그룹(수학)

수학에서 그룹(group)은 빈 집합이 아닌 집합으로, 다음 제약 조건을 만족합니다. 연산은 연관적이고, 항등식 요소를 가지며, 집합의 모든 요소는 역요소를 갖습니다.

많은 수학적 구조는 다른 성질을 가진 집단입니다.예를 들어, 덧셈 연산이 있는 정수는 1이라는 단일 요소에 의해 생성되는 무한 그룹입니다(이러한 속성은 정수를 고유한 방식으로 특성화합니다).

군의 개념은 수, 기하학적 형태, 다항식 근과 같은 많은 수학적 구조를 통일적인 방법으로 다루기 위해 정교화되었습니다.군의 개념은 수학 내외의 다양한 영역에 널리 퍼져 있기 때문에, 일부 저자들은 군의 개념을 현대 수학의 중심적인 조직 원리로 간주합니다.^[1][2]

기하학에서 그룹은 대칭 및 기하학적 변환 연구에서 자연스럽게 발생합니다.물체의 대칭은 물체의 대칭군이라 불리는 그룹을 형성하고, 주어진 형태의 변환은 일반적인 그룹을 형성합니다.거짓말 그룹은 기하학의 대칭 그룹과 입자 물리학의 표준 모형에서도 나타납니다.푸앵카레 군은 특수 상대성 이론에서 시공간의 대칭으로 구성된 리 군입니다.점군은 분자 화학에서 대칭성을 설명합니다.

군의 개념은 1830년대에 에바리스트 갈루아(Evarist Galois)를 시작으로 다항식에 대한 연구에서 생겨났습니다. 그는 현재 갈루아 군이라고 불리는 방정식의 근의 대칭군에 대한 군(프랑스어: groupe)이라는 용어를 도입했습니다.수론과 기하학과 같은 다른 분야의 공헌을 거쳐, 1870년경에 집단 개념이 일반화되고 확고하게 확립되었습니다.능동적인 수학 학문인 현대 집단 이론은 집단을 그들 자신의 권리로 연구합니다.그룹을 탐구하기 위해 수학자들은 그룹을 하위 그룹, 몫 그룹, 단순 그룹과 같은 더 작고 더 잘 이해할 수 있는 조각으로 나누는 다양한 개념을 고안했습니다.추상적인 특성 외에도, 그룹 이론가들은 표현 이론의 관점과 계산 그룹 이론의 관점에서 그룹을 구체적으로 표현할 수 있는 다양한 방법을 연구합니다.2004년에 완성된 유한 단순 군의 분류로 절정에 이른 유한 군에 대한 이론이 개발되었습니다.1980년대 중반 이후 기하학적 대상으로서 유한 생성된 군을 연구하는 기하학적 군론이 군론에서 활발한 영역으로 자리 잡았습니다.

대수적 구조 → 군론 군론
기본개념 부분군 정규 부분군 몫군 (반-)직산품 군 동형 사상 알맹이 이미지 직접합계 화환상품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가제의 순환의 아벨리안 이면체의 힘없는 풀 수 있는 액션. 군론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 고리형군n Z 대칭군n S 교대군n A 이면체군n D 사분위수 Q군 코시 정리 라그랑주 정리 슬로우 정리 홀의 정리 p군의 기초 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적
이산형 그룹 격자 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 자유군 모듈형 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 산술군 격자 쌍곡군
위상군과 거짓말군 솔레노이드 원형 일반선형GL(n) 특수선형SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) 사2 바4 마6 마7 마8 로렌츠 푸앵카레 등각 미분동형론 고리 무한차원 리 군 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
대수군 선형대수군 환원군 아벨류 타원 곡선
v t

대수 구조
집단적인 그룹. 세미그룹/모노이드 랙앤쿼들 준군과 고리 아벨 군 마그마 거짓말군 군론
반지같은 울리다 Rng 세미링 니어링 교환환 도메인 적분영역 들판 나눗셈 링 라이링 고리이론
격자 같은 격자 반격자 상보격자 총순서 헤이팅 대수 부울 대수 격자도 격자론
모듈식 모듈 연산자와 그룹화 벡터공간 선형대수
대수적 대수학 연상적인 비연관성 조성대수 리 대수 등급이 매겨진 쌍대하학 호프 대수학
v t

정의 및 설명

첫번째 예: 정수

더 익숙한 그룹 중 하나는 정수들의 집합입니다.

합하여^[3]For any two integers ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$, the sum${\displaystyle a+b}$ is also an integer; this closure property says that ${\displaystyle +}$ is a binary operation on ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. The following properties of integer addition serve as a model for the group axioms in the definition below.

• $모든$ 정수 $a$ ${\displaystyle a$ b ${\displaystyle b}$ 및 $c$ ${\displaystyle c}$에 대해$$(${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b)}$+ ${\displaystyle c}$ = a${\displaystyle }$+ $($b + c) {\displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}가 있습니다.Expressed in words, adding ${\displaystyle a}$ to ${\displaystyle b}$ first, and then adding the result to ${\displaystyle c}$ gives the same final result as adding ${\displaystyle a}$ to the sum of ${\displaystyle b}$ and ${\displaystyle c}$.이 속성을 연관성이라고 합니다.
• ${\displaystyle a}$이(가) 정수이면 0${\displaystyle }$+ ${\displaystyle a}$ = ${\$$displaystyle$ 0$+$a=a}이고 + 0 = {\displaystyle a+0=a}입니다. 0은 임의의 정수에 추가하면 동일한 정수가 반환되므로 덧셈의 ID 요소라고 불립니다.
• 모든 정수 $a$ ${\displaystyle a}$에 대해$$$a{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ = 0${\$$displaystyle$ a+b=0}, b + a = 0 {\displaystyle b+a=0}과 같은 $정수$ b$${\$displaystyle b}$가 있습니다.정수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 정수 a {\$displaystyle a}$의 역 요소라고 하며$$${\displaystyle -a}$로 표시합니다$.$

정수는 연산 +${\displaystyle +}$과 함께 유사한 구조적 측면을 공유하는 넓은 클래스에 속하는 수학적 개체를 형성합니다$.$이들 구조를 집합체로서 적절히 이해하기 위해 다음과 같은 정의를 개발합니다.

정의.

A group is a non-empty set ${\displaystyle G}$ together with a binary operation on ${\displaystyle G}$, here denoted "${\displaystyle \cdot }$", that combines any two elements ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ of ${\displaystyle G}$ to form an element of ${\displaystyle G}$, denoted ${\displaystyle a\cdot b}$, such that the follo그룹 공리(group axioms)로 알려진 윙 3가지 요건이 충족됩니다.^[5][6][7][a]

연상성

For all ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle G}$, one has ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

아이덴티티 요소

There exists an element ${\displaystyle e}$ in ${\displaystyle G}$ such that, for every ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$, one has ${\displaystyle e\cdot a=a}$ and ${\displaystyle a\cdot e=a}$.

이러한 요소는 고유합니다(아래 참조).그것은 그룹의 아이덴티티 요소라고 불립니다.

역요소

For each ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$, there exists an element ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle G}$ such that ${\displaystyle a\cdot b=e}$ and ${\displaystyle b\cdot a=e}$, where ${\displaystyle e}$ is the identity element.

각 ${\displaystyle a}$에 대해 요소 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$는$($아래 참조) 고유합니다. 요소$b$는 {\displaystyle $a}$의 역으로 불리며$$ 일반적으로${\displaystyle {-1}^{}}${\$displaystyle$ a$^{-1}}$로 표시됩니다$.$

표기법과 용어

공식적으로, 군은 집합의 순서 쌍이며 군 공리를 만족시키는 이항 연산입니다.집합을 그룹의 기본 집합이라고 하고, 연산을 그룹 연산 또는 그룹 법칙이라고 합니다.

따라서 그룹과 그룹의 기본 집합은 서로 다른 두 개의 수학적 개체입니다.번거로운 표기법을 피하기 위해 같은 기호를 사용하여 둘 다 표기하는 것이 일반적입니다.이것은 또한 비공식적인 사고 방식을 반영합니다: 작업에 의해 제공된 추가적인 구조에 의해 그룹이 풍부해진 것을 제외하고는 그룹이 집합과 동일하다는 것입니다.

For example, consider the set of real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$, which has the operations of addition ${\displaystyle a+b}$ and multiplication ${\displaystyle ab}$. Formally, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is a set, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ is a group, and ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,$$\cdot}$은(는) 필드입니다.그러나 이 세 개체 중 하나를 나타내기 위해$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 쓰는 것이 일반적입니다.

필드 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 추가 그룹은 기본 집합이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이고 연산이 추가인 그룹입니다$$.필드 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$의 곱셈 $그룹$은 0이 아닌 실수 ${\displaystyle \mathrm{R}}$ ∖ {0} {\$displaystyle \mathbb {R}^{\times}}$이며 연산이 곱셈인 그룹 R ×${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \mathbb$ {$R}$ \smallset minus$$\{0\}입니다.

