

$\eta$ 서 ${\$ { $displaystyle \eta }$ 에는 $\eta$ 시그니처 $(-,+,+,+)$ - $(-,+,+,+)$ , $(-,+,+,+)$ + $(-,+,+,+)$ , $(-,+,+,+)$ + , $(-,+,+,+)$ + $)$ 가 있습니다.서명은 좌표 불변 속성 ${\$ { $displaystyle \eta$ }입니다.쌍선형 맵의 공간은 $M^{*}\otimes M^{*}$ a $M^{*}\otimes M^{*}$ M $∗$ { $displaystyle$ M ^ { $times$ }으로 $M^{*}\otimes M^{*}$ 할 수 있는 벡터 공간을 형성합니다 $.$ style $\eta }$ 는 $\eta$ 이 공간의 요소로 볼 수 있습니다.직교 정규 기준 $\{e_{\mu }\}$ μ $}$ {\ $displaystyle$ \{ $e_{\$ mu $\{e_{\mu }\}$ 을 $($ 를 $)$ 선택함으로써 $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ : $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ ( $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ { $displaystyle$ \ $mathbbr} =$ (1 $,3$ }) {displaystyle M $M:=(V,\eta )$ $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ ( $V, })$ 을 $M:=(V,\eta )$ ( $V$ =)로 $M:=(V,\eta )$ 할 수 있습니다.이 표기법은 M $(\displaystyle$ M $)$ 과 $M$ R $\mathbb {R} ^{1,3}$ , $(\$ 이 $\mathbb {R} ^{1,3}$ 벡터 공간일 뿐만 아니라 구조를 $M$ 을 강조하기 위한 것입니다. $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ $=$ ( $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ - $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ , $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ + $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ 1, + 1, $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ + $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ ){ $displaystyle$ \eta $_{\mu$ \nu }= $text$ { $diag}(-1,+1,+$ 1 $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$ 。

(일부) 민코프스키 시공간에서 비관성 좌표의 흥미로운 예는 Born 좌표이다.또 다른 유용한 좌표 집합은 광원추 좌표입니다.

유사유클리드 측정법

민코프스키 내부곱은 정의 정의적이 아니기 때문에 내부곱이 아니다. 즉, 2차 형식 $δ$ ( $v,$ $v)$ 는 $0$ 이 아닌 v에 대해 양일 필요는 없다.양-확정 조건은 퇴화되지 않는 더 약한 조건으로 대체되었습니다.쌍선형 형태는 부정하다고 한다.민코프스키 메트릭 $θ$ 는 민코프스키 공간의 메트릭 텐서이다.이것은 의사-유클리드 측정법, 또는 더 일반적으로 데카르트 좌표의 상수 의사-리만 측정법이다.따라서 비퇴행성 대칭 쌍선형 형태, 유형 $(0,$ 2) 텐서이다. $여기$ 에는_p 두 개의 인수 u, $v p$ , $TM$ 의_p 벡터 $p m$ M, $M$ 의 $p$ 에서의 접선 공간이 포함됩니다.전술한 TM의 $표준 p$ 식별에 의해 M에 $u$ 와 v가 $모두$ $포함$ 된 $인수$ u, $v$ 를 받아들입니다.

표기 규칙으로서, $4$ $벡터$ 라고 불리는 M의 벡터 v는 이탤릭체로 표시되며, 유클리드 설정에서 일반적으로 볼드체 v로 $표시되지$ 는 않는다.후자는 일반적으로 4-벡터의 3-벡터 부분(아래 소개)을 위해 예약되어 있습니다.

정의

u\cdot v=\eta(u,,v)

M에서

이전

에는 Minkowski 내적이라 불리던 내적과 유사한 내부적 구조를 만들었지만, 이는 다른 기하학적 구조를 묘사한다.그것은 상대론적 점곱이라고도 불린다.두 개의 인수가 같은 경우

{\displaystyle u=\eta (u,u)\equiv \ u\ ^{2}\equiv u^{2},

결과량은 민코프스키 노름 제곱이라고 불릴 것이다.민코프스키 내적은 다음과 같은 특성을 만족한다.

첫 번째 인수의 선형성: $\displaystyle \eta(au+v,w)=a\eta(u,w)+\eta(v,w),\forall \forall u,v\in M,\forall \mathbb {R}$
대칭: $\eta (u,v)=\eta (v,u)$
퇴보하지 않다: $\displaystyle \eta (u,v)=0,\;\forall v\in M\\\오른쪽 화살표\u=0}$

처음 두 조건은 이중선을 의미합니다.의사 내부 곱과 내부 곱의 명확한 차이는 전자가 양의 확정일 필요는 없다는 것이다. 즉, $δ (u, u$ ) < $0$ 이 허용된다.

내적과 노름 제곱의 가장 중요한 특징은 이것들이 로렌츠 변환의 영향을 받지 않는 양이라는 것이다.사실, 로렌츠 변환의 정의적 특성으로 내부 생성물(즉, 두 벡터의 대응하는 쌍선형 형태의 값)을 보존할 수 있다.이 접근방식은 고전 그룹에서 이렇게 정의할 수 있는 모든 고전 그룹에 대해 보다 일반적으로 취해진다.여기서 행렬 $δ$ 는 $대소문자$ O( $3, 1$ )와 다음에 나타내는 행렬 $δ$ 와 동일하다.

$두$ $벡터$ $v$ 와 w는 $θ$ (v, $w)$ = 0이면 직교라고 합니다. $θ (v,$ $v) 0$ 0 및 $θ$ ( $w, w$ ) $0$ 0(또는 그 반대)인 특수한 경우 직교성의 기하학적 해석은 쌍곡선 직교성을 참조하십시오.

$θ$ ( $e,$ $e)$ = ±1이면 $벡터$ e를 단위 벡터라고 한다.상호 직교 단위 벡터로 이루어진 $M$ 의 기저를 직교 정규 ^{[citation needed]}기라고 한다.

주어진 관성 프레임에 대해 단위 시간 벡터와 조합된 공간에서의 직교 정규 기저가 민코프스키 공간에서 직교 정규 기저를 형성한다.이러한 기준에서 양의 단위 벡터와 음의 단위 벡터의 수는 내부 생성물과 관련된 쌍선형 형태의 시그니처와 동일한 고정 쌍입니다.이게 실베스터의 관성의 법칙이야

더 많은 용어(더 많은 구조는 제외):민코프스키 메트릭은 의사 리만 메트릭, 더 구체적으로 말하면 로렌츠 메트릭이며, 나머지 모호성은 시그니처 규칙일 뿐입니다.

민코프스키 메트릭

특수 상대성 이론의 두 번째 가정으로부터, 시공간 동질성과 공간의 등방성과 함께, $1$ 과 $2$ 라고 불리는 두 개의 임의의 사건 사이의 시공간 간격은 ^[15]다음과 같다.

