자연수

수학에서 자연수는 숫자 1, 2, 3 등으로 0도 포함됩니다.^{[under discussion]} 표준 ISO 80000-2를 포함한 일부 정의는 ^[1]자연수를 음수가 아닌 정수 0, 1, 2, 3, ...에 해당하는 0으로 시작하는 반면, 다른 정의는 양수 1, 2, 3, ...^[2][a]에 해당하는 1로 시작합니다. 자연수에서 0을 제외한 텍스트는 자연수를 0과 함께 전체 숫자로 나타내기도 하지만, 다른 글에서는 정수(음의 정수 포함)에 이 용어가 대신 사용됩니다.^[4] 공통 언어, 특히 초등학교 교육에서 자연수는 음수와 0을 직관적으로 배제하고, 실수의 특징인 측정의 연속성과 계산의 이산성을 대조하기 위해 세는 숫자라고^[5] 부를 수 있습니다.

자연수는 숫자를 세는 데 사용될 수 있으며("표 위에 6개의 동전이 있다"와 같이), 이 경우 기수로 사용됩니다. 또한 주문에 사용할 수도 있습니다("이 도시는 미국에서 세 번째로 큰 도시입니다"). 이 경우 주문 번호는 일반 번호로 사용됩니다. 자연수는 수학적인 의미에서 숫자의 속성을 갖지 않는 공칭수(예: 스포츠의 등번호)라고도 하는 레이블로 사용되기도 합니다.^[3][6]

자연수는 $집합$을 이루며, 종종 N ${\$로 표시됩니다$.$ 다른 많은 수 집합들은 자연수 집합을 연속적으로 확장함으로써 구성됩니다. 정수는 0이 아닌 각 자연수 n에 대해 (아직 포함되지 않은 경우) 항등식 0과 역-n을 추가함으로써 구성됩니다. 유리수, 각각의 0이 아닌 정수 n에 대해$$ 곱셈 $역수{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ 1$/n}$을 포함함으로써(또한 정수에 의한 이러한 역수의 곱); 유리수들의 코시 수열의^[b] 한계를 포함함으로써 실수; 복소수, 실수에 접하여 -1의 제곱근(또한 그 합과 곱) 등을 제공합니다.^[c][d] 이 확장 사슬은 표준적으로 다른 수 체계에 자연수를 포함합니다.

나눗셈과 소수의 분포와 같은 자연수의 성질은 수론에서 연구됩니다. 분할 및 열거와 같은 계산 및 순서와 관련된 문제는 조합론에서 연구됩니다.

역사

고대근

자연수를 표현하는 가장 원시적인 방법은 손가락을 세는 것과 같이 손가락을 사용하는 것입니다. 각 개체에 대한 집계 표시를 내리는 것도 원시적인 방법입니다. 나중에, 일련의 객체들은 마크를 제거하고 집합에서 객체를 제거함으로써 등식, 과잉 또는 부족 여부를 테스트할 수 있었습니다.

추상화의 첫 번째 주요 발전은 숫자를 나타내기 위한 숫자의 사용이었습니다. 이를 통해 많은 수를 기록하기 위한 시스템을 개발할 수 있었습니다. 고대 이집트인들은 1, 10, 그리고 10의 모든 거듭제곱이 10에서 100만개가 넘는 강력한 숫자 체계를 개발했습니다. 기원전 1500년경에 파리 루브르 박물관에 있는 카르나크의 석각은 276개를 2백 개, 7십 개, 6개로 그리고 숫자 4,622에 대해서도 비슷하게 묘사하고 있습니다. 바빌로니아인들은 60진법을 사용하여 기본적으로 1과 10의 숫자에 기초한 자릿값 체계를 가지고 있었고, 따라서 60진법의 기호는 1의 기호와 같았고, 그 값은 문맥에 따라 결정되었습니다.^[10]

훨씬 나중에 발전한 것은 0이 그 자체의 숫자를 가진 숫자로 간주될 수 있다는 아이디어의 발전이었습니다. 자리값 표기법(다른 숫자 내)에서 0자리를 사용한 것은 바빌로니아인들에 의해 기원전 700년으로 거슬러 올라갑니다. 바빌로니아인들은 그 숫자가 숫자의 마지막 기호였을 때 그 숫자를 생략했습니다.^[e] 올멕과 마야 문명은 기원전 1세기에 0을 별도의 숫자로 사용했지만, 이 사용은 메소아메리카를 넘어 확산되지 않았습니다.^[12][13] 현대에 숫자 0이 사용된 것은 628년 인도의 수학자 브라마굽타에서 비롯되었습니다. 그러나 0은 525년 디오니시우스 엑시구우스를 시작으로 중세의 계산(부활절 날짜의 계산)에서 숫자로 표시되지 않고 사용되었습니다. 표준 로마 숫자에는 0을 나타내는 기호가 없습니다. 대신 0 값을 나타내기 위해 라틴어 단어인 nullus에서 nulla(또는 유전형 nullae)가 사용되었습니다.^[14]