더 일반적으로, 사람은 그룹 연산이 덧셈으로 표기될 때마다 덧셈 그룹을 말합니다. 이 경우, 아이덴티티는 $일반적$으로 0 ${\displaystyle 0}$으로 표시되고$,$ $요소{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x$}의 역은${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$로 표시됩니다$.$ 마찬가지로, 그룹 연산이 mu로 표기될 때마다 곱셈 그룹을 말합니다.곱셈; 이 경우, 아이덴티티는 $일반적$으로$$1 {\$displaystyle 1}$로 표시되고$$$요소$x {\$displaystyle$ x$}$의 $역$은${\displaystyle {\mathrm{x}}^{}}$ -$$1 {\$displaystyle$ x$^{-1}$로$$표시됩니다. 곱셈 그룹에서, 연산 기호는 일반적으로 완전히 생략되므로, $연산$은 병치 ${\displaystyle \mathrm{위치}}$로 ${\displaystyle \mathrm{표시}}$됩니다.$$⋅ $b$ {\disp 대신 b ${\displaystyle ab}$$laystyle a\cdot$ b$\}.$

그룹의 정의에서는 G {\displaystyle G}의 모든 요소 a {\displaystyle a} 및 b {\displaystyle b}에 대해 ⋅ $b$ = ${\displaystyle b}$ ⋅ {\$displaystyle$ a\$cdot$ b = b\cdot a}를 필요로 하지 않습니다. 이 추가 조건이 유지되면 연산이 교환 연산이라고 하며 그룹을 아벨리안 그룹이라고 합니다.아벨리안 그룹의 경우 덧셈 또는 곱셈 표기법을 사용할 수 있지만, 비아벨리안 그룹의 경우 곱셈 표기법만 사용되는 것이 일반적인 관례입니다.

요소가 숫자가 아닌 그룹에는 일반적으로 다른 몇 가지 표기법이 사용됩니다.요소가 함수인 그룹의 경우, 연산은 종종 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ 구성 $f$∘ g ${\displaystyle f\$circ$$g}이(가) 됩니다. 그러면 ID가 id로 표시될 수 있습니다.기하 변환 그룹, 대칭 그룹, 순열 그룹 및 자동 변형 그룹의 보다 구체적인 경우에는 다중 그룹과 마찬가지로 $기호$∘ {\$displaystyle$\circ}이(가) 생략되는 경우가 많습니다.다른 많은 표기법의 변형을 만날 수 있습니다.

두번째 예: 대칭군

회전, 반사, 번역의 조합을 사용하여 하나를 다른 하나로 바꿀 수 있다면 평면의 두 도형은 일치합니다.어떤 수치라도 그 자체와 일치합니다.그러나 어떤 도형들은 하나 이상의 방법으로 그들 자신과 일치하며, 이러한 추가적인 합동은 대칭이라고 불립니다.정사각형은 8개의 대칭을 갖습니다.다음과 같습니다.

사각형의 대칭군의 원소 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$ _${4}}.$꼭짓점은 색 또는 숫자로 구분됩니다.

${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\$ \$mathrm$ {$id}}($그대로 유지)$$	${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle r_{1}}($시계방향으로${\displaystyle {\mathrm{90°\; rot}}_{}}$ation)	${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ation)	${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$ ${\displaystyle r_{3}}($시계방향으로 ${\displaystyle {\mathrm{270°\; rot}}_{}}$ation)
${\displaystyle {fv}_{}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {$tical 반사)	${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {$rizon 반사)	${\displaystyle {fd}_{}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {$gonal 반사)	${\displaystyle {fc}_{}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c$gonal 반사)

• 모든 것을 변경하지 않고 그대로 둔 신원 확인 작업.
• 정사각형의 중심을 시계 방향으로 90°, 180°, 270° 회전하고, 각각$$${\displaystyle {r1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {r2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {r3}_{}}$ ${\$로 표시됩니다.
• reflections about the horizontal and vertical middle line (${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ and ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$), or through the two diagonals (${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ and ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$).

이 대칭들은 함수들입니다.각각은 제곱에 있는 한 점을 대칭 아래에 있는 해당 점으로 보냅니다.예를 들어, $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 사각형의 중앙을 중심으로 시계 방향으로 90° 회전에 점을 보내고$$, ${\displaystyle {fh\mathrm{}}_{}}$ ${\$는) 사각형의 수직 중간선을 따라 반사에 점을 보냅니다$$.이 대칭들 중 두 개를 구성하는 것은 또 다른 대칭을 제공합니다.이 대칭들은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 표시되는 4도의 이면체 군이라고 불리는 군을 결정합니다$.$그룹의 기본 집합은 위의 대칭 집합이며 그룹 연산은 함수 구성입니다.^[8]함수로 구성하여 두 대칭을 결합합니다. 즉, 첫 번째 대칭을 정사각형에 적용하고, 첫 번째 대칭을 적용한 결과에 두 번째 대칭을 적용합니다.$먼저$ ${\displaystyle a}$를 수행한 다음 b ${\displaystyle b}$를 ${\displaystyle \mathrm{수행}}$한 결과를 b ∘ $a$ ${\displaystyle b$\circa}($a {\displaystyle$ a} 수행 후 대칭 b ${\displaystyle$ b$}$ 적용)로 오른쪽에서 왼쪽으로 기호로 씁니다.이것은 함수의 구성에 대한 일반적인 표기법입니다.

그룹 테이블에는 가능한 모든 구성의 결과가 나열됩니다.예를 들어 시계방향으로 270° 회전(${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$한 다음 수평으로 반사($$${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\$하는 것은 대각선을 따라 반사(${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ d {\$displaystyle f_{\mathrm {$d}})하는 것과 같습니다$.$그룹 테이블에서 파란색으로 강조 표시된 위 기호 사용:

${\displaystyle {}_{}}$의$$그룹 $테이블$ {\$displaystyle \mathrm {D}$ _{$4}}$

${\displaystyle \circ}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$
${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d}}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h}}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id}}$
요소 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\$ ${\displaystyle {r1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {r2\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {r3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 그룹 테이블이 강조 표시된 부분군을 구성합니다$$. 빨간색(왼쪽 위 영역).이 부분군의 왼쪽과 오른쪽 부분군은 각각 녹색(마지막 행)과 노란색(마지막 열)으로 강조 표시됩니다.구성 ${\displaystyle f_{}}$ ∘ r 3 {\$displaystyle f_{\mathrm {h}}\circ$r_{3}, 대칭$fd$ {\$displaystyle f_{\mathrm$d}}의 결과가 파란색으로 강조 표시됩니다(테이블 중심 아래).

이 대칭들의 집합과 설명된 연산을 고려할 때, 그룹 공리는 다음과 같이 이해될 수 있습니다.

이진 연산:합성은 이진 연산입니다.$즉$, ∘ b ${\displaystyle a\$circ b}는$${\$displaystyle$ $}$와 b${\displaystyle$b} 두$대칭$에 대한 대칭입니다. 예를 들어,

즉, 수평으로 반사한 후 시계 방향으로 270° 회전하는 것은 카운터 diagonal을 따라 반사하는 것과 같습니다$fc$ {\$displaystyle f_{\mathrm$ {c$}}).$실제로 그룹 테이블을 사용하여 확인할 수 있듯이 두 대칭의 다른 모든 조합은 여전히 대칭을 제공합니다.

연관성:연관성 공리는 두 개 이상의 대칭을 구성하는 것을 다룹니다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle${$D}$$$_$\{$$}}$의 {\$displaystyle$ $},$ b {\displaystyle $b}$ 및$$ c {\$displaystyle c}$ $세{\displaystyle }$ 요소로 시작하여 이 세 대칭을 사용하여 정사각형의 대칭을 결정하는 두 가지 방법이 있습니다$.$이러한 방법 중 하나는 먼저 ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$를 단일 대칭으로$$ 구성한 다음 c ${\displaystyle c}$로 해당 대칭을 구성하는 것입니다$.$다른 방법은 먼저 $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle b}$와 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$를 구성한 $다음{\displaystyle }$ $\{\backslash$$displaystyle$ a$}$로 $결과$ 대칭을 구성하는 것입니다$.$이 두 가지 방법은 항상 동일한 결과를 제공해야 합니다. 즉,

예를 들어$,$ (${\displaystyle {fd}_{}}$ ∘ ${\displaystyle fv}$ )${\displaystyle }$∘ ${\displaystyle r}$ 2 = $fd$ ∘ (fv ∘ r 2 ) {\displaystyle (f_{\mathrm {d}}\circ f_{\mathrm {v}}\circ r_{2}=f_{\mathrm {d}\circ r_{2}}\circ r_{2}}는 그룹 테이블을 사용하여 확인할 수 있습니다.

ID 요소:ID 요소는 {\$displaystyle \mathrm {id}}$입니다$.$ 왼쪽 또는 오른쪽에서 구성해도$${\$displaystyle a}$ 대칭을 변경하지 않기$$ $때문$입니다.

Inverse element: Each symmetry has an inverse: ${\displaystyle \mathrm {id} }$, the reflections ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$, ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$, ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$, ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ and the 180° rotation ${\displaystyle r_{2}}$ are their own inverse,두 번 공연하면 광장이 원래의 방향으로 되돌아가기 때문입니다.$회전자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 r ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 서로의 역수입니다$$. 90° 회전한 다음 270° 회전(또는 그 반대)하면 360° 이상 회전할 수 있으므로 사각형은 변하지 않습니다.이것은 표에서 쉽게 확인할 수 있습니다.

In contrast to the group of integers above, where the order of the operation is immaterial, it does matter in ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$, as, for example, ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ but ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$. In other words,${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\$은(는) belian이 아닙니다.

역사

추상적 집단의 현대적인 개념은 수학의 여러 분야에서 발전했습니다.^[9][10][11]군론의 원래 동기는 4도보다 높은 다항식의 해를 찾는 것이었습니다.파올로 뤼피니와 조제프 루이 라그랑주의 선행 연구를 확장한 19세기 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아는 특정 다항식의 근(해)의 대칭군의 관점에서 해결 가능성에 대한 기준을 제시했습니다.이러한 갈루아 군의 원소는 근의 특정 순열에 해당합니다.처음에, 갈루아의 생각은 그의 동시대 사람들에 의해 거절되었고, 사후에만 출판되었습니다.^[12][13]더 일반적인 순열 그룹은 특히 오거스틴 루이스 코시에 의해 조사되었습니다.Arthur Cayley의 군론에 따르면, 기호 방정식 θ n = 1 ${\displaystyle$\theta ^{n}= 1} (1854)은 유한 군의 첫 번째 추상적 정의를 제공합니다.