({displaystyle c^2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^2}-\left(z_1}-z_{2}\right)^{2}-\left(오른쪽)^2}-\left(오른쪽)^{2}-\left(오른쪽)^2).

이 양은 문헌에 일관되게 기재되어 있지 않다.여기서 정의한 ^[16]^[17]간격은 간격의 제곱근이라고도 합니다.

관성 프레임 사이의 좌표 변환에 따른 간격의 불변성은 다음과 같은 불변성에서 비롯됩니다.

\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

변환이 선형인 경우.이 2차 형식은 쌍선형 형식을 정의하는 데 사용될 수 있습니다.

u\cdot v=c^{2}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.

분극 정체성을 통해요.이 쌍선형 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

u=u^{\displayf {T}}[\eta]v,

여기서 [filename

]

은

θ

와 관련된 4

\times4 행렬

입니다.헷갈릴 수 있지만

[]]

는

η만

으로 표기하는 것이 일반적입니다.매트릭스는 명시적 쌍선형 형식에서 다음과 같이 읽힌다.

\displaystyle \eta = pmatrix {pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\0&1&0\\0&1\end{pmatrix}},

형태입니다.

u\cdot v=\eta(u,v),

이 섹션이 존재한다고 가정하면서 시작된 것이 이제 확인되었습니다.

명확성과 짧은 프레젠테이션을 위해 아래에 시그니처 $(+++)$ 를 채택합니다.이 선택(또는 다른 선택 가능)은 (알려진) 물리적 의미는 없습니다.한 가지 시그니처 선택으로 쌍선형 형태를 보존하는 대칭군은 다른 시그니처 선택권을 보존하는 대칭군과 (여기에 제시된 지도 아래) 동형이다.이것은 두 가지 선택이 모두 두 상대성 가설에 부합한다는 것을 의미한다.두 표기법 간의 전환은 간단합니다.metric tensor $has$ 가 도함수에 사용된 경우 사용한 초기 지점으로 돌아가서 -"를 $대체$ 하고 원하는 metric 시그니처를 가진 원하는 공식으로 되돌아가십시오.

표준기준

민코프스키 공간의 표준 또는 직교 기저값은 다음과 같이 상호 직교 벡터 ${e 0, e 1 2$ , e, $e 3}$ 의 집합이다.

\displaystyle -\eta (e_{0,e_{0})=\eta (e_{1})=\eta (e_{2})=\eta (e_{3})=1.}

이러한 조건들은 다음과 같은 형식으로 간결하게 작성될 수 있습니다.

\displaystyle \eta ( e _ { \ mu } , e _ { \ nu } )= \eta _ { \ mu \ nu }

표준 기준과 $비교$ 하여 벡터 v의성분은 $아인슈타인 μ$ $표기법$ 을² $사용$ 하여³ v = $ve$ 를_μ $작성$ 한다⁰ $(v 1,$ v, v $,$ v). $성분 0$ v는 $v$ 의 시간상 성분이라고 불리며, 나머지 세 가지 성분은 공간 성분이라고 불립니다. $4광자$ v의 공간 구성요소는 $3광자$ v = ( $v 1, v 2$ , $v 3)$ 로 식별할 수 있다.

성분의 관점에서, 두 $벡터$ $v$ 와 w 사이의 민코프스키 내부곱은 다음과 같이 주어진다.

\eta (v,w)=\eta _{\mu }v^{\nu }w^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}w_{3}w_{3}=v^{\mu}w_{\mu

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

{\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu }v^{\nu }v^{0}v_{0}+v^{1}v_{2}+v^{2}v_{3}v^{3}=v^{\mu}v_{0} }.

여기서는 메트릭을 사용하여 지수를 낮췄다.

$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ ( $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ , $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ ) $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ μ ν $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ μ . $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ 、（ \ $displaystyle \eta$ ( e $_$ { \ $mu$ } , e $_$ { \ $nu$ } ) = \ $eta$ _ { \ $mu$ \ nu $}$ } are $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ $style$ transform in $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ there there there $4\times 4$ 4 × $4\times 4$ (디스플레이 $스타일$ 4 \ $times$ 4 ) 매트릭스 $4\times 4$ 만족

{\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }^{\nu }=\eta _{\rho \nu }}.

또는

,

\

displaystyle \Lambda,

추상

\Lambda ,

벡터 공간상의 선형 맵으로

벡터 u,

v

,

\

displaystyle u

, v

,}

쌍에 대해 만족합니다.

\displaystyle \eta(\Lambda u,\Lambda v)=\eta(u,v).}

다음으로 2개의 다른 베이스 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ 0 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ , e $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ , $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ $}{displaystyle \{e_{0, e_{1$ }, $e_{2}, e_{3}\})$ 와 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ { $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ 0 $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ ,, $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ ,, $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ 2 $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ $\{e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'\}$ ,, 3 $}$ { $displaystyle$ \ { e _ { $0$ }, e_ ${0$ }, e_3 }, $e_2})$ 가 있습니다. $e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }$ e μ $e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }$ μ $= μ$ {\ $displaystyle e_$ {\mu }'=\ $Lambda e_$ {\mu $e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }$ $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ {\ $displaystyle \Lambda$ _ ${\nu }^{\mu$ }}와 $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ $\Lambda$ {\ $displaystyle \Lambda }$ 는 $\Lambda$ 수학적으로 같은 원소라고 생각하면 좋을 수 있습니다.

상승 및

3d유클리드 공간에서의 선형 함수(1-형식)α, β와 그 합 θ와 벡터 u, v, w.벡터가 교차하는 (1-형식) 초평면의 수는 ^[18]내부곱과 같습니다.

기술적으로, 비퇴화 쌍선형 형태는 벡터 공간과 그 쌍대 사이의 지도를 제공한다. 이 맥락에서, 지도는 $M$ 의 접선 공간과 $M$ 의 공탄젠트 공간 사이에 있다.M의 $점$ 에서 탄젠트 및 코탄젠트 공간은 이중 벡터 공간이다(따라서 사건에서의 코탄젠트 공간의 $차원$ 도 4).하나의 인수가 고정된 벡터 공간상의 진짜 내적(instal product)이 Riesz 표현정리에 의해 벡터 공간상의 선형함수의 작용으로 표현될 수 있는 것처럼 ^[19]민코프스키 공간의 민코프스키 내적(instal product)도 동일하게 유지된다.