추상적인 수에 대한 최초의 체계적인 연구는 보통 그리스 철학자 피타고라스와 아르키메데스에게 인정됩니다. 어떤 그리스 수학자들은 숫자 1을 큰 숫자들과는 다르게 다루었고, 때로는 아예 숫자로 취급하지도 않았습니다.^[f] 예를 들어, 유클리드는 단위를 먼저 정의한 다음 숫자를 다수의 단위로 정의했습니다. 따라서 그의 정의에 따르면 단위는 숫자가 아니며 고유한 숫자가 없습니다(예: 무한히 많은 단위에서 임의의 두 단위는 a입니다).^[16] 그러나 얼마 지나지 않아 나오는 완전수의 정의에서 유클리드는 다른 것과 마찬가지로 1을 수로 취급합니다.^[17]

숫자에 대한 독립적인 연구도 인도, 중국, 메소아메리카에서 거의 비슷한 시기에 이루어졌습니다.^[18]

현대적 정의

19세기 유럽에서는 자연수의 정확한 성질에 대한 수학적, 철학적 논의가 있었습니다. 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 공리는 그들의 유한한 적용에서만 증명될 수 있다고 말했고, 동일한 행위의 무한한 반복을 구상할 수 있는 것은 "마음의 힘"이라고 결론지었습니다.^[19] 레오폴드 크로네커는 자신의 신념을 "하나님은 정수를 만드셨고, 다른 모든 것은 사람의 일이다"라고 요약했습니다.^[g]

구성주의자들은 수학의 기초에서 논리적 엄격함을 개선할 필요가 있다고 보았습니다.^[h] 1860년대에 헤르만 그라스만은 자연수에 대한 재귀적 정의를 제안하여 자연수가 아니라 정의의 결과라고 말했습니다. 나중에 그러한 형식적 정의의 두 가지 클래스가 구성되었습니다. 나중에 여전히 대부분의 실제 응용 분야에서 동일한 것으로 나타났습니다.

자연수에 대한 집합론적 정의는 프레게에 의해 시작되었습니다. 그는 처음에 자연수를 특정 집합과 일대일 대응 관계에 있는 모든 집합의 클래스로 정의했습니다. 그러나 이 정의는 러셀의 역설을 포함한 역설로 이어졌습니다. 이러한 역설을 피하기 위해 형식주의를 수정하여 자연수를 특정 집합으로 정의하고, 그 집합과 일대일 대응할 수 있는 집합은 모두 그 수만큼의 원소를 가지고 있다고 합니다.^[22]

두 번째 종류의 정의는 찰스 샌더스 피어스에 의해 소개되었고, 리차드 데데킨드에 의해 정제되었으며, 주세페 페아노에 의해 더 탐구되었습니다. 이 접근법은 현재 페아노 산술이라고 불립니다. 그것은 순서수의 성질을 공리화한 것에 기반을 두고 있습니다: 각 자연수에는 계승자가 있고 0이 아닌 모든 자연수에는 고유한 선행자가 있습니다. 페아노 산술은 몇 가지 약한 집합 이론 체계와 동일하게 일치합니다. 그러한 시스템 중 하나는 무한대의 공리가 부정으로 대체된 ZFC입니다.^{[citation needed]} ZFC에서 증명할 수 있지만 페아노 공리를 사용하여 증명할 수 없는 정리에는 굿스타인의 정리가 포함됩니다.^[23]

이러한 모든 정의를 사용하면 0(빈 집합에 해당)을 자연수로 포함하는 것이 편리합니다. 0을 포함하는 것은 이제 집합 이론가와^[24] 논리학자들 사이의 일반적인 관습입니다.^[25] 다른 수학자들도 0을 포함하며,^[i] 컴퓨터 언어는 루프 카운터와 문자열 또는 배열 요소와 같은 항목을 열거할 때 종종 0에서 시작합니다.^[26][27] 반면에 많은 수학자들은 1을 첫 번째 자연수로 삼기 위해 더 오래된 전통을 유지해 왔습니다.^[28]

