등각도

Equinumerosity
"평등한"은 여기서 방향을 바꾼다.지오메트리의 개념은 등전위(지오메트리)를 참조하십시오.

만약 1대 1의 일치란(또는 bijection)그들 간에 존재하다면 A에서 B에 함수에 f()))Equinumerous 세트 y.[1]은 yB의 모든 요소에 대한, A의 요소가 정확히 하나 x 같은 기수(요소의 수) 했다고 한다 존재하는 수학, 2세트나 하루에 A와 B, 즉equinumerous 있다.[2]카디널리티에 대한 연구는 흔히 등분율(숫자의 등분율)이라고 불린다.등전성(동력)과 등전성(동력)이라는 용어가 대신 쓰이기도 한다.

등분율은 등가 관계의 특성 특성을 가지고 있다.[1]A와 B의 두 세트가 등분하다는 말은 보통 인용된다.

또는 ~ A 또는 = A = B

편차를 이용한 등분도의 정의는 유한집합과 무한집합 모두에 적용할 수 있으며, 두 집합이 무한집합이라도 크기가 같은지 여부를 진술할 수 있다.세트 이론의 창시자인 게오르크 칸토르는 1874년에 두 가지 이상의 종류의 무한성이 있다는 것을 보여주었는데, 특히 모든 자연수의 집합과 모든 실수의 집합은 무한하지만 모두 등분하지 않다는 것을 보여주었다(칸토어의 첫 번째 불가분증 참조).칸토르는 논란이 많은 1878년 논문에서 집합의 "힘" 개념을 명시적으로 정의하고 모든 자연수의 집합과 모든 이성수의 집합이 등분수(무한 집합의 적절한 부분집합이 원래 집합과 등분하는 예)이며, 셀 수 없이 무한의 카르테스 산물이라는 것을 증명하는 데 사용했다.실수의 사본 수는 실수의 한 부와 같다.

1891년부터 칸토어의 정리는 어떤 집합도 자신의 동력 집합(모든 하위 집합의 집합)에 등가하지 않음을 암시한다.[1]이를 통해 단일 무한 세트에서 시작하여 점점 더 많은 무한 세트를 정의할 수 있다.

선택 공리가 유지되는 경우 세트의 기본 번호는 카디널리티의 최소 순서 번호로 간주될 수 있다(초기 순서 참조).그렇지 않으면 (스콧의 속임수로) 그런 카디널리티를 가진 최소한의 계급의 집합으로 간주될 수도 있다.[1]

어떤 두 세트가든 등귀성이거나 한 세트가 다른 세트에 비해 카디널리티가 작다는 말은 선택의 공리와 맞먹는다.[3]

카디널리티

등귀성 세트는 서로 1대1로 대응하며, 카디널리티가 동일하다고 한다.[4]집합 X의 카디널리티는 " 집합의 요소 수"[1]의 척도다.등분율은 동등성 관계(반복성, 대칭성 및 전이성)[1]의 특성:

반사성
A 세트가 주어진 경우 A의 ID 함수는 A에서 그 자체로 편향된 것으로, 모든 A 세트가 그 자체와 동일하다는 것을 보여준다.A ~ A
대칭
두 세트 A와 B 사이의 모든 바이어스에는 B와 A 사이의 바이어스인 역 함수가 존재하며, 이는 세트 A가 세트 B와 동일하다면 B도 A: A ~ A를 의미한다는 것을 의미한다.
트란시즘
A → B, C 세 세트와 A → B - G : B → C 두 개의 오차를 갖는 경우, 이러한 오차의 구성 g f f는 A에서 C로 오차를 하는 것이므로, A와 B가 등분하고 B와 C가 등분할 경우 A와 C는 등분할 수 있다.A ~ B와 B ~ C는 모두 A ~ C를 의미한다.