$따라서 μ$ v가 탄젠트 공간에서 벡터의 성분이라면, $θ μν μ$ v = $v$ 는_ν 코탄젠트 공간(선형 함수)에서 벡터의 성분이다.접선 공간의 벡터가 M $자체$ 에 있는 벡터와 동일하기 때문에 이는 대부분 무시되며 지수가 낮은 벡터는 공변 벡터라고 합니다.후자의 해석에서 공변 벡터는 (거의 항상 암묵적으로) 민코프스키 공간의 쌍대 벡터(선형 함수)로 식별된다.상위 지수가 있는 것은 반변 벡터입니다.마찬가지로 행렬 표현에서 $θ$ 의 역수로 명시적으로 주어지는 탄젠트 공간에서 코탄젠트 공간까지의 맵의 역수를 사용하여 지수의 상승을 정의할 수 있다.이 역의 성분은 $η$ 로^μν 표기된다. $η μν$ = $η μν$ thatη that that it 。벡터 공간과 그 쌍대 사이의 이러한 지도는 음악적 ^[20]유추에 의해 $β ♭$ (에타 플랫)와 $β ♯$ (에타 샤프)로 표시될 수 있다.

역변 벡터와 공변 벡터는 기하학적으로 매우 다른 객체입니다.첫 번째는 화살로 생각할 수 있습니다.선형 함수는 원점을 통과하는 초평면인 커널과 노름의 두 가지 객체로 특징지을 수 있습니다.따라서 기하학적으로 공변 벡터는 표준(표준 = 더 작은 간격)에 따른 간격을 갖는 하이퍼플레인 집합으로 보아야 하며, 이들 중 하나(알맹이)가 원점을 통과한다.공변 벡터의 수학적 용어는 1-코벡터 또는 1-폼입니다(일반적으로 코벡터 필드용으로 예약되어 있습니다).

Misner, Thorne & Wheeler(1973)는 역변 벡터의 공변 버전을 어떻게 상상할 수 있는지를 설명하기 위해 운동량 4벡터와 기계적으로 연관된 드 브로글리 파동(플랑크의 감소 상수 인수에 의해 스케일링됨)의 파동 전선에 생생한 유추를 사용한다.두 개의 반변 벡터의 내부 곱은 다른 벡터의 반변 버전에 대한 그들 중 하나의 공변 버전의 작용으로 동일하게 잘 생각될 수 있다.그러면 내부 곱은 화살표가 평면을 관통하는 횟수입니다.수학적 참고 문헌인 Lee(2003)는 이러한 물체에 대한 동일한 기하학적 관점을 제공한다(그러나 천공은 언급되지 않음).

전자장 텐서는 MTW에서도 찾을 수 있는 미분 2-형식이다.

물론 기하학적 뷰를 모두 무시할 수도 있습니다(예: 의 스타일).Weinberg (2002)와 Landau & Lifshitz 2002)는 순전히 형식적인 방법으로 대수적으로 진행됩니다.때때로 지수 체조라고 불리는 형식주의 자체의 시간이 증명된 견고성은 반변에서 공변 벡터로, 그리고 그 반대로 벡터를 움직이고 변화시키는 것이 수학적으로 건전하다는 것을 보증한다.틀린 표현은 금방 드러나는 경향이 있어요.

자유 및 하강

쌍선형 형태 $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ : $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ M × $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ {\ $displaystyle \eta:$ $M\times$ M $\rightarrow \mathbb {R$ $\eta$ 벡터의 하위 버전은 ${\$ 의 부분 평가로 생각할 수 있습니다. 즉, 관련된 부분 평가 맵이 있습니다.

displaystyle \eta(\cdot,-):M\rightarrow M^{*};v\는 \eta(v,\cdot)에 매핑됩니다.}

아래 $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ ( $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ , $)$ ) $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ m $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ ${\$ {\ 、 \ $displaystyle$ $\eta$ $u\mapsto \eta (v,u)$ ( $v$ $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ , \ $cdot$ ) \ $in$ M $^$ { * } $\eta$ is $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ map then then then then $u\mapsto \eta (v,u)$ u u u u u $u\mapsto \eta (v,u)$ then $u\mapsto \eta (v,u)$ 、 $v , u$ )가 됩니다. $대칭$ 으로 인해 어느 인수가 부분적으로 평가되는지는 중요하지 않습니다 $.$

비퇴행성은 부분 평가 맵의 주입성과 동등하거나, 동등하게 비퇴행성은 맵의 커널이 사소한 것이라고 우리에게 말한다.여기서와 같이 유한 차원에서는 유한 차원 공간의 치수가 이중의 치수와 동일하다는 점에 주목하여 부분 평가 맵이M {\ $display style$ M }에서 $M$ M ${\$ {\ $display style$ M $M^{*}$ 까지의 선형 동형이라고 결론짓기에 충분하다. 그러면 역 부분 평가 맵의 정의가 가능하다.지도상에서

\displaystyle \eta ^{-1):M^{*}\오른쪽 화살표 M,}

역측정기준을 정의할 수 있습니다.

\displaystyle \eta ^{-1):M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R},\eta ^{-1}(\alpha,\timeout)=\eta (\eta ^{-1}(\eta))},\eta ^{-1}(\timeouts ),\eta ^{-1},\eta ^{-1},\eta },\timeoutseta }

$\eta ^{-1}$ 서 $\eta ^{-1}$ - $({$ ^{- $1})$ 의 $\eta ^{-1}$ 두 가지 용도는 각각 평가된 인수에 따라 구분할 수 있습니다.그런 다음 이를 사용하여 지수를 올릴 수 있습니다.좌표 베이스로 작업하면 $\eta ^{-1}$ - $\eta ^{-1}$ 1 $(\displaystyle$ \eta $^{-1$ })이 실제로 $\eta .$ $.\displaystyle \eta$ 와 반대 매트릭스임을 알 수 있습니다.

민코프스키 지표의 형식주의

현재의 목적은 두 벡터에 민코프스키 메트릭을 얼마나 공식적으로 적용하고 실수(즉, 미분 역할과 미분들이 계산에서 어떻게 사라지는지)를 얻을 수 있는지를 반강도로 보여주는 것이다.매끄러운 다지관 이론의 설정이며, 대류장이나 외부 도함수 등의 개념이 도입한다.

민코프스키 메트릭에 대한 공식 접근법

시공간에서 텐서 장으로서 좌표에 있는 민코프스키 메트릭의 완전한 버전은 다음과 같은 외관을 가진다.

\displaystyle \eta _{\mu \nu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }display^{\mu }dxtx^{\nu }\nu }.

