임베딩

수학에서 임베딩(또는^[1] 임베딩)은 부분군인 그룹과 같이 다른 예에 포함된 일부 수학 구조의 한 예다.

어떤 물체 X가 다른 물체 Y에 내장되어 있다고 할 때, 임베딩은 어떤 주입 및 구조 보존 지도 f : X → Y에 의해 주어진다. "구조 보존"의 정확한 의미는 X와 Y가 인스턴스인 수학적 구조의 종류에 따라 달라진다. 범주이론의 용어로는 구조보존지도를 형태론이라고 한다.

지도 f : X → Y가 임베딩이라는 사실은 흔히 "후크 화살표"(U+21AA ↪ RIGHWARD ARWARD WITH WITH WITHWARD WITH WITH WITH WORK)^[2]를 사용함으로써 나타난다. 따라서: ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ Y${\displaystyle .}$ ${\displaystylease f:$$X\hookrightarrow Y.}($반면 이 표기법은 포함 지도를 위해 예약되기도 한다.)

X와 Y를 고려할 때, Y에 X를 여러 가지 다른 방식으로 내장하는 것이 가능할 수 있다. 많은 관심의 경우 정수의 자연수, 이성수, 실수의 합리적 수, 복잡한 숫자의 실수와 같은 표준(또는 "수식")이 내장되어 있다. 그러한 경우, 도메인 X를 Y에 포함된 이미지 f(X)로 식별하여 f(X) ⊆ Y가 되도록 하는 것이 일반적이다.

위상 및 기하학

일반 위상

일반적인 위상에서 임베딩은 이미지 위의 동형상이다.^[3] More explicitly, an injective continuous map ${\displaystyle f:X\to Y}$ between topological spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ is a topological embedding if ${\displaystyle f}$ yields a homeomorphism between ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle f(X)}$ (where ${\displaystyle f(X}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(X)}$은(는) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 상속된 하위 공간 토폴로지를 전달한다$$.$$ 직관적으로 임베딩 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를$)$ $Y{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ Y$}$의 하위공간으로 취급할$$ 수 있다$.$ 모든 임베딩은 주입적이고 연속적이다. 주입형, 연속형, 개방형 또는 폐쇄형 지도는 모두 임베딩이지만, 임베딩도 있다. 후자는 이미지 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f(X)}$이(가) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 열린 세트도 닫힌 세트도 아닌$$ 경우에 발생한다$.$

주어진 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에$$대해 $내장{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$\to$ Y$}$의 존재는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위상학적 불변성이다$.$ 이렇게 하면 한 공간은 다른 공간은 그렇지 않은 반면 한 공간에 내장할 수 있다면 두 공간을 구별할 수 있다.

미분 위상

차등 위상: $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$을(를) 부드러운 다지관과 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle f:$$M\to N}$은(는) 평탄한 지도가 된다$$. $그{\displaystyle }$ 다음 f {\$displaystyle f}$는 그 파생물이 모든 곳에 주입되는 경우 몰입이라고 불린다$$$.$ 임베딩 또는 매끄러운 임베딩은 위에서 언급한 위상적 감각(즉, 이미지 위의 동형상)에 임베딩된 주입적 몰입으로 정의된다.^[4]

즉, 임베딩의 영역은 그 이미지와 다른 형태이며, 특히 임베딩의 이미지는 서브매니폴드여야 한다. 몰입은 정확히 로컬 임베딩이다. 즉, $어떤{\displaystyle }$ 지점 ${\displaystyle x}$∈ M ${\$$displaystyle$$$x$\in M}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해<img\; alt="x\backslash in\; U\backslash subset\; M"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/246661f312bbffd5daba7c117684857f5e35abfe"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:11.494ex;\; height:2.176ex;">}}$ $f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle U}$→$$ $displaystyle f:$$U\to$ N$}$은(는) 내장형이다$$.

도메인 다지관이 콤팩트할 때, 매끄러운 임베딩의 개념은 주입 몰입의 개념과 동일하다.

