폐쇄(수학)

수학에서, 소정의 집합의 서브셋은, 그 서브셋의 멤버에 대해서 그 연산을 실시하는 것이 항상 그 서브셋의 멤버를 생성하면, 큰 집합의 연산하에서 닫힌다.예를 들어 자연수는 덧셈에서는 닫히지만 빼기에서는 닫히지 않습니다. 1 - 2는 자연수가 아니지만 1과 2는 모두 자연수가 아닙니다.

마찬가지로, 서브셋이 각 오퍼레이션에서 개별적으로 닫히면 오퍼레이션 집합에서 닫히는 것으로 간주된다.

부분 집합의 닫힘은 부분 집합에 적용된 닫힘 연산자의 결과입니다.일부 작업에서 하위 집합의 닫힘은 이러한 작업에서 닫히는 최소 하위 집합입니다.이것은 종종 스판(예를 들어 선형 스판) 또는 생성된 세트라고 불립니다.

정의들

S의 $다른$ 원소에서 $S$ 의 원소를 생산하는 하나 이상의 방법을 갖춘 $집합$ S를 생각해 보자.연산과 (부분) 다변량 함수가 이러한 방법의 예입니다.S가 위상 공간인 $경우$ , S의 $요소$ 시퀀스의 한계는 입력 요소가 무한대로 존재하고 결과가 항상 정의되는 것은 아닌 하나의 예이다.S가 필드인 $경우$ , $S$ 에 계수가 있는 다항식의 S에 $대한$ 근은 결과가 고유하지 않을 수 있는 또 다른 예입니다.

이러한 $방법$ 에서는 S의 서브셋 X가 닫히는 것으로 간주되며, 만약 모든 입력 $요소$ 가 X일 때 가능한 모든 결과도 $X$ 가 된다.때로는 X가 폐쇄성을 가지고 $있다고도$ 말할 수 있다.

정의에서 바로 나오는 닫힌 집합의 주요 특성은 닫힌 집합의 모든 교차점이 닫힌 집합이라는 것입니다.따라서 S의 $모든$ 서브셋Y에 대해 S의 $최소$ 닫힌 $서브셋X$ 가 존재하므로 Y $Y\subseteq X$ X \ $displaystyle$ Y \ $subseteq$ X가 $Y\subseteq X$ (이것은 $Y$ 를 포함하는 모든 닫힌 서브셋의 교집합입니다).문맥에 따라 $X$ 는 $Y$ 의 폐쇄 또는 $Y$ 에 의해 생성되거나 스팬된 집합이라고 불립니다.

닫힌 집합과 닫힌 집합의 개념은 종종 교차로 아래에서 안정적인 부분 집합의 속성으로 확장된다. 즉, 특성이 있는 부분 집합의 모든 교차로도 특성이 있다.예를 들어, $\mathbb {C} ^{n},$ n $,$ {\ $style \mathbb {C} ^{n}$ 에서 $\mathbb {C} ^{n},$ 대수 집합이라고도 하는 자리스키 닫힌 집합은 다항식 계열의 공통 0 집합이며, 점 $집합$ V의 자리스키 닫힌 집합은 V를 $포함$ 하는 가장 작은 대수 집합입니다.

대수 구조에서

대수 구조는 몇 가지 공리를 만족시키는 연산을 갖춘 집합이다.이러한 공리는 동일성일 수 있습니다.일부 공리에는 실존적 수량화 $\exists ;$ $;(\displaystyle \exists;)$ 가 $\exists ;$ 포함될 수 있습니다. 이 경우 모든 공리가 동일성 또는 완전히 보편적으로 수량화된 공식으로 변하기 위해 몇 가지 보조 연산을 추가할 필요가 있습니다.자세한 내용은 대수 구조를 참조하십시오.

이 문맥에서, $대수$ 구조 S가 주어졌을 때, S의 $부분$ 구조는 존재 양자를 회피하기 위해 필요한 보조 연산을 포함한 $S$ 의 모든 연산 하에서 닫힌 부분 집합이다.하부구조는 S와 $같은$ 유형의 대수구조이다.따라서 특정 예에서 근접성이 증명되었을 때 서브구조가 동일한 유형의 구조임을 증명하기 위해 공리를 확인할 필요가 없다.

대수 $구조$ S의 부분 $집합$ X가 주어졌을 때, $X$ 의 폐쇄는 S의 $모든$ 연산 하에서 닫힌 S의 $가장$ 작은 부분 구조이다.대수적 구조의 맥락에서, 이 폐쇄는 일반적으로 $X$ 에 의해 생성되거나 스판되는 하위 구조라고 불리며, X는 하위 구조의 생성 $집합$ 이라고 말한다.