기하학은 펠릭스 클라인의 1872년 에를랑겐 프로그램의 일부로서 특히 대칭 그룹이 체계적으로 사용된 두 번째 분야였습니다.^[15]쌍곡 기하학과 투영 기하학과 같은 새로운 기하학이 등장한 후, 클라인은 더 일관성 있는 방법으로 그것들을 정리하기 위해 집단 이론을 사용했습니다.이러한 생각을 더욱 발전시켜, 소푸스 리는 1884년에 리 군에 대한 연구를 설립했습니다.^[16]

집단 이론에 기여한 세 번째 분야는 수론이었습니다.특정 아벨 군 구조는 칼 프리드리히 가우스의 수론적 연구인 산술학(Disquisitiones Armeticae, 1798)에서 암시적으로 사용되었고, 레오폴드 크로네커에 의해 더 명확하게 사용되었습니다.^[17]1847년 에른스트 쿠머는 소수로 인수분해를 설명하는 그룹을 개발함으로써 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 초기 시도를 했습니다.^[18]

이러한 다양한 출처들의 집단의 균일한 이론으로의 융합은 카미유 조단의 Traité des substitutions et de quation algébric (1870)에서 시작되었습니다.^[19]발터 폰 다이크(Walder von Dyck, 1882)는 생성기와 관계를 이용하여 군을 특정하는 아이디어를 도입하였으며, 또한 당시 용어로 "추상군"의 공리적 정의를 내린 최초의 사람이기도 합니다.^[20]20세기 현재, 그룹은 유한 그룹의 표현 이론, 리차드 브라우어의 모듈러 표현 이론, 그리고 이사이 슈어의 논문을 연구한 페르디난트 게오르크 프로베니우스와 윌리엄 번사이드의 선구적인 연구에 의해 널리 인정을 받았습니다.^[21]Hermann Weyl, Ellie Cartan 등 많은 사람들이 Lie 그룹, 그리고 더 일반적으로 국소적으로 콤팩트한 그룹의 이론을 연구했습니다.^[22]대수적 대응물인 대수군 이론은 클로드 체발리(1930년대 후반부터)에 의해 처음 형성되었고, 나중에 아르망 보렐과 자크 티츠의 작업에 의해 형성되었습니다.^[23]

1960-61년 시카고 대학의 그룹 이론의 해에는 다니엘 고렌스타인, 존 G 등의 그룹 이론가들이 모였습니다. Thompson과 Walter Feit는 2004년에 Aschbacher와 Smith가 마지막 단계를 밟으면서 수많은 다른 수학자들의 입력으로 유한한 단순 그룹의 분류로 이어진 공동 작업의 기초를 마련했습니다.이 프로젝트는 증명 기간과 연구원 수 모두에서 순수한 크기로 이전의 수학적 노력을 능가했습니다.이 분류 증명에 대한 연구가 진행 중입니다.^[24]그룹 이론은 아래의 예가 보여주듯이 다른 많은 분야에 영향을 미치는 ^[b]매우 활발한 수학 분야로 남아 있습니다.

군 공리의 기본적인 결과

군 공리로부터 직접 얻을 수 있는 모든 군에 대한 기본적인 사실은 일반적으로 기초 군 이론 아래에 포섭됩니다.^[25]예를 들어, 연관성 공리의 반복적인 적용은 다음과 같은 명확성을 보여줍니다.

세 개 이상의 요인으로 일반화됩니다.이러한 일련의 항 내 어디에나 괄호를 삽입할 수 있음을 의미하기 때문에 괄호는 일반적으로 생략됩니다.^[26]

아이덴티티 요소의 고유성

$그룹$ 공리는 ID 요소가 고유하다는 것을 의미합니다. e ${\displaystyle e}$ 및 f ${\displaystyle f}$가 그룹의 ID 요소라면 e = $e$ ⋅${\displaystyle }$f =$$f${\$displaystyle e=e\cdot f=f}이므로 ID를 말하는 것이 일반적입니다.

역의 고유성

또한 그룹 공리는 각 요소의 역수가 고유하다는 것을 의미합니다. 만약 그룹 $요소{\displaystyle }$ a$${\$displaystyle a}$가 b$${\$displaystyle b}$와 c$${\$displaystyle c}$을(를) 모두 역수로$$ 갖는다면$$,

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdote&{\text{(}}e{\text{는 identity 요소입니다.)}}\&=b\cdot (a\cdot c)&{\text{(}c{\text{는 역수)}}\&=(b\cdota)\cdot c&{\text{(연관성)}}\&=e\cdot c&{\text{(}}b{\text{는 역)}}\&=c&{\text{(}}e{\text{가 identity 요소임)}}\end{aligned}}$

따라서 요소의 역을 말하는 것이 일반적입니다.^[27]

나눗셈

Given elements ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ of a group ${\displaystyle G}$, there is a unique solution ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G}$ to the equation ${\displaystyle a\cdot x=b}$, namely ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$.^[c][28] It follows that for each ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$, the function ${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to G}$ that maps each ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle a\cdot x}$ is a bijection; it is called left multiplication by ${\displaystyle a}$ or left translation by ${\displaystyle a.}$

Similarly, given ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$, the unique solution to ${\displaystyle x\cdot a=b}$ is ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$. For each ${\displaystyle a}$, the function ${\displaystyle G\to G}$ that maps each ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle x\cdot a}$ is a bijection called right multiplicati${\$$displaystyle a}$을(를${\displaystyle )}$ 사용하거나 a. {\$displaystyle$ a$.}$을(를) 오른쪽 변환합니다.

완화된 공리와 동등한 정의

동일성과 역에 대한 집단 공리는 왼쪽 동일성과 왼쪽 역의 존재만을 주장하기 위해 "약화"될 수 있습니다.이들 편면 공리로부터, 왼쪽 항등식도 오른쪽 항등식이고 왼쪽 역등식도 같은 원소에 대한 오른쪽 항등식이라는 것을 증명할 수 있습니다.그룹과 정확히 동일한 구조를 정의하기 때문에 전체적으로 공리가 약하지 않습니다.^[29]

In particular, assuming associativity and the existence of a left identity ${\displaystyle e}$ (that is, ${\displaystyle e\cdot f=f}$) and a left inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ for each element ${\displaystyle f}$ (that is, ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$),모든 왼쪽 역수는 다음과 같이 같은 원소의 오른쪽 역수임을 보여줄 수 있습니다.^[29]정말로, 한 사람은

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&{\text{(왼쪽 아이덴티티)}}\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&{\text{(왼쪽 역)}}\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&{\text{(연관성)}}\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&{\text{(왼쪽 역)}}\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&{\text{(왼쪽 아이덴티티)}}\&=e&{\text{(왼쪽 역)}}\end{aligned}}$

마찬가지로 왼쪽 아이덴티티 또한 오른쪽 아이덴티티입니다.^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&{\text{(왼쪽 역)}}\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&{\text{(연관성)}}\&=e\cdot f&{\text{(오른쪽 역)}}\&=f&{\text{(왼쪽 아이덴티티)}}\end{aligned}}$

이러한 증명에는 세 가지 공리(연관성, 좌동일성의 존재 및 좌반역의 존재)가 모두 필요합니다.예를 들어 정의가 느슨한 구조(반군과 같은)의 경우 왼쪽 항등식이 반드시 올바른 항등식은 아닐 수 있습니다.

바른 동일성과 바른 역의 존재만 가정하면 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

그러나 왼쪽 항등식과 오른쪽 역등식의 존재를 가정하는 것만으로는 그룹을 정의하기에 충분하지 않습니다.예를 들어 $연산자$ ⋅가 ${\displaystyle$ \$cdot$}이고 e ⋅ e = f ⋅ e = e {\displaystyle e\cdot e= f\cdot e= e} 및 e ⋅ f = f ⋅ f = f {\displaystyle e\cdot f= f\cdot f= f}를 만족하는 집합 $G$ =${\displaystyle }${${\displaystyle e}$,$$f$}$를 생각합니다.이 구조에는 왼쪽 ID(즉, $e {\displaystyle$ e$})$가 있고 $$각 요소에는 오른쪽 반전(두 요소 모두에 $대해$ $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ e$})$이 있습니다.또한 이 작업은 연관성이 있습니다(이러한 작업이 수행되는 순서에 관계없이 임의의 수의 요소의 제품은 항상 해당 제품의 가장 오른쪽 요소와 동일하기 때문입니다).그러나 올바른 ID가 없으므로$$($G$⋅) {\$displaystyle$(G$,\$cdot)}은(는) 그룹이 아닙니다.