표기법

모든 자연수의 집합은 표준적으로 N 또는 $N$으로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {N}.}$ 이전$$^[3][29] 텍스트에서는 때때로 J를 이 집합의 기호로 사용했습니다.^[30]

자연수에는 0이 포함될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으므로 어떤 버전이 참조되는지 아는 것이 중요할 수 있습니다. 이것은 종종 문맥에 의해 지정되지만 다음과 같은 표기법의 첨자 또는 위첨자를 사용하여 수행될 수도 있습니다.^[1][31]

• 0이 없는 자연어:$${${\displaystyle 1,}$ 2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle ...\}}$= ${\displaystyle N{}^{}}$∗ = ${\displaystyle {}_{}}$ + =$N$ 0${\displaystyle }$∖ {${\displaystyle {}_{}}$}$$= N 1 ${\displaystyle$ \{1, 2, ...$\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}}$
• 0인 자연어:${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle ...}$ ${\displaystyle \}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ 0 = N ${\displaystyle 0}$∗ ∪ {$$0} {\$displaystyle \;\{0,$1,${\displaystyle 2}$,...$\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}$

또는 자연수는 자연스럽게 정수의 부분 집합을 형성하기 때문에(종종 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로 표시됨),$$ 각각 양수 또는 음수가 아닌 정수로 표시될 수 있습니다.^[32] 0이 포함되었는지 여부를 명확하게 하기 위해 전자의 경우 $위첨자 "$∗ ${\$displaystyle$$*}" 또는 "+"가 추가되고 후자의 경우 아래첨자(또는 위첨자) "0"이 추가됩니다.

${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} : x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}}$

${\displaystyle \{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z}:x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}}$

특성.

이 절에서는 $N$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{N}}$∗ ∪ { 0$$} ${\displaystyle \mathbb$ {N} =$\mathbb {$N} _{0} =$\mathbb$ {$N} ^{*}\cup$0\}를 사용합니다.

추가

자연수의 $집합$ N ${\displaystyle \mathbb {N} }$과 계승 $함수$ S${\displaystyle }$: N → ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbbb {N} }$가 각 자연수를 다음 자연수로 보낸다고 가정하면, 모든 a, b에 대해 +0 = a 및 +S(b) = S(a + b)를 설정하여 재귀적으로 자연수의 덧셈을 정의할 수 있습니다. Thus, a + 1 = a + S(0) = S(a+0) = S(a), a + 2 = a + S(1) = S(a+1) = S(S(a)), and so on. 대수 구조 $({\displaystyle N\mathbb{},+)}$ ${\displaystyle(\mathbb {N},+)}$는 항등 원소 0을 갖는 가환 모노이드입니다. 하나의 발전기에 무료 모노이드입니다. 이 교환 모노이드는 취소 특성을 만족하므로 그룹에 내장할 수 있습니다. 자연수를 포함하는 가장 작은 그룹은 정수입니다.

If 1 is defined as S(0), then b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). 즉, b + 1은 단순히 b의 계승자입니다.

곱셈

유사하게, 덧셈이 정의되었다는 점을 감안할 때 곱셈 연산자$$× ${\displaystyle \times}$는 × 0 = 0 및 × S(b) = (a × b) + a를 통해 정의될 수 있습니다. 이것은 $({\displaystyle {}^{}}$∗, ×) ${\displaystyle(\mathbb {N$} $^{*},\$times)}을 동일 원소 1을 갖는 자유 가환 모노이드로 바꿉니다. 이 모노이드에 대한 생성기 집합은 소수의 집합입니다.

덧셈과 곱셈의 관계

덧셈과 곱셈은 호환되며, 이것은 분배 법칙에 표현됩니다: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). 덧셈과 곱셈의 이러한 속성은 자연수를 교환 반올림의 한 예로 만듭니다. 세미링은 곱셈이 반드시 교환적이지 않은 자연수를 대수적으로 일반화한 것입니다. $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 뺄셈에서 닫히지 않는$$ 것과 동일한 덧셈 반전이 없다는 것은 N ${\$이(가) 링이 아니라 세미링(리그라고도 함)이라는 것을 의미합니다.

자연수를 "0을 제외하고" "1부터 시작"으로 할 경우 +와 ×의 정의는 + 1 = S(a)와 × 1 = a로 시작하는 것을 제외하고 위와 같습니다. 또한 $({\displaystyle N}$∗$,$ +) ${\displaystyle(\mathbb${N$^{*}},+)}$에는 ID 요소가 없습니다.

