스페이스타임 대수

수학물리학에서 스페이스타임 대수(STA)는 클리포드 대수 Cl_1,3(R)의 이름, 또는 등가적으로 기하 대수 G(M⁴)의 이름이다. 데이비드 헤스테네스에 따르면, 스페이스타임 대수학은 특히 특수 상대성 및 상대성적 스페이스타임의 기하학과 밀접하게 연관될 수 있다.

벡터뿐 아니라 양변기(영역이나 회전 등 특정 평면과 관련된 지시 수량)나 블레이드(특정 하이퍼볼륨과 관련된 수량)를 결합할 수 있는 벡터 공간이며, 회전, 반사 또는 로렌츠 부스트도 가능하다. 특수상대성이론에서 스피너의 자연스러운 부모 대수학이기도 하다. 이러한 특성들은 물리학에서 가장 중요한 방정식들 중 많은 것들이 특히 단순한 형태로 표현되도록 하며, 그 의미에 대한 보다 기하학적인 이해에 큰 도움이 될 수 있다.

구조

스팩타임 대수학은 1개의 시간적 벡터 ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\$과 3개의$$ 공간적 벡터인 {$γ$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,$γ$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \{\gamma \{1$},$\{\}\}\}$의 직교적 기반에서 쌓을 수 있다.

${\displaystyle \do_{\mu}\no}+\do_{\nu}\do_{\mu \eta_{\mu \nu}}}}$

여기서 ${\$는 서명이 + - - -인 민코프스키 미터법이다.

Thus, ${\displaystyle \gamma _{0}^{2}={+1}}$, ${\displaystyle \gamma _{1}^{2}=\gamma _{2}^{2}=\gamma _{3}^{2}={-1}}$, otherwise ${\displaystyle \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$.

기본 벡터 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 이러한 속성을 Dirac 행렬과 공유하지만$$, STA에서는 명시적인 매트릭스 표현을 사용할 필요는 없다.

This generates a basis of one scalar ${\displaystyle \{1\}}$, four vectors ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$, six bivectors ${\display$$style \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$, four pseudovectors ${\displaystyle \{i\gamma _{0},i\gamma _{1},i\gamma _{2},i\gamma _{3}\}}$ and one pseudoscalar ${\disp$$laystyle \{i$여기서 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ i$=\gamma_{0}\\_${1}\$gamma_${2$}\gamma_{3$

Reciprocal frame

Associated with the orthogonal basis ${\displaystyle \{\gamma _{\mu }\}}$ is the reciprocal basis ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }={\gamma _{\mu }}^{-1}\}}$ for ${\displaystyle \mu =0,\dots ,3}$, satisfying the relation

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }={\delta _{\mu }}^{\nu }.}$

These reciprocal frame vectors differ only by a sign, with ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$, and ${\displaystyle \gamma ^{k}=-\gamma _{k}}$ for ${\displaystyle k=1,\dots ,3}$.

A vector may be represented in either upper or lower index coordinates ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ with summation over ${\displaystyle \mu =0,\dots ,3}$, according to the Einstein notation, where the coordinates may be extracted by taking dot products with the basis vectors or their reciprocals.

${\displaystyle {\regated}a\cdot \cdot \^{\nu }=a^{\nu }\a\cdot \cdot \pa _{\nu }.\end{정렬}}}$

스페이스타임 그라데이션

유클리드 공간의 구배와 같은 스페이스타임 구배는 방향 파생 관계가 만족되도록 정의된다.

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

이를 위해서는 그라데이션의 정의가 필요하다.

${\displaystyle \cla =\mu ^{\mu }{\frac {\frac }{\mu }}}=\mu }\mu }}}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ x ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ k ${\$ x$=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}}$로 명시적으로 기재된$$부분들은

${\displaystyle \proc{0}={\frac {1}{c}{\frac {}{\fract t}},\property \propert_{k}={\fract{x^}}}}}}}}}}$

스페이스타임 분할

Spacetime 분할 – 예:

${\displaystyle x\properties _{0}=x^{0}+\mathbf {x}}$

${\displaystyle p\gamma _{0}=E+\mathbf {p}}$[1]

${\displaystyle v\property_{0}=\properties(1+\mathbf {v} )}$[1]

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 로렌츠 인자임

${\displaystyle \nabla \gamma_{0}=\\_{t}-\nabla }$[2]

스페이스타임 대수에서 스페이스타임 분할은 다음의 두 가지 연산을 통해 선택된 기준 프레임을 가진 4차원 공간에서 (3+1)차원 공간으로 투영하는 것이다.