설명:좌표 미분 값은 1 형식 필드입니다.좌표 $함수 μ$ x의 외부 도함수로 정의됩니다.p $지점$ 에서 평가된 이러한 양은 p $지점$ 에서의 코탄젠트 공간의 기초를 제공한다.텐서 곱(기호 $)$ 로 표시됨 $)은 (0,$ 2) 유형의 텐서 필드를 생성한다. 즉, 두 개의 반변 벡터를 인수로 예상하는 유형이다.오른쪽에는 대칭 제품(기호 $⊙$ 또는 병치)이 사용되었습니다.정의상 민코프스키 메트릭은 ^[21]대칭이기 때문에 등식은 성립한다.오른쪽 끝에 있는 표기법은 관련이 있지만 다른 선 요소에도 사용될 수 있습니다.그것은 텐서가 아니다.차이점과 유사성에 대한 자세한 내용은 Misner, Thorne & Wheeler(1973년, 박스 3.2 및 섹션 13.2)를 참조하십시오.

이 형식주의에서 탄젠트 벡터는 1차 미분 연산자의 기초에 의해 주어진다.

(\displaystyle\왼쪽).{frac} {\frac x^ {\mu } \ right _ {p} }

어디 p는 행사이다.이 연산자 함수 f에 지원 p에서 xν,ν ≠ 고정 μ과 xμ 증가하는 방향으로 f의 방향 파생 상품을 준다.그들은 페이지의 주에서 접선 공간을 위한 기초를 제공하는

$함수$ f의 외부 $도함수$ df는 다음과 같이 정의상 코벡터 필드, 즉 각 $점$ p에 대한 코탄젠트 벡터의 할당이다.

df(X)=표준,

각 벡터 fieldX.정접 벡터의 각 지점에 대한 벡터장 임무 p.좌표에서 X각 지점에서 p는 기본은 ∂/∂xν 페이지의 주 f)xμ, 좌표 기능 자체와 X)∂/∂xν과 이 사용 유무에 따른 주어진 에 1을 득한 좌표 벡터 땅이라는 확장될 수 있다.

{\displaystyle dx^{\mu}\frac {\displaystyle x^{\nu }}=\display x^{\nu }^{\mu }.

이 관계는 각 점 $p$ 에서 유지되기 때문에 $dx$ 는^μ $각$ p에서의 코탄젠트 공간의 기초를 제공하며 $베이스 μ$ dx와 θ $/ θx$ 는^ν 서로 쌍대이다.

\displaystyle \left.display^{\mu }\display_{p}\left(\left).}{{frac}{\frac x^{\nu }}\right _{p}=\frac _{\nu }^{\mu }}

각 p.에게다가, 가지고 있어

( (displaystyle \alpha \otimes (a,b)=\alpha (b)}

정접 공간 α, β고 일반적인 접선 벡터에 일반 one-forms 들어, B.(이것은 정의로,라는 좀 더 일반적인 설정으로 입증될 수도 있을 수 있다.).

따라서 메트릭 텐서가 두 벡터 필드 a, $b$ 에 공급될 때, 둘 다 기저 좌표 벡터 필드의 $관점$ 에서 확장되고, 결과는 다음과 같습니다.

_ dx _ \ }{\displaystyle \eta\mu \nu }\mu ^{\mu }{a}

여기

서^μ a,

b

는^ν 벡터 필드의 성분 함수입니다.위의 방정식은 각

점

p에서 유지되며, 그 관계는

p

에서 두 개의 접선 벡터에 적용되는

p

에서의 민코프스키 메트릭으로 해석될 수 있다.

그거 특수 상대론의 블랙 홀 모델과 같은 벡터 공간에서 언급된 접선 벡터 교회 법에 의하여 벡터와 공간 그 자체에, 반대하는 확인될 수 있다.이것은 각 지점에서 접선 장소 교회 법에 의하여 서로와, 그리고 벡터 공간 자체에와 동일시되고 있다는 것을 의미한다.이것은 어떻게 상기 등식의 우변에 직접적인 미터 법과 어디(우주 접선)은 경로로부터 왔는지 와 평가되는 것이다 spacetime 점에 관계 없이 채택할 수 있다고 설명한다.

이 상황 일반 상대성 이론으로 바뀐다.한가지 가지고 있

g _=mu \}a^{\mu }b^{\displaystyleft } \display gp_{\nu }\nu } \mu } \nu } \right _{\mu } \nu } \right left.

여기서

θ

→

g (p),

즉

g

는 여전히 미터법 텐서이지만 지금은 시공간에 따라 다르며 아인슈타인의 장 방정식의 해이다.

또,

a

, bmust는

시공간점

p에서의 접선 벡터가 되어 자유롭게 이동할 수 없게 된다.

및

x, $y m$ M으로 $하자$ .라고 말하고 있습니다.

$y$ - $x$ 가 미래 지향 시간표인 $경우$ x는 시간순으로 $y$ 보다 우선합니다.이 관계에는 추이적 특성이 있으므로 x < $y$ 로 $표기$ 할 수 있습니다.
$y$ - $x$ 가 미래지향적 늘 또는 미래지향적 타임라이크일 $경우$ x는 원인적으로 y보다 $앞선다$ .이것은 부분적인 시공간 순서를 제공하므로 x $y$ y라고 쓸 $수$ 있습니다.

x m M이 타임라이크하다고 가정합니다.다음으로 x의 동시 하이퍼플레인은 $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ : $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ ( $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ x , $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ ) $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ 0 $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ 입니다 $.{$ $displaystyle$ \ ${ y$ : \ eta ( $x$ , y ) = $0$ \ $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ } $\{y:\eta (x,y)=0\}.$ 이 초평면은 x의 변화에 따라 변하기 때문에 민코프스키 공간에는 동시성의 상대성이 있다.

Generalizations()

로렌츠 다양체는 두 가지 방법으로 민코프스키 공간의 일반화이다.시공간 치수의 총 수는 4(2개 이상)로 제한되지 않으며 로렌츠 다양체는 평평할 필요가 없습니다. 즉, 곡률을 허용합니다.

민코프스키

복잡한 민코프스키 공간은 M = $M i$ iM으로 ^[22] $정의$ 된다_c.그것의 실제 부분은 4속도와 4운동량과 같은 4 벡터의 민코프스키 공간이며, 공간의 방향 선택과는 독립적이다.반면 가상 부분은 각속도 및 자기모멘트 등 방향변화에 따라 방향을 바꾸는 4개의 의사벡터로 구성될 수 있다.우리는 방향의 변화에 따라 기호도 바꾸는 의사 $scalar$ i를 도입한다.따라서 $M$ 의_c 원소는 방향의 선택과는 무관합니다.

Mc의 내부product-like 구조 어떤 u,v ∈ Mc의 너 ⋅ v=η(u,v). 전자나 이복 스핀 입자의 상대론적 순수한 스핀ρ ∈ Mc로 ρ)u+is하고 그 입자의 u는 four-velocity 그것은 또한 그 Pauli–Lubanski 슈우도 벡터 s2=만족 u2)1과 s은 4D스핀 vector,[23]을 만족시키기로 묘사된다 정의된다. −1과 u⋅ $s$ = $0$ 입니다.

