제로 디비저

추상 대수학에서 고리 R의 원소 a는 도끼 = 0과 같은 0이 아닌 x가 R에 존재하거나,^[1] x를 도끼로 보내는 R에서 R까지의 지도가 주입되지 않는 경우에 동등하게 왼쪽 영점 분점이라고 한다.^[a]마찬가지로, R에 ya = 0과 같은 nonzero y가 존재한다면, 링의 원소 a는 우측 영점 분점이라고 불린다.이것은 반지의 일부 불분명한 경우다.왼쪽 또는 오른쪽 영점 분점인 원소를 단순히 영점 분점이라고 한다.^[2]왼쪽과 오른쪽 영점 분점인 원소 a를 양면 영점 분점(도끼 = 0이 아닌 x는 ya = 0이 아닌 y와 다를 수 있음)이라고 한다.반지가 서로 일치하면 좌우 영점 구분자는 같다.null

왼쪽 영점 분할자가 아닌 반지의 요소를 왼쪽 정규 또는 왼쪽 취소라고 한다.마찬가지로, 오른쪽 영점 분할자가 아닌 반지의 요소를 오른쪽 정규 또는 오른쪽 취소라고 부른다.왼쪽과 오른쪽을 취소할 수 있고 따라서 영점 분할자가 아닌 링의 요소를 일반 또는 취소 또는 ^[3]0점 분할이라고 한다.0이 아닌 영점 분점을 0이 아닌 분점 또는 0이 아닌 분점이라고 한다.0이 아닌 반지가 없는 것을 도메인이라고 한다.null

예

• In the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, the residue class ${\displaystyle {\overline {2}}}$ is a zero divisor since ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$.
• 링$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정수 중 $0$은(는) 0 ${\displaystyle 0}$ 입니다$.$
• 0이 아닌 고리의 영점 원소는 항상 양면 영점 분점이다.
• $e{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{e}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle e}$) e ${\$$displaystyle e\neq 1}$ 링의$$ idempotent 요소 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle e (1-e)=0=(1-e)e$
• 필드 위에 $있는{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$n} 행렬의 $링$은 n${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle n\geq$ 2$}$인 경우 0이 아닌 구분자를 가진다$.$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$개의$$ 행렬(모든 비제로 링에 걸쳐)에 있는 영점수의 예는 다음과 같다.
  $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$

  
  $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

  
• 0이 아닌 두 개 이상의 링의 직접 생산물은 항상 0이 아닌 칸막이들을 가지고 있다.For example, in ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ with each ${\displaystyle R_{i}}$ nonzero, ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$, so ${\displaystyle (1,0)}$ is a zero divisor.
• $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 필드로 하고$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹으로 한다$$.는 G{G\displaystyle}유한 주문 n의 요소 g{\displaystyle g}, 1{\displaystyle n> 1}가정해 보자.{K[G]\displaystyle}한(1+g+⋯+gn− 1)=1− gnx0{\displaystyle(화)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}(g1−)다이지 인자 중 z. 그리고 그 그룹 반지의 K씨가[G]ero, 즉 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-g}$은(는) $K{\displaystyle }$[ G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$에 있는 0이 아닌 0의 구분자임$$$.$

단면 영분할기

• ;y\\0&, z\end{pmatrix}}}x와 z∈ Z{\displaystyle x,z\in \mathbb{Z}}와 y∈ Z/2Z{\displaystyley\in \mathbb{Z}({Z}}. 그리고()y0z)(ab0c)=(공식적인)매트릭스()y0z){\displaystyle{\begin{pmatrix}x&amp의 반지를 생각해 보자.(X는 xb+yc0zc){\displaystyle{\begin{pmatrix}x&, y\\0&, z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&, b\\0&, c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&, xb+yc\\0&, zc\end{pmatrix}}}과(ab0c)()y0z))()y는+zb0zc){\displaystyle{\begin{pmatrix}a&am.p/&b\\0&, c\end{pmatrix}}{\begiN{pmatrix}x&, y\\0&, z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&, ya+zb\\0&, zc\end{pmatrix}}}. 만약 x ≠ 0≠ z{\displaystyle x\neq 0\neq z}, 그때()y0z){\displaystyle{\begin{pmatrix}x&, y\\0&, z\end{pmatrix}}}은 왼쪽 영 인자 만일 x{\displaystyle)}심지어 있기 때문(x. y 0z(${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$, and it is a right zero divisor if and only if ${\displaystyle z}$ is even for similar reasons.$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ 중 하나가 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$인 경우, 양면 제로-divisor이다.
• 한 면에만 영점인 원소를 가진 반지의 또 다른 예가 여기에 있다.Let ${\displaystyle S}$ be the set of all sequences of integers ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$. Take for the ring all additive maps from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle S}$, with pointwise addition and composition as the ring operations. (That is, our ring is${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$, the endomorphism ring of the additive group ${\displaystyle S}$.) Three examples of elements of this ring are the right shift ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$, the left shift ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$, and the projection map onto the first factor ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$. Allthree of these additive maps are not zero, and the composites ${\displaystyle LP}$ and ${\displaystyle PR}$ are both zero, so ${\displaystyle L}$ is a left zero divisor and ${\displaystyle R}$ is a right zero divisor in the ring of additive maps from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle S}$. H$l{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 오른쪽 영점 분할자가 아니며 R ${\displaystyle R}$은(는) 왼쪽 영점 분할자가 아니다. ${\displaystyle \mathrm{복합}}$ L R ${\displaystyle LR}$은(는) ID이다.${\displaystyle }$$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle RL}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$= 0${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{P}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL$ L R =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle LR=1$}이$($가) 어느 방향으로도$$ 아니므로 양면 영분할이다.