중요한 경우는 $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이다$.$ $여기$서 관심은 M ${\displaystyle M}$의 $치수{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$ 측면에서 $내장용{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$이(가) 얼마나 커야$$ 하는가에 관한 것이다$.$ 휘트니 내장 $정리$에서는^[5]${\displaystyle }$n = ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyn=2m}$이면 충분하며, 가장 좋은 선형 바인딩이라고 기술하고 있다. 예를 들어, 치수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 실제 투사 공간 RP^m$($$여기$서 m$${\$displaystyle m}$은(는) 2의 검정력이므로 내장에는$$ $n{\displaystyle }$= $[\displaystyle n=2m]$가 필요하다. 그러나 이는 몰입에는 적용되지 않는다. 예를 들어, RP는² Boy의 표면에서 분명히$$ 보여지듯이 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 몰입할 수 있다(자체 교차). 로마 표면은 교차 캡을 포함하고 있기 때문에 몰입이 되지 않는다.

임베딩은 경계와 관련하여 잘 동작할 경우 적절하다: $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ $[\디스플레이$ 스타일 $f:X\오른쪽 화살표$ Y$}$가 다음과 같아야$$ 한다.

• ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle X}$) = ${\displaystyle f}$ ( X ) = ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ Y ${\displaystyle$ f$(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$및
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f(X)}$은(는) $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\partial Y$$}$의 어느 지점에서나${\displaystyle \mathrm{}y}$ Y$${\$displaystyle \partial$ Y}에 가로로 되어$$ 있다$.$

The first condition is equivalent to having ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ and ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$. The second condition, roughly speaking, says that f(X) is not tangent to the boundary of Y.

리만과 사이비-리만 기하학

리만 기하학과 사이비-리만 기하학에서: 레트 (M, g)와 (N, h)는 리만 다지관 또는 더 일반적으로 사이비-리만 다지관이다. 등축 임베딩은 g가 h by f, 즉 g = f*h의 풀백과 같다는 의미에서 (의사-)메트릭을 보존하는 매끄러운 임베딩 f : M → N이다. 명시적으로, 두 ${\displaystyle 개}$의 접선 $벡터{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$, w ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$에 대해,

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)}$

이와 유사하게 등축 몰입은 (시료)-리만 메트릭스를 보존하는 (시료)-리만 다양체 사이의 몰입이다.

마찬가지로, 리만 기하학에서 등축 임베딩(immersion)은 곡선의 길이(cf)를 보존하는 부드러운 임베딩(immersion)이다. 나시 임베딩 정리).^[6]

대수학

일반적으로 대수학 범주 C의 경우, 두 개의 C-알지브라 구조 X와 Y 사이의 내장은 주입식 C-모르퍼시즘 e : X → Y이다.

장 이론

필드 이론에서 필드 F에 필드 E를 내장하는 것은 링 동형성 σ : E → F이다.

σ의 낟알은 ((1) = 1이라는 조건 때문에 전체 field이 될 수 없는 E의 이상이다.게다가 그들의 유일한 이상은 제로 이상이며 전체 field 그 자체라는 것은 잘 알려진 밭의 속성이다. 그러므로 낟알은 0이므로 어떤 밭의 내장도 단형주의다. 따라서 E는 F의 하위 필드 σ(E)에 이형성이다. 이것은 필드의 임의 동형성에 내재된 이름을 정당화한다.

유니버설 대수학 및 모형 이론

만약 σ이 시그니처이고 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B}$이(가) σ-구조물(범용대수학에서는 σ-algebras라고도 불림), 지도 $h{\displaystyle }$ :${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h:$$A\to B}$은(는) 다음과 같은 모든 보류 조건의 σ-임베딩 조건이다.