민코프스키

민코프스키 공간은 4차원의 수학 공식화를 말한다.그러나 수학은 쉽게 확장되거나 단순화되어 임의의 수의 차원에 유사한 일반화 민코프스키 공간을 만들 수 있습니다.n $2$ 2일 $경우$ n차원 민코프스키 공간은 시그니처 $(n - 1$ , 1) $또는$ ( $1$ , $n$ - 1)의 일정 민코프스키 메트릭이 존재하는 $실차원$ n의 벡터 공간이다.이러한 일반화는 시공간이 4차원 이상이라고 가정하는 $이론$ 에 사용된다.문자열 이론과 M이론은 n > $4$ 의 두 가지 예입니다.끈 이론에서는 1 $+1$ 시공간 차원을 갖는 $등각장$ 이론이 나타난다.

드 시터 공간은 쌍곡선 기하학의 모형 공간처럼 일반화된 민코프스키 공간의 서브몰드로 공식화할 수 있다(아래 참조).

★★★

평탄한 시공간으로서, 민코프스키 시공간에서 세 개의 구성 요소는 항상 피타고라스 정리에 따른다.민코프스키 공간은 특별한 상대성 이론의 적절한 근거이며, 유의한 중력 없이 시스템에서 한정된 거리에 걸쳐 물리적 시스템을 잘 설명한다.그러나 중력을 고려하기 위해 물리학자들은 비유클리드 기하학의 수학에서 공식화된 일반 상대성 이론을 사용한다.이 지오메트리가 물리적 공간의 모델로 사용될 때, 그것은 곡면 공간이라고 알려져 있습니다.

곡면 공간에서도, 민코프스키 공간은 여전히 어떤 점(^{[nb 6]}중력 특이점 제외)을 둘러싼 극소 영역에서의 좋은 묘사이다.보다 추상적으로, 우리는 중력 시공간이 있을 때 어떤 점에 대한 접선공간이 4차원 민코프스키 공간인 곡선 4차원 다지관에 의해 설명된다고 말한다.그러므로, 민코프스키 공간의 구조는 일반 상대성 이론의 기술에서 여전히 필수적이다.

민코프스키 공간에 대한 기하학 용어의 의미는 문맥에 따라 크게 달라집니다.민코프스키 공간에는 유클리드 기하학이 부여되어 있지 않으며, 내적 곡률을 가진 일반화 리만 기하학도 부여되어 있지 않다. 쌍곡 기하학(부적 곡률) 및 구(양적 곡률)에 의해 모델화된 기하학(양적 곡률)에서 모델 공간에 의해 노출되어 있다.그 이유는 민코프스키 메트릭의 불확정성 때문입니다.특히 민코프스키 공간은 미터법 공간도 아니고 리만 계량기를 가진 리만 다양체도 아니다.그러나, 민코프스키 공간은 쌍곡 기하학을 생성하는 리만 메트릭을 부여받은 서브매니폴드를 포함한다.

$저차원$ 쌍곡 기하학 모델 공간, 예를 들어 2 $또는$ 3은 유클리드 $메트릭$ g를 사용하여 각각 하나 이상의 차원, 즉 $δ 3$ 또는 $δ$ 를⁴ 사용하여 등각적으로 유클리드 공간에 삽입할 수 없으며,^{[nb 7]}^[24] 이는 쉬운 시각화를 허용하지 않는다.그에 비해, 양의 곡률을 가진 모형 공간은 유클리드 공간의 한 차원 ^[25]높은 구일 뿐이다.쌍곡선은 삽입공간이 민코프스키 $메트릭θ$ 를 부여받았을 때 1차원 이상의 공간에 등각적으로 삽입할 수 있다.

H $m n +1$ M을 쌍곡선의 상부 시트( $ct$ > $0$ )로 $정의$ 한다¹⁽ⁿ⁾
_R.

cdots{cdots}\left} \cdots {

시공간 $차원$ n + $1$ 의 일반화 민코프스키 $공간 n +1$ M.이것은 일반화 로렌츠 그룹의 전달성 표면 중 하나입니다.이 서브매니폴드에 대한 유도 측정 기준,

displaystyle h_{R}^1(n)=\iota^{*}\eta,}

포함 시 민코프스키 메트릭 $θ$ 의 풀백은 리만 메트릭이다.이 $메트릭$ 으로¹⁽ⁿ⁾
_R H는 리만 다양체이다.이것은 쌍곡선 공간의 쌍곡선 모형인 리만 기하학의 모형 공간 중 하나입니다.이것은 일정한 음의 $곡률 -1 2$ /^[26]R의 공간이다.상위 지수의 $1$ 은 쌍곡선 기하학의 여러 모델 공간의 열거를 의미하고 $n$ 은 그 치수를 나타냅니다.2( $2)$ 는 푸앵카레 디스크 모델에 대응하고, $3(n)$ 은 $치수$ n의 푸앵카레 반공간 모델에 대응한다.

★★

$위$ 의 $정의$ 에서¹⁽ⁿ⁾
_R, $H n +1 \to$ M은 포함 지도이며, 위 첨자 별은 풀백을 나타낸다.현재의 목적은 H가 실제로 쌍곡선 공간이라는 $것$ 을¹⁽ⁿ⁾
_R 실제로 입증하기 위한 준비로서 이것과 유사한 연산을 설명하는 것이다.

