비콤플렉스 수

추상대수학에서 바이컴플렉스 숫자는 바이컴플렉스 결합체${\displaystyle (w}$ ,${\displaystyle {}^{}z}$ )${\displaystyle }$= (${\displaystyle w}$, - ${\displaystyle z}$)$${\$디스플레이스타일(w,z)^{*}=(w,-z)}$를 정의하는 케이리-딕슨 프로세스에 의해 구성된 복잡한 숫자의 쌍(w, z)이다$.$

${\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

그 다음에 bicomplex 규범은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle z{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle w}$, z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$,${\displaystyle }$- z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle {}^{}}$ , ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle \mathrm{z}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (w,z)^{***(w,-z)=(w,-z)=(w,z$)=(w^{2$}+z^{2$,0$),},}}}}}.$

2차원의 C에 대한 2차원의 C에 대한 2차원의 2차원의 2차원의 2차원의 2차원의 조합대수를 형성하며, 이는 알헤브라스 C ⊕ C의 직접 합에 이형이다.

두 개의 이항체 숫자의 곱은 개별 2차 형태의 곱인 2차 형태 값을 산출한다: 제품의 2차 형태 속성에 대한 검증은 브라흐마굽타-피보나치 정체성을 가리킨다. 2차 형태의 2차적 숫자의 이 특성은 이 숫자들이 구성 대수학을 형성한다는 것을 나타낸다. 실제로 바이컴플렉스 숫자는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 기초한 Cayley-Dickson 건설의 바이나리온 수준에서 표준 z를² 가진 상태에서$$ 발생한다.

일반 bicomplex 수가 매트릭스(wiz 나는 z w){\displaystyle{\begin{pmatrix}w&amp에 의해;iz\\iz&, w\end{pmatrix}}}, 결정하는 w2+z2{\displaystyle w^{2}+z^{2}}습니다. determin의composing 속성에 그러므로 2차 형식의composing 속성 concurs 표시할 수 있다.개미.

실제 대수학으로서

테사린 곱셈

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	1	i
k	k	−j	i	−1

바이콤플렉스 숫자는 차원 2의 C에 대한 대수학을 형성하고, C는 차원 2의 R에 대한 대수이므로, 차원 4의 R에 대한 대수학이다. 사실 실제 대수학은 복잡한 대수보다 더 오래되었다; 복잡한 대수학은 1892년까지 도입되지 않은 동안, 그것은 1848년에 테사린이라고 명명되었다.

A basis for the tessarine 4-algebra over R specifies z = 1 and z = −i, giving the matrices ${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$, which multiply according to the table given. ID 매트릭스가 1로 식별되면 테사린 t = w + z j .

역사

1840년대에 여러 상상 단위의 주제를 조사했다. 1844년 《철학잡지》에서 시작된 장편 「질문에 관한 것, 또는 대수학의 새로운 상상 시스템에 관한 것」에서, 윌리엄 로완 해밀턴은 질음집단에 따라 곱한 시스템을 전달하였다. 1848년 토마스 커크먼은 아서 케이리와의 통신에서 초복수 체계를 결정하는 단위들에 관한 방정식에 대해 보고했다.^[1]

테사린스

1848년 제임스 코클은 철학적 잡지에 실린 일련의 기사에서 테사린을 소개했다.^[2]

테사린(tesarine)은 형태의 하이퍼 복합수다.

${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathb {R}}$

여기서 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ = ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle i{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {j\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$=${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-$1,\$quad$ j$^{2}=+1.}$ 코클은$$ 테사린을 사용하여 쌍곡 코사인 계열과 지수 계열의 쌍곡 사인 계열을 분리했다. 그는 또한 테사린에서 0개의 칸막이들이 어떻게 발생하는지를 보여주었고, 그가 "imposisbles"라는 용어를 사용하도록 고무시켰다. 테사린은 현재 실제 테사린 $t{\displaystyle }$= w${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle j}$ ${\$의 하위 테사라인으로 가장 잘 알려져 있는데$,$ 이는 하이퍼볼라 단위의 파라메트리제이션(parametrization)을 표현하는 분할 복합수라고도 한다.