세트의 카디널리티를 모든 세트의 등가 등급에 준하는 것으로 정의하려는 시도는 자명 세트 이론의 표준 형태인 Zermelo-Fraenkel 세트 이론에서 문제가 있다. 왜냐하면 어떤 비 빈 세트의 등가 등급은 세트가 되기에는 너무 클 것이기 때문이다. 그것은 적절한 등급일 것이다.제르멜로-프라엔켈 집합 이론의 틀 안에서 관계는 정의에 의해 집합으로 제한된다(세트 A의 이항 관계는 카르테스 제품 A × A의 하위 집합임), 제르멜로-프라엔켈 집합 이론에는 모든 집합의 집합이 없다.Zermelo-Fraenkel 집합 이론에서 집합의 카디널리티를 모든 집합의 등가 등급으로 정의하는 대신, 각 등가 등급에 대표 집합을 할당하려고 한다(목격 할당).예를 들어, Von Neumann-Bernays-에서 자명한 집합 이론의 다른 시스템에서는괴델 집합론과 모스-켈리 집합론, 관계는 계급으로 확장된다.

A 세트는 A에서 B로 일대일 함수(주사)가 존재하는 경우, B 세트의 카디널리티보다 작거나 같은 카디널리티를 갖는다고 한다.이것은 A ≤ B로 표기된다. A와 B가 등분하지 않으면 A의 카디널리티가 B의 카디널리티보다 엄격히 작다고 한다.이것은 A < B. 만약 선택의 공리가 유지된다면 삼차법의 법칙은 추기경 숫자를 고수하기 때문에 어떤 두 세트가 동등하거나 한 세트가 다른 세트에 비해 절대적으로 작은 카디널리티를 갖는다.[1]추기경 숫자에 대한 삼차법칙도 선택의 공리를 내포하고 있다.[3]

슈뢰더-베른슈타인 정리에서는 두 가지 일대일 함수 f : A → B와 g : B → A가 등분수인 두 가지 집합 A와 B. 만약 A a B와 B ≤ A가 있다면 A = B.[1][3] 이 정리는 선택의 공리에 의존하지 않는다.

칸토르의 정리

칸토어의 정리는 어떤 집합도 그 집합의 전원 집합(모든 하위 집합의 집합)과 동일하지 않다는 것을 암시한다.[1]이것은 심지어 무한대에서도 버틸 수 있다.구체적으로는 카운트할 수 있는 무한대의 집합의 전원 집합은 셀 수 없는 집합이다.

모든 자연 숫자로 구성된 무한 집합 N의 존재를 가정하고 주어진 집합의 전원 집합의 존재를 가정하면 각 집합이 앞에 집합의 전원 집합인 무한 집합의 순서 N, P(N), P(P(N)), P(P(N))의 정의를 허용한다.칸토어의 정리로는, 이 순서에 따른 각 세트의 카디널리티가 그 앞에 있는 세트의 카디널리티를 엄격히 초과하여 점점 더 큰 무한 세트로 이어진다.

칸토르의 작품은 예를 들어, 수학의 미세한[5] 철학을 강하게 고수하고 숫자가 실제 완성된 총체성(실제 무한도)을 형성할 수 있다는 생각을 거부했던 레오폴드 크로네커에 의해 동시대인 몇몇으로부터 혹평을 받았다.그러나 칸토르의 사상은 다른 사람들, 예를 들어 리차드 데데킨드에 의해 옹호되었고, 궁극적으로 데이비드 힐버트의 강력한 지지를 받으며 대부분 받아들여졌다.자세한 내용은 캔터 이론 논란을 참조하십시오.

제르멜로-프렌켈 집합 이론의 틀 안에서, 동력 집합의 공리는 주어진 집합의 동력 집합의 존재를 보증한다.더욱이 무한의 공리는 적어도 하나의 무한 집합, 즉 자연수를 포함하는 집합의 존재를 보장한다.대체 집합 이론(예: "일반 집합 이론"(GST), 크립케-플레이크 집합 이론, 포켓 집합 이론(PST) 등이 있는데, 이는 의도적으로 전원 집합의 공리와 무한대의 공리를 생략하고 칸토르가 제안한 인피니트의 무한 계층의 정의를 허용하지 않는다.