, 및
'이것'은 다음과 같습니다. $서브매니폴드$ S에서 M으로 $그리고$ M에서 $순서$ $k$ 의 공변 $텐서$ α를 포함하는 맵의 경우, 그것은 다음을 유지한다. $^{}\ldots,\light) \ _},\$ $여기$ 서₁ X $, X 1$ , $\dots,$ $X$ 는_k S $위$ 의 벡터 필드입니다.첨자별은 푸시포워드(나중에 도입할 예정)를 나타내며, 이 특별한 경우에는 단순히 아이덴티티 맵(포함 맵)이다.후자의 등식은 한 점에서 서브매니폴드에 대한 탄젠트 공간이 표준적인 방식으로 해당 지점에서 다지관 자체의 탄젠트 공간의 하위 공간이기 때문에 유지됩니다.간단히 쓸 수 있다 $^{}\= _displaystyle \iota ^{}\alpha =\alpha _{S}}$ (표기의 약간의 남용으로) $일부$ s † $S$ 에만 접하는 입력 벡터로 받아들이는 α의 $제한$ 을 의미한다. "CHANGE: "CHANGE: " 。* $지도$ F: $M$ → $N$ 에서 공변량 $k-변량$ α(반변 벡터만 인수로 사용)의 풀백은 선형 지도이다. $Fdisplaystyle F^{}\colon T_{F(p)}^{k}N\colon T_{p^{}K}M,$ 벡터 $공간$ V에 대해 $T^{k}V=\underbrace {V^{}\cdots \otimes V^{}}_{k\text{times}}}.$ 은 의정어 it it it 로 정의된다. $F},}\style,F_rightF_{}X_{k},\right},$ 여기서 첨자 별은 $지도$ F의 푸시포워드를 $나타내고 1$ X $, X 2$ , $\dots, X$ 는^k TM의 $벡터$ 입니다_p(이는 포함 지도의 풀백에 대해 자세히 설명한 내용과 일치합니다).일반적인 경우, 일반적으로 FX $x 1$ X이기 때문에 $간단하게 * 1$ 진행할 수 없습니다.) 일반 맵에서 벡터의 푸시 포워드: 경험적으로 볼 때, P $(p$ ) $n$ M에 $있는$ 벡터를 P $m$ M에 $공급$ 하는 N은 정의상 $P$ $p M$ 에서F $(p) at$ N에 있는 텐서로 벡터를 밀어내는 것과 같다. 또한 정의를 풀면 매니폴드 간 $지도$ F $: M$ → $N$ 에서의 벡터장의 $푸시포워드 $ F $: TM p$ → $TN$ 은_F(p) 다음과 같이 정의된다. $Fdisplaystyle F_{}(X)f=X(f\circ F),})$ $여기$ 서 f는 $N$ 의 함수입니다. $M$ = $ℝ m,$ N = $the일 n$ $때$ F의 푸시포워드는 성분 함수의 부분 도함수의 야코비 행렬에 의해 주어지는 상미분인 DF: $ℝ m$ → $ℝ$ 로ⁿ 감소한다.미분은 $함수$ F의 $δ$ 에서^m $δ$ 까지의ⁿ 최적 선형 근사치입니다.푸시포워드는 이것의 부드러운 다양체 버전입니다.접선 공간 사이에 작용하며 함수의 좌표 표현에 대한 야코비 행렬로 표현되는 좌표에 있습니다. 해당하는 풀백은 범위 접선 공간의 이중에서 도메인 접선 공간의 이중으로 이어지는 이중 맵입니다. 즉, 선형 맵입니다. $F^{}\colon T_{F(p)}^{}N\colon T_{p}^{*}M.$

빨간색 원호는 푸앵카레 디스크 모델에서 측지선이며 녹색 쌍곡선의 갈색 측지선에 투영됩니다.

메트릭을 표시하려면 적절한 매개 변수 조정을 통해 메트릭을 뒤로 당겨야 합니다. $M$ 의 $서브매니폴드$ S의 파라메타라이제이션은 범위가 $S$ 의 $오픈$ $서브셋인 m$ 맵 U if R → $M$ 이며, S가 $M$ 과 같은 치수를 갖는 $경우$ 파라메타라이제이션은 좌표맵 $θ :$ $M$ → $U$ ⊂ $R$ 의^m 역치수이다.사용되는 매개 변수는 쌍곡선 입체 투영법의 역수입니다.이는 왼쪽 $그림$ 에서 n = 2에 $대해$ 설명합니다.구체에 대한 입체 투영과 비교하는 것이 유익합니다.

입체 투영법 $θ$ : $H n R$ → $R n$ 및 그 역 $θ -1 :$ $R n$ → $H$ 는ⁿ
_R 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\sigma(\tau ,\mathbf{x})=\mathbf{u}&={\frac{R\mathbf{)}}{R+\tau}},\\\sigma ^ᆰ(\mathbf{너})=(\tau ,\mathbf{x})&, =\left(R{\frac{R^{2}+ 너 ^{2}}{R^{2}-너 ^{2}}},{\frac{2R^{2}\mathbf{너}}{R^{2}-너 ^{2}}}\right),\end{정렬}}}\displaystyle{displaystyle \mathbf{)})\mathbf{u}및^\mathbf{)}.{R+\tau}}, \\time ^{-1}(\displaystyle,\mathbf {x}) = {u}

간단하게 하기 위해서,

「」 ct

라고 입력합니다.

(θ,

x)

는

M

의ⁿ⁺¹ 좌표이고

u

는

R

의ⁿ 좌표이다.

도출 ★★★★★★★

let let 렛츠고

\mathbf{H}_{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots{n}\right ,x^)\subset \mathbf{M}:-\tau ^ᆱ+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau>0\right\}}\displaystyle\mathbf{H}_{R}^{n}=\left\{\left(\tau,x^1},\ldots,x^{n}\right)\mathbf{M}:-\mathbf{2}(x^1}\right)^2}+\cdots+\left(x^{n}^{n}^{ 맞(오른쪽.)^{n}^{n}^}^{}^{n

and and and and

Sdisplaystyle S=1801,0,\ldots,0}

if

P= \displaystyle P=\left(\tau,x^{1},\ldots,x^{n}\right)\in \mathbf {H_R}^{n}^{n}{n}{n}\right}{n}\in\mathbf {right}

벡터는 합니다.

displaystyle {PS})

\left(\displaystyle \,xn}\)\ M= 0(\displaystyle,x^{n}\rightdisplaystyle \le \left(\displaystyleft(\displaystyle,1},x{n}\right)\right)\tau = 0\le

는 「일단」이라고 표시되어 .

\displaystyle U=\left(0,u^{1}(P),\ldots,u^{n}(P)\right)\equiv(0,\mathbf {u}}}

있다

(\displaystyle {displaystyle} S+{\overright {SU}=U-S,\S+{\overright {SP}}&=P\우측 화살표 {SP}=U-endaligned}).}

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

\displaystyle {\operrightarrow {SU}&=(0,\mathbf {u})=(R,\mathbf {u}),\{\operrightarrow {SP}&=(\tau,\mathbf {x}),\endalignedend}} 정렬

입체 투영을 구축함으로써 다음과 같은 특징이 있다.

{\displaystyle {SU}}=\lambda(\lambda){SP}}:

하면 .

&=end{ R&=\lambda (\displayda + R),\mathbf {u} =\fx} arigned.R&\mathbf {ned}

$\lambda$ 중 첫 번째는 ${\(\displaystyle\lambda)$ 에 $\lambda$ 대해 해결되고 입체 투영을 위해 획득됩니다.