주문

이 절에서는 ab와 같은 병치된 변수가 곱 a × b를 나타내며 ^[33]표준 연산 순서를 가정합니다.

a + c = b인 다른 자연수 c가 존재하는 경우에만 a ≤ b를 허용함으로써 자연수에 대한 전체 차수를 정의합니다. 이 순서는 다음과 같은 의미에서 산술 연산과 호환됩니다: a, b 및 c가 자연수이고 a ≤ b이면 a + c ≤ b + c 및 ac ≤ b.

자연수의 중요한 성질은 그것들이 잘 배열되어 있다는 것입니다. 모든 자연수의 비어 있지 않은 집합은 최소한의 원소를 가지고 있습니다. 잘 정렬된 집합 중 순위는 순서대로 표시되며, 자연수의 경우 ω(omega)로 표시됩니다.

나누기

이 절에서는 ab와 같은 병치된 변수가 곱 a × b를 나타내며 표준 연산 순서를 가정합니다.

일반적으로 한 자연수를 다른 자연수로 나누고 그 결과로 자연수를 얻는 것은 불가능하지만, 나머지나 유클리드 나눗셈으로 나누는 절차는 다음과 같이 대체할 수 있습니다: b ≠이 0인 임의의 두 자연수 a와 b에 대해 다음과 같은 자연수 q와 r이 있습니다.

${\displaystyle a=bq+r{\text{ and }}r<b.}$

숫자 q를 몫이라 하고 r을 a를 b로 나눈 나머지라고 합니다. 숫자 q와 r은 a와 b에 의해 고유하게 결정됩니다. 이 유클리드 분할은 숫자 이론에서 몇 가지 다른 속성(분할성), 알고리즘(유클리드 알고리즘 등) 및 아이디어의 핵심입니다.

자연수로 만족하는 대수적 성질

위에서 정의한 자연수에 대한 덧셈(+)과 곱셈(×) 연산은 다음과 같은 몇 가지 대수적 성질을 갖습니다.

• 덧셈과 곱셈에 따른 종결: 모든 자연수 a와 b에 대하여, a + b와 a × b는 모두 자연수입니다.^[34]
• 연관성: 모든 자연수 a, b, c에 대하여 a + (b + c) = (a + b) + c 및 a × (b × c) = (a × b) × c
• 가환율: 모든 자연수 a와 b에 대하여 a + b = b + a 및 a × b = b × a
• 항등식 요소의 존재: 모든 자연수 a에 대하여, a + 0 = a 및 a × 1 = a.
  • 자연수를 "0을 제외하고" "1부터"로 하면 모든 자연수 a에 대해 x 1 = a입니다. 그러나 "가법적 동일성 요소의 존재" 속성이 충족되지 않습니다.
• 모든 자연수 a, b, c에 대한 덧셈에 대한 곱셈의 분포, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
• 0이 아닌 0 나눗셈 없음: a와 b가 a × b = 0, a = 0 또는 b = 0(또는 둘 다)이 되는 자연수인 경우.
  • 자연수를 "0 제외"로 하고 "1부터 시작"으로 하면 "0이 아닌 0이 아닌 0의 나눗셈" 속성이 충족되지 않습니다.

일반화

자연수의 두 가지 중요한 일반화는 기수와 순서의 두 가지 사용에서 발생합니다.

• 자연수는 유한 집합의 크기를 표현하는 데 사용될 수 있고, 더 정확히 말하면 기수는 무한 집합에도 적합한 집합의 크기에 대한 척도입니다. 일반적으로 빈 $집합$∅ {\$displaystyle$ \emptyset }을(를$)$ 수용하기 위해 카디널의 번호는 0에서 시작합니다. 이 "크기"의 개념은 집합 사이의 지도에 의존하며, 두 집합 사이에 바이젝션이 존재하는 경우 두 집합이 동일한 크기를 갖도록 합니다. 자연수의 집합 자체와 그에 대한 모든 객관적인 이미지는 셀 수 없이 무한하며 카디널리티 알레프-널(ℵ)을 가지고 있다고 합니다.
• 자연수는 언어적 순서수로도 사용됩니다: "첫 번째", "두 번째", "세 번째" 등. 순서형 번호 부여는 빈 $집합$∅ ${\displaystyle$ $\backslash$emptyset}의 순서형을 수용하기 위해 일반적으로 0에서 시작합니다. 이렇게 하면 완전히 순서화된 유한 집합의 원소와 잘 배열된 무한 집합의 원소에도 할당할 수 있습니다. 이 할당은 계수 가능 이상의 카디널리티를 가진 일반적인 웰 오더링으로 일반화하여 서수를 산출할 수 있습니다. 순서수는 카디널리티와는 다른 의미로 잘 정렬된 집합에 대한 "크기"의 개념을 설명하는 데 사용될 수도 있습니다. 잘 정렬된 두 집합 사이에 (이분사 이상의) 순서 동형이 존재하는 경우, 두 집합은 동일한 순서수를 갖습니다. 자연수가 아닌 첫 번째 순서수는 ω로 표현되며, 이는 자연수 집합 자체의 순서수이기도 합니다.