기본개념

집합을 공부할 때 부분집합, 함수, 동치 관계에 의한 몫 등의 개념을 사용합니다.그룹을 연구할 때 하위 그룹, 동형 사상 및 몫 그룹을 대신 사용합니다.이것들은 그룹 구조를 고려한 유사어들입니다.^[d]

군 동형 사상

그룹 동형화는^[e] 그룹 구조를 존중하는 함수이며, 두 그룹을 연관시키는 데 사용될 수 있습니다.$그룹$($,$$$⋅) {\$displaystyle$ (G$,\$cdot)}에서 $그룹$ $H,$ ∗$)$ ${\$displaystyle (H,*)}로의 동형은 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ φ${\displaystyle :}$ G → H ${\displaystyle \$varphi \colon G\to H}:

또한${\displaystyle {}_{}}$φ {\displaystyle$$\varphi}이${\displaystyle (}$가) ${\displaystyle {}_{}}$를 ${\displaystyle {존중}_{}}$하고 φ(1G) = $1H {\displaystyle \$varphi(1_{G}) = 1_{$H$ 그리고 그 역은 G${\displaystyle {}^{}}${\displaystyle G}의 모든 {\displaystyle a}에 대해 $φ$${\displaystyle {}^{}}$(a - 1 ) $=$$$$φ$ (a ) - $1$$${\$displaystyle$ \varphi (a^{-1}) $=$\varphi (a)^{-1}입니다. 그러나 이러한 추가 요구 사항은 그룹 연산을 존중하는 요구 사항에 의해 이미 암시되었기 때문에 동형 정의에 포함될 필요는 없습니다.

그룹 $G$ ${\displaystyle G}$의 동일 동형은 G ${\displaystyle$ G}의 각$요소$를 자신에게 매핑하는 동형${\displaystyle {}_{}}$ι G : G → G ${\displaystyle \iota$ _{$G}\colon$G\to G}입니다.An inverse homomorphism of a homomorphism ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ is a homomorphism ${\displaystyle \psi \colon H\to G}$ such that ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ and ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$, that is, such that ${\displaystyle \psi {\bi$$gl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ for all ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ and such that ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ for all ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle H}$. An isomorphism is a homomorphism that has an inverse homomorphism; equivalently, it is a bijective homomorphism.Groups ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle H}$ are called isomorphic if there exists an isomorphism ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$. In this case, ${\displaystyle H}$ can be obtained from ${\displaystyle G}$ simply by renaming its elements according to the function ${\displaystyle \varphi }$; then any statement true for ${\$$문$에 언급된 특정 요소의 이름도 변경되는 경우$$h ${\displaystyle$ H$}$에 대해 $displaystyle$G}이$$(가) 참입니다.

모든 그룹의 집합은 그들 사이의 동형사상과 함께 하나의 범주, 즉 그룹의 범주를 구성합니다.^[31]

주입 동형${\displaystyle {}^{}}$ϕ : G' → G {\displaystyle $\phi$\colon G'\to G} 인자를 동형으로 표준화하고 포함, G → ~ H ↪ G {\displaystyle G$'\;{\$stackrel {\sim }{\to }}\;G의 일부 부분군 H에 대한$$ $H\$후크 $오른쪽$ 화살표 $G}.$주입형 동형은 군 범주의 단형입니다.

부분군

비공식적으로 부분군은 더 큰 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 내에 포함된$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 그룹입니다$.$ 이 그룹은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 요소의 부분 집합을 가지고$$있으며 동일한 작업을 수행합니다.^[32]Concretely, this means that the identity element of ${\displaystyle G}$ must be contained in ${\displaystyle H}$, and whenever ${\displaystyle h_{1}}$ and ${\displaystyle h_{2}}$ are both in ${\displaystyle H}$, then so are ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ and ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$, so the elements of ${\displaystyl$$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$로 제한된$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$에 $대한$ 그룹 작업이 장착된$$$eH}$은$($는) 실제로 그룹을 구성합니다.이 경우, 포함 맵 $H$ → ${\displaystyle G}$ {\$displaystyle$ $H\to G}$는 동형 사상입니다.

정사각형의 대칭 예제에서, 항등식과 회전은 $부분군$ R = {$id,$ r 1, r 2, r 3 } {\displaystyle R =\{\mathrm {id},r_{1},r_{2},r_{3}\}, 예제의 그룹 테이블에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 구성된 모든 두 회전은 여전히 회전이며, 회전은 (즉, 완전체와 역으로) 되돌릴 수 있습니다.90°일 때 270°, 180°일 때 180°, 270°일 때 90° 회전합니다.부분군 테스트는 그룹 G의 비어 있지 않은 부분군 H가 부분군이 되기 위한 필요충분조건을 제공합니다. H $\{\backslash$displaystyle H}의 모든$요소 g${\$displaystyle$g} 및 h ${\$ h}에 $대해$ g${\displaystyle {}^{}\mathrm{-1}}$⋅ h ∈ H ${\displaystyle g^{-$1}\cdoth\in H}을(를) 확인하면 충분합니다.그룹의 하위 그룹을 아는 것은 그룹 전체를 이해하는 데 중요합니다.^[f]

G $그룹{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 임의의 $부분{\displaystyle }$ 집합$$S {\$displaystyle$ S}이$($가) $주어졌을{\displaystyle }$ 때$,$ S {\displaystyle $S}$에 의해 생성된 $부분{\displaystyle }$ 집합은 S {\$displaystyle$ S$}$의 요소와 그 역의 모든 곱으로 구성됩니다$.$It is the smallest subgroup of ${\displaystyle G}$ containing ${\displaystyle S}$.^[33] In the example of symmetries of a square, the subgroup generated by ${\displaystyle r_{2}}$ and ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ consists of these two elements, the identity element ${\displaystyle \mathrm {id} }$, and the element ${\displa$$ystyle f_{\mathrm {h}$ $=$ $f_${\$mathrm {v} }\cdot r_{2$ 다시 말해서, 이것은 부분군입니다. 왜냐하면 이들 4개의 원소 또는 그 역들 중 임의의 2개를 결합하면 이 부분군의 원소가 나오기 때문입니다.

코스세트

주어진 부분군의 요소별로 다른 경우에는 두 그룹 요소를 동일하게 간주하는 것이 좋습니다.예를 들어, 정사각형의 대칭군에서, 일단 반사가 행해지면, 회전만으로는 정사각형을 원래의 위치로 되돌릴 수 없기 때문에, 정사각형의 반사된 위치는 모두 동일하다고 생각할 수 있습니다.그리고 반사되지 않은 위치와 동등하지 않습니다. 회전 작업은 반사가 수행되었는지 여부에 대한 질문과 무관합니다.이 통찰력을 공식화하는 데에는 $부분군{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$가 좌/우 부분군 H를 결정하는데, 임의의 그룹 요소 g {\$displaystyle g}$이($가$)$$H ${\$$displaystyle H}$의 변환으로 간주할$$수 $있습니다{\displaystyle }$. 기호적인 용어로, g ${\displaystyle g}$ 요소를 포함하는$$$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 좌/우 부분군은 다음과 같습니다$.$

모든 부분군 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 왼쪽 부분군 집합은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 파티션을 형성합니다$.$ 즉, 모든 왼쪽 부분군 집합의 $합$이$$G {\$displaystyle G}$과(와) 같거나$$ 두 왼쪽 부분군 집합의 교집합이 비어 있습니다.^[35]첫 번째 경우 $g$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ $g_{1}$$H=g_{2}$$H}$ happens precisely when ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$, i.e., when the two elements differ by an element of ${\displaystyle H}$. Similar considerations apply to the right cosets of ${\displaystyle H}$. The left cosets of ${\displaystyle H}$ may or may not be the same as its right cosets.(즉, $G$ ${\displaystyle G}$의 $모든$ g ${\displaystyle g}$이(${\displaystyle 가}$) H =$Hg {\$displaystyle gH=Hg}을(를) 만족하는 경우) H {\displaystyle H}은(는) 정상 부분군이라고 합니다.

In ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$, the group of symmetries of a square, with its subgroup ${\displaystyle R}$ of rotations, the left cosets ${\displaystyle gR}$ are either equal to ${\displaystyle R}$, if ${\displaystyle g}$ is an element of ${\displaystyle R}$ itself, or otherwise equal to ${\displays$$tyle U=$f_${\mathrm$ {c$}}$R$=$\{$f_${\$mathrm${c$}},f_{\mathrm {d$}},f_{\mathrm {h}\}}(D4 {\displaystyle \mathrm {D} _{4}의 그룹 테이블에서 녹색으로 $highlight$됨).부분군 $R$ ${\displaystyle R}$은(는) 정상입니다. ${\displaystyle {fc}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ = U = ${\displaystyle {}_{}}$ c$${\displaystyle f_{\mathrm {c}}}, 그리고 그룹의 다른 요소들에 대해서도 마찬가지입니다.(실제로 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$의 경우$$반사에 의해 생성된 코셋은 모두 같습니다: f $h$ ${\displaystyle R_{}}$ = f ${\displaystyle v_{}}$ R =${\displaystyle }$f d ${\displaystyle R_{}}$ = f $R {\mathrm${h}$$=$f_${\mathrm {v} = f_{\mathrm {d} } R = f_{\mathrm {c} } R . f_{\mathrm {c} } R}

몫군

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이라고 가정하고$,$

는 해당 코셋 집합을 나타냅니다.그런 $다음$ G${\displaystyle /N}$ ${\displaystyle$ G$/N}$에 고유한 그룹 법칙이 있으며, G → ${\displaystyle G}$/${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ G\$to G/N}$이(가) 각 요소 $g$ ${\$$displaystyle gN}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{gN}}$ {\$displaystyle gN}$에 보내는 맵 $G$가 동형입니다.명시적으로 ${\displaystyle \mathrm{gN}}$ ${\displaystyle gN}$과 ${\displaystyle \mathrm{hN<img\; alt="gN"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline\; mw-invert"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cd554e0bd9bf40da2dac81a62a5c954d56d3aa74"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:3.18ex;\; height:2.509ex;">}}$ ${\displaystyle hN}$의 두 코세트의 곱은 $({\displaystyle \mathrm{gh})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle(gh)$입니다.$N}$, the coset ${\displaystyle eN=N}$ serves as the identity of ${\displaystyle G/N}$, and the inverse of ${\displaystyle gN}$ in the quotient group is ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)$$N$ "$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 모듈$$ N ${\displaystyle N}"$로 읽히는$$그룹 $G{\displaystyle /N}$ ${\displaystyle$ G$/N}$을($$^[36]를) 몫 그룹 또는 요인 그룹이라고 합니다.몫 그룹은 범용 속성으로 구성될 수도 있습니다.