비예시

• 정수의 링은 소수점 0이 없다.0이 아닌 모든 원소는 단위이기 때문에 이 링은 유한한 필드다.
• 더 일반적으로, 디비전 링은 0을 제외하고 0의 디비저를 가지고 있지 않다.
• 0점 만이 0인 비제로 정류 링을 적분 영역이라고 한다.

특성.

• 들판 위의 n-by-n 행렬의 링에서, 왼쪽과 오른쪽 영점 구분자는 일치한다; 그것들은 정확히 단수 행렬이다.정수 영역 위에 있는 n-by-n 행렬의 링에서, 영점 구분자는 정확히 결정 인 0을 갖는 행렬이다.
• 왼쪽 또는 오른쪽 영점 구분자는 절대 단위가 될 수 없다. 왜냐하면 a가 변위불능이고 일부 비영점 x의 경우 도끼 = 0이면 0 = a0⁻¹ = aax⁻¹ = x, 모순이기 때문이다.
• 요소는 정기적인 측면에서 취소할 수 있다.즉, a가 왼쪽 정규 분포를 따르는 경우, 도끼 = ay는 x = y를 의미하며, 오른쪽 정규 분포를 사용하는 경우에도 이와 유사하다.

영점수로서의 영점

정의는 이 경우에도 적용되기 때문에 사례 a = 0에 대해 별도의 규약이 필요하지 않다.

• R이 0 링 이외의 링이라면 0이 아닌 원소 x는 0x = 0 = 0 = x0을 만족하기 때문에 0은 (양면) 0 divisor이다.
• R이 0 = 1인 제로 링이라면 0을 곱하면 0이 되는 0이 아닌 원소가 없기 때문에 0은 0이 아니다.

일부 참고문헌은 관례에 따라 모든 링에서 0을 0으로 구분하여 포함하거나 제외하지만, 그 후 다음과 같은 진술에서 예외를 도입해야 하는 어려움을 겪는다.

• 정류 링 R에서, 비제로 디비저의 집합은 R.로 설정된 곱셈이다. (이것은 총 지수 링의 정의에 중요하다.)비좌측-제로-divisors 집합과 임의의 링에 있는 비우측-제로-divisor 집합도 같은 맥락이다.
• 상호 작용하는 노메테리아 링 R에서, 영 디비저의 세트는 R의 관련 원시적 이상들의 결합이다.

모듈의 디비저 제로

R을 정류 링으로 하고, M을 R-모듈로 하고, a를 R의 요소가 되게 한다.하나는 "a" $지도{\displaystyle }$ M${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle M\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\\\}\,M}$이(가)^[4] 주입형이라면$$ a는 M-정규형이고, 그렇지 않으면 m에 0점이라고 한다.M-정규 원소 집합은 R에 있는 승법 집합이다.^[4]

사례 M = R에 대해 "M-정규어"와 "M-정규어"의 정의를 전문화하면 이 글의 앞부분에서 주어진 "정규어"와 "정규어 0"의 정의를 회복한다.null

참고 항목

• 영상품 속성
• 정류 대수 용어집(정확한 영점 구분자)
• 영분할 그래프

메모들

참조

추가 읽기

• "Zero divisor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules, vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Weisstein, Eric W. "Zero Divisor". MathWorld.