• 선택한 시간 축의 접힘, 바이브레이터에 의해 3D 공간이 발생함
• 선택한 시간 축에 4D 공간의 투영으로, 1D 공간의 스칼라를 산출한다.^[3]

이것은 4개의 벡터를 스칼라 타임라이크와 이벡터 공간 같은 성분으로 분할하는 역할을 하는 타임라이크 기반 벡터 $γ$ ${\${0$}$에$$의해 사전 또는 사후 곱셈을 통해 달성된다. $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ μ ${\displaystyle {\mu }_{}}$μ {\$displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu$ }}이$($가) 있다.

${\displaystyle {\ligned}x\i1}{0}&=x^{0}+x^{k}\i1}{k}\i1\i1\{0}x&=x^{0}-x^{k}\i1\i1\i1\i1\i1\{0}/{0}i1}i1}iplanned}}}}$

이러한 바이벡터 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$ 제곱으로$$ 단결함에 따라 공간적 기초의 역할을 한다. Utilizing the Pauli matrix notation, these are written ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$. Spatial vectors in STA are denoted in boldface; then with ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ the ${\displaystyle \gamma _{0}}$-spacetime split ${\displaystyle x{\gamma }_{}}$${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ x$\properties _{0}$과(와)의 역 ${\displaystyle {reverse\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \properties _{0}x}$은(는) 다음과$$ 같다

${\displaystyle {\cligned}x\ft_{0}&=x^{0}+x^{k}\mathbf {x}\x}\\nf\{0}x^{0}-x^{k}\mathb \{x}}}{x}}}}}}}}}}{xfineed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{x}}}}}}}}}}}}}}}$

멀티벡터 분할

The spacetime algebra is not a division algebra, because it contains idempotent elements ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{0}\gamma _{i})}$ and nonzero zero divisors: ${\displaystyle (1+\gamma _{0}\gamma _{i})(1-\gamma _{0}\gamma _{i})=0}$. 이들은 각각 그러한 프로젝터에 대한 광원 및 직교 관계에 대한 프로젝터로 해석될 수 있다. 그러나 어떤 경우에는 한 다단자 수량을 다른 것으로 나누어 그 결과를 이해할 수 있다. 예를 들어, 동일한 평면에서 벡터로 나눈 지시 영역이 다른 벡터를 첫 번째와 직교한다.

Spacetime algebra description of non-relativistic physics

Non-relativistic quantum mechanics

Spacetime algebra allows the description of the Pauli particle in terms of a real theory in place of a matrix theory. The matrix theory description of the Pauli particle is:^[4]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

where ${\displaystyle i}$ is the imaginary unit with no geometric interpretation, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ are the Pauli matrices (with the 'hat' notation indicating that ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ is a matrix operator and not an element in the geometric algebra), and ${\displaystyle H_{S}}$ is the Schrödinger Hamiltonian. In the spacetime algebra the Pauli particle is described by the real Pauli–Schrödinger equation:^[4]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,i\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

where now ${\displaystyle i}$ is the unit pseudoscalar ${\displaystyle i=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$, and ${\displaystyle \psi }$ and ${\displaystyle \sigma _{3}}$ are elements of the geometric algebra, with ${\displaystyle \psi }$ an even multi-vector; ${\displaystyle H_{S}}$ is again the Schrödinger Hamiltonian. Hestenes refers to this as the real Pauli–Schrödinger theory to emphasize that this theory reduces to the Schrödinger theory if the term that includes the magnetic field is dropped.

Spacetime algebra description of relativistic physics

Relativistic quantum mechanics

The relativistic quantum wavefunction is sometimes expressed as a spinor field, i.e.^{[citation needed]}

${\displaystyle \psi =e^{{\frac {1}{2}}(\mu +\beta i+\phi )},}$

where ${\displaystyle \phi }$ is a bivector, and^[5][6]

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}},}$

where, according to its derivation by David Hestenes, ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ is an even multivector-valued function on spacetime, ${\displaystyle R=R(x)}$ is a unimodular spinor (or “rotor”^[7]), and ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ and ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ are scalar-valued functions.^[5]

This equation is interpreted as connecting spin with the imaginary pseudoscalar.^[8] ${\displaystyle R}$ is viewed as a Lorentz rotation which a frame of vectors ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ into another frame of vectors ${\displaystyle e_{\mu }}$ by the operation ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }{\tilde {R}}}$,^[7] where the tilde symbol indicates the reverse (the reverse is often also denoted by the dagger symbol, see also Rotations in geometric algebra).