• ${\displaystyle H}$ $[\displaystyle h}$은(는$$) 주입식이고
• for every ${\displaystyle n}$-ary function symbol ${\displaystyle f\in \sigma }$ and ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ we have ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_$${1}),\ldots,h(a_{n$
• for every ${\displaystyle n}$-ary relation symbol ${\displaystyle R\in \sigma }$ and ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ we have ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ iff ${\dis$$Playstyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}).$$}$

Here ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ is a model theoretical notation equivalent to ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$. In model theory there is also a stronger notion of elementary embedding.

순서 이론과 영역 이론

순서 이론에서 부분 순서 집합의 내장이란 부분 순서 집합 X와 Y 사이의 함수 F를 의미하며, 다음과 같다.

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

F의 주입성은 이 정의에서 빠르게 나타난다. 도메인 이론에서, 추가 요건은 다음과 같다.

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle y}$:${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq$ y$\}}$가 지시된다.

미터법 공간

미터법 공간의 매핑$$${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle \phi :X\to Y}$을(를) 임베딩이라고 한다( > 0{\$displaysty$ C$0$}).

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi(x),\lepi(y)\leq CLD_{X(x,y)}}$

모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in$ X$}$ 및$$ 상수 > 0 ${\displaystyle L>0}$에 대해

정규 공간

중요한 특별한 경우는 규범화된 공간의 경우다. 이 경우 선형 임베딩을 고려하는 것은 당연하다.

One of the basic questions that can be asked about a finite-dimensional normed space ${\displaystyle (X,\ \cdot \ )}$ is, what is the maximal dimension ${\displaystyle k}$ such that the Hilbert space ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ can be linearly embedded into ${\displaystyle X}$ with constant 왜곡?

답은 드보레츠키의 정리에 의해 주어진다.

범주론

범주 이론에서, 모든 범주에 적용되는 임베딩의 만족스럽고 일반적으로 인정되는 정의는 없다. 사람들은 모든 이형성들과 임베딩의 모든 구성들이 임베딩이고, 모든 임베딩은 단형성이라고 예상할 것이다. 다른 일반적인 요건은: 극단적 단동형성은 내장형이고 임베딩은 풀백(pullback) 하에서 안정적이다.

이상적으로는 주어진 물체의 모든 내장 하위 물체의 클래스, 즉 이형성에 이르기까지 또한 작아야 하며, 따라서 순서가 정해진 집합이어야 한다. 이 경우 임베딩 등급에 대해서는 범주가 잘 추진된다고 한다. 이를 통해 범주의 새로운 로컬 구조(예: 폐쇄 연산자)를 정의할 수 있다.

콘크리트 범주에서 임베딩은 형태론 ƒ: A → B이며, A의 기저 집합에서 B의 기저 집합에 이르는 주입 함수로서 다음과 같은 의미에서 초기 형태론이다. 만약 g가 물체 C의 기저 집합에서 A의 기저 집합까지의 함수라면, 그리고 ƒ과의 구성이 형태론 ƒg: C → B라면 g 그 자체는 형태론이다.

범주에 대한 인자화 시스템도 내재화 개념을 낳는다. 만일 (E, M)이 인수계통이라면, 특히 M에 관해서 범주에 동력이 잘 공급되는 경우, M의 형태는 임베딩으로 간주될 수 있다. 구체적인 이론은 흔히 M이 이전의 의미에서의 임베딩으로 구성되는 인자화 체계를 가지고 있다. 이 글에서 제시된 예시의 대다수가 그렇다.

범주 이론에서 늘 그렇듯이, 인수로 알려진 이중 개념이 있다. 앞의 모든 속성은 이원화할 수 있다.

임베딩은 임베딩 펑터를 의미하기도 한다.

참고 항목

• 클로즈드몰입
• 커버
• 치수축소
• 몰입
• 존슨-린덴스트라우스 보조정리
• 서브매니폴드
• 서브 스페이스
• 유니버설 스페이스

메모들

참조

• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Bishop, Richard Lawrence; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience.
• Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9..
• Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.
• Warner, Frank Wilson (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3..

외부 링크

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats).
• 다지관 아틀라스에 다지관 내장