${\displaystyle 몫}$ 그룹 $D{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}}$R ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$의 그룹 테이블

${\displaystyle \cdot}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle R}$

몫 그룹 $D$ ${\displaystyle {}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$의 요소는 $R$ ${\displaystyle R}$이고 $U$ = f ${\displaystyle v_{}}$ R ${\displaystyle$U =$f_{\mathrm {v}}$입니다$.$ 몫에 대한 그룹 작업이 표에 나와 있습니다.For example, ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$. Both the subgroup ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ and the quotient ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ are abelian,그러나 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 아닙니다.때때로 그룹은 부분군 및 몫(일부 추가 데이터 포함)에서 반직접 곱 구성에 의해 재구성될 수 있습니다. ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 예입니다.

첫 번째 동형 정리는 임의의 ${\displaystyle \mathrm{주관적}}$ 동형${\displaystyle }$ϕ을 의미합니다: G → H {\$displaystyle$ \phi \colon G\to H} 인자들이 표준적으로 몫 동형으로 이어짐을 의미합니다. G → G / ker ⁡ ϕ → ~ H {\displaystyle G\to G/\ker \phi \; {\stackrel {\sim }{\to }}\;$H$ 주관적 동형사상은 군의 범주에 속하는 상형사상입니다.

프레젠테이션

모든 군은 여러 가지 면에서 자유 군의 몫과 동형입니다.

예를 들어, ${\displaystyle {}_{}}$에서 직각$$ 회전 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$\mathrm${$D}$ $_{4$$}}$과 반사 f ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의해$$ 다면체 그룹 $D{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 모든 요소는 이들과 그 역의 복사본의 유한 곱입니다.Hence there is a surjective homomorphism φ from the free group ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ on two generators to ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ sending ${\displaystyle r}$ to ${\displaystyle r_{1}}$ and ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle f_{1}}$. Elements in ${\displaystyle \ker \phi }$ are called relations;예를 들어 $r$ ${\displaystyle 4^{}}$ f ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle (r^{}}$ ⋅ f ) 2 {\$displaystyle$r^{$4},f^{2$},($r\cdot$f)^{2} 등이 있습니다. 사실${\displaystyle ,}$ $ker$⁡ ϕ {\displaystyle$$\ker \phi }는 이 세 요소를 포함하는 ⟨$r,$ f ⟩ {\displaystyle \langer,f\rangle }의 가장$$작은${\displaystyle \mathrm{정규}}$ ${\displaystyle \mathrm{부분군임}}$이 밝혀졌습니다. 즉, 모든 관계는 이 세 가지 요소의 결과입니다.${\displaystyle 이}$ 정규 부분군에 의한 자유군의 몫은 ⟨ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle f^{}}$ ∣ r 4 = f 2 = (r ⋅ f ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \langler,f\mid r^{4} = f^{2} = (r\cdot f)^{2} = 1\rangle } 로 표시됩니다. 생성자와 관계자들은 이것을 D 4 {\displaystyle \mathrm${\displaystyle }${D} _{4} 의 표현이라고 부르는데, φ에 대한 첫 번째 동형 정리가 동형 ⟨ r을 산출하기 때문입니다.${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle \mid }$ r ${\displaystyle 4^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}=}$ ( r ${\displaystyle \cdot }$ f ) ${\displaystyle 2}$ $1$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \to }$ D 4${\displaystyle$ \${\displaystyle \mathrm{lang}}$ler,f\mid r^{4}${\displaystyle =}$f^{2}${\displaystyle =}$(r\cdot f)^{2}${\displaystyle =}$1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}.

그룹의 프레젠테이션은 이산형 그룹을 그래픽으로 묘사하는 케일리 그래프를 구성하는 데 사용할 수 있습니다.^[38]

예제 및 응용프로그램

그룹의 예제와 응용프로그램은 매우 많습니다.시작점은 위에서 소개한 그룹 연산으로 덧셈이 있는 정수의$$ 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbb {Z}}$입니다.덧셈 곱셈 대신에 곱셈을 고려하면 곱셈 그룹을 얻습니다.이 그룹들은 추상대수학에서 중요한 구성들의 전신들입니다.

그룹은 다른 많은 수학 영역에서도 적용됩니다.수학적 개체는 종종 그룹을 연관시키고 해당 그룹의 속성을 연구함으로써 검사됩니다.예를 들어, 앙리 푸앵카레는 기본군을 도입함으로써 현재 대수적 위상이라고 불리는 것을 발견했습니다.^[39]이 연결을 통해 근접성 및 연속성과 같은 위상 속성이 그룹의 속성으로 변환됩니다.^[g]

위상 공간의 기본 그룹의 요소는 루프의 동치 클래스로, 루프가 다른 루프로 부드럽게 변형될 수 있다면 동치로 간주되며, 그룹 연산은 "연접"(한 루프를 추적하고 다른 루프를 추적함)입니다.예를 들어, 그림과 같이 위상 공간이 한 점이 제거된 평면이라면, 결측점(파란색)을 감싸지 않는 루프는 한 점으로 부드럽게 수축될 수 있으며, 기본 그룹의 동일성 요소입니다.결측점 $k$를 ${\displaystyle k}$번 감는 루프는 $m$을 ${\displaystyle m}$번 감는 루프로 변형할 수 $없습니다($≠ $k$가 {\displaystyle m\neq k}인 경우). 왜냐하면 루프는 구멍을 가로질러 매끄럽게 변형될 수 없기 때문에 각 루프 클래스는 결측점을 감는 수가 특징입니다.결과 그룹은 덧셈 아래의 정수와 동형입니다.

보다 최근의 응용 분야에서는 집단 이론적 배경에 의해 기하학적 구성에 동기를 부여하기 위해 영향력이 역전되었습니다.^[h]비슷한 맥락에서, 기하학적 집단 이론은 예를 들어 쌍곡 집단 연구에서 기하학적 개념을 사용합니다.^[40]군을 결정적으로 적용하는 추가적인 분기는 대수기하학과 수론을 포함합니다.^[41]

위의 이론적 응용 이외에도 그룹의 실용적 응용이 많이 존재합니다.암호학은 특히 유한 그룹에 대해 구현될 때 계산 그룹 이론에서 얻은 알고리즘 지식과 함께 추상 그룹 이론 접근 방식의 조합에 의존합니다.^[42]집단 이론의 적용은 수학에만 제한되지 않습니다; 물리학, 화학 그리고 컴퓨터 과학과 같은 과학은 그 개념으로부터 이익을 얻습니다.

수

정수와 유리수와 같은 많은 수 체계들은 자연스럽게 주어진 군 구조를 즐깁니다.합리적인 경우와 같이, 덧셈 연산과 곱셈 연산 모두 그룹 구조를 생성합니다.그러한 수 체계는 고리와 장으로 알려진 더 일반적인 대수적 구조의 전신입니다.모듈, 벡터 공간 및 대수와 같은 추상적인 대수적 개념 또한 그룹을 형성합니다.

정수

${\displaystyle 위}$에서${\displaystyle }$(Z${\displaystyle ,}$+ )$${\$displaystyle$ \$mathbb$ {Z$}}$로 표시된 정수 Z ${\$$displaystyle \left(\mathbb {Z}, +\right)}$ 그룹에 대해 설명했습니다$.$덧셈 대신 곱셈을 수행하는 정수$Z,$⋅) {\$displaystyle \left(\mathbb {Z},\cdot$\right)}은(는) 그룹을 구성하지 않습니다.연관성 및 ID 공리는 충족되지만 역이 존재하지 않습니다. 예를 들어 $a$ = ${\displaystyle 2}$ ${\$displaystyle a=2}은(는) 정수이지만 이 경우 방정식 a ⋅ b = 1 {\displaystyle a\cdot b=1}의 유일한 해는 b = 1 2 {\displaystyle b = {\tfrac {1}{2}}이며 이는 유리수이지만 정수는 아닙니다.따라서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 요소에 (곱셈) 역이 있는$$ 것은 아닙니다.^[i]

레이셔널스

곱셈 역수의 존재에 대한 열망은 분수를 고려하는 것을 제안합니다.

정수의 분수($b$가 ${\displaystyle b}$이고 0이 아닌 경우)를 유리수라고 합니다.^[j]이러한 모든 축소할 수 없는 분수의 집합은 일반적으로 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$로 표시됩니다$.$$$($Q$⋅) ${\displaystyle$\$left(\$mathbb {Q},\cdot \right)}, 즉, 0이 곱셈 역수를 갖지 않기 때문에(즉, 0이 ⋅ ${\displaystyle 0}$이 되는 x {\displaystyle x}는 없습니다.${\displaystyle =1}$ ${\displaystyle x\cdot$1}),$$( $Q$${\displaystyle }$⋅) ${\displaystyle \left(\mathbb {Q},\cdot$\right)}이(가) 여전히 그룹이 아닙니다.

그러나 0이 아닌 모든 유리수 $Q$의 ${\displaystyle 집합}$은 ${\displaystyle \{}$ 0 ∖$}$ = {${\displaystyle }$$q$ ∈ $Q$∣ ≠ $0$} {\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mid q\neq 0\right\}는 곱셈 하에서 아벨 군을 형성하며, Q × {\displaystyle \mathbb {Q}^{\times}}라고도 합니다.연관성과 동일성 요소 공리는 정수의 속성을 따릅니다.0이 아닌 두 개의 유리수의 곱은 결코 0이 아니기 때문에 0을 제거한 후에도 폐쇄 요구 사항은 여전히 유효합니다.마지막으로, $a{\displaystyle }$/ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a/b}$의 역은 b${\displaystyle }$/ $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle b/a}$이므로$,$ 역요소의 공리는 충족됩니다.