The cardinalities corresponding to the sets N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), … are the beth numbers , , , , …, with the first beth number being 알파스 naught)과 같으며, 계산 가능한 무한 집합의 카디널리티인 두 번째 베스 번호 1{\1}은연속체의 카디널리티인 }과 동일하다

디데킨드-무한 세트

경우에 따라, 세트 S와 세트 S의 적절한 부분집합이 등분할 수 있다.예를 들어, 짝수 자연수의 집합은 모든 자연수의 집합과 동일하다.그 자체의 적절한 하위 집합에 해당하는 집합을 데데킨드-무한이라고 한다.[1][3]

선택공리(AC)의 약한 변종인 계산가능선택(ACω)의 공리는 데데킨드-무한이 아닌 집합이 실제로 유한하다는 것을 보여주기 위해 필요하다.선택의 공리(ZF)가 없는 제르멜로-프라엔켈 집합론의 공리는 모든 무한 집합이 데데킨드-무한이라는 것을 증명하기에 충분치 않지만, 셀 수 있는 선택(ZF + ACω)의 공리(Zermelo-Fraenkel 집합 이론)의 공리는 충분히 강하다.[6]디데킨드가 제공한 것보다 세트의 미세성 및 초기성에 대한 다른 정의는 이에 대한 선택 공리를 요구하지 않는다. 자세한 내용은 유한 집합 § 필요조건 및 완전성에 대한 충분한 조건을 참조한다.[1]

세트 작업과의 호환성

등분율은 기본 집합 연산과 호환되며, 표준 산술의 정의를 가능하게 한다.[1]구체적으로는 등분율은 이음매 조합과 양립할 수 있다: A와 C가 한 편이고, B와 D가 한 편이고, 다른 한 쌍이 A~B와 C~D가 한 편이고, A~C~D가 한 편일 때 A, B, C~B가 있다.이것은 추기경 추가의 정의를 정당화하기 위해 사용된다.

또한 등분율은 데카르트 제품과 호환된다.

  • A ~ B, C ~ D이면 A × C ~ B × D이다.
  • A × B ~ B × A
  • (A × B) × C ~ A × (B × C)

이러한 특성은 기본적인 곱셈을 정당화하는 데 사용된다.

X와 Y의 두 세트가 주어지면 Y에서 X까지의 모든 기능 세트는 X로Y 표시된다.그러면 다음 진술이 유지된다.

  • A~B, C~D면 AC~BD.
  • AB ∪ C ~ AB × 이음 B와 C의 경우C
  • (A × B)C ~ AC × BC
  • (가B)C ~ AB×C

이러한 특성은 주요 지수를 정당화하는 데 사용된다.

또한, 주어진 집합 A의 전원 집합(A의 모든 부분 집합)은 집합 A에서 정확히 두 개의 요소를 포함하는 집합까지의 모든 함수의 집합인 집합 2에A 등가한다.

분류 정의

카테고리 이론에서, 집합으로 표시된 집합의 범주는 모든 집합의 집합과 집합 사이의 모든 함수의 집합의 집합으로 구성되는 범주로, 형태론의 구성으로 함수의 구성이 있다.세트에서, 두 세트 사이의 이등형성은 정확하게 바이어싱이고, 세트에서 물체와 같이 이등형인 경우 정확히 등분형이다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b c d e f g h i j k l Suppes, Patrick (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. Axiomatic Set Theory. Dover. ISBN 0486616304.
  2. ^ Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press Inc. ISBN 0-12-238440-7.
  3. ^ a b c d Jech, Thomas J. (2008) [Originally published by North–Holland in 1973]. The Axiom of Choice. Dover. ISBN 978-0-486-46624-8.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Equipollent". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-05.
  5. ^ Tiles, Mary (2004) [Originally published by Basil Blackwell Ltd. in 1989]. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover. ISBN 978-0486435206.
  6. ^ Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Lecture Notes in Mathematics 1876. Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895.