바이콤플렉스 수

1892년 수학자 안날렌 논문에서 코라도 세그레는 테사린에 대수 이형성을 이루는 바이콤플렉스 숫자를 도입했다.^[3][4]

세그레는 W. R. 해밀턴의 Quaternions에 대한 강의(1853년)와 W. K. Clifford의 작품을 읽었다. 세그레는 해밀턴의 표기법 중 몇 가지를 사용하여 그의 바이콤플렉스 숫자 체계를 개발했다: 렛 h와 나는 -1과 통근하는 원소가 된다. 그리고 곱셈의 연관성을 가정할 때 제품 hi는 +1로 정사각형을 이루어야 한다. {1, h, i, hi } 기준으로 구성된 대수학은 다른 기준으로 표현된 제임스 코클의 테사린과 동일하다. 세그르는 원소들에 주목했다.

${\displaystyle \mathrm{g}}$= (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$- ${\displaystyle h}$ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ 2${\displaystyle }$, ${\displaystyle g{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle g=(1-hi)/2,\display g'=(1+hi)/2}$은 idempotents이다.

바이컴플렉스 숫자를 기준 {1, h, i, -hi}의 단위로 표현할 때, 테사린과 동등성이 명백하다. 이러한 이형 알헤브라의 선형표현을 보면 음의 기호를 사용할 때 네 번째 차원에서는 일치함을 나타낸다. 위에 제시된 샘플 제품을 선형표현으로 고려해 보십시오.

비비나리온

현대 구성 알헤브라는 대수학을 또 다른 이나리온 구조에 기초한 이나리온 구조로서, 따라서 비비나리온을 위치시킨다.^[5] 케이리 딕슨 공정의 유니언 레벨은 필드가 되어야 하며, 실제 필드에서 시작하여 통상적인 콤플렉스 수치는 또 다른 필드인 분할 바이너리온으로 발생한다. 따라서 그 과정은 다시 시작되어 비비나를 형성할 수 있다. 케빈 맥크림몬은 그의 텍스트 "A Taste of Jordan Algebras (2004)"에서 바이너리온이라는 용어가 제공하는 명명법의 단순화에 주목했다.

다항근

C = C ⊕ C를 쓰고 복잡한 숫자의 순서 쌍(u,v)으로 그것의 요소를 나타낸다. 테사린 T의 대수는 C와 이형이기 때문에 다항식 T[X]와 C[X]의 고리도 이형이지만 후자 대수에서는 다항식이 분할된다.

${\displaystyle \sum \sum_{k=1}^{n}(a_{k}},b_{k})(u,v)^{k}\com \reft \refted\sum \{k=1}a_{i}^{k=1}^{n}v^{k}\오른쪽).}$

따라서 이 대수에서$$ 다항식 $f{\displaystyle (u}$, v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(u,v)=(0,0)}$을 설정하면 C에서는 2개의 다항식까지 줄어든다. 만약 정도가 n이라면, 각 방정식에 대해 n 루트가 있다: ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle }$…${\displaystyle u_{}}$ 1, ${\displaystyle \text{v}{}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, v 1,${\displaystyle {}_{}}$v 1, ${\displaystyle {}_{}}$ 2 …${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$. .${\displaystyle u_{1$},$u_{2},\dots, u_{n},\ v_{n},v_{2},\dots,v_{n}.$$}$ 이 루트 집합에서$$ 주문된 모든 쌍$({\displaystyle u_{}}$i , ${\displaystyle v_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\$은 C[X]의 원래 방정식을 만족하므로 n 루트가 있다².^[6]

T[X]와의 이형성 때문에 다항식의 대응과 그 뿌리의 대응성이 있다. 따라서 도 n의 테사린 다항식도 뿌리가 n개여서² 뿌리의 다항성을 계산한다.

적용들

Bicomplex 수 CAPS의 중심으로-Complexified 대수학 물리적 공간, 이것은 클리퍼드 이후 CAPS의 선형 공간이 사차원 공간 범위로{1, e1, e2, e3{\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3} 볼 수 있algebra C 난}{Cl(3,\mathbb{C})\displaystyle}.[7](3, C)}{1이 넘는 것으로 보인다.i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$1$,i,k,j}$ }.$$

디지털 신호 처리에는 테사린(tesarines)이 적용됐다.^[8][9][10]

참조

추가 읽기

• G. 베일리 프라이스 (1991) 멀티콤플렉스 공간과 기능에 대한 소개, 마르셀 데커 ISBN 0-8247-8345-X
• F. 카토니, D. 보칼레티, R. 칸나타, V. 카토니, E. 니켈라티, P. 잠페티. (2008) 민코프스키 공간-시간의 수학-상호복합수, Birkhauser Verlag, Basel ISBN 978-3-7643-8613-9