\displaystyle \time (\displaystyle,\mathbf {x})=\mathbf {u}=mathbf {x}{R+\tau}}.}

다음으로 $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ - $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ ( $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ ) $=$ ( $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ , $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ ) { $displaystyle$ \ $displaystyle ^$ {- $1}(u$ )=(\ $display,\mathbf {x})}$ 을 $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$ 계산해야 합니다.이전과 동일한 고려사항을 사용하되, 현재는

U&=(0,\mathbf {u})\P&=(\tau(\mathbf {u}),\xi(\mathbf {u}).end {aligned}

에 넣다

{R(1-\lambda{aligneddisplaystyle {R(1-\lambda},\ {R},\mathbf},\mathbf

그러나 지금은 $\mathbf {u} .$ $\lambda$ 에 $\mathbf {u} .$ ${\$ {\ $displaystyle \lambda$ $}$ 가 $\lambda$ $\mathbf {u} .$ 붙습니다 $.$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {u $}$ .} P가 쌍곡선에 놓여 있는 $조건은$

+ u=-\display style -\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =-\display ^{2-} ={u} =} =} =} =} =}

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

{\}( - {\}}{\displaystyle - {\frac {R^2}(1-lambda})^{2}}{\frac {u ^2}}{\frac ^{2}}}.

leading로

= displayfrac}}) {2 displaystyle \displayda = displayfrac {R^{2}-u ^2RR^{2}}}.}

$이 "\$ displaystyle\ $lambda$ 를 사용하면

\displaystyle \mathbf {u} =(\display,\mathbf {x} ) =\left(R {\frac {R^{2} + u ^{2} ^{2} }, {frac {2R^{2} ^{2}} =\mathbf {2} } =\left(으)

을

있다

_)}}=\+\2}-d\2}}{\d\d\d}{{{{{{{{{{{{{{\displaystylight}}}}}}}{\displaystyle h_{{{{{

지도 ''''''입니다.

\displaystyle \mathbb {R}^{n}\rightarrow \mathbf {H}_{R}^1(n);\quad \mathbf {u}=(\displaystyle (\mathbf {u}),\mathbf {x}(\mathbf {u}=왼쪽)}

수 .

(\displaystyle\displaystyle)left(\param ^{-1}\right)}^{*}\eta \right _{\mathbf {H}_{R}^1(n)}=\left(dx^1}(mathbf {u}\right)^2}+\left(\mathbf {u}\right)^2}-\left(\mathbf)^2-\light(오른쪽)^{{\f}^{{right}

미분을된 외부파생물을 을 계산하는 표준규칙에 한다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{너})&, =d\left({\frac{2R^{2}u^{1}}{R^{2}-너 ^{2}}}\right)={\frac{\partial}{\partial u^{1}}}{\frac{2R^{2}u^{1}}{R^{2}- 너 ^{2}}}du^{1}+\ldots +{\frac{\partial}{\partial u^{n}}}{\frac{2R^{2}u^{1}}{R^{2}- 너 ^{2}}}du^{n}+{\frac{\partial}{\tau\partial}}{\frac{2R^{2}u^{1}}{R^{2}- 너 ^{2}}}d\tau.\\&^\displaystyle{filename}(\mathbf{filename})&, =d\leftfilename\frac{2}R^{2}u^{1}}{R^{2}-flac^{2}}\right}=flacc{\flac{1}{\flac{2}R^{2}u^{1}}{R^{2}- ^^{2}}}du^{1}+\ldots +{\frac{\partial}{\partial u^{n}}}{\frac{2}R^{2}u^{1}}{R^{2}- ^^{2}}}du^{n}+{\frac{\partial}{\tau\partial}{\frac{2}R^{2}u^{1}}{R^{2}- ^^{2}}}d\tau.\\n}(\{u {u^{}}=\(\{u})&gt;fref {}{

이치노이것은 산출된다.

style ^{-displaystyle \left(\display ^{-1}\right)}^{*}h_{R}^{1(n)}=snfrac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^2}\left(R^{2}-u^{2}\right)_RIB}\left[\left]

계산의 상세 개요
있다 ${\frac } {\frac u^{1}} {\frac {2R ^{2} u^{1} - = du^{1} & = dufrac {2\left(R^{2}-u^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}{\left(R^{2}-u^{2}\right)^{2}}{1},\{\frac {2}u^{2}}{\frac {2R^{2}{{2}}{\frac {{2}}{{\frac}{2}^2}}{{{\fright}}}}{{{{{{{\frac}}}}}}}}}}}}{{{{{{\frac}}}}}}}}}}}}$ 그리고. ${{displaystyle}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-u^{2}}}d\flac^{2}=0.}$ 이것으로 글을 쓸 수 있다. $dx^{1}(\mathbf {u})=flac {2R^{2}\left(R^{2}-u^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u}\cdot d\mathbf {u})}{\left$ 거기서부터 $\displaystyle \left(\mathbf {u}\right)^{2}=flac {4R^{2}\left(r^{2}-u^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-u)^{2}\left(오른쪽)^{2}\left(오른쪽)}$ 이 공식의 합계를 구하다 ${\displaystyle{\begin{정렬}&, \left(dx^{1}({너\mathbf})\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}(\mathbf{너})\right)^{2}\\={}&,{\frac{4R^{2}[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^ᆵ\left(R^{2}-너 ^{2}\right)(\mathbf{너}\cdotd\mathbf{너})(\mathbf{너}\cdotd\mathbf{너})+16R^{4}. u^{2}()mathbf {u} \cdot d\mathbf {u}^2} {\left(R^{2}-u ^{2}\right)^4}}\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-u ^{2}\right)^2}\[\left(\left(\left)^{1}^{2}\left(오른쪽)^2}^2})^2}^2}^2}^2}{2}\end { aligned}}$ 마찬가지로 $one$ 에 대해서도 $d=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\frac u^{i}}R{\frac {R^{2}+u ^{2}+u ^{i}+{\frac }{\frac }RAC {\frac$ 굴곡성 $-d\right^{2}=-\left(R{\frac {4R^{4}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)}{\left(R^2}-u ^2}\right)^2}\right)^{2} {AC}$ 이제 이 기여도를 더하면 최종적으로 다음을 얻을 수 있습니다. $\displaystyle \left(\display ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}=snfrac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^2}\left(R^{2}-u^{2}\right)_RIV}\left[\left]$

이 마지막 방정식은 볼에 대한 메트릭이 쌍곡기하학의 또 다른 표준 모델인 푸앵카레 볼 모델의 리만 $메트릭 2(n) R$ h와 동일하다는 것을 보여줍니다.

푸시포워드를 사용한 대체 계산
풀백은 다른 방법으로 계산할 수 있습니다.정의상 $\displaystyle \left(\display ^{-1}\right)^{}h_{R}^1(n)}(V,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V,\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V\right)=\eta _{\mathbf {H}_{R}^1(n)}}}\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V,\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V\right).}$ 좌표를 보면 $\left(\displaystyle ^{-1}\right)_{}V^{i}{\frac {\frac }{\frac x^{j}}{\frac }{\frac }al x^{j}}+V^{i}{\frac u^{i}}{\frac u^{i}}{\frac }{\frac }{\frac }{\frac }{\frac }{\frac ^{j}}}+V\tau {\frac } {\frac } {\frac } } }$ $σ$ 의^–1 공식에서 얻은 것이 있다. ${\begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left({\frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}- u ^{2}}}\right)={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}- u ^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}- u ^{2}\right)^{2}}},\quad \left({\text{here }}V u ^{2}=2\sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}\equiv 2\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle \right)\\V\tau &=V\left(R{\frac {R^{2}+ u ^{2}}{R^{2}- u ^{2}}}\right)={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}- u ^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$ Lastly, $\eta \left(\sigma _{}^{-1}V,\,\sigma _{}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4} V ^{2}}{\left(R^{2}- u ^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),$ and the same conclusion is reached.