카디널리티 ℵ의 최소 순서(즉, ℵ의 초기 순서)는 ω이지만 기본 숫자 ℵ을 가진 잘 정렬된 많은 집합은 ω보다 큰 순서 수를 가집니다.

잘 배열된 유한 집합의 경우 순서수와 기수 사이에는 일대일 대응 관계가 있으므로 둘 다 동일한 자연수, 집합의 원소 수로 표현될 수 있습니다. 이 숫자는 또한 더 큰 유한한, 또는 무한한 수열에서 원소의 위치를 설명하는 데 사용될 수 있습니다.

1933년 스콜렘은 페아노 산술(즉, 1차 페아노 공리)을 만족하는 셀 수 있는 비표준 산술 모델을 개발했습니다. 초자연수는 초전력 구축을 통해 일반 자연수로부터 구성할 수 있는 셀 수 없는 모델입니다. 다른 일반화는 개념의 번호 § 확장에서 설명합니다.

조르주 리브(Georges Reeb)는 "순수한 ï 정수는 N ${\displaystyle \mathbb$ {N}}을$채우지$ 않는다"고 도발적으로 주장하곤 했습니다.

형식적 정의

자연수를 공식적으로 정의하는 두 가지 표준 방법이 있습니다. 주세페 페아노의 이름을 딴 첫 번째 이론은 페아노 공리라고 불리는 몇 가지 공리에 기초한 페아노 산술이라고 불리는 자율 공리 이론으로 구성되어 있습니다.

두 번째 정의는 집합 이론을 기반으로 합니다. 자연수를 특정 집합으로 정의합니다. 더 정확히 말하면, 각 자연수 n은 명시적으로 정의된 집합으로 정의되며, 이들의 원소는 다른 집합의 원소를 세는 것을 허용하며, 문장 "집합 S는 n개의 원소를 갖는다"는 것은 두 집합 n과 S 사이에 1:1 대응 관계가 존재한다는 의미입니다.

자연수를 정의하는 데 사용되는 집합은 페아노 공리를 만족합니다. 따라서 페아노 산술에서 진술되고 증명될 수 있는 모든 정리는 집합 이론에서도 증명될 수 있습니다. 그러나 페아노 산술 내부에서는 증명할 수 없는 페아노 산술의 관점에서 진술하고 집합론에서 증명할 수 있는 정리가 존재하기 때문에 두 정의는 동등하지 않습니다. 페르마의 마지막 정리가 유력한 예입니다.

페아노 공리를 만족하는 정수 집합의 정의는 집합 내부 이론의 페아노 산술 모델을 제공합니다. 중요한 결과는 집합 이론이 (일반적으로 추측되는 것처럼) 일관되면 페아노 산술이 일관된다는 것입니다. 즉, 페아노 산술에서 모순이 증명될 수 있다면 집합론은 모순일 것이고, 집합론의 모든 정리는 참이면서 동시에 틀릴 것입니다.

페아노 공리

다섯 가지 페아노 공리는 다음과 같습니다.^[38][j]

1. 0은 자연수입니다.
2. 모든 자연수에는 자연수인 계승자가 있습니다.
3. 0은 어떤 자연수의 계승자가 아닙니다.
4. $x {\displaystyle$ x$}$의 후속자가 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 후속자와 같으면$$$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$는 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$와 같습니다$$$.$
5. 귀납법의 공리: 만약 어떤 문장이 0의 참이고, 어떤 숫자에 대한 그 문장의 참이 그 숫자의 계승자에 대한 그것의 참을 의미한다면, 그 문장은 모든 자연수에 대해 참입니다.