예를 들어, 그룹은 모든 요소가 역요소를 가질 수 있도록 아이덴티티 요소와의 연관연산을 가진 집합입니다.여기서 보조연산은 아이덴티티 요소와 반전 단항연산을 초래하는 늘연산이다.곱셈 및 반전 하에서 닫힌 그룹의 서브셋도 비어 있지 않은 경우에만 늘 연산(즉, ID 포함)으로 닫힙니다.따라서 곱셈 및 반전 하에서 닫힌 그룹의 비어 있지 않은 부분 집합은 부분군이라고 하는 그룹입니다.단일 원소에 의해 생성된 부분군, 즉 이 원소의 닫힘을 순환 그룹이라고 합니다.

선형 대수학에서, 벡터 공간의 비어 있지 않은 부분 집합(벡터-공간 연산, 즉 덧셈과 스칼라 곱셈)의 닫힘은 이 부분 집합의 선형 범위이다.이는 앞의 일반 결과에 의한 벡터 공간이며, 서브셋 요소의 선형 조합 집합임을 쉽게 증명할 수 있다.

거의 모든 대수 구조에 대해 유사한 예를 들 수 있으며, 때로는 특정 용어를 사용할 수도 있습니다.예를 들어, 교환환에서 이상적인 연산 하에서 단일 원소의 폐쇄를 주요 이상이라고 합니다.

토폴로지 내

토폴로지 및 관련 브랜치에서는 관련 조작이 제한되고 있습니다.세트의 위상 닫힘은 해당 닫힘 연산자입니다.Kuratowski 폐쇄 공리는 이 연산자의 특성을 나타냅니다.

이항 관계

$집합$ A 위의 이진 관계는 $A\times A,$ A × $A\times A,$ A의 $A\times A,$ $R$ $,$ A의 $순서$ 있는 요소 쌍의 집합(\ $displaystyle$ A $\times$ A $,)$ 으로 $A\times A,$ 정의할 수 있습니다. $x$ R $y$ $(x,y)\in R.$ { $displaystyle xRy}$ $xRy$ 은 $xRy$ $(x,y)\in R.$ 으로 $(x,y)\in R.$ ( $x$ , y ) r R $(x,y)\in R.$ . \ $displaystyle ( x$ , y )\ $in$ R $.$ 많은 $(x,y)\in R.$ 속성 또는 관계 연산을 사용하여 클로저를 정의할 수 있습니다.다음은 가장 일반적인 사례입니다.

반사성: $집합$ A의 $관계$ R은 ( $(x,x)\in R$ $(x,x)\in R$ ) $(x,x)\in R$ $x\in A.$ 마다 R $(\displaystyle (x,x)\in$ R $)$ 일 $(x,x)\in R$ 경우 재귀적인 관계 R $.\displaystyle$ x $\in$ A $.$ 의 $x\in A.$ 모든 교차점이 재귀적인 관계이므로 폐쇄를 정의합니다. $관계$ R의 반사적 닫힘은 다음과 같다. $(\displaystyle R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}).}$
대칭: $(x,y)$ 은 ( $A\times A$ , $(x,y)$ ) \ $displaystyle ($ x $(x,y)$ , y ) \ displaystyle ( x , $y$ ) $(y,x).$ 를 $(x,y)$ ( $(y,x).$ , $(y,x).$ ) . $(x,y)$ $displaystyle ( y$ , $(y,x).$ ) 에 매핑하는 $A\times A$ A × $A$ \ $times$ A 에서의 $A\times A$ 연산입니다.}관계는 $(y,x).$ 이 연산에 의해 닫히면 대칭이며, $관계$ R의 대칭적 닫힘은 이 관계에서 닫힘이다 $.$
이동성: 전송성은 ( $(x,z).$ $(x,y)$ , $(x,y)$ ) \ $displaystyle ( x$ , $y$ ) \ $displaystyle$ $(x,z).$ ( x $(x,z).$ , y ) $(y,z)$ $(x,z).$ $(y,z)$ ( $(x,z).$ $(y,z)$ , $(y,z)$ ) \ $displaystyle$ $($ $y$ , z $(x,z).$ 에 $(y,z)$ $(x,y)$ $매핑되는$ A $A\times A$ × A $\ displaystyle$ A \ $times$ A \ times A 에서의 $A\times A$ 부분 바이너리 연산에 의해 $정의됩니다.$ } 이 $(x,z).$ 연산에 의해 관계가 닫히면 전이적인 것이며, 이 연산에 의해 관계가 닫히는 것은 전이적인 것이다 $.$

사전 주문은 반사적이고 전이적인 관계입니다.따라서 관계의 반사적 전이적 폐쇄는 관계를 포함하는 최소 사전 순서이다.마찬가지로, 관계의 반사적 전이 대칭 폐쇄 또는 동등성 폐쇄는 관계를 포함하는 가장 작은 동등성 관계입니다.