유리수(0 포함)도 덧셈 아래 그룹을 형성합니다.덧셈과 곱셈 연산을 엮으면 추상 대수학에서 중심 위치를 차지하는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서와 같이 0이 아닌 다른 분할이 가능한 경우 링이라고 불리는 더 복잡한 구조가 생성됩니다.따라서 집단 이론적 주장은 그 실체 이론의 일부에 기초를 두고 있습니다.^[l]

모듈러 산술

Modular arithmetic for a modulus ${\displaystyle n}$ defines any two elements ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ that differ by a multiple of ${\displaystyle n}$ to be equivalent, denoted by ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$. Every integer is equivalent to one of the integers from ${\displaystyle 0}$ to ${\displays$$tylen-1},$모듈러 산술의 연산은 모든 연산의 결과를 동등한 대표자로 대체함으로써 정규 산술을 수정합니다.Modular addition, defined in this way for the integers from ${\displaystyle 0}$ to ${\displaystyle n-1}$, forms a group, denoted as ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ or ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$, with ${\displaystyle 0}$ as the identity element and ${\displaystyle n-a}$ as the inverse element of ${\displaystyle a}$${\displaystyle }\{\backslash$$displaystyle$ a$}.$

친숙한 예는 시계 면에 0이 아닌 12시간을 더하는 것인데, 여기서 0이 아닌 12시간이 아이덴티티의 대표로 선택됩니다.시침이 $그림$과 같이 9 ${\displaystyle 9}$에 있고 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$시간$$ 앞당겨지면 1 ${\displaystyle 1}$에 끝납니다$.$이는 $9{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 9+4}$이(가) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ $$"modulo ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 12$과(또는 기호로) 일치함으로써 표현됩니다.

For any prime number ${\displaystyle p}$, there is also the multiplicative group of integers modulo ${\displaystyle p}$.^[43] Its elements can be represented by ${\displaystyle 1}$ to ${\displaystyle p-1}$. The group operation, multiplication modulo ${\displaystyle p}$, replaces the usual product by its representative, the remainder of division$p$ ${\displaystyle p}.$예를 들어 $p$ = ${\displaystyle 5}$ ${\$displaystyle p=${\displaystyle 5}$}의 경우 4개의 그룹 요소는 1$,$ 2, 3, 4 {\displaystyle 1, 2, 3, 4}로 나타낼 수 있습니다. 이 그룹에서는 4 ⋅ 4 ≡ 1 mod 5 {\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}},일반적인 제품 ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 16}$이(가) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$과(와) 같기 때문에$,$$$5 {\$displaystyle 5}$로 나누면 $나머지$ 1 ${\displaystyle 1}$이(가) 산출됩니다$.$$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 기본값은 두 대표의 일반적인 곱이 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$로 분할되지 않도록 보장하므로$$ 모듈형 곱이 0이 아닙니다$.$^[m]ID 요소는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle1}$로 $표시$되며$,$ 연관성은 정수의 해당 속성을 따릅니다.마지막으로, 역요소 공리는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$로 나눌 수 없는$$ $정수{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$가 주어지면$$다음과 같은 정수$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$가 존재해야 합니다.

that is, such that ${\displaystyle p}$ evenly divides ${\displaystyle a\cdot b-1}$. The inverse ${\displaystyle b}$ can be found by using Bézout's identity and the fact that the greatest common divisor${\displaystyle \gcd(a,p)}$equals ${\displaystyle 1}$.^[44] In the case ${\displaystyle p=5}$ above, the inverse of the element represented by ${\displaystyle 4}$ is that represented by ${\displaystyle 4}$, and the inverse of the element represented by ${\displaystyle 3}$ is represented by ${\displaystyle 2}$, as ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$. Hence all group axioms are fulfilled.이 예제는 위의$$($Q$ ∖${\displaystyle }${0${\displaystyle \},}$ ⋅) {\$displaystyle \left(\mathbb$ {Q}$\smallsetminus \left$\{0$\right\},\$cdot \right)}와 유사합니다. 이것은 곱셈 역수를 갖는 Z / p $Z {\displaystyle \mathbb {Z}$ / p\mathbb {Z}$$에 ${\displaystyle 있는}요소들$로 정확히 구성됩니다.${\displaystyle {}_{}^{}}$× ${\$로 표시되는 이러한 그룹은 공개 키 암호화에 매우 중요합니다$.$^[n]

순환군

순환군(cyclic group)은 모든 원소들이 특정 원소 {\$displaystyle a}$의 거듭제곱인 군을 말합니다$.$^[46] 곱셈 표기법에서 군의 원소들은

where ${\displaystyle a^{2}}$ means ${\displaystyle a\cdot a}$, ${\displaystyle a^{-3}}$ stands for ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$, etc.^[o]이러한$$요소 {\$displaystyle a}$를 생성기 또는 그룹의 원시 요소라고 합니다$$.가법 표기법에서 원소가 원시적이어야 하는 요건은 군의 각 원소를 다음과 같이 쓸 수 있다는 것입니다.

위에서 소개한$$ 그룹$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{},}$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\mathbb {Z}$/ $n\mathbb {Z}, +)}$에서는 요소 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$이(가) 기본이므로 이 그룹들은 순환합니다.실제로 각 요소는 항이 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$인 모든 것을 합하여 표현할 수 있습니다$.$ $n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$ 요소를 가진 순환 그룹은 이 그룹과 동형입니다.순환 그룹의 두 번째 예는 $z$ ${\displaystyle n^{}}$ = ${\$$displaystyle$ z = 1 {\displaystyle z . 1}을 만족하는 복소수 z ${\$displaystyle z$}$로 주어진 $n$ ${\displaystyle n}$개의 복소수 일치 루트 그룹입니다.$이$ 숫자는 ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 6 {\displaystyle n = 6}의 이미지에서 파란색으로 표시된 것처럼 정규 $n$ ${\displaystyle n}$ - gon의 정점으로 시각화할 수 있습니다.그룹 연산은 복소수의 곱셈입니다.사진에서 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$를 곱하면 시계 반대 방향으로 60° 회전하는 것에 해당합니다$$.^[47]From field theory, the group ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ is cyclic for prime ${\displaystyle p}$: for example, if ${\displaystyle p=5}$, ${\displaystyle 3}$ is a generator since ${\displaystyle 3^{1}=3}$, ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$, ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$, and ${\displayst$$yle 3^{4}\equiv 1$

어떤 순환군은 무한한 수의 원소를 가지고 있습니다.이러한 그룹에서는 0이$아닌$ 모든 요소 {\$displaystyle$ a$}$에 대해 ${\displaystyle a}$의 모든 기능이 서로 다릅니다$$$.$ "cyclic group"이라는 이름에도 불구하고 요소의 기능이 순환하지 않습니다.무한 순환군은 위에서 소개한 덧셈의 정수들의 그룹인$$(${\displaystyle Z\mathbb{},}$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\mathbb {Z}, +)}$과 동형입니다.^[48]이 두 프로토타입이 모두 아벨리안이므로 순환군도 모두 아벨리안입니다.

유한 생성 아벨 군에 대한 연구는 매우 성숙하며, 여기에는 유한 생성 아벨 군의 기본 정리가 포함되어 있습니다. 그리고 이러한 상황을 반영하여 중심과 정류자와 같은 많은 군 관련 개념은 주어진 군이 아벨 군이 아닌 정도를 설명합니다.^[49]

대칭군

대칭군은 주어진 수학적 대상의 대칭, 주로 기하학적 실체로 구성된 군이지만, 갈루아 이론에서 다루는 다항식의 근들 사이의 대칭과 같은 대수학에서도 발생합니다(아래 참조).^[51]개념적으로, 집단 이론은 대칭성에 대한 연구로 생각될 수 있습니다.^[p]수학의 대칭은 기하학적 또는 분석적 대상에 대한 연구를 크게 단순화합니다.만약 모든 군 요소가 X에 대한 어떤 연산에 연관될 수 있고 이 연산들의 구성이 군 법칙을 따른다면 군은 또 다른 수학적 대상 X에 작용한다고 합니다.예를 들어, (2,3,7) 삼각형 그룹의 요소는 삼각형을 순열함으로써 쌍곡선 평면의 삼각형 타일링에 작용합니다.^[50]그룹 작업에 의해 그룹 패턴은 작업 중인 개체의 구조에 연결됩니다.