이것들은 페아노가 발표한 원래의 공리가 아니라 그를 기리기 위해 명명된 것입니다. 페아노 공리의 일부 형태는 0 대신 1을 갖습니다. $일반{\displaystyle }$ 산술에서 x ${\displaystyle$ $x$$}$의 후속은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ 1 ${\displaystyle$ x$+1}$입니다$.$

집합론적 정의

직관적으로 자연수 n은 n개의 원소를 갖는 모든 집합의 공통 성질입니다. 따라서 "일대일 대응으로 할 수 있다"는 관계하에 n을 동등성 클래스로 정의하는 것은 당연해 보입니다. 이러한 동등성 클래스는 (러셀의 역설 때문에) 집합이 아니기 때문에 집합 이론에서는 작동하지 않습니다. 표준 솔루션은 자연수 n이라고 불릴 n개의 원소로 특정 집합을 정의하는 것입니다.

존 폰 노이만에 의해 처음으로 다음과 같은 정의가 발표되었지만,^[39] 레비는 1916년에 출판되지 않은 제르멜로의 작품 때문이라고 생각합니다.^[40] 이 정의가 순서수의 정의로서 무한 집합으로 확장되기 때문에 아래에서 고려되는 집합을 폰 노이만 순서수라고 부르기도 합니다.

정의는 다음과 같이 진행됩니다.

• 빈 집합인 0 = { }을(를) 호출합니다.
• 집합 A의 후속 S(a)를 S(a) = ∪ {a}로 정의합니다.
• 무한대의 공리에 의해 0을 포함하고 계승 함수 아래에 닫힌 집합이 존재합니다. 그런 세트는 귀납적이라고 합니다. 모든 귀납 집합의 교집합은 여전히 귀납 집합입니다.
• 이 교차점은 자연수의 집합입니다.

자연수는 다음과 같이 반복적으로 정의됩니다.

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, ..., n−1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}},
• 기타.

자연수는 페아노 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있습니다.

이 정의를 사용하면 자연수 n이 주어지면 문장 "집합 S는 n개의 원소를 갖는다"는 것을 "n에서 S로의 이분사가 존재한다"로 공식적으로 정의할 수 있습니다. 이것은 S의 원소를 세는 동작을 공식화한 것입니다. 또한 n이 m의 부분 집합인 경우에만 n ≤ m입니다. 즉, 집합 포함은 자연수에 대한 일반적인 총 순서를 정의합니다. 이 주문은 주문이 잘 되어 있습니다.

각각의 자연수는 그보다 작은 모든 자연수의 집합과 같다는 정의에 따라 달라집니다. 이 정의는 폰 노이만이 무한대를 포함한 모든 순서수를 정의하는 순서수의 정의로 확장될 수 있습니다: "각각의 순서수는 모든 작은 순서수의 잘 정렬된 집합입니다."

무한대의 공리를 받아들이지 않으면 자연수는 집합을 이루지 못할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 자연수는 여전히 위와 같이 개별적으로 정의될 수 있으며, 여전히 페아노 공리를 만족합니다.

다른 세트 이론적 구성이 있습니다. 특히, 에른스트 제르멜로는 오늘날 역사적인 관심사일 뿐이며, 때때로 제르멜로 서주라고 불리는 건축물을 제공했습니다.^[40] 0을 빈 집합으로 정의하고 S(a) = {a}로 구성됩니다.

이 정의에 따라 각 자연수는 단일 톤 집합입니다. 따라서 기수를 나타내는 자연수의 속성은 직접 접근할 수 없으며 (수열의 n번째 요소인) 순서형 속성만 바로 사용할 수 있습니다. 폰 노이만의 구조와 달리 저멜로 서수는 무한 서수로 확장되지 않습니다.

참고 항목

• 양의 정수의 정준 표현 – 소수의 곱으로 표현
• 셀 수 있는 집합 – 열거할 수 있는 수학적 집합
• Sequence – 다른 집합에 있는 자연수의 함수
• 순서수 – "n번째"를 무한한 경우로 일반화
• 기수 – 가능성이 있는 무한 집합의 크기
• 자연수의 집합론적 정의 – 집합론의 공리

수 체계 복잡한 ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathbb {R}$ 합리적인 ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ 자연의 ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ 0: 0 하나 : 1 소수 합성수 음의 정수 분수 유한 소수 디아딕(유한 이진법) 십진반복 비이성적 대수적 무리수 초월적 가상의

메모들

참고문헌

서지학

외부 링크

• "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.