이는 국지적으로 다양한 벡터 및 스칼라 값 관측 가능성의 프레임워크를 제공하고 슈뢰딩거가 원래 제안한 양자역학의 지터베웨궁 해석에 대한 지원을 제공하기 위해 확장되었다.

헤스테네스는 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 대한 자신의 표현을$$ 파인만의 표현과 경로 적분 공식에서 비교했다.

$\displaystyle \cHB =e^{i\피 _{\lambda }/\hbar }}}$

여기서 ${\$는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ - 경로를$$ 따라 나타나는 고전적 동작이다$$.^[5]

Spacetime 대수학은 행렬 이론 대신에 실제 이론의 관점에서 Dirac 입자에 대한 설명을 가능하게 한다. 디락 입자의 행렬 이론 설명은 다음과 같다.^[9]

${\displaystyle {\hat {\\gamma }^{\mu }(\mathbf {j} \partial _{\mu _}) \psi \rangele ,}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) Dirac 행렬이다$$. Spacetime 대수에서 Dirac 입자는 다음 방정식으로 설명된다.^[9]

${\displaystyle \nabla \psi \psi \psi \psi \psi \gamma _{0}}$

여기서 ${\displaystyle \psi }$과 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 기하대수의 원소이며, $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mu }^{}{\mathrm{}}_{}}$μ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ ${\$}\$partial }}}}}}}}$은 스페시 벡터 파생물이다.

일반 상대성 이론의 새로운 공식화

케임브리지 대학의 라센비, 도란, 굴레는 새로운 중력 공식인 GTG(게이지 이론 중력)를 제안했는데, 여기서 스페이스타임 대수학은 "사건을 스페이스타임으로 부드럽게 재조정"(Lasenby, et al.) 하의 게이지 대칭성을 인정하면서 민코프스키 공간의 곡면성을 유도하는 데 사용된다. 측지 방정식,

${\daystyle {\frac {d}{d\tau }R={\frac {1}{1}{1}:{2}}(\Oomega -\omega )R}$

공변량 유도체 및

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 중력 전위와 관련된 연결이며, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은 전자기장과 같은 외부 상호작용이다$$.

그 이론은 블랙홀의 치료에 대한 약간의 가능성을 보여주는데, 그것은 슈바르츠실트 해법의 형태가 특이점에서 분해되지 않기 때문이다; 일반 상대성 결과의 대부분은 수학적으로 재현되었고, 고전적 전자동학의 상대론적 공식은 양자역학과 디락 방정식으로 확장되었다.

참고 항목

• 기하 대수학
• 디락 대수
• 디라크 방정식
• 일반상대성

참조

• Lasenby, A.; Doran, C.; Gull, S. (1998), "Gravity, gauge theories and geometric algebra", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 356 (1737): 487–582, arXiv:gr-qc/0405033, Bibcode:1998RSPTA.356..487L, doi:10.1098/rsta.1998.0178, S2CID 119389813
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48022-2
• Hestenes, David (2015) [1966], Space–Time Algebra (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 9783319184135
• Hestenes, David; Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus, Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
• Hestenes, David (1973), "Local observables in the Dirac theory", Journal of Mathematical Physics, 14 (7): 893–905, Bibcode:1973JMP....14..893H, CiteSeerX 10.1.1.412.7214, doi:10.1063/1.1666413
• Hestenes, David (1967), "Real Spinor Fields", Journal of Mathematical Physics, 8 (4): 798–808, Bibcode:1967JMP.....8..798H, doi:10.1063/1.1705279

외부 링크

• 상상의 숫자는 실제가 아니다 – 스페이스타임의 기하 대수학, S에 의해 기하학적 대수학의 사상을 소개하는 자습서. Gull, A. Lasenby, C. 도란
• 기하대수의 물리적 응용-과정 참고사항, 특히 제2부를 참조한다.
• 케임브리지 대학교 기하 대수 그룹
• 기하학적 미적분학 연구 개발