Remarks

^ This makes spacetime distance an invariant.
^ Consistent use of the terms "Minkowski inner product", "Minkowski norm" or "Minkowski metric" is intended for the bilinear form here, since it is in widespread use. It is by no means "standard" in the literature, but no standard terminology seems to exist.
^ Translate the coordinate system so that the event is the new origin.
^ This corresponds to the time coordinate either increasing or decreasing when proper time for any particle increases. An application of $T$ flips this direction.
^ For comparison and motivation of terminology, take a Riemannian metric, which provides a positive definite symmetric bilinear form, i. e. an inner product proper at each point on a manifold.
^ This similarity between flat and curved space at infinitesimally small distance scales is foundational to the definition of a manifold in general.
^ There is an isometric embedding into $ℝ n$ according to the Nash embedding theorem (Nash (1956)), but the embedding dimension is much higher, $n = (m /2)(m + 1)(3 m + 11)$ for a Riemannian manifold of dimension $m$ .

Notes

^ "Minkowski". Random House Webster's Unabridged Dictionary.
^ Landau & Lifshitz 2002, p. 4
^ Lee 1997, p. 31
^ Schutz, John W. (1977). Independent Axioms for Minkowski Space–Time (illustrated ed.). CRC Press. pp. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Extract of page 184
^ Poincaré 1905–1906, pp. 129–176 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
^ Minkowski 1907–1908, pp. 53–111 *Wikisource translation: s:Translation:The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.
^ ^a ^b Minkowski 1908–1909, pp. 75–88 Various English translations on Wikisource: "Space and Time."
^ Cornelius Lanczos (1972) "Einstein's Path from Special to General Relativity", pages 5–19 of General Relativity: Papers in Honour of J. L. Synge, L. O'Raifeartaigh editor, Clarendon Press, see page 11
^ See Schutz's proof p 148, also Naber p.48
^ Schutz p.148, Naber p.49
^ Schutz p.148
^ Lee 1997, p. 15
^ Lee 2003, See Lee's discussion on geometric tangent vectors early in chapter 3.
^ Giulini 2008 pp. 5,6
^ Sean M. Carroll (2019). Spacetime and Geometry (illustrated, herdruk ed.). Cambridge University Press. p. 7. ISBN 978-1-108-48839-6.
^ Sard 1970, p. 71
^ Minkowski, Landau & Lifshitz 2002, p. 4
^ Misner, Thorne & Wheeler 1973
^ Lee 2003. One point in Lee's proof of existence of this map needs modification (Lee deals with Riemannian metrics.). Where Lee refers to positive definiteness to show injectivity of the map, one needs instead appeal to non-degeneracy.
^ Lee 2003, The tangent-cotangent isomorphism p. 282.
^ Lee 2003
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^ Lee 1997, p. 66
^ Lee 1997, p. 33
^ Lee 1997

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External links

Media related to Minkowski diagrams at Wikimedia Commons

Animation clip on YouTube visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone
Minkowski space at PhilPapers

[3] This makes spacetime distance an invariant.

[5] Consistent use of the terms "Minkowski inner product", "Minkowski norm" or "Minkowski metric" is intended for the bilinear form here, since it is in widespread use. It is by no means "standard" in the literature, but no standard terminology seems to exist.

[11] Translate the coordinate system so that the event is the new origin.

[12] This corresponds to the time coordinate either increasing or decreasing when proper time for any particle increases. An application of $T$ flips this direction.

[18] For comparison and motivation of terminology, take a Riemannian metric, which provides a positive definite symmetric bilinear form, i. e. an inner product proper at each point on a manifold.

[29] This similarity between flat and curved space at infinitesimally small distance scales is foundational to the definition of a manifold in general.

[30] There is an isometric embedding into $ℝ n$ according to the Nash embedding theorem (Nash (1956)), but the embedding dimension is much higher, $n = (m /2)(m + 1)(3 m + 11)$ for a Riemannian manifold of dimension $m$ .

[1] "Minkowski". Random House Webster's Unabridged Dictionary.

[2] Landau & Lifshitz 2002, p. 4

[4] Lee 1997, p. 31

[6] Schutz, John W. (1977). Independent Axioms for Minkowski Space–Time (illustrated ed.). CRC Press. pp. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Extract of page 184

[7] Poincaré 1905–1906, pp. 129–176 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron

[8] Minkowski 1907–1908, pp. 53–111 *Wikisource translation: s:Translation:The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.

[raumzeit-9] Minkowski 1908–1909, pp. 75–88 Various English translations on Wikisource: "Space and Time."

[10] Cornelius Lanczos (1972) "Einstein's Path from Special to General Relativity", pages 5–19 of General Relativity: Papers in Honour of J. L. Synge, L. O'Raifeartaigh editor, Clarendon Press, see page 11

[13] See Schutz's proof p 148, also Naber p.48

[14] Schutz p.148, Naber p.49

[15] Schutz p.148

[16] Lee 1997, p. 15

[17] Lee 2003, See Lee's discussion on geometric tangent vectors early in chapter 3.

[19] Giulini 2008 pp. 5,6

[20] Sean M. Carroll (2019). Spacetime and Geometry (illustrated, herdruk ed.). Cambridge University Press. p. 7. ISBN 978-1-108-48839-6.

[21] Sard 1970, p. 71

[22] Minkowski, Landau & Lifshitz 2002, p. 4

[23] Misner, Thorne & Wheeler 1973

[24] Lee 2003. One point in Lee's proof of existence of this map needs modification (Lee deals with Riemannian metrics.). Where Lee refers to positive definiteness to show injectivity of the map, one needs instead appeal to non-degeneracy.

[25] Lee 2003, The tangent-cotangent isomorphism p. 282.

[26] Lee 2003

[27] Y. Friedman, A Physically Meaningful Relativistic Description of the Spin State of an Electron,Symmetry 2021, 13(10), 1853; https://doi.org/10.3390/sym13101853

[28] Jackson, J.D., Classical Electrodynamics, 3rd ed.; John Wiley \& Sons: Hoboken, NJ, USA,1998

[31] Lee 1997, p. 66

[32] Lee 1997, p. 33

[33] Lee 1997

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