화학에서 점군은 분자 대칭을 설명하는 반면 공간군은 결정학에서 결정 대칭을 설명합니다.이러한 대칭은 이러한 시스템의 화학적 및 물리적 거동의 기초가 되며, 그룹 이론은 이러한 특성에 대한 양자역학적 분석의 단순화를 가능하게 합니다.^[52]예를 들어, 그룹 이론은 특정 양자 수준 사이의 광학적 전이가 단순히 관련된 상태의 대칭 때문에 일어날 수 없다는 것을 보여주기 위해 사용됩니다.^[53]

군론은 물질이 예를 들어 입방정계에서 사면체 결정형으로 상전이를 겪을 때 발생하는 물리적 특성의 변화를 예측하는 데 도움이 됩니다.한 예로 강유전체 물질이 있는데, 퀴리 온도에서 부전자 상태에서 강유전체 상태로 변화가 일어나고, 대칭이 큰 부전자 상태에서 하부 대칭이 되는 강유전체 상태로 변화하는 것과 관련이 있으며, 이는 소위 부드러운 포논 모드를 동반합니다.전이 시 ^[54]0 주파수로 가는 진동 격자 모드

그러한 자발적인 대칭 파괴는 골드스톤 보손의 출현과 관련된 기본 입자 물리학에서 더 많은 응용을 발견했습니다.^[55]

벅민스터 플러렌 디스플레이 정이십면체 대칭[56]	암모니아, NH3 대칭군은 120° 회전과 반사에 의해 생성된 차수 6입니다.[57]	큐브네 CH88 특징 팔면체 [58]대칭	테트라클로로플라티네이트()II) ion, [PtCl4]2-은 사각 평면 기하학을 나타냄

Mathieu 그룹과 같은 유한 대칭 그룹은 전송된 데이터의 오류 수정에 적용되는 코딩 이론과 CD 플레이어에서 사용됩니다.^[59]또 다른 응용은 미분 갈루아 이론으로, 특정 미분 방정식의 해가 잘 작동할 때에 대한 그룹 이론 기준을 제공하며, 규정된 형태의 미분을 갖는 함수를 특성화합니다.^[q](기하학) 불변 이론에서 그룹 작용 하에서 안정적으로 유지되는 기하학적 특성이 조사됩니다.^[60]

일반선형군 및 표현이론

행렬 그룹은 행렬 곱셈과 함께 행렬로 구성됩니다.일반 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$(${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {GL}(n,\mathbb {R})}$은(는) 실제 항목이 있는 ${\displaystyle }$ 가역적 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ by$$ n ${\displaystyle n}$ 행렬로$$ 구성됩니다$$.^[61]부분군을 행렬 그룹 또는 선형 그룹이라고 합니다.위에서 언급한 다면체 그룹 예시는 (매우 작은) 매트릭스 그룹으로 볼 수 있습니다.또 다른 중요한 행렬 그룹은 특수 직교 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SO}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO}(n)$입니다$.$ $n개$의 ${\displaystyle n}$ 차원에서$$ 가능한 모든 회전을 설명합니다.이 그룹의 회전 행렬은 컴퓨터 그래픽에 사용됩니다.^[62]

표현 이론은 집단 개념의 적용이면서 집단에 대한 더 깊은 이해를 위해 중요합니다.^[63][64]그것은 다른 공간에 대한 그룹 행동으로 그룹을 연구합니다.넓은 부류의 그룹 표현은 3차원 유클리드 공간 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{3}}$과 같이 그룹이 벡터 공간에 작용하는 선형 표현입니다$.$ $\displaystyle n}$차원 실수 벡터 공간에서 그룹 $G$ ${\displaystyle G}$의 표현은 단순히 그룹 동형${\displaystyle }$ρ입니다: G →${\displaystyle }$G L ( n,${\displaystyle \mathbb{R})}$그룹에서 일반$$ 선형 그룹으로 $displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL}(n,\mathbb {R} )}.$이렇게 추상적으로 주어질 수 있는 그룹 연산은 명시적인 계산에 접근할 수 있도록 행렬의 곱셈으로 변환됩니다.^[r]

그룹 작업은 작업 중인 개체를 연구할 수 있는 추가 수단을 제공합니다.^[s]다른 한편으로는 그룹에 대한 정보도 얻을 수 있습니다.군 표현은 유한 군, 리 군, 대수 군, 위상 군, 특히 (국소적으로) 콤팩트 군의 이론에서 조직 원리입니다.^[63][65]

갈루아족

갈루아 그룹은 대칭 특징을 포착하여 다항식을 푸는 데 도움이 되도록 개발되었습니다.^[66][67]예를 들어, 2차 방정식 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle b}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ = ${\$displaystyle ax^{2} + bx + c = 0}의 해는 다음과 같이 주어집니다.

각 해는${\displaystyle }$± ${\displaystyle \pm}$ 기호를${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$ 또는$$${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ -$}$로 대체하여 구할 수 있습니다$.$ 유사한 공식은 입방정 방정식과 사분위 방정식에 알려져 있지만 일반적으로 5도 이상에는 존재하지 않습니다.^[68]2차 공식에서 부호를 변경하는 것은 (결과적인 두 해를 허용하는) 매우 간단한 그룹 연산으로 볼 수 있습니다.유사 갈루아 그룹은 고차 다항식의 해에 작용하며 해에 대한 공식의 존재와 밀접한 관련이 있습니다.이러한 그룹의 추상적 특성(특히 해결 가능성)은 위의 공식과 유사한 덧셈, 곱셈 및 근만을 사용하여 이러한 다항식의 해를 표현하는 능력에 대한 기준을 제공합니다.^[69]

현대 갈루아 이론은 필드 이론으로 이동하고 다항식의 분할 필드로 형성된 필드 확장을 고려함으로써 위의 유형의 갈루아 그룹을 일반화합니다.이 이론은 갈루아 이론의 기본 정리를 통해 필드와 그룹 사이의 정확한 관계를 확립하고 수학에서 그룹의 보편성을 다시 한 번 강조합니다.^[70]

유한군

어떤 그룹이 유한한 수의 원소를 가지면 유한하다고 합니다.원소의 개수를 그룹의 순서라고 합니다.^[71]중요한 클래스는 대칭 그룹 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$즉 $N개$의 ${\displaystyle N}$개$$ 개체의 순열 그룹입니다.예를 들어, 3 문자 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 대칭 그룹은 가능한 모든 객체의 순서 변경의 그룹입니다$$.ABC 세 글자는 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA로 순서를 바꾸어서 총 6개의 (3개의 인자로 구성) 요소를 구성할 수 있습니다.그룹 작업은 이러한 순서 변경의 구성이며, ID 요소는 순서를 변경하지 않고 유지하는 순서 변경 작업입니다.이 클래스는 케일리의 정리에$$따라 임의의 유한 그룹이 적합한 정수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 대칭 그룹 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {S} _{N}$의 부분군으로 표현될 수 있는 한 기본입니다.위의 정사각형의 대칭군과 평행하게, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 정삼각형의 대칭군으로도 해석할 수 있습니다$$.

${\displaystyle {}^{}}$ $그룹$ ${\displaystyle G}$의 $요소$ ${\displaystyle a}$의 순서는 {\$displaystyle a$$^{n$}=$e}({\$displaystyle a$^{n})$를 $나타내는$ 최소 양의 $정수$ ${\displaystyle$ n$}$입니다$.$

that is, application of the operation "${\displaystyle \cdot }$" to ${\displaystyle n}$ copies of ${\displaystyle a}$. (If "${\displaystyle \cdot }$" represents multiplication, then ${\displaystyle a^{n}}$ corresponds to the ${\displaystyle n}$th power of ${\displaystyle a}$.) In infinite groups, such an ${\displaystyle n}$ may not exist,이 경우 ${\displaystyle a}$의 순서는 무한대라고 합니다$$.원소의 순서는 이 원소가 생성하는 순환 부분군의 순서와 같습니다.

코셋을 세는 것과 같은 더 정교한 계산 기술은 유한 그룹에 대한 더 정확한 진술을 산출합니다. 라그랑주 정리는 유한 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 유한 그룹 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 순서가$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 순서를 나눈다는$$ 것을 말합니다$.$ 실로우 정리는 부분적인 역을 제공합니다.

정방형 대칭의$$ 이면체 군 $D{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 차수 8의 유한 군입니다.이 그룹에서 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 순서는 4이고$$ 이 요소가 생성하는$$ $부분군{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 순서는 4입니다.반사 요소 ${\displaystyle {fv\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 등의$$ 순서는 2입니다.라그랑주 정리에 의해 예측된 바와 같이 두 차수 모두 8을 나눕니다.곱셈 $모듈{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 그룹 ${\displaystyle {}_{}^{}}x{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\$ _${p$}^{\$times}}$의 $순서$는 p -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$입니다$.$

유한 아벨 군

유한 아벨 군은 유한 순환군의 곱과 동형이며, 이 문장은 유한 생성 아벨 군의 기본 정리의 일부입니다.

$임의$의 소수 p ${\displaystyle p}$ 그룹은 순환$$ $그룹{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ _${p}$와 동형입니다(라그랑주 정리의 결과).$$순서 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 모든 그룹은 아벨리안이며 Z $p{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$Z}$ _${p^{2}} 또는$ ${\displaystyle {}_{}}$ $p{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ×${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ p ${\displaystyle$ \$mathrm {Z}$ _${p}\times \mathrm {Z} _{p}}$와 동형입니다$.$그러나 위의$$ 순서 ${\displaystyle {p3\mathrm{}}^{}}$ ${\$위의 ${\displaystyle {순서\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $3${\$displaystyle$ 2$^{3}}$의 이면체 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {D} _{4}$가 그 예입니다.^[72]

단순 그룹

When a group ${\displaystyle G}$ has a normal subgroup ${\displaystyle N}$ other than ${\displaystyle \{1\}}$ and ${\displaystyle G}$ itself, questions about ${\displaystyle G}$ can sometimes be reduced to questions about ${\displaystyle N}$ and ${\displaystyle G/N}$. A nontrivial group is called simple if it has no such normal subgroup.유한단순군은 소수가 양의 정수가 되는 것처럼 유한단순군이다: 요르단에 의해 정확하게 만들어진 의미에서, 그것들은 빌딩 블록의 역할을 합니다.홀더 정리.

유한단순군 분류

컴퓨터 대수 시스템은 2000년까지 모든 순서 그룹을 나열하는 데 사용되었습니다.^[t]그러나 모든 유한 그룹을 분류하는 것은 너무 어렵게 생각되는 문제입니다.