기타 예

매트로이드 이론에서 X의 폐쇄는 X와 같은 순위를 가진 X의 가장 큰 초집합입니다.
세트의 ^[1]전이적 닫힘입니다.
필드의 ^[2]대수적 닫힘입니다.
해당 도메인을 포함하는 필드에서 통합 도메인의 통합 폐쇄입니다.
가환환에 있는 이상의 근원.
기하학에서 점 집합 S의 볼록 선체는 S가 부분 ^[3]집합인 가장 작은 볼록 집합이다.
공식 언어에서 언어의 클린 폐쇄는 해당 언어에서 0개 이상의 문자열을 연결하여 만들 수 있는 문자열 집합으로 설명할 수 있습니다.
군 이론에서, 군 원소 집합의 켤레 닫힘 또는 정규 닫힘은 집합을 포함하는 가장 작은 정규 부분군입니다.
수학적 해석과 확률론에서, 셀 수 있을 만큼 많은 집합 연산 하에서 X의 부분 집합 집합의 닫힘을 집합에서 생성된 θ-대수라고 한다.

닫힘 연산자

이전 섹션에서는 주어진 세트의 하위 세트에 대해 폐쇄를 고려한다.집합의 하위 집합은 포함하기 위해 부분적으로 순서가 지정된 집합(양자 집합)을 형성합니다.폐쇄 연산자를 사용하면 부분적으로 순서가 지정된 집합으로 폐쇄 개념을 일반화할 수 있습니다.

부분 차수가θ인 $포셋$ S가 주어졌을 때, $S$ 의 폐쇄 연산자는 $C:S\to S$ : $C:S\to S$ $C:S\to S$ { $displaystyle$ C $:$ $x\in S$ $\to$ S $C:S\to S$ ( x ) ( $x\in S$ $x\leq C(x)$ x $all$ S $x\in S$ \ $displaystyle$ x \ $leq$ $x\leq C(x)$ C ( $x$ $x\in S$ ) ) $x\leq C(x)$ 、 $C(C(x))=C(x)$ ( C $C(C(x))=C(x)$ ( $C(C(x))=C(x)$ ) $C(C(x))=C(x)$ ( $C(C(x))=C(x)$ ) \ $displaystyle$ C ( $x$ ) $= C$ ( $x$ ) ） $C(C(x))=C(x)$ $x\leq y\implies C(x)\leq C(y)$ $x\leq y\implies C(x)\leq C(y)$ ( ( ( ( ( ( ( ( （ x ) ) 。

마찬가지로 $x,y\in S.$ 에서 $S$ 까지의 함수는 모든 x $x,y\in S.$ $x,y\in S.$ $S,$ \ $displaystyle$ x $\leq$ C $(y)\iff$ C $(x)\leq$ C $(y$ )\ $displaystyle$ x $\leq$ C(y $)$ 일 $x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)$ $x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)$ $폐쇄$ 연산자가 된다 $.$

자체 폐쇄인 경우 S의 $요소$ , 즉 x $x=C(x).$ $x=C(x).$ )인 $.\displaystyle$ x $=C(x).$ } S의 $x=C(x).$ 일부 $요소$ 의 폐색일 경우에만 소자가 폐색된다 $.$

부분 집합에서 작동하지 않는 폐쇄 연산자의 예는 모든 $실수$ x를 x보다 $작은$ 최소 정수에 매핑하는 천장 함수에 의해 제공됩니다.

닫힘 연산자 대 닫힌 집합

주어진 집합의 부분 집합에서의 닫힘은 폐쇄 연산자에 의해 정의될 수도 있고, 또는 교차로 아래에서 안정적이고 주어진 집합을 포함하는 닫힌 집합의 집합으로 정의될 수도 있다.이 두 정의는 동일합니다.

실제로 폐쇄 $연산자$ C의 정의 속성은 닫힌 집합의 교차가 닫혔음을 의미합니다. X $=$ ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ ${\$ X=\ $bigcap X_{i$ }인 ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ , $C(X)$ ( $C(X)$ ) $C(X)$ { $displaystyle$ C $(X)}$ 는 $C(X)$ X를 $포함$ 해야 하며 모든 $X_{i}.$ . $style X_{i}$ 에 포함되어야 합니다.} $C(X)=X$ 는 $X_{i}.$ 교차로의 정의에 따라 $C(X)=X$ X $C(X)=X$ ) $C(X)=X$ = $X(\displaystyle C(X)=$ X $)$ 를 의미합니다 $.$

반대로 닫힌 집합이 주어지고 닫힌 집합의 모든 교차로가 닫힌 경우 $C(X)$ C ( $C(X)$ X $C(X)$ ) \ $displaystyle$ C( $X)$ 가 $C(X)$ X를 $포함$ 하는 닫힌 집합의 교차점이 $C(X)$ 폐쇄 $연산자$ C를 정의할 수 있다.

이 동등성은 "닫힌 집합"을 "닫힌 요소"로, "교차"를 "가장 큰 하한"으로 대체할 경우 가장 큰-하한 특성을 가진 부분 순서 집합의 경우 그대로 유지됩니다.

레퍼런스

^ Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
^ Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
^ Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.
^ Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.

Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". MathWorld.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.

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[3] Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.

[4] Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.

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