모든 유한 단순 그룹의 분류는 현대 그룹 이론의 주요한 업적이었습니다.이런 집단의 무한한 가족들이 몇 개 존재할 뿐만 아니라 어느 가족에도 속하지 않는 26개의 "희귀한 집단"이 존재합니다.가장 큰 산발적인 집단은 괴물 집단이라고 불립니다.리처드 보처드가 증명한 괴물 같은 달빛 추측은 괴물 그룹을 특정 모듈 함수와 연관시킵니다.^[73]

단순 집단의 분류와 모든 집단의 분류 사이의 간극은 확장 문제에 있습니다.^[74]

구조가 추가된 그룹

그룹의 동등한 정의는 그룹 공리의 "존재한다" 부분을 반드시 존재해야 하는 요소인 연산으로 대체하는 것으로 구성됩니다.따라서, 그룹은 이진 $연산{\displaystyle }$G × ${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle G}${\$displaystyle$ G\times $\rightarrow$ G$}($그룹 연산), 단항 연산 G → G {\displaystyle G\rightarrow G}(역을 제공) 및 피연산자가 없고 항등식 요소가 생성되는 널 연산을 갖춘 $집합$ G ${\displaystyle G}$입니다.그렇지 않으면 그룹 공리가 완전히 동일합니다.이 정의의 변형은 실존적인 정량자를 피하며 그룹과 컴퓨터 지원 증명을 위한 컴퓨팅에 사용됩니다.

그룹을 정의하는 이 방법은 카테고리에서 그룹 객체의 개념과 같은 일반화에 도움이 됩니다.간단히 말하면, 이것은 그룹 공리를 모방한 형태소를 가진 물체입니다.^[75]

위상군

일부 위상 공간은 집단 법칙이 부여될 수 있습니다.그룹 법칙과 토폴로지가 잘 맞물리려면 그룹 작업이 연속 함수여야 합니다. 비공식적으로 ${\displaystyle g}$ ⋅ h${\displaystyle g$\$cdoth{\displaystyle {\}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{및}}^{}}$g - 1 {\$displaystyle$g^{-1}은(는) g ${\displaystyle$ $}$ 및 h ${\displaystyle$ h}이(가) 조금만 다를 경우$크게$ 달라지지 않아야 합니다.이러한 군을 위상군이라고 하며, 위상공간의 범주에 속하는 군 개체입니다.^[76]가장 기본적인 예는 덧셈 아래의 실수들의 그룹과 곱셈 아래의 0이 아닌 실수들의 그룹입니다.복소수 필드 또는 p-adic number 필드와 같은 다른 위상 필드에서도 유사한 예가 형성될 수 있습니다.이러한 예는 국부적으로 콤팩트하기 때문에 Haar 측정값이 있으며 조화 분석을 통해 연구할 수 있습니다.국소적으로 콤팩트한 다른 위상군은 국소장 또는 아델 고리 위의 대수군의 점군을 포함합니다. 이것들은 기본적인 정수론입니다^[77]. 무한한 대수장 확장의 갈루아 군은 무한 갈루아 이론에서 역할을 하는 크룰 위상을 갖추고 있습니다.^[78]대수기하학에서 사용되는 일반화는 에테일 기본군입니다.^[79]

거짓말군

Lie 그룹은 또한 미분 가능한 다양체의 구조를 갖는 그룹입니다. 비공식적으로, 이것은 그것이 어떤 고정된 차원의 유클리드 공간처럼 국소적으로 보인다는 것을 의미합니다.^[80]다시, 그 정의는 여기서 매니폴드 구조인 추가 구조가 호환될 것을 요구합니다. 즉, 곱셈과 역맵은 매끄럽게 해야 합니다.

표준적인 예는 위에서 소개한 일반 선형 그룹입니다. 이 그룹은 모든 $$의 ${\displaystyle$ $n$$} 행렬$의 공간의 열린 부분 집합입니다. 왜냐하면 부등식에 의해 주어지기 때문입니다.

여기서 ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle n}$$$ ${\displaystyle n}$ 행렬을$$ 나타냅니다$$.^[81]

거짓말 집단은 현대 물리학에서 근본적으로 중요합니다.노에테르의 정리는 연속적인 대칭을 보존된 양과 연결시킵니다.^[82]공간과 시간의 번역뿐만 아니라 회전은 역학 법칙의 기본적인 대칭입니다.예를 들어, 간단한 모델을 구성하는 데 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 상황에 축 대칭을 부과하면 일반적으로 물리적 설명을 제공하기 위해 풀어야 하는 방정식이 상당히 단순해집니다.^[u]또 다른 예는 로렌츠 변환 그룹으로, 서로 상대적으로 움직이는 두 관찰자의 시간과 속도 측정을 연관시킵니다.그들은 민코프스키 공간의 회전 대칭으로 변환을 표현함으로써 순수하게 집단 이론적인 방법으로 추론될 수 있습니다.후자는 상당한 중력이 없는 경우 특수 상대성 이론에서 시공간의 모델로 사용됩니다.^[83]민코프스키 공간의 완전한 대칭군, 즉 번역을 포함하여 푸앵카레 군으로 알려져 있습니다.위에서 언급한 바와 같이, 그것은 특수 상대성 이론과 양자장 이론에 있어서 중추적인 역할을 합니다.^[84]위치에 따라 달라지는 대칭은 게이지 이론의 도움을 받아 물리적 상호작용을 현대적으로 설명하는 데 중심이 됩니다.게이지 이론의 중요한 예는 알려진 네 가지 기본 힘 중 세 가지를 설명하고 알려진 모든 기본 입자를 분류하는 표준 모델입니다.^[85]

일반화

군상 구조

	토탈리티α	연상성	신원	가감성β	교환성
부분 마그마	필요 없음	필요 없음	필요 없음	필요 없음	필요 없음
반군포체	필요 없음	필수의	필요 없음	필요 없음	필요 없음
소분류	필요 없음	필수의	필수의	필요 없음	필요 없음
그루포이드	필요 없음	필수의	필수의	필수의	필요 없음
마그마	필수의	필요 없음	필요 없음	필요 없음	필요 없음
퀘이사 그룹	필수의	필요 없음	필요 없음	필수의	필요 없음
유니탈 마그마	필수의	필요 없음	필수의	필요 없음	필요 없음
고리	필수의	필요 없음	필수의	필수의	필요 없음
세미그룹	필수의	필수의	필요 없음	필요 없음	필요 없음
연상 준군	필수의	필수의	필요 없음	필수의	필요 없음
모노이드	필수의	필수의	필수의	필요 없음	필요 없음
치환 모노이드	필수의	필수의	필수의	필요 없음	필수의
그룹.	필수의	필수의	필수의	필수의	필요 없음
아벨 군	필수의	필수의	필수의	필수의	필수의
^α 많은 출처에서 사용되고 다르게 정의되는 폐쇄 공리는 동치입니다. ^β 여기서 나눗셈성은 구체적으로 준군 공리를 말합니다.

보다 일반적인 구조는 그룹을 정의하는 공리들 중 일부를 완화함으로써 정의될 수 있습니다.^[31][86][87]표에는 그룹을 일반화하는 여러 구조의 목록이 나와 있습니다.

예를 들어, 모든 원소가 역수를 갖는다는 요구 조건이 제거되면, 그 결과로 생성되는 대수적 구조를 모노이드라고 합니다.덧셈 하에 자연수 $N$ ${\displaystyle \mathbb {N}}($$0$ 포함)은 모노이드를 형성하며, 곱셈 하에 0이 아닌 정수$($$Z$ ∖${\displaystyle }${0$},$ ⋅$)$${\displaystyle$(\$mathbb$ {Z$} \smallsetminus$\{0\},\cdot )}. 모노이드의 모든 원소의 인접 역 (Z ∖ {0}, ⋅) {\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$$ 는 그룹($Q$ ${\displaystyle \setminus }${0}, ⋅) ${\displaystyle$(\$mathbb$ {Q}$\smallsetminus$0\},\cdot}}를 생성하며, 마찬가지로 임의의 (아벨리안) 모노이드 M에 인접한 역들은 M의 그로텐디크 그룹이라고 알려진 그룹을 생성한다.

군은 모든 형태가 동형인 하나의 객체 x를 갖는 작은 범주로 간주될 수 있습니다. 이러한 범주가 주어지면 집합 ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ⁡ ${\displaystyle (}$x$,$ $x$) ${\displaystyle$ \$operatorname${Hom} (x, x)}은 군입니다. 반대로, 군 G가 주어지면, Hom ⁡ (x, x)가 G {\displaystyle \operatorname {Hom}을 ≃하는 하나의 객체 x를 갖는 작은 범주를 만들 수 있습니다.$(x,x)\simeq G$ 더 일반적으로, 군체는 모든 형태가 동형인 임의의 작은 범주입니다.집합론에서, 집합론의 구성은 단지 부분적으로만 정의되기 때문에, 집합론에 있는 모든 형태론의 집합은 보통 집합이 아닙니다: fg는 f의 근원이 g의 목표와 일치할 때만 정의됩니다. 집합론은 위상수학(예를 들어, 기본 집합론)과 집합론에서 발생합니다.

마지막으로, 이진 연산을 n-ary 연산(즉, 일부 음이 아닌 정수 n에 대해 n개의 인수를 취하는 연산)으로 대체함으로써 이러한 개념들 중 임의의 것을 일반화하는 것이 가능합니다.군 공리의 적절한 일반화로, 이것은 n-ary 군의 개념을 제공합니다.^[88]

참고 항목

• 그룹 이론 주제 목록

메모들

인용문

참고문헌

일반참고문헌

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외부 링크

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